44 Vísis- og lograföll

4.7 Vísis- og logralíkön

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

gera líkön af vísisvexti og vísishnignun.
nota kælingarlögmál Newtons.
nota líkön af lógistískum vexti.
velja líkan sem hæfir gögnum.
rita vísislíkan með grunntöluna e .

Inni í kjarnrannsóknakljúfi. — **Mynd 1.** Kjarnrannsóknakljúfur í Neely-kjarnrannsóknamiðstöðinni á háskólasvæði Tækniháskólans í Georgíu (mynd: Georgia Tech Research Institute)

Við höfum þegar skoðað nokkur einföld notkunardæmi vísisfalla og lografalla. Í þessum hluta skoðum við nokkur mikilvæg notkunarsvið nánar, meðal annars geislavirkar samsætur og kælingarlögmál Newtons.

Líkön af vísisvexti og vísishnignun

Í raunverulegum verkefnum þarf að gera líkan af hegðun falls. Við stærðfræðilega líkanagerð veljum við kunnuglegt almennt fall með eiginleika sem benda til þess að það lýsi fyrirbærinu sem á að greina. Þegar um hraðan vöxt er að ræða má velja vísisvaxtarfallið:

y = A_{0} e^{k t}

þar sem $A_{0}$ er jákvætt upphafsgildi við tímann núll, $e$ er fasti Eulers og $k$ er jákvæður fasti sem ákvarðar samfellda hlutfallslega vaxtarhraðann. Nota má vísisvaxtarfallið í verkefnum sem snúast um tvöföldunartíma, þann tíma sem tekur stærð að tvöfaldast. Stofnar villtra dýra, fjárfestingar, lífsýni og náttúruauðlindir eru dæmi um fyrirbæri sem geta vaxið samkvæmt tvöföldunartíma. Í sumum verkefnum, eins og sést síðar þegar lógistíska jafnan er tekin fyrir, hæfir lógistískt líkan þó gögnunum betur en vísislíkan.

Ef stærð minnkar hins vegar hratt í átt að núlli án þess að ná því er líklega rétt að velja líkan vísishnignunar. Aftur er formið $y = A_{0} e^{k t}$ þar sem $A_{0}$ er upphafsgildið og $e$ er fasti Eulers. Nú er $k$ neikvæður fasti sem ákvarðar hnignunarhraðann. Nota má líkan vísishnignunar þegar helmingunartími er reiknaður, það er tíminn sem tekur magn efnis að minnka með vísishnignun niður í helming upphaflegs magns. Helmingunartími er notaður í verkefnum um geislavirkar samsætur.

Þegar fall er valið sem stærðfræðilíkan eru oft notaðir gagnapunktar sem fengnir eru með nákvæmum athugunum og mælingum. Punktarnir eru settir á graf í von um að lögun þess þekkist. Gröf vísisvaxtar og vísishnignunar hafa einkennandi lögun, eins og sést á mynd 2 og mynd 3 . Mikilvægt er að muna að þótt hlutar beggja grafanna virðist liggja á x-ásnum eru þeir í raun örlitlu ofan við hann.

Graf af y=2e³ˣ með merktu punktunum (-1/3, 2/e), (0, 2) og (1/3, 2e) og aðfellunni y=0. — **Mynd 2.** Graf sem sýnir vísisvöxt. Jafnan er $y = 2 e^{3 x} .$

Graf af y=3e⁻²ˣ með merktu punktunum (-1/2, 3e), (0, 3) og (1/2, 3/e) og aðfellunni y=0. — **Mynd 3.** Graf sem sýnir vísishnignun. Jafnan er $y = 3 e^{- 2 x} .$

Vísisvöxtur og vísishnignun fela oft í sér mjög stórar eða mjög litlar tölur. Til að lýsa slíkum tölum er stærðargráða oft notuð. Stærðargráðan er veldi af tíu þegar talan er rituð á staðalformi með einn tölustaf vinstra megin við tugabrotsmerkið. Fjarlægðin til næstu stjörnu við sólina, Proxima Centauri, er í þessu dæmi áætluð 40.113.497.200.000 kílómetrar. Á staðalformi er hún $4,01134972 \times 10^{13} .$ Því má segja að talan hafi stærðargráðuna $10^{13} .$

Dæmi 1

Graf vísisvaxtar teiknað

Bakteríustofn tvöfaldast á hverri klukkustund. Teiknið graf stofnstærðarinnar sem fall af tíma ef ræktunin hófst með 10 bakteríum.

Lausn

Þegar magn vex um fast prósentuhlutfall á hverri tímaeiningu er vöxturinn vísisvöxtur. Til að finna $A_{0}$ notum við að $A_{0}$ er magnið við tímann núll, þannig að $A_{0} = 10.$ Til að finna $k,$ notum við að eftir eina klukkustund $(t = 1)$ hefur stofninn tvöfaldast úr $10$ í $20.$ Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt

\begin{array}{l} 20 = 10 e^{k \cdot 1} \\ 2 = e^{k} & Deilið með 10 \\ \ln 2 = k & Takið náttúrulega logrann \end{array}

þannig að $k = \ln (2) .$ Jafnan sem á að teikna er því $y = 10 e^{(\ln 2) t} = 10 {(e^{\ln 2})}^{t} = 10 \cdot 2^{t} .$ Grafið er sýnt á mynd 5 .

Graf sem byrjar við tíu á y-ásnum og hækkar hratt til hægri. — **Mynd 5.** Grafið af y = 10 ⁢ (e)^(( ln ⁡ 2 ) ⁢ t)

Greining

Fjöldi baktería eftir tíu klukkustundir er 10.240. Segja má að þetta magn sé af stærðargráðunni $10^{4} .$ Fjöldi baktería eftir tuttugu klukkustundir er 10.485.760 sem er af stærðargráðunni $10^{7},$ og því má segja að stofninn hafi vaxið um þrjár stærðargráður á tíu klukkustundum.

Helmingunartími

Nú snúum við okkur að vísishnignun. Eins og áður kom fram er helmingunartími eitt algengasta hugtakið sem tengist vísishnignun. Hann er sá tími sem tekur stærð sem hnignar samkvæmt vísisfalli að minnka niður í helming upphaflegs gildis. Sérhver geislavirk samsæta hefur helmingunartíma og ferlið sem lýsir vísishnignun samsætu nefnist geislavirk sundrun.

Til að finna helmingunartíma falls sem lýsir vísishnignun skal leysa eftirfarandi jöfnu:

\frac{1}{2} A_{0} = A_{0} e^{k t}

Við sjáum að helmingunartíminn ræðst aðeins af fastanum $k$ en ekki upphafsmagninu $A_{0} .$

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt

\begin{array}{l} \frac{1}{2} A_{0} = A_{0} e^{k t} \\ \frac{1}{2} = e^{k t} & Deilið með A_{0} . \\ \ln (\frac{1}{2}) = k t & Takið náttúrulega logrann . \\ - \ln (2) = k t & Beitið reiknireglum logra . \\ - \frac{\ln (2)}{k} = t & Deilið með k . \end{array}

Þar sem tíminn $t$ er jákvæður verður $k$ að vera neikvæður, eins og búast mátti við. Þannig fæst formúlan fyrir helmingunartíma:

t = - \frac{\ln (2)}{k}

Dæmi 2

Fallið sem lýsir geislavirkri sundrun fundið

Helmingunartími kolefnis-14 er 5.730 ár. Ritið magn kolefnis-14 sem eftir er sem fall af tímanum $t .$

Lausn

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt.

\begin{array}{l} A = A_{0} e^{k t} & Formúlan fyrir samfellda vísisbreytingu . \\ 0,5 A_{0} = A_{0} e^{k \cdot 5730} & Setjið helmingunartímann í stað t og 0,5 A_{0} í stað f (t) . \\ 0,5 = e^{5730 k} & Deilið með A_{0} . \\ \ln (0,5) = 5730 k & Takið náttúrulega logrann af báðum hliðum . \\ k = \frac{\ln (0,5)}{5730} & Deilið með stuðlinum við k . \\ A = A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5730}) t} & Setjið inn fyrir k í formúluna fyrir samfellda vísisbreytingu . \end{array}

Fallið sem lýsir þessari samfelldu hnignun er $f (t) = A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5730}) t} .$ Athugum að stuðullinn við $t,$ $\frac{\ln (0,5)}{5730} \approx - 1,2097 \times 10^{−4}$ er neikvæður, eins og búast má við þegar um vísishnignun er að ræða.

Geislakolsgreining

Formúlan fyrir geislavirka sundrun er mikilvæg við geislakolsgreiningu, sem notuð er til að áætla hvenær planta eða dýr dó. Willard Libby þróaði aðferðina árið 1949 og hlaut Nóbelsverðlaun í efnafræði árið 1960 fyrir hana. Við aldursgreininguna er kolefnissamsætuhlutfall sýnis borið saman við viðmiðunargildi og niðurstaðan kvörðuð. Óvissa fer eftir sýni, aldri og mæliaðferð; ekki er hægt að gera almennt ráð fyrir 1% skekkju allt að 60.000 ára aldri, eins og frumtextinn gefur til kynna.

Kolefni-14 er geislavirk kolefnissamsæta með um 5.730 ára helmingunartíma. Hún er í litlu magni í koltvísýringnum í loftinu sem við öndum að okkur. Mest af kolefni jarðar er kolefni-12, sem hefur atómmassann 12 u og er ekki geislavirkt. Hlutfall kolefnissamsæta í andrúmsloftinu hefur breyst með tíma. Vísindamenn nota meðal annars trjáhringi og önnur sýni af þekktum aldri til að kvarða aldursgreininguna. IntCal20-kvörðunarferillinn nær um 55.000 ár aftur frá viðmiðunarárinu 1950; fullyrðing frumtextans um 60.000 ára tímabil er því ekki notuð hér.

Meðan planta eða dýr lifir er hlutfall kolefnissamsætanna tveggja í líkamanum svipað hlutfallinu í andrúmsloftinu. Þegar lífveran deyr sundrast kolefni-14 í líkamanum og endurnýjast ekki. Með því að bera hlutfall kolefnis-14 og kolefnis-12 í sýni sem sundrast saman við þekkta hlutfallið í andrúmsloftinu má áætla hvenær plantan eða dýrið dó.

Þar sem helmingunartími kolefnis-14 er 5.730 ár er formúlan fyrir magn kolefnis-14 sem eftir er að $t$ árum liðnum

A \approx A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5730}) t}

þar sem

$A$ er magn kolefnis-14 sem eftir er
$A_{0}$ er magn kolefnis-14 þegar plantan eða dýrið tók að sundrast.

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt:

\begin{array}{l} A = A_{0} e^{k t} & Formúlan fyrir samfellda vísisbreytingu . \\ 0,5 A_{0} = A_{0} e^{k \cdot 5730} & Setjið helmingunartímann í stað t og 0,5 A_{0} í stað f (t) . \\ 0,5 = e^{5730 k} & Deilið með A_{0} . \\ \ln (0,5) = 5730 k & Takið náttúrulega logrann af báðum hliðum . \\ k = \frac{\ln (0,5)}{5730} & Deilið með stuðlinum við k . \\ A = A_{0} e^{(\frac{\ln (0,5)}{5730}) t} & Setjið inn fyrir k í formúluna fyrir samfellda vísisbreytingu . \end{array}

Til að finna aldur hlutar leysum við þessa jöfnu fyrir $t :$

t = \frac{\ln (\frac{A}{A_{0}})}{- 0,000121}

Hér skoðum við aðeins einfalda grunnformúlu geislakolsgreiningar og sleppum mörgum atriðum sem taka þarf tillit til við raunverulegar mælingar. Hlutfall kolefnis-14 og kolefnis-12 í andrúmsloftinu er um 0,0000000001%. Magn geislavirks kolefnis í sýni má meðal annars meta með vökvaskintillun (e. liquid scintillation). Látum $r$ tákna hlutfall þess kolefnis-14 sem eftir er í sýninu af upphaflegu magni þess. Af jöfnunni $A \approx A_{0} e^{- 0,000121 t}$ fæst $r = \frac{A}{A_{0}} \approx e^{- 0,000121 t} .$ Við leysum jöfnuna fyrir $t$ og fáum:

t = \frac{\ln (r)}{- 0,000121}

Dæmi 3

Aldur beins fundinn

Beinbrot finnst sem inniheldur 20% af upphaflegu kolefni-14 sínu. Hve gamalt er beinið, námundað að næsta ári?

Lausn

Við setjum $20 % = 0,20$ í stað $r$ í jöfnunni og leysum fyrir $t :$

\begin{array}{l} t = \frac{\ln (r)}{- 0,000121} & Notið almennt form jöfnunnar . \\ = \frac{\ln (0,20)}{- 0,000121} \begin{matrix}  \end{matrix} & Setjið inn fyrir r . \\ \approx 13301 & Námundið að næsta ári . \end{array}

Beinbrotið er um 13.301 ára gamalt.

Greining

Tækin sem mæla hlutfall kolefnis-14 eru mjög næm. Við raunverulega aldursgreiningu þarf einnig að taka tillit til meðal annars kvörðunar og óvissu í sýninu. Ef við gerum ráð fyrir 1% óvissu í þessu einfalda dæmi mætti rita niðurstöðuna sem $13.301 ár \pm 1% eða 13.301 ár \pm 133 ár .$ Þetta er forsenda dæmisins, ekki almenn nákvæmni geislakolsgreiningar.

Tvöföldunartími reiknaður

Fyrir stærðir sem hnigna ákvörðuðum við hve langan tíma tók helming efnis að sundrast. Fyrir vaxandi stærðir getur verið gagnlegt að finna hve langan tíma tekur stærð að tvöfaldast. Eins og áður kom fram nefnist sá tími tvöföldunartími.

Út frá grunnjöfnu vísisvaxtar $A = A_{0} e^{k t},$ má finna tvöföldunartímann með því að leysa fyrir þann tíma þegar upphaflega magnið hefur tvöfaldast, það er með því að leysa $2 A_{0} = A_{0} e^{k t} .$

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt:

\begin{array}{l} 2 A_{0} = A_{0} e^{k t} \\ 2 = e^{k t} & Deilið með A_{0} . \\ \ln 2 = k t & Takið náttúrulega logrann . \\ t = \frac{\ln 2}{k} & Deilið með stuðlinum við t . \end{array}

Tvöföldunartíminn er því

t = \frac{\ln 2}{k}

Dæmi 4

Fall sem lýsir vísisvexti fundið

Samkvæmt lögmáli Moores er tvöföldunartími fjölda smára sem hægt er að koma fyrir á tölvukubbi um tvö ár. Gefið fall sem lýsir þessari hegðun.

Lausn

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt:

\begin{array}{l} t = \frac{\ln 2}{k} & Formúlan fyrir tvöföldunartíma . \\ 2 = \frac{\ln 2}{k} & Notið tveggja ára tvöföldunartíma . \\ k = \frac{\ln 2}{2} & Margfaldið með k og deilið með 2 . \\ A = A_{0} e^{\frac{\ln 2}{2} t} \begin{matrix}  \end{matrix} & Setjið inn k í formúluna fyrir samfellda vísisbreytingu . \end{array}

Fallið er $A_{0} e^{\frac{\ln 2}{2} t} .$

Kælingarlögmál Newtons notað

Einnig má beita vísishnignun á hitastig. Þegar heitur hlutur er skilinn eftir í kaldara umhverfi lækkar hitastig hans samkvæmt vísisfalli og breytingin hægir á sér þegar hitastigið nálgast umhverfishitann. Á grafi hitafallsins samsvarar þessi hæging láréttri aðfellu við umhverfishitann. Sé stofuhitinn ekki núll samsvarar þetta lóðréttri hliðrun almenna vísishnignunarfallsins. Hliðrunin leiðir til kælingarlögmáls Newtons, vísindaformúlunnar sem lýsir hitastigi sem falli af tíma þegar hitastig hlutar jafnast við umhverfishitann

T (t) = A e^{k t} + T_{s}

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt:

\begin{array}{l} T (t) = A b^{c t} + T_{s} \\ T (t) = A e^{\ln (b^{c t})} + T_{s} \begin{matrix}  \end{matrix} & Reiknireglur logra . \\ T (t) = A e^{c t \ln b} + T_{s} & Reiknireglur logra . \\ T (t) = A e^{k t} + T_{s} & Endurnefnið fastann c \ln b, og kallið hann k . \end{array}

Dæmi 5

Kælingarlögmál Newtons notað

Ostakaka er tekin úr ofninum við innri hita, $165°F,$ og sett í $35°F$ kaldan ísskáp. Eftir 10 mínútur hefur kakan kólnað niður í $150°F .$ Ef bíða þarf þar til hún hefur kólnað niður í $70°F$ áður en hennar er neytt, hve lengi þarf þá að bíða?

Lausn

Þar sem umhverfishitinn í ísskápnum er 35 gráður lækkar hitastig ostakökunnar samkvæmt vísisfalli í átt að 35 eftir jöfnunni

T (t) = A e^{k t} + 35

Við vitum að upphafshitinn var 165, þannig að $T (0) = 165 .$

\begin{array}{l} 165 = A e^{k 0} + 35 & Setjið inn (0, 165) . \\ A = 130 & Leysið fyrir A . \end{array}

Okkur var gefinn annar gagnapunktur, $T (10) = 150,$ sem má nota til að leysa fyrir $k .$

\begin{array}{l} 150 = 130 e^{k 10} + 35 & Setjið inn (10, 150) . \\ 115 = 130 e^{k 10} & Dragið 35 frá . \\ \frac{115}{130} = e^{10 k} & Deilið með 130 . \\ \ln (\frac{115}{130}) = 10 k & Takið náttúrulega logrann af báðum hliðum . \\ k = \frac{\ln (\frac{115}{130})}{10} \approx - 0,0123 & Deilið með stuðlinum við k . \end{array}

Þannig fæst jafnan fyrir kólnun ostakökunnar: $T (t) = 130 e^{- 0,0123 t} + 35 .$

Nú má leysa fyrir tímann sem tekur hitastigið að lækka niður í 70 gráður.

\begin{array}{l} 70 = 130 e^{- 0,0123 t} + 35 & Setjið 70 í stað T (t) . \\ 35 = 130 e^{- 0,0123 t} & Dragið 35 frá . \\ \frac{35}{130} = e^{- 0,0123 t} & Deilið með 130 . \\ \ln (\frac{35}{130}) = - 0,0123 t & Takið náttúrulega logrann af báðum hliðum \\ t = \frac{\ln (\frac{35}{130})}{- 0,0123} \approx 106,68 & Deilið með stuðlinum við t . \end{array}

Það tekur um 107 mínútur, eða eina klukkustund og 47 mínútur, fyrir ostakökuna að kólna niður í $70°F .$

Líkön af lógistískum vexti notuð

Vísisvöxtur raunverulegra stærða getur ekki haldið áfram að eilífu. Vísislíkön geta gagnast til skamms tíma en verða yfirleitt sífellt óraunhæfari eftir því sem lengra líður. Hugsum okkur upprennandi rithöfund sem skrifar eina línu fyrsta daginn og tvöfaldar línufjöldann á hverjum degi. Á þrítugasta degi þyrfti hún að skrifa 536.870.912 línur. Talan 17 milljarðar lína í frumtextanum fæst ekki fyrir 30 daga. Það er óraunhæft að nokkur geti skrifað svo mikið á einum degi. Vísisvaxtarlíkan sjálft er ótakmarkað, en raunverulegar aðstæður setja vextinum skorður. Því er oft betra að nota líkan með efri mörkum, þótt vísisvaxtarlíkan geti gagnast áður en þeirra fer að gæta.

Lógistíska vaxtarlíkanið getur í upphafi líkst vísisvexti, en vaxtarhraðinn minnkar þegar fallgildið nálgast efra mark líkansins, sem nefnist burðargeta. Fyrir jákvæðu fastana $a, b,$ og $c,$ er lógistískum vexti stofns eftir tímanum $t$ lýst með líkaninu:

f (t) = \frac{c}{1 + a e^{- b t}}

Grafið á mynd 6 sýnir hvernig vaxtarhraðinn breytist með tíma. Grafið hækkar frá vinstri til hægri en vaxtarhraðinn eykst aðeins þar til hámarksvaxtarhraða er náð; eftir það tekur vaxtarhraðinn að minnka.

S-laga ferill lógistísks vaxtar. Lárétta aðfellan y = c táknar burðargetu. Upphafspunkturinn er (0, c/(1+a)) og beygjuskilin eru (ln(a)/b, c/2). Frummyndin notar x í stað t í formúlumerkingunni. — **Mynd 6.** Lógistískur vöxtur með burðargetuna c og mestan vaxtarhraða við beygjuskilin. Í formúlumerkingu frummyndarinnar stendur x þar sem á að standa t.

Dæmi 6

Lógistíska vaxtarlíkanið notað

Inflúensufaraldur breiðist hratt út um mannfjölda og hraðinn ræðst af tvennu: Því fleiri sem eru með inflúensu, þeim mun hraðar breiðist hún út, og því fleiri sem enn eru ósýktir, þeim mun hraðar breiðist hún einnig út. Vegna þessara tveggja þátta hentar lógistískt líkan vel til að rannsaka útbreiðslu smitsjúkdóma. Jafnframt eru skýr efri mörk á fjölda smitaðra, það er allur mannfjöldinn.

Við tímann $t = 0$ er til dæmis einn einstaklingur með inflúensu í samfélagi með 1.000 íbúum. Í því samfélagi geta því í mesta lagi 1.000 fengið inflúensu. Rannsóknir sýna að fyrir þennan tiltekna inflúensustofn er fasti lógistíska vaxtarins $b = 0,6030.$ Áætlið hve margir í samfélaginu hafa fengið inflúensuna eftir tíu daga. Spáið hve margir hafa fengið hana eftir mjög langan tíma.

Lausn

Við setjum gefnu gögnin inn í lógistíska vaxtarlíkanið

f (t) = \frac{c}{1 + a e^{- b t}}

Þar sem í mesta lagi 1.000 einstaklingar, allur mannfjöldi samfélagsins, geta fengið inflúensu er markgildið $c = 1000.$ Til að finna $a$ notum við að fjöldi tilfella við tímann $t = 0$ er $\frac{c}{1 + a} = 1,$ og því er $a = 999.$ Líkanið spáir að eftir tíu daga sé fjöldi þeirra sem hafa fengið inflúensu $f (10) = \frac{1000}{1 + 999 e^{- 0,6030 10}} \approx 293,8.$ Fjöldi einstaklinga er heiltala og því námundum við í 294. Þegar tíminn vex án takmarkana nálgast fjöldinn markgildið $c = 1000.$

Greining

Munið að þar sem hér er fengist við veiru er ekki hægt að spá fjölda smitaðra með vissu. Líkanið nálgar aðeins fjöldann og gefur hvorki nákvæm né raunveruleg gildi.

Grafið á mynd 7 sýnir vel hvernig líkanið hæfir gögnunum.

S-laga graf fjölda inflúensutilfella eftir dögum. Merkt eru eitt tilfelli á degi 0, um 20 á degi 5 og um 294 á degi 10. Ferillinn nálgast láréttu aðfelluna y = 1000. Merkingin 1000 tilfelli á degi 21 er nálgun. — **Mynd 7.** Grafið af f ⁡ ( t ) = (1000)/(1 + 999 ⁢ (e)^(− 0,6030 ⁢ t)) . Merkingin 1.000 tilfelli á degi 21 er nálgun; samkvæmt líkaninu nálgast fjöldinn 1.000 án þess að ná því nákvæmlega á endanlegum tíma.

Hentugt líkan valið fyrir gögn

Nú þegar fjallað hefur verið um ýmis stærðfræðilíkön þurfum við að læra að velja hentugt líkan fyrir þau hráu gögn sem liggja fyrir. Margir þættir hafa áhrif á val stærðfræðilíkans, meðal annars reynsla, náttúrulögmál og mynstur í gögnunum sjálfum. Ekki er hægt að lýsa öllum gögnum með einföldum föllum. Stundum er valið fall sem nálgar gögnin á tilteknu bili. Hugsum okkur til dæmis að safnað hafi verið gögnum um fjölda keyptra íbúðarhúsa í Bandaríkjunum á árunum 1960 til 2013. Þegar gögnin eru sett í dreifirit sést að lögun þeirra á árunum 2000 til 2013 fylgir lograferli. Þá mætti takmarka bilið við árin 2000 til 2010, beita aðhvarfsgreiningu með logralíkani og nota það til að spá fjölda íbúðarkaupenda árið 2015.

Þrjár gerðir falla sem nýtast oft í stærðfræðilíkönum eru línuleg föll, vísisföll og lograföll. Ef gögnin liggja á beinni línu, eða virðast liggja um það bil eftir beinni línu, getur línulegt líkan hentað best. Ef gögnin eru ólínuleg eru vísis- eða logralíkön oft skoðuð, þótt önnur líkön, svo sem annars stigs líkön, geti einnig komið til greina.

Þegar valið er milli vísislíkans og logralíkans er skoðað hvernig gögnin sveigjast. Þetta nefnist kúptni. Ef línustrik er dregið milli tveggja gagnapunkta og öll eða flest gögnin þar á milli liggja ofan við línustrikið segjum við ferilinn kúptan niður. Líta má á hann sem skál á hvolfi sem getur ekki haldið vatni. Ef gögnin liggja neðan við línustrikið segjum við ferilinn kúptan upp, líkt og skál sem getur haldið vatni. Vísislíkön af forminu y = A₀eᵏˣ með A₀ > 0 eru kúpt upp, bæði við vöxt og hnignun. Logralíkön af forminu y = a ln(bx) með a > 0 og b > 0 eru kúpt niður á skilgreiningarmengi sínu. Þetta gildir ekki um allar ummyndanir þessara falla; jákvæð gagnagildi ein og sér nægja ekki til að ákvarða kúptnina.

Lógistískur ferill skiptir um kúptni. Hann er fyrst kúptur upp en verður kúptur niður handan ákveðins punkts sem nefnist beygjuskil.

Eftir að grafið hefur hjálpað okkur að velja fallgerð fyrir líkanið setjum við punkta inn og leysum til að finna stikana. Við drögum úr námundunarskekkju með því að velja punkta sem eru eins langt hvor frá öðrum og unnt er.

Dæmi 7

Stærðfræðilíkan valið

Hæfir línulegt líkan, vísislíkan, logralíkan eða lógistískt líkan best gildunum í töflu 1? Finnið líkanið og notið graf til að sannreyna valið.

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	0	1,386	2,197	2,773	3,219	3,584	3,892	4,159	4,394

Lausn

Setjið gögnin fyrst á graf eins og á mynd 8. Námundið gögnin að tveimur aukastöfum fyrir grafteikninguna.

Graf gildanna úr töflunni á undan. — Mynd 8. Gagnapunktarnir úr töflu 1 í dreifiriti.

Punktarnir liggja greinilega ekki á beinni línu og því höfnum við línulegu líkani. Ef línustrik er dregið milli hvaða tveggja punkta sem er liggja flestir eða allir punktarnir þar á milli ofan við línustrikið. Grafið er því kúpt niður, sem bendir til logralíkans. Prófa má $y = a \ln (b x) .$ Þegar fyrsti punkturinn, $(1,0),$ er settur inn fæst $0 = a \ln b .$ Við höfnum tilvikinu $a = 0$ því þá væru öll fallgildi 0, og vitum því að $\ln (b) = 0.$ Þar með er $b = 1$ og $y = a \ln (x) .$ Næst má nota punktinn $(9; 4,394)$ til að leysa fyrir $a :$

\begin{array}{l} y = a \ln (x) \\ 4,394 = a \ln (9) \\ a = \frac{4,394}{\ln (9)} \end{array}

Þar sem $a = \frac{4,394}{\ln (9)} \approx 2,$ veljum við eftirfarandi líkan fyrir gögnin: $y = 2 \ln (x) .$

Til að kanna nákvæmni líkansins teiknum við graf fallsins ásamt gefnu punktunum eins og á mynd 9.

Graf gildanna úr töflunni á undan sýnir að þau hæfa fallinu y=2ln(x) með aðfellu við x=0. — **Mynd 9.** Grafið af y = 2 ⁢ ln ⁡ x .

Við getum ályktað að líkanið hæfi gögnunum vel.

Berið mynd 9 saman við grafið af $y = \ln (x^{2})$ á mynd 10.

Gröfin virðast eins þegar $x > 0.$ Stutt athugun staðfestir þetta: $y = \ln (x^{2}) = 2 \ln (x)$ fyrir $x > 0.$

Þegar $x < 0$ hefur grafið af $y = \ln (x^{2})$ aðra grein, eins og sést á mynd 11. Fallið $y = 2 \ln (x)$ er ekki skilgreint fyrir neikvæð gildi x, því þá yrði viðfang lograns neikvætt. Fallið $y = \ln (x^{2})$ er hins vegar einnig skilgreint fyrir neikvæð gildi x.

Graf y = ln(x²) hefur tvær greinar sem eru samhverfar um y-ásinn. Báðar stefna niður án takmarkana þegar x nálgast núll og upp þegar algildi x vex. Fallið er ekki skilgreint fyrir x = 0. — Mynd 11. Tvær greinar grafsins y = ln(x²), samhverfar um y-ásinn, með lóðrétta aðfellu x = 0.

Vísislíkan ritað með grunntöluna e

Þótt nota megi veldi og logra með hvaða leyfilegri grunntölu sem er við líkanagerð eru algengustu grunntölurnar $10$ og $e .$ Í vísindum og stærðfræði er grunntalan $e$ oft valin. Nota má veldareglur og reiknireglur logra til að skipta sérhverri grunntölu út fyrir $e .$

Dæmi 8

Skipt yfir í grunntöluna e

Breytið fallinu $y = 2,5 {(3,1)}^{x}$ þannig að sama fall sé ritað á forminu $y = A_{0} e^{k x} .$

Lausn

Formúlan er leidd út á eftirfarandi hátt

\begin{array}{l} y = 2,5 {(3,1)}^{x} \\ = 2,5 e^{\ln ({3,1}^{x})} & Setjið inn vísisfall og andhverfu þess . \\ = 2,5 e^{x \ln 3,1} & Reiknireglur logra . \\ = 2,5 e^{(\ln 3,1) x} & Víxlregla margföldunar \end{array}

4.7 Kaflaæfingar

Munnleg verkefni

Hvaða gerð vísislíkans tengist helmingunartíma? Hvaða hlutverki gegnir helmingunartími í slíkum líkönum?

Hvað er geislakolsgreining? Hvers vegna virkar hún? Nefnið dæmi þar sem geislakolsgreining nýtist.

Hvaða gerð vísislíkans tengist tvöföldunartíma? Hvaða hlutverki gegnir tvöföldunartími í slíkum líkönum?

Skilgreinið kælingarlögmál Newtons. Nefnið síðan að minnsta kosti þrjár raunverulegar aðstæður þar sem því væri beitt.

Hvað er stærðargráða? Hvers vegna eru stærðargráður gagnlegar? Útskýrið með dæmi.

Töluleg verkefni

Hitastigi hlutar í gráðum Fahrenheit eftir t mínútur er lýst með jöfnunni $T (t) = 68 e^{- 0,0174 t} + 72.$ Hvert er hitastig hlutarins eftir eina og hálfa klukkustund, námundað að næstu gráðu?

Í eftirfarandi æfingum skal nota lógistíska vaxtarlíkanið $f (x) = \frac{150}{1 + 8 e^{- 2 x}} .$

Finnið og túlkið $f (0) .$ Námundið að næsta tíunda hluta.

Finnið og túlkið $f (4) .$ Námundið að næsta tíunda hluta.

Finnið burðargetuna.

10.

Teiknið graf líkansins.

11.

Ákvarðið hvort gögnunum í töflunni sé best lýst með línulegu falli, vísisfalli eða lografalli. Ritið síðan formúlu líkans sem lýsir gögnunum.

$x$	$f (x)$
–2	0,694
–1	0,833
0	1
1	1,2
2	1,44
3	1,728
4	2,074
5	2,488

12.

Umritið $f (x) = 1,68 {(0,65)}^{x}$ sem vísisjöfnu með grunntöluna $e$ og fimm aukastöfum.

Tækni

Í eftirfarandi æfingum skal færa gögn hverrar töflu inn í grafíska reiknivél og teikna dreifiritin sem fást. Ákvarðið hvort gögn töflunnar geti lýst línulegu falli, vísisfalli eða lografalli.

13.

$x$	$f (x)$
1	2
2	4,079
3	5,296
4	6,159
5	6,828
6	7,375
7	7,838
8	8,238
9	8,592
10	8,908

14.

$x$	$f (x)$
1	2,4
2	2,88
3	3,456
4	4,147
5	4,977
6	5,972
7	7,166
8	8,6
9	10,32
10	12,383

15.

$x$	$f (x)$
4	9,429
5	9,972
6	10,415
7	10,79
8	11,115
9	11,401
10	11,657
11	11,889
12	12,101
13	12,295

16.

$x$	$f (x)$
1,25	5,75
2,25	8,75
3,56	12,68
4,2	14,6
5,65	18,95
6,75	22,25
7,25	23,75
8,6	27,8
9,25	29,75
10,5	33,5

Í eftirfarandi æfingum skal nota grafíska reiknivél og þessar aðstæður: Fjölda fiska í fiskeldi eftir $t$ ár er lýst með jöfnunni $P (t) = \frac{1000}{1 + 9 e^{- 0,6 t}} .$

17.

Teiknið graf fallsins.

18.

Hver er upphaflegur fjöldi fiska?

19.

Hver er tvöföldunartími fiskistofnsins, námundaður að næsta tíunda hluta?

20.

Hver verður fiskifjöldinn eftir $2$ ár, námundaður að næstu heiltölu?

21.

Hve langan tíma tekur stofninn að ná $900 ?$ Námundið tímann að næsta tíunda hluta.

22.

Hver er burðargeta fiskistofnsins? Rökstyðjið svarið með grafi $P .$

Viðbótarverkefni

23.

Efni hefur helmingunartímann 2,045 mínútur. Ef upphaflegt magn efnisins var 132,8 grömm, hve margir helmingunartímar hafa liðið þegar magnið hefur minnkað niður í 8,3 grömm? Hver er heildartími hnignunarinnar?

24.

Formúlan fyrir vaxandi stofn er $P (t) = P_{0} e^{r t}$ þar sem $P_{0}$ er upphafleg stofnstærð og $r > 0.$ Leiðið út almenna formúlu fyrir tímann t sem tekur stofninn að stækka um margföldunarstuðulinn M.

25.

Rifjið upp formúluna til að reikna stærð jarðskjálfta, $M = \frac{2}{3} \log (\frac{S}{S_{0}}) .$ Sýnið hvert skref þegar jafnan er leyst algebrulega fyrir jarðskjálftavægið $S .$

26.

Hver er skurðpunktur við y-ásinn fyrir lógistíska vaxtarlíkanið $y = \frac{c}{1 + a e^{- r x}} ?$ Sýnið útreikninginn skref fyrir skref. Hvað segir punkturinn um stofninn?

27.

Sannið að $b^{x} = e^{x \ln (b)}$ fyrir jákvætt $b \neq 1.$

Hagnýt verkefni

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Læknir ávísar 125 milligrömmum af lyfi sem rýrnar um u.þ.b. 30% á klukkustund.

28.

Hver er helmingunartími lyfsins, námundaður að næstu klukkustund?

29.

Ritið vísislíkan sem lýsir magni lyfsins sem eftir er í líkama sjúklingsins eftir $t$ klukkustundir. Notið síðan formúluna til að finna magn lyfsins sem væri eftir eftir 3 klukkustundir. Námundið að næsta milligrammi.

30.

Notið líkanið úr æfingunni á undan til að finna $f (10)$ og túlkið niðurstöðuna. Námundið að næsta hundraðasta hluta.

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Æxli er sprautað með $0,5$ grömmum af joði-125 sem hefur hnignunarhraðann $1,15%$ á dag.

31.

Hve langan tíma tekur helming joðs-125 að sundrast, námundað að næsta degi?

32.

Ritið vísislíkan sem lýsir magni joðs-125 sem eftir er í æxlinu eftir $t$ daga. Notið síðan formúluna til að finna magn joðs-125 sem væri eftir í æxlinu eftir 60 daga. Námundið að næsta tíunda hluta gramms.

33.

Vísindamaður byrjar með $250$ grömm af geislavirku efni. Eftir $250$ mínútur hefur sýnið minnkað niður í $32$ grömm. Ritið vísisjöfnu sem lýsir aðstæðunum og námundið að fimm aukastöfum. Hver er helmingunartími efnisins, námundaður að næstu mínútu?

34.

Helmingunartími radíums-226 er $1590$ ár. Hver er árlegur hnignunarhraði? Gefið tugabrotið með fjórum aukastöfum og prósentuhlutfallið með tveimur aukastöfum.

35.

Helmingunartími erbíns-165 er $10,4$ klukkustundir. Hver er hnignunarhraðinn á klukkustund? Gefið tugabrotið með fjórum aukastöfum og prósentuhlutfallið með tveimur aukastöfum.

36.

Trégripur úr fornleifauppgreftri inniheldur 60 prósent af því kolefni-14 sem er í lifandi trjám. Hve gamall er gripurinn um það bil, námundað að næsta ári? (Helmingunartími kolefnis-14 er $5730$ ár.)

37.

Rannsóknarnemi vinnur með bakteríurækt sem tvöfaldast að stærð á tuttugu mínútna fresti. Upphaflegur fjöldi var $1350$ bakteríur. Ritið vísisjöfnu sem lýsir aðstæðunum og námundið að fimm aukastöfum. Hver er stofnstærðin eftir $3$ klukkustundir, námunduð að næstu heiltölu?

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Líffræðingur taldi $360$ bakteríur í rækt eftir 5 mínútur og 1000 bakteríur eftir 20 mínútur.

38.

Hver var upphaflegur fjöldi í ræktinni, námundaður að næstu heiltölu?

39.

Ritið vísisjöfnu sem lýsir aðstæðunum og námundið að sex aukastöfum. Hve langan tíma tók stofninn að tvöfaldast, námundað að næstu mínútu?

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Pottur af heitri súpu með innra hitastigið $100°$ Fahrenheit var tekinn af eldavélinni og látinn kólna í $69° F$ heitu herbergi. Eftir fimmtán mínútur var innra hitastig súpunnar $95° F .$

40.

Notið kælingarlögmál Newtons til að rita formúlu sem lýsir aðstæðunum.

41.

Hve langan tíma tekur súpuna að kólna niður í $80° F?$ Námundið tímann að næstu mínútu.

42.

Hvert verður hitastigið eftir $2$ og hálfa klukkustund, námundað að næstu gráðu?

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Kalkúnn er tekinn úr ofni við innra hitastigið $165°F$ og látinn kólna í $75°F$ heitu herbergi. Eftir hálfa klukkustund er innra hitastig kalkúnsins $145°F .$

43.

Ritið formúlu sem lýsir aðstæðunum.

44.

Hvert verður hitastigið eftir 50 mínútur, námundað að næstu gráðu?

45.

Hve langan tíma tekur kalkúninn að kólna niður í $110° F?$ Námundið tímann að næstu mínútu.

Í eftirfarandi æfingum skal finna gildi tölunnar sem sýnd er á hverjum lograskala. Námundið öll svör að næsta þúsundasta hluta.

46.

Talnalína sem sýnir að log(x) er milli -1 og 0.

47.

Talnalína sem sýnir að log(x) er milli 1 og 2.

48.

Setjið eftirfarandi nálgunargildi hljóðstyrks á lograskala: Hvísl: $10^{- 10} \frac{W}{m^{2}},$ ryksuga: $10^{- 4} \frac{W}{m^{2}},$ þota: $10^{2} \frac{W}{m^{2}}$

49.

Rifjið upp formúluna til að reikna stærð jarðskjálfta, $M = \frac{2}{3} \log (\frac{S}{S_{0}}) .$ Einn jarðskjálfti mælist $3,9$ á stærðarkvarða jarðskjálftavægis (MMS). Ef annar jarðskjálfti hefur $750$ sinnum meiri orku en sá fyrri, finnið þá stærð síðari skjálftans. Námundið að næsta hundraðasta hluta.

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Jafnan $N (t) = \frac{500}{1 + 49 e^{- 0,7 t}}$ lýsir fjölda bæjarbúa sem hafa heyrt orðróm eftir t daga.

50.

Hve margir hófu orðróminn?

51.

Hve margir hafa heyrt orðróminn eftir 3 daga, námundað að næstu heiltölu?

52.

Hvaða gildi nálgast $N (t)$ þegar $t$ vex án takmarkana? Túlkið svarið.

Veljið rétta svarmöguleikann í eftirfarandi æfingu.

53.

Læknir sprautar sjúkling með 13 milligrömmum af geislavirku litarefni sem hnignar samkvæmt vísisfalli. Eftir 12 mínútur eru 4,75 milligrömm af litarefninu eftir í líkama sjúklingsins. Hvaða líkan hæfir aðstæðunum?

ⓐ $f (t) = 13 {(0,0805)}^{t}$
ⓑ $f (t) = 13 e^{0,9195 t}$
ⓓ $f (t) = \frac{4,75}{1 + 13 e^{- 0,83925 t}}$

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	3,297	5,437	8,963	14,778	24,365	40,172	66,231	109,196	180,034