44 Vísis- og lograföll

4.8 Aðlögun vísislíkana að gögnum

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

gera vísislíkan út frá gögnum.
gera logralíkan út frá gögnum.
gera lógistískt líkan út frá gögnum.

Í fyrri hlutum þessa kafla var annaðhvort gefið fall til að teikna eða reikna gildi eða gefið punktasafn sem lá örugglega á ferlinum. Þá notuðum við algebru til að finna jöfnuna sem féll nákvæmlega að punktunum. Í þessum hluta notum við líkanagerðaraðferð sem nefnist aðhvarfsgreining til að finna feril sem lýsir gögnum úr raunverulegum athugunum. Í aðhvarfsgreiningu gerum við ekki ráð fyrir að allir punktarnir liggi nákvæmlega á ferlinum. Markmiðið er að finna líkan sem fellur sem best að gögnunum. Síðan notum við líkanið til að spá fyrir um atburði í framtíðinni.

Látið orðið líkan ekki valda ruglingi. Í stærðfræði notum við oft orðin fall, jafna og líkan sem samheiti þótt hvert þeirra hafi sína formlegu skilgreiningu. Orðið líkan er yfirleitt notað til að gefa til kynna að jafnan eða fallið nálgi raunverulegar aðstæður.

Í þessum hluta einbeitum við okkur að þremur gerðum aðhvarfslíkana: vísislíkani, logralíkani og lógistísku líkani. Það er okkur til framdráttar að hafa þegar unnið með öll þessi föll. Þekking á formlegum skilgreiningum þeirra, hegðun grafa þeirra og nokkrum raunverulegum notkunarsviðum gerir okkur kleift að dýpka skilninginn. Þegar hvert aðhvarfslíkan er kynnt eru helstu eiginleikar og skilgreiningar tilheyrandi falls rifjaðar upp. Gefið ykkur stund til að hugsa aftur um hvert þessara falla og það sem við höfum þegar unnið, og kannið síðan hvernig aðhvarfsgreining er notuð til að gera líkön af raunverulegum fyrirbærum.

Vísislíkan gert út frá gögnum

Eins og við höfum lært má gera líkan af margs konar aðstæðum með vísisföllum, svo sem vexti fjárfestingar, geislavirkri sundrun, breytingum á loftþrýstingi og hitastigi hlutar sem kólnar. Hvað eiga þessi fyrirbæri sameiginlegt? Í fyrsta lagi vaxa eða minnka öll líkönin þegar tíminn líður. En það segir ekki alla söguna. Það er hvernig gögnin vaxa eða minnka sem hjálpar okkur að ákvarða hvort vísisjafna lýsi þeim best. Almenn þekking á hegðun vísisfalla gerir okkur kleift að átta okkur á hvenær nota á vísisaðhvarf. Rifjum því upp vísisvöxt og vísishnignun.

Munið að vísisföll eru af forminu $y = a b^{x}$ eða $y = A_{0} e^{k x} .$ Við aðhvarfsgreiningu notum við formið sem er algengast í grafteikniforritum, $y = a b^{x} .$ Rifjið upp eiginleikana sem við höfum þegar lært um vísisfallið $y = a b^{x}$ (gerið ráð fyrir að $a > 0) :$

$b$ verður að vera stærra en núll og ekki jafnt einum.
Upphafsgildi líkansins er $y = a .$
- Ef $b > 1,$ lýsir fallið vísisvexti. Þegar $x$ vex aukast úttaksgildi líkansins hægt í fyrstu en síðan sífellt hraðar og án takmarkana.
- Ef $0 < b < 1,$ lýsir fallið vísishnignun. Þegar $x$ vex minnka úttaksgildi líkansins hratt í fyrstu en síðan hægir á minnkuninni og þau nálgast x-ásinn. Með öðrum orðum verða úttaksgildin aldrei jöfn núlli eða minni en núll.

Reiknivélin getur birt fylgnistuðulinn r og skýringarhlutfallið $r^{2}$ . Hugsanlega þarf að breyta stillingum til að birta þau. Við vísisaðhvarf með ExpReg eru þessar stærðir reiknaðar fyrir umbreyttu gögnin x og ln(y). Því nær sem algildi fylgnistuðulsins er 1, eða skýringarhlutfallið er 1, þeim mun betur fellur línulega líkanið að umbreyttu gögnunum. Neikvæður fylgnistuðull nálægt −1 getur því einnig sýnt sterk tengsl. Skoðið jafnframt dreifiritið og aðhvarfsferilinn í upphaflega hnitakerfinu.

Dæmi 1

Vísisaðhvarf notað til að aðlaga líkan að gögnum

Árið 2007 var birt háskólarannsókn á slysahættu við akstur undir áhrifum áfengis. Gögn úr 2.871 slysum voru notuð til að mæla tengsl áfengismagns í blóði (BAC) við hættuna á að lenda í slysi. Tafla 1 sýnir niðurstöður rannsóknarinnar 9 . Hlutfallsleg áhætta mælir hve miklu líklegra er að einstaklingur lendi í slysi. Einstaklingur með BAC-gildið 0,09 er til dæmis 3,54 sinnum líklegri til að lenda í slysi en einstaklingur sem hefur ekki drukkið áfengi. Hér er BAC gefið í grömmum áfengis í hverjum desilítra blóðs (g/dL). Gildin og rannsóknarlýsingin eru tekin úr frumtexta þessa sögulega reiknidæmis.

Áfengismagn í blóði (BAC)	0	0,01	0,03	0,05	0,07	0,09
Hlutfallsleg slysahætta	1	1,03	1,06	1,38	2,09	3,54
Áfengismagn í blóði (BAC)	0,11	0,13	0,15	0,17	0,19	0,21
Hlutfallsleg slysahætta	6,41	12,6	22,1	39,05	65,32	99,78

Látum $x$ tákna BAC-gildið og $y$ tákna samsvarandi hlutfallslega áhættu. Notið vísisaðhvarf til að aðlaga líkan að gögnunum.
Í þessu reiknidæmi er gert ráð fyrir að einstaklingur sem vegur 160 pund hafi BAC-gildið 0,16 g/dL eftir að hafa drukkið 6 bjóra. Þetta er forsenda dæmisins; fjöldi drykkja og líkamsþyngd ein og sér ákvarða ekki áfengisstyrk í blóði. Hvert er mat líkansins á hlutfallslegri slysahættu við þetta BAC-gildi? Námundið að næsta hundraðasta hluta.

Lausn

Notið STAT og síðan EDIT -valmyndina í grafteikniforriti til að skrá BAC -gildin í L1 og gildin fyrir hlutfallslega áhættu í L2. Notið síðan STATPLOT -aðgerðina til að staðfesta að dreifiritið fylgi vísismynstrinu sem sýnt er á mynd 1 :
Mynd 1. Dreifirit BAC-gilda og hlutfallslegrar slysahættu í töflu 1.
- Notið skipunina „ExpReg“ úr STAT- og síðan CALC-valmyndinni til að fá vísislíkanið $y = 0,58304829 {(2,20720213 E 10)}^{x}$
- Þegar staðalformi er breytt í venjulegan rithátt fæst: $y = 0,58304829 {(22.072.021.300)}^{x}$
- Athugið að $r^{2} \approx 0,97$ sem sýnir að líkanið fellur vel að gögnunum. Til að sjá þetta skulið þið teikna graf líkansins í sama glugga og dreifiritið og staðfesta að það falli vel að gögnunum, eins og sýnt er á mynd 2 :
  Mynd 2. Vísisferill aðlagaður BAC-gildum og hlutfallslegri slysahættu.
Notið líkanið til að áætla áhættuna sem tengist BAC-gildinu $0,16.$ Setjið $0,16$ fyrir $x$ í líkanið og leysið fyrir $y .$
$\begin{array}{l} y & = 0,58304829 {(22.072.021.300)}^{x} & Notið aðhvarfslíkanið úr a-lið . \\ = 0,58304829 {(22.072.021.300)}^{0,16} & Setjið 0,16 fyrir x . \\ \approx 26,35 & Námundið að næsta hundraðasta hluta . \end{array}$
- Við BAC-gildið 0,16 g/dL metur líkanið hlutfallslega slysahættu sem um 26,35 miðað við viðmið rannsóknarinnar fyrir óölvaðan ökumann. Þetta er spáð gildi hlutfallslegrar áhættu, ekki hlutfall tveggja spágilda líkansins. Niðurstaðan er mat líkansins fyrir gefið BAC-gildi, ekki almenn regla um áhrif 6 drykkja á 160 punda einstakling.

Logralíkan gert út frá gögnum

Rétt eins og vísisföll hafa lograföll mörg raunveruleg notkunarsvið, meðal annars hljóðstyrk, sýrustig lausna, afrakstur efnahvarfa, vöruframleiðslu og vöxt ungbarna. Logralíkön með vaxtarstuðul frábrugðinn núlli eru annaðhvort sívaxandi eða síminnkandi, þótt mæld gögn geti sveiflast um ferilinn. Hvernig fallgildin vaxa eða minnka hjálpar okkur að meta hvort logralíkan henti gögnunum.

Munið að lograföll vaxa eða minnka hratt í fyrstu en síðan hægir jafnt og þétt á breytingunni eftir því sem tíminn líður. Með því að rifja upp eiginleikana sem við höfum þegar lært um þetta fall getum við greint betur raunverulegar aðstæður sem lýsa slíkum vexti eða slíkri hnignun. Við lograaðhvarf notum við það form lografalls sem er algengast í grafteikniforritum, $y = a + b \ln (x) .$ Fyrir þetta fall gildir eftirfarandi:

Öll inntaksgildi, $x,$ verða að vera stærri en núll.
Punkturinn $(1, a)$ liggur á grafi líkansins.
Ef $b > 0,$ er líkanið vaxandi. Vöxturinn er hraður í fyrstu en hægir síðan jafnt og þétt á sér með tímanum.
Ef $b < 0,$ er líkanið minnkandi. Hnignunin er hröð í fyrstu en hægir síðan jafnt og þétt á sér með tímanum.

Dæmi 2

Lograaðhvarf notað til að aðlaga líkan að gögnum

Vegna framfara í læknisfræði og bættra lífskjara hefur meðalævilengd aukist í flestum þróuðum ríkjum frá upphafi 20. aldar.

Tafla 3 sýnir meðalævilengd Bandaríkjamanna í árum frá 1900 til 2010 10 .

Ár	1900	1910	1920	1930	1940	1950
Meðalævilengd (ár)	47,3	50,0	54,1	59,7	62,9	68,2
Ár	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Meðalævilengd (ár)	69,7	70,8	73,7	75,4	76,8	78,7

ⓐ Látum $x$ tákna tíma í áratugum, þar sem $x = 1$ samsvarar árinu 1900, $x = 2$ samsvarar árinu 1910 og svo framvegis. Látum $y$ tákna samsvarandi meðalævilengd. Notið lograaðhvarf til að aðlaga líkan að gögnunum.
ⓑ Notið líkanið til að spá fyrir um meðalævilengd Bandaríkjamanna árið 2030.

Lausn

ⓐ Notið STAT og síðan EDIT -valmyndina í grafteikniforriti til að skrá árin sem gildin 1 til 12 í L1 og samsvarandi meðalævilengd í L2. Notið síðan STATPLOT -aðgerðina til að staðfesta að dreifiritið fylgi logramynstri, eins og sýnt er á mynd 3 :
Mynd 3. Dreifirit meðalævilengdar eftir áratugum í töflu 3.
- Notið skipunina „LnReg“ úr STAT- og síðan CALC-valmyndinni til að fá logralíkanið $y = 42,52722583 + 13,85752327 \ln (x)$
- Teiknið því næst graf líkansins í sama glugga og dreifiritið til að staðfesta að það falli vel að gögnunum, eins og sýnt er á mynd 4 :
  Mynd 4. Lograferill aðlagaður gögnum um meðalævilengd.
ⓑ Til að reikna spá líkansins fyrir árið 2030 setjið x=14 inn í líkanið og reiknið y:
$\begin{array}{l} y & = 42,52722583 + 13,85752327 \ln (x) & Notið aðhvarfslíkanið úr a-lið . \\ = 42,52722583 + 13,85752327 \ln (14) & Setjið 14 fyrir x . \\ \approx 79,1 & Námundið að næsta tíunda hluta. \end{array}$
- Ef meðalævilengd heldur áfram að aukast með þessum hraða verður meðalævilengd Bandaríkjamanna 79,1 ár árið 2030.

Lógistískt líkan gert út frá gögnum

Líkt og við vísisvöxt og vöxt samkvæmt lografalli eykst stærðin með tímanum í lógistísku vaxtarlíkani. Munurinn er sá að eftir ákveðinn tímapunkt hægir jafnt og þétt á vextinum og fallið nálgast efra mark, eða markgildi. Lógistískt aðhvarf getur því hentað fyrirbærum þar sem vextinum eru takmörk sett, svo sem vegna takmarkaðs búsvæðis eða næringarefna.

Rétt er að benda á að lógistísk föll lýsa í raun vísisvexti sem takmarkast af auðlindum. Mörg dæmi um slíkan vöxt finnast í raunveruleikanum, meðal annars fólksfjölgun og útbreiðsla sjúkdóma, orðróms og jafnvel bletta í efni. Við lógistískt aðhvarf notum við formið sem er algengast í grafteikniforritum:

y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}

Munið að:

$\frac{c}{1 + a}$ er upphafsgildi líkansins.
Fyrir jákvæða fastana a, b og c eykst vaxtarhraðinn fram að punktinum $(\frac{\ln (a)}{b}, \frac{c}{2}) .$ Þar er hann mestur. Eftir það hægir jafnt og þétt á vextinum og fallið nálgast efra markið $y = c .$
$c$ er markgildi líkansins, stundum nefnt burðargeta þess.

Dæmi 3

Lógistískt aðhvarf notað til að aðlaga líkan að gögnum

Farsímaþjónusta jókst hratt í Bandaríkjunum frá miðjum tíunda áratug 20. aldar. Tafla 5 sýnir söguleg gildi fyrir árin 1995–2012 sem frumtextinn eignar Alþjóðabankanum¹¹. Þar eru þau kölluð hlutfall íbúa með farsímaþjónustu og sú túlkun er notuð í reiknidæminu hér á eftir. Sambærilegur mælikvarði Alþjóðabankans telur hins vegar farsímaáskriftir á hverja 100 íbúa, ekki hlutfall einstakra notenda; sami einstaklingur getur haft fleiri en eina áskrift. Þessi munur skiptir máli við túlkun markgildisins í c-lið.

Ár	Bandaríkjamenn með farsímaþjónustu (%)	Ár	Bandaríkjamenn með farsímaþjónustu (%)
1995	12,69	2004	62,852
1996	16,35	2005	68,63
1997	20,29	2006	76,64
1998	25,08	2007	82,47
1999	30,81	2008	85,68
2000	38,75	2009	89,14
2001	45,00	2010	91,86
2002	49,16	2011	95,28
2003	55,15	2012	98,17

ⓐ Látum $x$ tákna tíma í árum, þar sem $x = 0$ samsvarar árinu 1995. Látum $y$ tákna samsvarandi hlutfall íbúa með farsímaþjónustu. Notið lógistískt aðhvarf til að aðlaga líkan að gögnunum.
ⓑ Notið líkanið til að reikna hlutfall Bandaríkjamanna með farsímaþjónustu árið 2013. Námundið að næsta tíunda hluta prósents.
ⓒ Ræðið gildið sem fékkst fyrir efra markið, $c .$ Hvað segir það um líkanið? Hvert væri markgildið ef líkanið væri nákvæmt?

Lausn

ⓐ Notið STAT og síðan EDIT -valmyndina í grafteikniforriti til að skrá árin sem gildin 0 til 17 í L1 og samsvarandi hlutfall í L2. Notið síðan STATPLOT -aðgerðina til að staðfesta að dreifiritið fylgi lógistísku mynstri, eins og sýnt er á mynd 5 :
Mynd 5. Dreifirit sögulegu farsímagagnanna í töflu 5.
- Notið skipunina „Logistic“ úr STAT- og síðan CALC-valmyndinni til að fá lógistíska líkanið $y = \frac{105,7379526}{1 + 6,88328979 e^{- 0,2595440013 x}}$
- Teiknið því næst graf líkansins í sama glugga og dreifiritið, eins og sýnt er á mynd 6, til að staðfesta að það falli vel að gögnunum:
  Mynd 6. Lógistískur ferill aðlagaður sögulegu farsímagögnunum.
ⓑ Til að áætla hlutfall Bandaríkjamanna með farsímaþjónustu árið 2013 setjið $x = 18$ inn í líkanið og leysið fyrir $y :$
$\begin{array}{l} y & = \frac{105,7379526}{1 + 6,88328979 e^{- 0,2595440013 x}} & Notið aðhvarfslíkanið úr a-lið . \\ = \frac{105,7379526}{1 + 6,88328979 e^{- 0,2595440013 (18)}} & Setjið 18 fyrir x . \\ \approx 99,3 & Námundið að næsta tíunda hluta \end{array}$
- Líkanið gefur gildið 99,3 fyrir árið 2013. Samkvæmt prósentutúlkun reiknidæmisins samsvarar það um 99,3% íbúa, en fyrir áskriftagögn væri einingin áskriftir á hverja 100 íbúa.
ⓒ Líkanið gefur markgildið um 105,7. Ef gögnin væru hlutfall einstakra íbúa með farsímaþjónustu væri þetta ómögulegt prósentugildi, því slíkt hlutfall getur ekki farið yfir 100%. Í því tilviki væri 100 efsta mögulega markið. Lógistískt líkan með $c = 100$ myndi nálgast 100% án þess að ná því við endanlegt tímagildi, en nákvæmt líkan þarf ekki endilega að hafa þetta markgildi: ekki er sjálfgefið að allir verði notendur. Fyrir raunverulegan mælikvarða Alþjóðabankans, áskriftir á hverja 100 íbúa, getur gildið hins vegar farið yfir 100. Markgildi yfir 100 sannar því ekki eitt og sér að líkanið sé óhæft fyrir áskriftagögn.

Reynið sjálf #3

Tafla 6 sýnir stofnstærð landsela í Vaðhafinu, í þúsundum, á árunum 1997 til 2012.

Ár	Stofnstærð sela (þúsundir)	Ár	Stofnstærð sela (þúsundir)
1997	3,493	2005	19,590
1998	5,282	2006	21,955
1999	6,357	2007	22,862
2000	9,201	2008	23,869
2001	11,224	2009	24,243
2002	12,964	2010	24,344
2003	16,226	2011	24,919
2004	18,137	2012	25,108

ⓐ Látum $x$ tákna tíma í árum, þar sem $x = 0$ samsvarar árinu 1997. Látum $y$ tákna fjölda sela í þúsundum. Notið lógistískt aðhvarf til að aðlaga líkan að gögnunum.
ⓑ Notið líkanið til að spá fyrir um stofnstærð sela árið 2020.
ⓒ Hvert er markgildi líkansins, námundað að næstu heiltölu?

4.8 Verkefni

Hugtakaspurningar

Hvaða aðstæðum er best lýst með lógistískri jöfnu? Nefnið dæmi og rökstyðjið hvers vegna jafnan hæfir dæminu vel.

Hvað er burðargeta? Hvers konar líkan hefur burðargetu innbyggða í formúluna? Hvers vegna er það rökrétt?

Hvað er aðhvarfsgreining? Lýsið hvernig aðhvarfsgreining er framkvæmd með grafteikniforriti.

Hvernig gæti dreifirit gagnapunkta litið út ef logralíkan lýsti þeim best?

Hvað táknar skurðpunktur við y-ás á grafi lógistískrar jöfnu fyrir stofn sem jafnan lýsir?

Grafísk verkefni

Í eftirfarandi æfingum skal para gefið fall sem fellur best að gögnunum við viðeigandi dreifirit á mynd 7 til myndar 11 . Svarið með bókstafnum undir viðeigandi grafi.

$y = 10,209 e^{- 0,294 x}$

$y = 5,598 - 1,912 \ln (x)$

$y = 2,104 {(1,479)}^{x}$

$y = 4,607 + 2,733 \ln (x)$

10.

$y = \frac{14,005}{1 + 2,79 e^{- 0,812 x}}$

Reikningsverkefni

11.

Stofni er lýst með lógistísku jöfnunni $P (t) = \frac{175}{1 + 6,995 e^{- 0,68 t}} .$ Hvert er upphafsgildi stofnsins, námundað að næstu heiltölu? Hver er burðargetan?

12.

Umritið vísislíkanið $A (x) = 1550 {(1,085)}^{x}$ sem jafngilt líkan með grunntöluna $e .$ Gefið veldisvísinn með fjórum markverðum stöfum.

13.

Logralíkan er gefið með jöfnunni $h (p) = 67,682 - 5,792 \ln (p) .$ Fyrir hvaða gildi á $p$ gildir $h (p) = 62 ?$ Námundið að næsta hundraðasta hluta.

14.

Lógistískt líkan er gefið með jöfnunni $P (t) = \frac{90}{1 + 5 e^{- 0,42 t}} .$ Fyrir hvaða gildi á t gildir $P (t) = 45 ?$ Námundið að næsta hundraðasta hluta.

15.

Hver er skurðpunktur við y-ás á grafi lógistíska líkansins í æfingunni á undan?

Tækni

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Stofnstærð $P$ koi-karpa í tjörn eftir $x$ mánuði er lýst með fallinu $P (x) = \frac{68}{1 + 16 e^{- 0,28 x}} .$

16.

Teiknið graf stofnlíkansins sem sýnir stofnstærðina yfir $3$ ára tímabil.

17.

Hver var upphaflegur fjöldi koi-karpa?

18.

Hve margir koi-karpar verða í tjörninni eftir eitt og hálft ár?

19.

Hve margir mánuðir líða þar til $20$ koi-karpar eru í tjörninni?

20.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að áætla hve margir mánuðir líða þar til stofnstærðin í tjörninni nær helmingi burðargetunnar.

Í eftirfarandi æfingum skal nota þessar aðstæður: Stofnstærð úlfa $P$ í friðlandi fyrir tegund í útrýmingarhættu er lýst með fallinu $P (x) = \frac{558}{1 + 54,8 e^{- 0,462 x}},$ þar sem $x$ er gefið í árum.

21.

Teiknið graf stofnlíkansins sem sýnir stofnstærðina yfir $10$ ára tímabil.

22.

Hver var upphaflegur fjöldi úlfa sem fluttir voru í friðlandið?

23.

Hve margir úlfar verða í friðlandinu eftir $3$ ár?

24.

Hve mörg ár líða þar til $100$ úlfar eru í friðlandinu?

25.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að áætla hve mörg ár líða þar til stofnstærðin í friðlandinu nær helmingi burðargetunnar.

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við töflu 7 .

x	1	2	3	4	5	6
f(x)	1125	1495	2310	3294	4650	6361

26.

Notið grafíska reiknivél til að búa til dreifirit gagnanna.

27.

Notið aðhvarfsaðgerðina til að finna vísisfall sem fellur best að gögnunum í töflunni.

28.

Ritið vísisfallið sem vísisjöfnu með grunntöluna $e .$

29.

Teiknið graf vísisjöfnunnar á dreifiritið.

30.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að finna gildið á $x$ sem uppfyllir $f (x) = 4000.$

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við töflu 8 .

x	1	2	3	4	5	6
f(x)	555	383	307	210	158	122

31.

Notið grafíska reiknivél til að búa til dreifirit gagnanna.

32.

Notið aðhvarfsaðgerðina til að finna vísisfall sem fellur best að gögnunum í töflunni.

33.

Ritið vísisfallið sem vísisjöfnu með grunntöluna $e .$

34.

Teiknið graf vísisjöfnunnar á dreifiritið.

35.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að finna gildið á $x$ sem uppfyllir $f (x) = 250.$

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við töflu 9 .

x	1	2	3	4	5	6
f(x)	5,1	6,3	7,3	7,7	8,1	8,6

36.

Notið grafíska reiknivél til að búa til dreifirit gagnanna.

37.

Notið LOGarithm-valkost REGression-aðgerðarinnar til að finna lografall af forminu $y = a + b \ln (x)$ sem fellur best að gögnunum í töflunni.

38.

Notið lografallið til að finna fallgildið þegar $x = 10.$

39.

Teiknið graf lograjöfnunnar á dreifiritið.

40.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að finna gildið á $x$ sem uppfyllir $f (x) = 7.$

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við töflu 10 .

x	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	7,5	6	5,2	4,3	3,9	3,4	3,1	2,9

41.

Notið grafíska reiknivél til að búa til dreifirit gagnanna.

42.

Notið LOGarithm-valkost REGression-aðgerðarinnar til að finna lografall af forminu $y = a + b \ln (x)$ sem fellur best að gögnunum í töflunni.

43.

Notið lografallið til að finna fallgildið þegar $x = 10.$

44.

Teiknið graf lograjöfnunnar á dreifiritið.

45.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að finna gildið á $x$ sem uppfyllir $f (x) = 8.$

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við töflu 11 .

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f(x)	8,7	12,3	15,4	18,5	20,7	22,5	23,3	24	24,6	24,8

46.

Notið grafíska reiknivél til að búa til dreifirit gagnanna.

47.

Notið LOGISTIC-aðhvarfsvalkostinn til að finna lógistískt vaxtarlíkan af forminu $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ sem fellur best að gögnunum í töflunni.

48.

Teiknið graf lógistísku jöfnunnar á dreifiritið.

49.

Hver er áætluð burðargeta líkansins, námunduð að næstu heiltölu?

50.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að finna gildið á $x$ þar sem líkanið nær helmingi burðargetunnar.

Í eftirfarandi æfingum skal styðjast við töflu 12 .

x	0	2	4	5	7	8	10	11	15	17
f ⁡ ( x )	12	28,6	52,8	70,3	99,9	112,5	125,8	127,9	135,1	135,9

51.

Notið grafíska reiknivél til að búa til dreifirit gagnanna.

52.

Notið LOGISTIC-aðhvarfsvalkostinn til að finna lógistískt vaxtarlíkan af forminu $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ sem fellur best að gögnunum í töflunni.

53.

Teiknið graf lógistísku jöfnunnar á dreifiritið.

54.

Hver er áætluð burðargeta líkansins, námunduð að næstu heiltölu?

55.

Notið skurðpunktsaðgerðina til að finna gildið á $x$ þar sem líkanið nær helmingi burðargetunnar.

Viðbótarverkefni

56.

Munið að almennt form lógistískrar jöfnu fyrir stofn er $P (t) = \frac{c}{1 + a e^{- b t}},$ þannig að upphafleg stofnstærð við tímann $t = 0$ er $P (0) = P_{0} .$ Sýnið með algebrureikningi að $\frac{c - P (t)}{P (t)} = \frac{c - P_{0}}{P_{0}} e^{- b t} .$

57.

Notið grafteikniforrit til að finna vísisaðhvarfsformúlu $f (x)$ og lograaðhvarfsformúlu $g (x)$ fyrir punktana $(1,5; 1,5)$ og $(8,5; 8,5) .$ Námundið allar tölur að 6 aukastöfum. Teiknið punktana og bæði gröfin ásamt línunni $y = x$ í sama hnitakerfi. Setjið fram tilgátu um tengsl aðhvarfsformúlnanna.

58.

Sannreynið tilgátuna úr æfingunni á undan. Námundið allar tölur að sex aukastöfum þegar þess þarf.

59.

Finnið andhverfa fallið $f^{- 1} (x)$ fyrir lógistíska fallið $f (x) = \frac{c}{1 + a e^{- b x}} .$ Sýnið öll skref.

60.

Notið niðurstöðuna úr æfingunni á undan til að teikna lógistíska líkanið $P (t) = \frac{20}{1 + 4 e^{- 0,5 t}}$ og andhverfu þess í sama hnitakerfi. Hverjir eru skurðpunktar og aðfellur hvors falls?

Neðanmálsgreinar

9 Heimild: Indiana University Center for Studies of Law in Action, 2007
10 Heimild: Centers for Disease Control and Prevention, 2013
11 Heimild: Alþjóðabankinn, 2013

Mánuður	1	2	3	4	5	6	7	8
Skuld ($)	620,00	761,88	899,80	1039,93	1270,63	1589,04	1851,31	2154,92

Ár	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Fjöldi seldra eintaka (þúsundir)	142	149	154	155	159	161
Ár	2006	2007	2008	2009	2010	-
Fjöldi seldra eintaka (þúsundir)	163	164	164	166	167	-