Í frumtextanum er Indland tekið sem dæmi um fólksfjölgun. Þar er íbúafjöldinn sagður hafa verið um 1,39 milljarðar árið 2021 og miðað við um 1,2% árlega fjölgun. 2 Út frá eldri spá var því lýst að íbúafjöldi Indlands myndi verða meiri en íbúafjöldi Kína árið 2027. Þetta er sögulegt dæmi úr frumtextanum, ekki núgildandi mannfjöldaspá. Í daglegu máli er orðið „vísisvöxtur“ stundum notað um mjög hraðan vöxt. Í stærðfræði hefur það nákvæmari merkingu: stærð margfaldast með sama stuðli, stærri en 1, á hverju tímabili af sömu lengd. Í þessum hluta skoðum við vísisföll sem lýsa slíkri þróun.
Að bera kennsl á vísisföll
Við línulegan vöxt hækkar fallgildið um fasta tölu í hvert sinn sem inntakið hækkar um 1. Til dæmis er hallatala fallsins f(x) = 3x + 4 jöfn 3, svo fallgildið hækkar um 3 þegar x hækkar um 1. Í mannfjöldalíkaninu fyrir Indland er hins vegar gert ráð fyrir fastri prósentuaukningu á hverju ári, en ekki fjölgun um fastan fjölda fólks.
Skilgreining vísisfalls
Í frumtextanum er vísað til rannsóknar þar sem hlutfall grænkera meðal íbúa Bandaríkjanna er sagt hafa tvöfaldast frá 2009 til 2011. Þar er miðað við að hlutfallið hafi verið 2,5% árið 2011. Grænkerar neyta engra dýraafurða, svo sem kjöts, fisks, mjólkurafurða eða eggja. Ef hlutfallið héldi áfram að tvöfaldast á tveggja ára fresti yrði það samkvæmt líkaninu 10% árið 2015, 40% árið 2019 og 80% árið 2021. Þetta eru niðurstöður líkansins, ekki mælingar á hlutfallinu þessi ár. Líkanið getur aðeins átt við í takmarkaðan tíma, því hlutfall íbúanna getur ekki farið yfir 100%.
Hvað merkir að vaxa samkvæmt vísisfalli? Hvernig tengist tvöföldun prósentuaukningu? Þessi hugtök koma oft fyrir í fjölmiðlum, en eru ekki alltaf notuð af nákvæmni. Skoðum merkingu þeirra nánar.
Prósentubreyting er breyting á gildi stærðar, gefin upp sem prósentuhlutfall af upphaflegu gildi hennar.
Vísisvöxtur felst í því að jákvæð stærð margfaldast með sama stuðli, sem er stærri en 1, á hverju tímabili af sömu lengd. Hún eykst því um sama prósentuhlutfall af gildinu í upphafi hvers tímabils.
Vísishnignun merkir að jákvæð stærð minnkar um sama hlutfall af gildi sínu á hverju jafnlöngu tímabili. Gildið er því margfaldað með föstum stuðli sem er stærri en 0 og minni en 1 í hverju skrefi.
Til að skilja vísisvöxt betur skulum við bera hann saman við línulegan vöxt. Í töflu 1 eru gildin á tveimur föllum sýnd fyrir inntök sem byrja á 0 og hækka um 1 í hverju skrefi. Fyrra fallið er vísisfallið f(x) = 2x; fallgildið tvöfaldast í hverju skrefi. Síðara fallið er línulega fallið g(x) = 2x; fallgildið hækkar um 2 í hverju skrefi.
0
1
0
1
2
2
2
4
4
3
8
6
4
16
8
5
32
10
6
64
12
Í töflu 1 eru fallgildin jöfn þegar x = 1 og x = 2. Frá x = 2 vex f(x) = 2x hraðar en g(x) = 2x í hverju skrefi töflunnar og munurinn á fallgildunum eykst.
Vísisvöxtur merkir að fallgildið hækkar um sama prósentuhlutfall í hvert sinn sem inntakið hækkar um jafnstórt skref.
Línulegur vöxtur merkir að fallgildið hækkar um sömu tölu í hvert sinn sem inntakið hækkar um jafnstórt skref.
Við sjáum hér muninn á fastri hlutfallslegri aukningu og fastri aukningu í tölugildi. Fallgildi vísisfallsins tvöfaldast í hvert sinn sem inntakið hækkar um 1. Fallgildi línulega fallsins hækkar hins vegar um 2 í hvert sinn sem inntakið hækkar um 1.
Almennt form vísisfalls er f(x) = a·bx, þar sem a er rauntala ólík núlli og b er jákvæð rauntala ólík 1.
Ef a > 0 og b > 1 vex fallgildið. Vaxtarhraðinn er í beinu hlutfalli við fallgildið.
Ef a > 0 og 0 < b < 1 minnkar fallgildið. Hraði minnkunarinnar er í beinu hlutfalli við fallgildið.
Skoðum fallið f(x) = 2x. Í töflu 2 eru fallgildi þess sýnd fyrir heiltölugildi x frá −3 til 3.
Punktarnir úr töflunni eru merktir á graf fallsins á mynd 1. Skoðum grafið og drögum ályktanir af því.
Mynd 1. Graf vísisfallsins f(x) = 2ˣ og lárétta láfellan y = 0.
Lýsum helstu eiginleikum grafs vísisfallsins f(x) = 2x.
skilgreiningarmengið er (−∞; ∞),
myndmengið er (0; ∞),
Þegar x stefnir á ∞ stefnir f(x) einnig á ∞.
Þegar x stefnir á −∞ stefnir f(x) á 0.
Fallið f er strangt vaxandi.
graf fallsins sker aldrei x-ásinn, því 2x er jákvætt fyrir öll raungildi x,
y = 0 er láfella grafsins.
Grafið sker y-ásinn í punktinum (0, 1).
Dæmi 1
Að bera kennsl á vísisföll
Hverjar af eftirfarandi jöfnum lýsa ekki vísisföllum?
Lausn
Í vísisfalli er grunntalan fasti en óháða breytan kemur fyrir í veldisvísinum. Fallið g(x) = x3 er því ekki vísisfall, því þar er grunntalan óháða breytan. Það er veldisfall.
Grunntalan b í vísisfalli er jákvæður fasti og b ≠ 1. Því er j(x) = (−2)x ekki vísisfall, þar sem grunntalan −2 er neikvæð.
Gildi vísisfalla reiknuð
Munið að grunntala vísisfalls verður að vera jákvæð rauntala ólík 1. Hvers vegna þarf grunntalan b að vera jákvæð? Til að fallgildin séu skilgreind og rauntölur fyrir öll raungildi x. Skoðum hvað gerist ef grunntalan er neikvæð:
Látum b = −9 og x = 1/2. Þá fæst f(1/2) = (−9)1ᐟ2 = √(−9), sem er ekki rauntala.
Hvers vegna má grunntalan ekki vera 1? Þá fæst fastafall. Skoðum hvað gerist þegar grunntalan er 1:
Látum b = 1. Þá er f(x) = 1^x = 1 fyrir sérhvert raungildi x.
Til að reikna gildi vísisfalls á forminu f(x) = bx setjum við gefna gildið inn fyrir x og reiknum veldið sem fæst. Til dæmis:
Látum f(x) = 2x. Hvert er gildi f(3)?
Þegar gildi vísisfalls á öðru formi en grunnforminu er reiknað er mikilvægt að fylgja forgangsröð reikniaðgerða. Til dæmis:
Látum f(x) = 30·2x. Hvert er gildi f(3)?
Takið eftir að niðurstaðan yrði röng ef forgangsröð reikniaðgerða væri ekki fylgt:
Dæmi 2
Gildi vísisfalla reiknuð
Látum f(x) = 5·3x + 1. Reiknið f(2) án reiknivélar.
Lausn
Fylgið forgangsröð reikniaðgerða og gætið sérstaklega að svigunum.
Skilgreining vísisvaxtar
Hugtakið „vísisvöxtur“ er oft notað í daglegu máli um allt sem vex eða eykst hratt. Í stærðfræði hefur það þó nákvæma merkingu: stærð sem vex með hraða í beinu hlutfalli við gildi hennar sýnir vísisvöxt.
Í vísisfalli er grunntalan fasti en veldisvísirinn er breytilegur. Skoðum tvö fyrirtæki, A og B, til að bera saman línulegan vöxt og vísisvöxt. Fyrirtæki A er með 100 verslanir og opnar 50 nýjar verslanir á ári. Fjölda verslana þess má því lýsa með fallinu Fyrirtæki B er með 100 verslanir og fjölgar þeim um 50% á ári. Fjölda verslana þess má því lýsa með fallinu
Vöxtur fyrirtækjanna á nokkrum árum er sýndur í töflu 3.
Ár,
Verslanir, fyrirtæki A
Verslanir, fyrirtæki B
Gröfin á mynd 2 bera saman fjölda verslana fyrirtækjanna á fimm ára tímabili. Þar sést að við vísisvöxt fjölgar verslunum mun hraðar en við línulegan vöxt.
Mynd 2. Gröfin sýna hvernig heildarfjöldi verslana fyrirtækja A og B breytist með tíma samkvæmt líkönunum.
Í þessum líkönum er skilgreiningarmengi beggja falla [0, ∞) og myndmengi beggja [100, ∞). Þegar meira en eitt ár er liðið er fjöldi verslana fyrirtækis B alltaf meiri en fjöldi verslana fyrirtækis A.
Skoðum nú fallið B(x) = 100·(1 + 0,5)x sem lýsir fjölda verslana fyrirtækis B. Talan 100 táknar upphaflegan fjölda verslana, 0,5 táknar hlutfallslega aukningu á ári, þ.e. 50%, og 1 + 0,5 = 1,5 er vaxtarstuðullinn. Fallið má því rita B(x) = 100·(1,5)x. Þar er 100 upphafsgildið, 1,5 grunntalan og x veldisvísirinn.
Dæmi 3
Gildi raunverulegs vísislíkans reiknað
Í þessu dæmi er miðað við að íbúafjöldi Indlands hafi verið um 1,25 milljarðar árið 2013 og að íbúum fjölgi um 1,2% á ári. Líkanið P(t) = 1,25·(1,012)t lýsir þessari þróun, þar sem t er fjöldi ára frá 2013 og P(t) er íbúafjöldinn í milljörðum. Hver verður íbúafjöldi Indlands árið 2031 samkvæmt líkaninu? Gefið svarið í milljörðum og námundið að þremur aukastöfum.
Lausn
Til að áætla íbúafjöldann árið 2031 reiknum við gildi líkansins fyrir t = 18, því þá eru liðin 18 ár frá 2013. Námundun að þremur aukastöfum gefur
Samkvæmt líkaninu verður íbúafjöldi Indlands um 1,549 milljarðar árið 2031.
Jöfnur vísisfalla fundnar
Í fyrri dæmum var vísisfallið gefið og gildi þess síðan reiknað fyrir tiltekið inntak. Stundum fáum við upplýsingar um vísisfall án þess að jafna þess sé gefin. Þá ritum við fyrst almennt form fallsins, finnum fastana a og b og reiknum síðan fallgildið.
Dæmi 4
Vísislíkan ritað þegar upphafsgildið er þekkt
Árið 2006 voru 80 dádýr flutt í friðland. Árið 2012 var stofninn orðinn 180 dýr. Gert er ráð fyrir að stofninn hafi vaxið samkvæmt vísisfalli. Ritið vísisfall N(t) sem lýsir fjölda dádýra eftir t ár frá 2006.
Lausn
Látum óháðu breytuna t tákna fjölda ára frá 2006. Upplýsingarnar í verkefninu gefa þá punktana (0, 80) og (6, 180). Með þessu vali á upphafstíma er upphafsgildi fallsins a = 80. Setjum hnit síðari punktsins inn í jöfnuna N(t) = 80·bt til að finna b:
ATHUGIÐ: Nema annað sé tekið fram skal ekki námunda milliniðurstöður. Í því sem eftir er af þessum kaflahluta skal námunda lokasvarið að fjórum aukastöfum.
Vísislíkanið fyrir dádýrastofninn er N(t) = 80·bt, þar sem b = (9/4)1/6 ≈ 1,1447. Með námunduðum vaxtarstuðli fæst N(t) ≈ 80·(1,1447)t. Líkanið lýsir vexti til skamms tíma. Það spáir óheftum vexti þegar tíminn líður og hentar því ekki endilega til að spá fyrir um stærð stofnsins til langs tíma.
Graf líkansins sýnir hvernig dádýrastofninn í friðlandinu vex með tímanum. Grafið á mynd 3 liggur um punktana (0, 80) og (6, 180) samkvæmt líkaninu með ónámunduðum vaxtarstuðli. Skilgreiningarmengi líkansins er [0, ∞) og myndmengi þess [80, ∞).
Mynd 3. Graf líkansins N(t) = 80·(9/4)^(t/6), þar sem N(t) er fjöldi dádýra og t er fjöldi ára frá 2006. Með námunduðum vaxtarstuðli má rita N(t) ≈ 80·(1,1447)^t.
Dæmi 5
Vísislíkan ritað þegar upphafsgildið er óþekkt
Finnið vísisfall sem hefur graf sem liggur um punktana (−2, 6) og (2, 1).
Lausn
Upphafsgildið er óþekkt. Við setjum því hnit hvors punkts inn í jöfnuna f(x) = a·bx og leysum jöfnuhneppið sem fæst til að finna a og b.
Setjum hnit punktsins (−2, 6) inn í jöfnuna. Þá fæst 6 = a·b−2.
Setjum hnit punktsins (2, 1) inn í jöfnuna. Þá fæst 1 = a·b2.
Einangrið a í fyrri jöfnunni og ritið það sem stæðu með b:
Setjið stæðuna fyrir a inn í síðari jöfnuna og leysið hana fyrir b:
Notið gildið á b í fyrri jöfnunni til að finna a. Í útreikningnum á myndinni hér á eftir er b fyrst námundað að 0,6389. Ef nákvæma gildið er notað fæst a = 6·(1/6)1/2 = √6 ≈ 2,4495. Best er að geyma nákvæm gildi þar til lokasvarið er námundað.
Nákvæma líkanið er því f(x) = √6·(1/6)x/4. Með stuðlum námunduðum að fjórum aukastöfum fæst nálgunin f(x) ≈ 2,4495·(0,6389)x.
Teikna má graf líkansins til að kanna niðurstöðuna. Graf nákvæma líkansins liggur um punktana (−2; 6) og (2; 1), sem voru gefnir í verkefninu. Mynd 4 sýnir grafið. Fallið er vísishnignunarfall.
Mynd 4. Graf vísishnignunarfallsins f(x) = √6·(1/6)^(x/4), sem liggur um punktana (−2; 6) og (2; 1).
Dæmi 6
Vísisfall ritað út frá grafi þess
Finnið jöfnu vísisfallsins sem teiknað er á mynd 5.
Mynd 5
Lausn
Veljum skurðpunkt grafsins við y-ás, (0, 3), sem fyrri punktinn. Þá er upphafsgildið a = 3. Veljum síðan punkt með heiltöluhnit á ferlinum sem liggur nokkuð frá (0, 3). Punkturinn (2, 12) hentar vel.
Grunntala vísisfalls verður að vera jákvæð, svo við veljum b = 2. Setjum a = 3 og b = 2 inn í almenna formið. Þá fæst f(x) = 3·2x.
Dæmi 7
Grafísk reiknivél notuð til að finna vísisfall
Notið grafíska reiknivél til að finna jöfnu vísisfalls sem hefur graf sem liggur um punktana (2; 24,8) og (5; 198,4).
Lausn
Fylgið leiðbeiningunum hér að framan. Ýtið fyrst á [STAT], [EDIT] og [1: Edit…] og hreinsið listana L1 og L2. Sláið x-hnitin 2 og 5 inn í L1 og samsvarandi y-hnit, 24.8 og 198.4, inn í L2. Notið tugabrotspunkt við innslátt á reiknivélina.
Ýtið nú á [STAT], [CALC] og [0: ExpReg] og síðan á [ENTER]. Þá birtast gildin a = 6,2 og b = 2. Vísisjafnan er y = 6,2·2x.
Formúlan fyrir vaxtavexti notuð
Þegar ávöxtun er endurfjárfest, til dæmis í verðbréfasjóðum eða lífeyrissparnaði, getur hún sjálf skilað frekari ávöxtun. Vaxtavextir myndast þegar vextir reiknast bæði af upphaflegum höfuðstól og af vöxtum sem hafa bæst við hann.
Í þessum kafla táknar árleg vaxtaprósenta (APR) nafnvexti reiknings: uppgefna ársvexti án áhrifa vaxtavaxta innan ársins. Nafnvextir geta átt við hvort sem vextir eru færðir einu sinni eða oftar á ári. Þegar nafnvextir eru jákvæðir og vextir eru færðir oftar en einu sinni á ári verður árleg hlutfallsávöxtun hærri en nafnvextirnir vegna vaxtavaxta.
Með vaxtavaxtaformúlunni má reikna hvernig höfuðstóll vex þegar vextir bætast reglulega við hann. Í formúlunni táknar t tímann í árum, P upphaflegan höfuðstól, r árlega nafnvexti á tugabrotsformi og n fjölda vaxtatímabila á ári. Þegar P, r og n eru fastar stærðir og r > 0 er inneignin vísisfall af t:
Skoðið til dæmis töflu 4. Hún sýnir hvernig 1.000 dala innistæða vex á einu ári við 10% árlega nafnvexti. Lokainneignin hækkar eftir því sem vextir bætast oftar við höfuðstólinn.
Tíðni vaxtafærslu
Inneign eftir eitt ár
Árlega
1.100,00 dalir
Tvisvar á ári
1.102,50 dalir
Ársfjórðungslega
1.103,81 dalir
Mánaðarlega
1.104,71 dalir
Daglega
1.105,16 dalir
Dæmi 8
Vaxtavextir reiknaðir
Lagðir eru 3.000 dalir inn á reikning sem ber 3% árlega nafnvexti. Vextir bætast við höfuðstólinn ársfjórðungslega. Hver verður inneignin eftir 10 ár?
Lausn
Upphafsfjárhæðin er 3.000 dalir, svo P = 3000. Árlegir nafnvextir eru 3%, svo r = 0,03. Vextir bætast við höfuðstólinn fjórum sinnum á ári, svo n = 4. Við leitum að inneigninni eftir 10 ár, A(10), og setjum því t = 10.
Inneignin verður um 4.045,05 dalir eftir 10 ár.
Dæmi 9
Formúlan fyrir vaxtavexti notuð til að finna höfuðstólinn
529-áætlun er bandarískt sparnaðarúrræði sem gerir ættingjum kleift að leggja fyrir vegna framtíðarnámskostnaðar barns. Ávöxtunin er undanþegin alríkistekjuskatti ef féð er notað í námskostnað sem uppfyllir skilyrði úrræðisins. Lily vill stofna 529-reikning fyrir nýfætt barnabarn sitt og vill að hann vaxi í 40.000 dali á 18 árum. Hún gerir ráð fyrir að reikningurinn beri 6% árlega nafnvexti og að vextir bætist við höfuðstólinn tvisvar á ári. Hve mikið þarf Lily að fjárfesta nú, námundað að næsta heila dal?
Lausn
Árlegir nafnvextir eru 6%, svo r = 0,06. Vextir bætast við höfuðstólinn tvisvar á ári, svo n = 2.
Við leitum að upphafsfjárhæðinni P sem þarf til að inneignin verði 40.000 dalir eftir 18 ár. Setjum gefnu gildin inn í vaxtavaxtaformúluna og leysum jöfnuna fyrir P.
Samkvæmt þessum forsendum þarf Lily að leggja inn um 13.801 dal til að eiga 40.000 dali eftir 18 ár.
Gildi falla með grunntölu e reiknuð
Eins og kom fram hér að framan eykst ávöxtun reiknings eftir því sem vextir eru færðir oftar. Tafla 5 sýnir að aukningin frá árlegri yfir í hálfsárslega vaxtafærslu er meiri en aukningin frá mánaðarlegri yfir í daglega vaxtafærslu. Þetta vekur spurningu um hvort mynstrið haldi áfram.
Skoðið töflu 5. Hún sýnir inneign eftir eitt ár þegar einn dalur er lagður inn á reikning með 100% árlegum nafnvöxtum og vextir bætast við höfuðstólinn með mismunandi tíðni.
Tíðni vaxtafærslu
Inneign í dölum
Árlega
2
Tvisvar á ári
2,25
Ársfjórðungslega
2,441406
Mánaðarlega
2,613035
Daglega
2,714567
Á klukkustundar fresti
2,718127
Á mínútu fresti
2,718279
Á sekúndu fresti
2,718282
Gildin í töflunni virðast nálgast markgildi þegar n vex ótakmarkað. Stæðan (1 + 1/n)n stefnir í raun á tölu sem kemur svo víða fyrir í stærðfræði að hún hefur sérstakt tákn: e. Talan e er óræð, svo tugabrotsframsetning hennar er óendanleg og ekki lotubundin. Hér fyrir neðan er hún námunduð að sex aukastöfum.
Dæmi 10
Reiknivél notuð til að finna veldi e
Reiknið e3,14 og námundið að fimm aukastöfum.
Lausn
Ýtið á hnappinn merktan [ex]. Á skjánum birtist [e^(]. Sláið inn 3.14 og lokið sviganum með [)]. Ýtið síðan á [ENTER]. Námundað að fimm aukastöfum fæst e3,14 ≈ 23,10387. Athugið að á mörgum vísindareiknivélum er hnappurinn „Exp“ notaður til að slá inn tölur á staðalformi, en ekki til að reikna veldi af e.
Samfelldur vöxtur rannsakaður
Talan e hentar vel sem grunntala þegar lýsa á samfelldum vexti eða samfelldri minnkun. Vísislíkön á forminu A(t) = a·er·t eru notuð í fjármálum, tölvunarfræði og ýmsum raunvísindum, svo sem eðlisfræði, eiturefnafræði og straumfræði. Stuðullinn r lýsir breytingarhraða miðað við gildi stærðarinnar hverju sinni.
Dæmi 11
Samfelldur vöxtur reiknaður
Einstaklingur lagði 1.000 dali inn á reikning sem bar 10% árlega nafnvexti með samfelldri vaxtafærslu. Hver var inneignin eftir eitt ár?
Lausn
Þetta er dæmi um samfellda vaxtafærslu með r = 0,10. Upphaflega inneignin var 1.000 dalir, svo P = 1000. Við notum formúluna fyrir samfellda vaxtafærslu til að finna inneignina eftir eitt ár og setjum því t = 1:
Inneignin er um 1.105,17 dalir eftir eitt ár.
Dæmi 12
Samfelld hnignun reiknuð
Í þessu dæmi er gert ráð fyrir að radon-222 hafi samfelldan hlutfallslegan hrörnunarhraða sem nemur 17,3% á dag. Ef upphaflega eru 100 mg af radon-222, hve mikið verður þá eftir að þremur dögum liðnum?
Lausn
Magnið minnkar við hrörnunina, svo við notum neikvætt gildi á hlutfallslega vaxtarhraðanum: r = −0,173 á dag. Upphaflega magnið er 100 mg, svo a = 100. Við notum formúluna fyrir samfellda hnignun til að finna magnið eftir þrjá daga og setjum því t = 3:
Samkvæmt líkaninu verða um 59,5115 mg af radon-222 eftir að þremur dögum liðnum. Hér er reiknað með hrörnunarhraðanum sem gefinn er í frumtextanum. Sá hraði samsvarar um 4,01 dags helmingunartíma og er því ekki nákvæmt gildi fyrir radon-222, sem hefur um 3,8 daga helmingunartíma.
4.1 Verkefni
Hugtakaspurningar
1.
Látum f(x) = a·bx, þar sem a > 0 og b > 1. Útskýrið hvers vegna gildi f(x) verða að lokum stærri en gildi sérhvers vaxandi línulegs falls þegar x stefnir á óendanlegt.
2.
Má sjá á formúlu vísisfalls einni saman hvort hún lýsir vísisvexti eða vísishnignun? Útskýrið.
3.
Í frumtextanum er vísað til skilgreiningar Oxford-orðabókarinnar á enska orðinu „nominal“ um gildi sem er „tilgreint eða gefið upp en samsvarar ekki endilega nákvæmlega raunverulegu gildi“. 3 Setjið fram rök fyrir því að heitið nafnvextir sé notað um uppgefna árlega vaxtaprósentu á reikningi þar sem vextir bætast við höfuðstólinn og bera síðan sjálfir vexti.
Algebra
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort staðhæfingin lýsi vísisfalli. Útskýrið.
4.
Úlfum í hópi fjölgar að meðaltali um 25 á ári.
5.
Á hverjum 24 klukkustundum minnkar bakteríustofn þannig að aðeins einn áttundi hluti hans verður eftir.
6.
Verðmæti myntsafns hefur aukist um 3,25% á ári síðustu 20 ár.
7.
Einkaþjálfari tekur 5 dölum minna fyrir hverja æfingu en fyrir æfinguna á undan.
8.
Hæð hlutar í kastferli á tíma er gefin með fallinu
Í eftirfarandi verkefnum er fjöldi trjáa í skógi eftir ár gefinn með fallinu Í nærliggjandi skógi er fjöldi trjáa af sömu tegund gefinn með fallinu Námundið svör að næstu heilu tölu.
9.
Í hvorum skóginum er árleg hlutfallsleg fjölgun trjáa meiri, mæld í prósentum?
10.
Í hvorum skóginum voru fleiri tré í upphafi? Hve miklu fleiri?
11.
Gerið ráð fyrir að vaxtarlíkönin lýsi áfram þróun skóganna. Í hvorum skóginum verða fleiri tré eftir 20 ár? Hve miklu fleiri?
12.
Gerið ráð fyrir að vaxtarlíkönin lýsi áfram þróun skóganna. Í hvorum skóginum verða fleiri tré eftir 100 ár? Hve miklu fleiri?
13.
Ræðið niðurstöður síðustu fjögurra verkefna. Gerið ráð fyrir að vaxtarlíkönin lýsi áfram þróun skóganna. Í hvorum skóginum verða fleiri tré þegar til langs tíma er litið? Hvers vegna? Hvaða þættir gætu haft áhrif á gildi vísisvaxtarlíkansins til langs tíma?
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort jafnan lýsi vísisvexti, vísishnignun eða hvorugu. Útskýrið.
14.
15.
16.
17.
Finnið í eftirfarandi verkefnum formúlu vísisfalls sem hefur graf sem liggur um gefnu punktana tvo.
18.
og
19.
og
20.
og
21.
og
22.
og
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort taflan geti lýst línulegu falli, vísisfalli eða hvorugu. Ef hún virðist lýsa vísisfalli skal finna fall sem fer í gegnum punktana.
23.
1
2
3
4
70
40
10
−20
24.
1
2
3
4
70
49
34,3
24,01
25.
1
2
3
4
80
61
42,9
25,61
26.
1
2
3
4
10
20
40
80
27.
1
2
3
4
−3,25
2
7,25
12,5
Notið í eftirfarandi verkefnum formúluna fyrir vaxtavexti,
28.
Eftir tiltekinn árafjölda er inneign á fjárfestingarreikningi gefin með jöfnunni Hver er inneignin?
29.
Hver var upphaflega innborgunin á reikninginn í verkefninu á undan?
30.
Hve mörg ár hafði reikningurinn í verkefninu á undan safnað vöxtum?
31.
Lagðir eru 6.500 dalir inn á reikning sem ber 3,6% nafnvexti á ári. Vextir eru færðir tvisvar á ári. Hver verður inneignin eftir 20 ár?
32.
Hve miklu meiri hefði innistæðan í verkefninu á undan orðið ef vextir hefðu verið færðir vikulega?
33.
Leysið formúluna fyrir vaxtavexti með tilliti til höfuðstólsins P.
34.
Notið formúluna úr verkefninu á undan til að reikna upphafsinnborgun á reikning. Eftir 5 ár er inneignin 14.472,74 dalir. Árlegir nafnvextir eru 5,5% og vextir eru færðir mánaðarlega. Námundið að næsta heila dal.
35.
Hve miklu meiri yrði inneignin á reikningnum í síðustu tveimur verkefnum ef hann bæri vexti í 5 ár til viðbótar?
36.
Notið reiknireglur um ræð veldi til að leysa formúluna fyrir vaxtavexti með tilliti til vaxtahlutfallsins r.
37.
Notið formúluna sem þið leystuð með tilliti til r til að reikna árlega nafnvexti reiknings. Upphafsinnborgunin var 9.000 dalir, vextir voru færðir tvisvar á ári og inneignin var 13.373,53 dalir eftir 10 ár.
38.
Notið formúluna sem þið leystuð með tilliti til r til að reikna árlega nafnvexti reiknings. Upphafsinnborgunin var 5.500 dalir, vextir voru færðir mánaðarlega og inneignin var 38.455 dalir eftir 30 ár.
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort jafnan lýsi samfelldum vísisvexti, samfelldri vísishnignun eða hvorugu. Hér er miðað við líkön með föstum hlutfallslegum vaxtarhraða, y = a·ert, þar sem a > 0 og r er fasti. Útskýrið.
39.
40.
41.
42.
Lagðir eru 12.000 dalir inn á fjárfestingarreikning sem ber 7,2% nafnvexti á ári með samfelldri vaxtafærslu. Hver verður inneignin eftir 30 ár?
43.
Hve miklu minni yrði inneignin á reikningnum í verkefni 42 eftir 30 ár ef vextir væru þess í stað færðir mánaðarlega?
Töluleg verkefni
Reiknið gildi hvers falls í eftirfarandi verkefnum. Námundið svör að fjórum aukastöfum ef þörf krefur.
44.
Skoðið fallið og reiknið .
45.
Skoðið fallið og reiknið .
46.
Skoðið fallið og reiknið .
47.
Skoðið fallið og reiknið .
48.
Skoðið fallið og reiknið .
49.
Skoðið fallið og reiknið .
50.
Skoðið fallið og reiknið .
Tækni
Notið grafreikni í eftirfarandi verkefnum til að finna formúlu vísisfalls sem hefur graf sem liggur um gefnu punktana.
51.
(0; 3) og (3; 375)
52.
(3; 222,62) og (10; 77,456)
53.
(20; 29,495) og (150; 730,89)
54.
(5; 2,909) og (13; 0,005)
55.
(11; 310,035) og (25; 356365,2)
Viðbótarverkefni
56.
Árleg hlutfallsávöxtun (APY) fjárfestingarreiknings tekur mið af vaxtavöxtum yfir eitt ár. Sýnið að fyrir reikning með mánaðarlegri vaxtafærslu sé hún gefin með formúlunni APY = (1 + r/12)12 − 1, þar sem r er árlegt nafnvaxtahlutfall, ritað sem tugabrot. Hér gefur formúlan ávöxtunina sem tugabrot; margfaldið með 100 til að fá prósentutöluna.
57.
Leiðið á sama hátt og í verkefninu á undan út formúlu fyrir árlega hlutfallsávöxtun reiknings með daglegri vaxtafærslu. Notið niðurstöður þessara tveggja verkefna til að finna fallið I(n), sem gefur árlega hlutfallsávöxtun reiknings þar sem vextir eru færðir n sinnum á ári.
58.
Skoðið vísisfallið f(x) = a·bx, þar sem a > 0, b > 0 og b ≠ 1. Sérhverja jákvæða tölu b má rita sem b = en fyrir eitthvert raungildi n. Notið þetta til að umrita formúlu fallsins þannig að e sé grunntalan.
59.
Í vísishnignunarlíkani er grunntalan stærri en 0 og minni en 1. Líkanið má því rita sem f(x) = a·(1/b)x, þar sem a > 0 og b > 1. Notið þessa formúlu og þá staðreynd að b = en til að sýna að líkanið megi rita á forminu f(x) = a·e−nx, þar sem n er jákvæð tala.
60.
Inneign á reikningi með samfelldri vaxtafærslu er gefin með formúlunni A(t) = a·ert, þar sem a er upphaflegur höfuðstóll, r er árlegt nafnvaxtahlutfall ritað sem tugabrot og t er tími í árum. Gerið ráð fyrir að a > 0. Sannið að hlutfall áfallinna vaxta af upphaflegum höfuðstól eftir t ár sé I(t) = ert − 1. Hlutfallið er hér ritað sem tugabrot; margfaldið með 100 til að fá prósentutöluna.
Raunhæf viðfangsefni
61.
Refum á tilteknu svæði fjölgar um 9% á ári. Árið 2012 voru 23.900 refir taldir á svæðinu. Hve margir refir verða þar árið 2020 samkvæmt þessu líkani?
62.
Vísindamaður hefur í upphafi 100 milligrömm af geislavirku efni. Magn efnisins minnkar samkvæmt vísisfalli og eftir 35 klukkustundir eru 50 milligrömm eftir. Hve mörg milligrömm verða eftir þegar 54 klukkustundir eru liðnar frá upphafi?
63.
Árið 1985 var hús metið á 110.000 dali. Árið 2005 hafði verðmæti þess hækkað í 145.000 dali. Gerið ráð fyrir að verðmætið hafi hækkað um sama hlutfall á hverju ári. Hve mörg prósent var árleg hækkun? Hvert var verðmæti hússins árið 2010 samkvæmt líkaninu, ef hækkunin hélt áfram með sama hætti?
64.
Bifreið var metin á 38.000 dali árið 2007. Árið 2013 hafði verðmæti hennar lækkað í 11.000 dali. Gerið ráð fyrir að verðmætið lækki um sama hlutfall á hverju ári. Hvers virði verður bifreiðin árið 2017 samkvæmt þessu líkani?
65.
Jaylen vill safna 54.000 dölum fyrir útborgun vegna íbúðarkaupa. Hve mikið þarf hann að leggja inn á reikning sem ber 8,2% nafnvexti á ári með daglegri vaxtafærslu til að ná markmiðinu á 5 árum?
66.
Kyoko á 10.000 dali sem hún vill ávaxta. Bankinn hennar býður nokkra fjárfestingarreikninga og á þeim öllum eru vextir færðir daglega. Markmið hennar er að eiga 15.000 dali þegar hún lýkur framhaldsnámi eftir 6 ár. Hve háir þurfa árlegir nafnvextir að vera að lágmarki svo hún nái markmiðinu? Gefið svarið í prósentum og námundið að tveimur aukastöfum. (Vísbending: Leysið formúluna fyrir vaxtavexti með tilliti til vaxtahlutfallsins r.)
67.
Alyssa stofnaði lífeyrissparnaðarreikning með 7,25% nafnvöxtum á ári árið 2000. Upphafsinnborgun hennar var 13.500 dalir. Hver verður inneignin árið 2025 ef vextir eru færðir mánaðarlega? Hve miklu meiri yrði hún með samfelldri vaxtafærslu?
68.
Lagðir voru 4.000 dalir inn á fjárfestingarreikning sem ber 7% nafnvexti á ári. Berið saman inneignina eftir 9 ár með árlegri, ársfjórðungslegri, mánaðarlegri og samfelldri vaxtafærslu.
