44 Vísis- og lograföll

4.5 Reiknireglur logra

Námsmarkmið

Í þessum kafla lærið þið að:

Nota margfeldisreglu logra.
Nota deilingarreglu logra.
Nota veldisreglu logra.
Liða lograstæður niður.
Draga lograstæður saman.
Nota grunnskiptiformúluna fyrir logra.

Hönd í bláum hanska heldur bleikrauðum pappírsstrimli ofan í tæran vökva í bikarglasi merktu HCl. — **Mynd 1.** Sýrustig saltsýru er prófað með lakkmúspappír. (mynd: David Berardan)

Í efnafræði er sýrustig, táknað með pH, mælikvarði á hversu súr eða basísk vatnslausn er. Oft er pH-kvarðinn sýndur frá 0 til 14, en pH-gildi geta einnig legið utan þess bils. Við 25 °C eru lausnir með pH-gildi undir 7 súrar en lausnir með pH-gildi yfir 7 basískar. Líkaminn heldur sýrustigi blóðsins innan þröngra marka; eðlilegt pH-gildi blóðs er um 7,35–7,45. Eftirfarandi pH-gildi algengra efna sýna dæmi um súrar og basískar lausnir:

Rafgeymasýra: 0,8
Magasýra: 2,7
Appelsínusafi: 3,3
Hreint vatn: 7 (við 25 °C)
Mannsblóð: 7,35
Kókosvatn: 4,5–5,2 í rannsókn á mismunandi þroskastigum
Natríumhýdroxíð (vítissódi): 14

Til að ákvarða hvort vatnslausn er súr eða basísk skoðum við pH-gildi hennar. Fyrir þynntar lausnir má nálga pH með styrk vetnisjóna samkvæmt eftirfarandi formúlu. Hér táknar [H⁺] tölugildi styrks vetnisjóna í mólum á lítra (mól/L), en ekki fjölda jónanna. Við notum þessa nálgun í dæmunum:

\begin{array}{l} pH = - \log ([H^{+}]) \\ = \log (\frac{1}{[H^{+}]}) \end{array}

Að segðirnar −log([H⁺]) og log(1/[H⁺]) séu jafngildar er dæmi um reiknireglu logra sem við skoðum í þessum kafla.

Notkun margfeldisreglu logra

Lografall og samsvarandi vísisfall eru andhverf föll. Reiknireglur logra tengjast því veldareglunum. Við byrjum á tveimur einföldum reglum. Hér og í framhaldinu gerum við ráð fyrir að grunntalan b sé jákvæð og b ≠ 1:

\begin{array}{l} \log_{b} 1 = 0 \\ \log_{b} b = 1 \end{array}

Til dæmis er log₅(1) = 0 því 5⁰ = 1. Einnig er log₅(5) = 1 því 5¹ = 5.

Þar sem föllin eru andhverf gilda einnig eftirfarandi reglur:

\begin{array}{l} \log_{b} (b^{x}) = x \\ b^{\log_{b} x} = x, x > 0 \end{array}

Til að reikna log(100) skrifum við 100 sem 10². Þá gefur reglan log_b(b^x) = x okkur log₁₀(10²) = 2.

Til að reikna e^ln(7) notum við að ln(7) = log_e(7). Samkvæmt reglunni b^log_b(x) = x er því e^ln(7) = e^log_e(7) = 7.

Lograföll eru eintæk. Því gildir eftirfarandi jafngildi fyrir jákvæðar tölur M og N:

\log_{b} M = \log_{b} N þá og því aðeins að M = N

Skoðum jöfnuna log₃(3x) = log₃(2x + 5). Viðföng beggja logranna þurfa að vera jákvæð, svo x > 0. Þar sem grunntölurnar eru þær sömu og lografallið er eintækt getum við sett viðföngin jöfn og leyst fyrir x:

\begin{array}{l} 3 x = 2 x + 5 & Setjum viðföngin jöfn . \\ x = 5 & Drögum frá 2 x . \end{array}

Lausnin x = 5 uppfyllir skilyrðið x > 0 og gerir bæði viðföngin jöfn 15. En hvernig leysum við jöfnuna log₃(3x) + log₃(2x + 5) = 2? Þar dugar ekki að setja viðföngin jöfn. Fyrst þurfum við að geta sameinað lograliðina vinstra megin í einn logra.

Munið að samkvæmt margfeldisreglu velda má margfalda veldi með sömu grunntölu með því að leggja saman veldisvísana: x^a · x^b = x^a+b. Samsvarandi regla fyrir logra kallast margfeldisregla logra. Hún segir að logri margfeldis jákvæðra þátta sé jafn summu logra þáttanna. Við leiðum regluna út hér á eftir með því að nota margfeldisreglu velda og andhverfueiginleika logra.

Látum M, N og b vera jákvæðar rauntölur, þar sem b ≠ 1. Við sýnum að

\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) .

Látum m = log_b(M) og n = log_b(N). Á veldisformi eru þessar jöfnur b^m = M og bⁿ = N. Af því leiðir að

\begin{array}{l} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{m} b^{n}) & Setjum inn fyrir M og N . \\ = \log_{b} (b^{m + n}) & Beitum margfeldisreglu velda . \\ = m + n & Beitum andhverfueiginleika logra . \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Setjum inn fyrir m og n . \end{array}

Með því að beita margfeldisreglu logra endurtekið má skrifa logra margfeldis með hvaða fjölda jákvæðra þátta sem er sem summu logra þáttanna. Skoðum til dæmis log_b(wxyz), þar sem w, x, y og z eru jákvæðar tölur. Þá fæst:

\log_{b} (w x y z) = \log_{b} w + \log_{b} x + \log_{b} y + \log_{b} z

Dæmi 1

Notkun margfeldisreglu logra

Liðið niður $\log_{3} (30 x (3 x + 4)) .$ Gerið ráð fyrir að x > 0, svo að allir þættirnir séu jákvæðir.

Lausn

Við byrjum á að þátta viðfangið að fullu og ritum $30$ sem margfeldi frumtalna.

\log_{3} (30 x (3 x + 4)) = \log_{3} (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot (3 x + 4))

Næst ritum við logrann sem summu logra þáttanna.

\log_{3} (30 x (3 x + 4)) = \log_{3} (2) + \log_{3} (3) + \log_{3} (5) + \log_{3} (x) + \log_{3} (3 x + 4)

Notkun deilingarreglu logra

Samsvarandi regla gildir um logra kvóta. Samkvæmt deilingarreglu velda má deila veldum með sömu grunntölu með því að draga veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans: x^a/x^b = x^a−b. Deilingarregla logra segir að logri kvóta tveggja jákvæðra talna sé jafn logra teljarans að frádregnum logra nefnarans. Við leiðum regluna út með deilingarreglu velda og andhverfueiginleika logra.

Látum M, N og b vera jákvæðar rauntölur, þar sem b ≠ 1. Við sýnum að

\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) .

Látum m = log_b(M) og n = log_b(N). Á veldisformi eru þessar jöfnur b^m = M og bⁿ = N. Af því leiðir að

\begin{array}{l} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{m}}{b^{n}}) & Setjum inn fyrir M og N . \\ = \log_{b} (b^{m - n}) & Beitum deilingarreglu velda . \\ = m - n & Beitum andhverfueiginleika logra . \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Setjum inn fyrir m og n . \end{array}

Skoðum til dæmis log((2x² + 6x)/(3x + 9)). Stæðan er skilgreind fyrir x > 0. Við byrjum á að þátta teljara og nefnara og stytta brotið:

\begin{array}{l} \log (\frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 9}) = \log (\frac{2 x (x + 3)}{3 (x + 3)}) & Þáttum teljara og nefnara . \\ = \log (\frac{2 x}{3}) & Styttum út sameiginlega þætti . \end{array}

Næst beitum við deilingarreglunni með því að draga logra nefnarans frá logra teljarans. Síðan beitum við margfeldisreglunni.

\begin{array}{l} \log (\frac{2 x}{3}) = \log (2 x) - \log (3) \\ = \log (2) + \log (x) - \log (3) \end{array}

Dæmi 2

Notkun deilingarreglu logra

Liðið niður $\log_{2} (\frac{15 x (x - 1)}{(3 x + 4) (2 - x)}) .$ Gerið ráð fyrir að 1 < x < 2.

Lausn

Fyrst tökum við eftir að kvótinn er þáttaður og fullstyttur og beitum því deilingarreglunni.

\log_{2} (\frac{15 x (x - 1)}{(3 x + 4) (2 - x)}) = \log_{2} (15 x (x - 1)) - \log_{2} ((3 x + 4) (2 - x))

Liðirnir sem fást eru lograr margfelda. Til að liða stæðuna að fullu beitum við margfeldisreglunni og frumþáttum 15 sem 3 · 5.

\begin{array}{l} \log_{2} (15 x (x - 1)) - \log_{2} ((3 x + 4) (2 - x)) = [\log_{2} (3) + \log_{2} (5) + \log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1)] - [\log_{2} (3 x + 4) + \log_{2} (2 - x)] \\ = \log_{2} (3) + \log_{2} (5) + \log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1) - \log_{2} (3 x + 4) - \log_{2} (2 - x) \end{array}

Greining

Við liðunina þurfa viðföng allra logranna að vera jákvæð. Hér þarf því x > 0, x − 1 > 0, 3x + 4 > 0 og 2 − x > 0. Saman jafngilda þessi skilyrði 1 < x < 2. Upprunalega lograstæðan er einnig skilgreind þegar −4/3 < x < 0, en þar eru x og x − 1 neikvæð og liðuðu lograrnir því ekki skilgreindir. Liðunin hér gildir því aðeins á bilinu 1 < x < 2. Gildin x = −4/3 og x = 2 eru útilokuð vegna þess að nefnarinn verður núll. Í sambærilegum verkefnum þarf á sama hátt að gæta þess að viðföng logranna séu jákvæð.

Notkun veldisreglu logra

Við höfum skoðað margfeldisregluna og deilingarregluna, en hvernig tökum við logra af veldi á borð við x²? Ef x > 0 má nota margfeldisregluna á eftirfarandi hátt:

\begin{array}{l} \log_{b} (x^{2}) & = \log_{b} (x \cdot x) \\ = \log_{b} x + \log_{b} x \\ = 2 \log_{b} x \end{array}

Hér notuðum við margfeldisreglu logra til að leiða út regluna fyrir veldisvísinn 2. Þetta er sértilvik veldisreglu logra: logri veldis er jafn veldisvísinum margfölduðum með logra grunntölu veldisins. Almenna reglan er sett fram hér á eftir. Þótt viðfang logra sé ekki ritað sem veldi má stundum endurrita það á veldisformi. Til dæmis

\begin{array}{l} 100 = 10^{2} & \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} & \frac{1}{e} = e^{- 1} \end{array}

Dæmi 3

Liðun logra með veldum

Liðið niður $\log_{2} x^{5} .$

Lausn

Viðfangið er þegar ritað sem veldi. Veldisvísirinn er 5 og grunntala veldisins er x. Samkvæmt veldisreglu logra má því færa veldisvísinn fram fyrir logrann sem stuðul. Hér er x > 0:

\log_{2} (x^{5}) = 5 \log_{2} x

Dæmi 4

Stæða endurrituð sem veldi áður en veldisreglan er notuð

Liðið niður $\log_{3} (25)$ með veldisreglu logra.

Lausn

Við ritum viðfangið sem veldi: log₃(25) = log₃(5²).

Veldisvísirinn er 2 og grunntala veldisins er 5. Við margföldum því logra 5 með 2:

\log_{3} (5^{2}) = 2 \log_{3} (5)

Dæmi 5

Veldisreglan notuð í öfuga átt

Notið veldisreglu logra til að rita 4 ln(x) sem einn logra með stuðlinum 1.

Lausn

Veldisreglan gildir einnig í hina áttina: margfeldi tölu og logra má rita sem logra veldis. Í stæðunni 4 ln(x) verður stuðullinn 4 veldisvísir og viðfangið x grunntala veldisins. Því fæst 4 ln(x) = ln(x⁴), þar sem x > 0 eins og í upphaflegu stæðunni.

Liðun lograstæðna

Margfeldisreglan, deilingarreglan og veldisreglan kallast saman reiknireglur logra. Stundum þarf að beita fleiri en einni reglu til að einfalda stæðu. Í eftirfarandi dæmi gerum við ráð fyrir að x og y séu jákvæðar tölur og að b > 0 og b ≠ 1:

\begin{array}{l} \log_{b} (\frac{6 x}{y}) & = \log_{b} (6 x) - \log_{b} y \\ = \log_{b} 6 + \log_{b} x - \log_{b} y \end{array}

Nota má veldisregluna til að liða lograstæður með neikvæðum veldisvísum eða veldisvísum sem eru brot. Hér er önnur sönnun á deilingarreglu logra. Hún byggist á því að margföldunarandhverfu tölunnar C má rita sem C⁻¹. Við gerum ráð fyrir að A og C séu jákvæðar tölur:

\begin{array}{l} \log_{b} (\frac{A}{C}) & = \log_{b} (A C^{- 1}) \\ = \log_{b} (A) + \log_{b} (C^{- 1}) \\ = \log_{b} A + (- 1) \log_{b} C \\ = \log_{b} A - \log_{b} C \end{array}

Reglurnar má einnig nota í hina áttina: með margfeldisreglunni má draga summu logra saman í logra margfeldis og með deilingarreglunni má draga mismun logra saman í logra kvóta.

Með æfingu verður hægt að liða einfaldar lograstæður niður í huganum og rita lokasvarið beint. Reiknireglurnar gilda um margfeldi, kvóta, veldi og rætur. Þær heimila hins vegar ekki að skipta logra summu eða mismunar beint í summu eða mismun logra. Stundum má þó þátta viðfangið fyrst og beita síðan reglunum.

Dæmi 6

Liðun logra með margfeldis-, deilingar- og veldisreglum

Endurritið $\ln (\frac{x^{4} y}{7})$ sem summu eða mismun logra. Gerið ráð fyrir að x og y séu jákvæðar tölur.

Lausn

Fyrst notum við deilingarregluna þar sem gefinn er kvóti tveggja stæðna:

\ln (\frac{x^{4} y}{7}) = \ln (x^{4} y) - \ln (7)

Viðfang lograns í fyrri liðnum er margfeldi. Við beitum því margfeldisreglunni:

\ln (x^{4} y) - \ln (7) = \ln (x^{4}) + \ln (y) - \ln (7)

Að lokum notum við veldisregluna á fyrsta liðinn:

\ln (x^{4}) + \ln (y) - \ln (7) = 4 \ln (x) + \ln (y) - \ln (7)

Dæmi 7

Veldisregla logra notuð til að einfalda logra rótarstæðu

Liðið niður $\log (\sqrt{x}) .$

Lausn

\begin{array}{l} \log (\sqrt{x}) & = \log x^{(\frac{1}{2})} \\ = \frac{1}{2} \log x \end{array}

Dæmi 8

Liðun flókinna lograstæðna

Liðið niður $\log_{6} (\frac{64 x^{3} (4 x + 1)}{(2 x - 1)}) .$ Gerið ráð fyrir að x > 1/2.

Lausn

Liða má niður með því að beita margfeldis- og deilingarreglunum.

\begin{array}{l} \log_{6} (\frac{64 x^{3} (4 x + 1)}{(2 x - 1)}) & = \log_{6} 64 + \log_{6} x^{3} + \log_{6} (4 x + 1) - \log_{6} (2 x - 1) & Beitum deilingarreglunni og margfeldisreglunni . \\ = \log_{6} 2^{6} + \log_{6} x^{3} + \log_{6} (4 x + 1) - \log_{6} (2 x - 1) & {Ritum 64 sem 2}^{6} . \\ = 6 \log_{6} 2 + 3 \log_{6} x + \log_{6} (4 x + 1) - \log_{6} (2 x - 1) & Beitum veldisreglunni . \end{array}

Samandráttur lograstæðna

Með reiknireglum logra má draga summur og mismun logra saman í einn logra. Fyrst má nota veldisregluna til að færa stuðla logranna inn í viðföngin sem veldisvísa. Lograrnir verða að hafa sömu grunntölu þegar margfeldisreglunni eða deilingarreglunni er beitt. Síðar í þessum kafla lærum við að skipta um grunntölu logra. Við samdráttinn höldum við skilgreiningarskilyrðum upphaflegu stæðunnar.

Dæmi 9

Lograr dregnir saman með margfeldis- og deilingarreglum

Ritið $\log_{3} (5) + \log_{3} (8) - \log_{3} (2)$ sem einn logra.

Lausn

Fyrst beitum við margfeldisreglunni á fyrstu tvo lograna:

\log_{3} (5) + \log_{3} (8) = \log_{3} (5 \cdot 8) = \log_{3} (40)

Upprunalega stæðan einfaldast þá í

\log_{3} (40) - \log_{3} (2)

Síðan fæst með deilingarreglunni

\log_{3} (40) - \log_{3} (2) = \log_{3} (\frac{40}{2}) = \log_{3} (20)

Dæmi 10

Samandráttur flókinna lograstæðna

Dragið saman log2⁡(𝑥2)+12⁢log2⁡(𝑥−1)−3⁢log2⁡((𝑥+3)₂). $\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{2} \log_{2} (x - 1) - 3 \log_{2} ({(x + 3)}^{2}) .$

Lausn

Fyrst beitum við veldisreglunni:

\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{2} \log_{2} (x - 1) - 3 \log_{2} ({(x + 3)}^{2}) = \log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (\sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6})

Næst beitum við margfeldisreglunni á summuna:

\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (\sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6}) = \log_{2} (x^{2} \sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6})

Að lokum beitum við deilingarreglunni á mismuninn:

\log_{2} (x^{2} \sqrt{x - 1}) - \log_{2} ({(x + 3)}^{6}) = \log_{2} \frac{x^{2} \sqrt{x - 1}}{{(x + 3)}^{6}}

Dæmi 11

Endurritað sem einn logri

Endurritið $2 \log x - 4 \log (x + 5) + \frac{1}{x} \log (3 x + 5)$ sem einn logra.

Lausn

Fyrst beitum við veldisreglunni:

2 \log x - 4 \log (x + 5) + \frac{1}{x} \log (3 x + 5) = \log (x^{2}) - \log {(x + 5)}^{4} + \log ({(3 x + 5)}^{x^{- 1}})

Næst endurröðum við liðunum og beitum margfeldisreglunni á summuna:

\log (x^{2}) - \log {(x + 5)}^{4} + \log ({(3 x + 5)}^{x^{- 1}})

= \log (x^{2}) + \log ({(3 x + 5)}^{x^{- 1}}) - \log {(x + 5)}^{4}

= \log (x^{2} {(3 x + 5)}^{x^{- 1}}) - \log {(x + 5)}^{4}

Að lokum beitum við deilingarreglunni á mismuninn:

= \log (x^{2} {(3 x + 5)}^{x^{−1}}) - \log {(x + 5)}^{4} = \log \frac{x^{2} {(3 x + 5)}^{x^{−1}}}{{(x + 5)}^{4}}

Dæmi 12

Beiting reiknireglna logra

Notum nálgunina pH = −log([H⁺]) fyrir þynntar vatnslausnir, eins og í upphafi kaflans. Hvaða áhrif hefur það á pH-gildi lausnar ef styrkur vetnisjóna í henni tvöfaldast?

Lausn

Látum C tákna tölugildi upphaflegs styrks vetnisjóna í mól/L og P tákna upphaflegt pH-gildi lausnarinnar. Í líkaninu er P = −log(C). Ef styrkurinn tvöfaldast verður tölugildi hans 2C. Nýja pH-gildið er þá

pH = - \log (2 C)

Með margfeldisreglu logra fæst

pH = - \log (2 C) = - (\log (2) + \log (C)) = - \log (2) - \log (C)

Þar sem P = −log(C) er nýja pH-gildið

pH = P - \log (2) \approx P - 0,301

Samkvæmt líkaninu lækkar pH-gildið um það bil 0,301 þegar styrkur vetnisjóna tvöfaldast.

Notkun grunnskiptiformúlunnar fyrir logra

Ef reiknivél hefur aðeins takka fyrir tugalogra og náttúrulega logra má samt reikna logra með öðrum grunntölum. Með grunnskiptiformúlunni endurritum við logrann sem kvóta tveggja logra með sömu nýju grunntölu. Við getum valið grunntöluna 10 eða e til að nota þessa takka.

Við leiðum grunnskiptiformúluna út með því að nota skilgreiningu logra og veldisreglu logra. Eintæknieiginleiki lografallsins tryggir að jafngildið varðveitist þegar við tökum logra af báðum hliðum jöfnunnar.

Látum M, b og n vera jákvæðar rauntölur, þar sem b ≠ 1 og n ≠ 1. Við sýnum að

\log_{b} M = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b}

Látum y = log_b(M). Samkvæmt skilgreiningu logra jafngildir það b^y = M. Við tökum logra með grunntölunni n af báðum hliðum. Þar sem b ≠ 1 er log_n(b) ≠ 0 og því má deila með þeirri tölu:

\begin{array}{l} \log_{n} (b^{y}) & = \log_{n} M & Tökum logra með grunntölunni n af báðum hliðum . \\ y \log_{n} b & = \log_{n} M & Beitum veldisreglu logra. \\ y & = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} & Einangrum y . \\ \log_{b} M & = \frac{\log_{n} M}{\log_{n} b} & Setjum inn fyrir y . \end{array}

Til að reikna log₅(36) með tugalogratakka reiknivélar endurritum við stæðuna sem kvóta tugalogra:

\begin{array}{l} \log_{5} 36 & = \frac{\log (36)}{\log (5)} & Beitum grunnskiptiformúlunni með nýju grunntölunni 10 . \\ \approx 2,2266 & Reiknum með reiknivél og námundum að fjórum aukastöfum . \end{array}

Dæmi 13

Lograstæðum breytt í stæður sem innihalda aðeins náttúrulega logra

Breytið $\log_{5} 3$ í kvóta náttúrulegra logra.

Lausn

Við veljum nýju grunntöluna n = e til að rita log₅(3) sem kvóta náttúrulegra logra.

Samkvæmt grunnskiptiformúlunni er náttúrulegi logrinn af 3 í teljara og náttúrulegi logrinn af 5 í nefnara:

\begin{array}{l} \log_{b} M & = \frac{\ln M}{\ln b} \\ \log_{5} 3 & = \frac{\ln 3}{\ln 5} \end{array}

Dæmi 14

Grunnskiptiformúlan notuð með reiknivél

Reiknið $\log_{2} (10)$ með grunnskiptiformúlunni og reiknivél.

Lausn

Með grunnskiptiformúlunni má rita logrann sem kvóta tveggja logra með sömu nýju grunntölu. Við veljum grunntöluna e og notum náttúrulega logra, sem má reikna með ln-takka reiknivélarinnar.

\begin{array}{l} \log_{2} 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} & Beitum grunnskiptiformúlunni með nýju grunntölunni e . \\ \approx 3,3219 & Reiknum með reiknivél og námundum að fjórum aukastöfum . \end{array}

4.5 Verkefni

Hugtakaspurningar

Hvernig nýtist veldisregla logra þegar unnið er með logra af n-tu rót x, þ.e. $\log_{b} (\sqrt[n]{x}) ?$

Hvað gerir grunnskiptiformúlan? Hvers vegna er hún gagnleg þegar reiknivél er notuð?

Algebruverkefni

Í eftirfarandi verkefnum skal liða hvern logra niður eins langt og hægt er. Ritið stæðuna sem summu eða mismun logra, eftir því sem við á, og færið veldisvísa fram fyrir lograna sem stuðla. Gerið ráð fyrir að breytur í viðföngum séu jákvæðar og að grunntölur logra séu jákvæðar og frábrugðnar 1.

log𝑏⁡(7⁢𝑥⋅2⁢𝑦) $\log_{b} (7 x \cdot 2 y)$

ln⁡(3⁢𝑎⁢𝑏⋅5⁢𝑐) $\ln (3 a b \cdot 5 c)$

log𝑏⁡(1317) $\log_{b} (\frac{13}{17})$

log4⁡(𝑥𝑧𝑤) $\log_{4} (\frac{\frac{x}{z}}{w})$

ln⁡(14𝑘) $\ln (\frac{1}{4^{k}})$

log2⁡(𝑦𝑥) $\log_{2} (y^{x})$

Í eftirfarandi verkefnum skal draga stæðuna saman í einn logra ef þess er kostur.

ln⁡(7)+ln⁡(𝑥)+ln⁡(𝑦) $\ln (7) + \ln (x) + \ln (y)$

10.

log3⁡(2)+log3⁡(𝑎)+log3⁡(11)+log3⁡(𝑏) $\log_{3} (2) + \log_{3} (a) + \log_{3} (11) + \log_{3} (b)$

11.

log𝑏⁡(28)−log𝑏⁡(7) $\log_{b} (28) - \log_{b} (7)$

12.

ln⁡(𝑎)−ln⁡(𝑑)−ln⁡(𝑐) $\ln (a) - \ln (d) - \ln (c)$

13.

−log𝑏⁡(17) $- \log_{b} (\frac{1}{7})$

14.

13⁢ln⁡(8) $\frac{1}{3} \ln (8)$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota reiknireglur logra til að liða hvern logra niður eins langt og hægt er. Ritið stæðuna sem summu eða mismun logra og færið veldisvísa fram fyrir lograna sem stuðla. Gerið ráð fyrir að breyturnar séu jákvæðar og að upphaflega lograstæðan sé skilgreind.

15.

log⁡(𝑥15⁢𝑦13𝑧19) $\log (\frac{x^{15} y^{13}}{z^{19}})$

16.

ln⁡(𝑎−2𝑏−4⁢𝑐5) $\ln (\frac{a^{−2}}{b^{−4} c^{5}})$

17.

log⁡(√𝑥3⁢𝑦−4) $\log (\sqrt{x^{3} y^{- 4}})$

18.

ln⁡(𝑦⁢√𝑦1−𝑦) $\ln (y \sqrt{\frac{y}{1 - y}})$

19.

log⁡(𝑥2⁢𝑦3⁢3√𝑥2⁢𝑦5) $\log (x^{2} y^{3} \sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota reiknireglur logra til að draga hverja stæðu saman í einn logra.

20.

log⁡(2⁢𝑥4)+log⁡(3⁢𝑥5) $\log (2 x^{4}) + \log (3 x^{5})$

21.

ln⁡(6⁢𝑥9)−ln⁡(3⁢𝑥2) $\ln (6 x^{9}) - \ln (3 x^{2})$

22.

2⁢log⁡(𝑥)+3⁢log⁡(𝑥+1) $2 \log (x) + 3 \log (x + 1)$

23.

log⁡(𝑥)−12⁢log⁡(𝑦)+3⁢log⁡(𝑧) $\log (x) - \frac{1}{2} \log (y) + 3 \log (z)$

24.

4⁢log7⁡(𝑐)+log7⁡(𝑎)₃+log7⁡(𝑏)₃ $4 \log_{7} (c) + \frac{\log_{7} (a)}{3} + \frac{\log_{7} (b)}{3}$

Í eftirfarandi verkefnum skal endurrita hverja stæðu sem jafngildan kvóta logra með tilgreindri grunntölu.

25.

$\log_{7} (15)$ með grunntöluna $e$

26.

$\log_{14} (55,875)$ með grunntöluna $10$

Í eftirfarandi verkefnum er log₅(6) = a og log₅(11) = b. Notið grunnskiptiformúluna og reiknireglur logra til að rita hverja stæðu með a og b. Sýnið lausnarskrefin.

27.

log11⁡(5) $\log_{11} (5)$

28.

log6⁡(55) $\log_{6} (55)$

29.

log11⁡(611) $\log_{11} (\frac{6}{11})$

Töluleg verkefni

Í eftirfarandi verkefnum skal nota reiknireglur logra til að reikna gildið án reiknivélar.

30.

log3⁡(19)−3⁢log3⁡(3) $\log_{3} (\frac{1}{9}) - 3 \log_{3} (3)$

31.

6⁢log8⁡(2)+log8⁡(64)₃⁢log8⁡(4) $6 \log_{8} (2) + \frac{\log_{8} (64)}{3 \log_{8} (4)}$

32.

2⁢log9⁡(3)−4⁢log9⁡(3)+log9⁡(1729) $2 \log_{9} (3) - 4 \log_{9} (3) + \log_{9} (\frac{1}{729})$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota grunnskiptiformúluna til að rita hverja stæðu sem kvóta náttúrulegra logra. Reiknið síðan gildið með reiknivél og námundið að fimm aukastöfum.

33.

log3⁡(22) $\log_{3} (22)$

34.

log8⁡(65) $\log_{8} (65)$

35.

log6⁡(5.38) $\log_{6} (5,38)$

36.

log4⁡(152) $\log_{4} (\frac{15}{2})$

37.

log12⁡(4.7) $\log_{\frac{1}{2}} (4,7)$

Viðbótarverkefni

38.

Notið margfeldisreglu logra til að finna öll gildi $x$ þannig að $\log_{12} (2 x + 6) + \log_{12} (x + 2) = 2.$ Sýnið lausnarskrefin.

39.

Notið deilingarreglu logra til að finna öll gildi $x$ þannig að $\log_{6} (x + 2) - \log_{6} (x - 3) = 1.$ Sýnið lausnarskrefin.

40.

Má leiða veldisreglu logra út frá reglunni um veldi af veldi með því að ganga út frá b^x = m? Ef ekki, útskýrið hvers vegna. Ef svo er, sýnið útleiðsluna.

41.

Sannið að $\log_{b} (n) = \frac{1}{\log_{n} (b)}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $b > 1$ og $n > 1.$

42.

Gildir $\log_{81} (2401) = \log_{3} (7) ?$ Staðfestið fullyrðinguna með algebru.