Leysa vísisjöfnur með því að rita báðar hliðar sem veldi með sömu grunntölu.
Nota logra til að leysa vísisjöfnur.
Nota skilgreiningu logra til að leysa lograjöfnur.
Nota eintæknieiginleika logra til að leysa lograjöfnur.
Leysa hagnýt verkefni með vísisjöfnum og lograjöfnum.
Mynd 1. Villtar kanínur í Ástralíu. Kanínustofninn óx svo hratt að ástandið varð þekkt sem „kanínuplágan“. (mynd: Richard Taylor, Flickr)
Árið 1859 lét landeigandinn Thomas Austin flytja 24 kanínur frá Englandi til Ástralíu og sleppti hluta þeirra á landareign sinni til veiða. Kanínurnar aðlöguðust aðstæðum vel og fjölgaði ört. Á næstu áratugum breiddust þær út um stóran hluta Ástralíu.
Lýsa má stjórnlausri fjölgun dýra, eins og fjölgun villtu kanínanna í Ástralíu, með vísisföllum. Með því að leysa jöfnur sem byggjast á þessum föllum má greina vísisvöxt og spá fyrir um hann. Í þessum kafla lærum við aðferðir til að leysa vísisjöfnur.
Vísisjöfnur leystar með sömu grunntölu
Fyrsta aðferðin byggist á því að rita báðar hliðar jöfnunnar sem veldi með sömu grunntölu. Vísisföll eru eintæk: ef b > 0 og b ≠ 1 gildir bS = bT þá og því aðeins að S = T, þar sem S og T eru rauntölur.
Með öðrum orðum verða veldisvísarnir að vera jafnir þegar vísisjafna hefur sömu grunntölu beggja vegna jafnaðarmerkisins. Þetta gildir einnig þegar veldisvísarnir eru algebrustæður. Því má leysa margar vísisjöfnur með því að nota reiknireglur velda til að endurrita hvora hlið sem veldi með sömu grunntölu. Síðan notum við eintækni vísisfalla til að setja veldisvísana jafna og leysa fyrir óþekktu stærðina.
Skoðum til dæmis jöfnuna 34x − 7 = 32x/3. Við notum deilingarreglu velda til að rita hægri hliðina sem eitt veldi með grunntölunni 3. Síðan setjum við veldisvísana jafna, þar sem vísisfallið er eintækt, og leysum fyrir x:
Dæmi 1
Vísisjafna með sameiginlegri grunntölu leyst
Leysið
Lausn
Jöfnur endurritaðar þannig að öll veldi hafi sömu grunntölu
Stundum er sameiginleg grunntala vísisjöfnu ekki sýnileg í upphafi. Þá endurritum við liðina í jöfnunni sem veldi með sameiginlegri grunntölu og leysum með eintæknieiginleikanum.
Skoðum til dæmis jöfnuna Endurrita má báðar hliðar hennar sem veldi af Síðan beitum við reiknireglum velda og eintæknieiginleikanum til að leysa fyrir
Dæmi 2
Jöfnur leystar með endurritun á sameiginlega grunntölu
Leysið
Lausn
Dæmi 3
Jöfnur leystar með því að endurrita rætur sem brotveldi með sameiginlegri grunntölu
Leysið
Lausn
Dæmi 4
Vísisjafna án rauntölulausnar
Leysið
Lausn
Jafnan hefur enga rauntölulausn. Fyrir sérhverja rauntölu x er 3x + 1 jákvætt og getur því ekki verið jafnt −2.
Greining
Mynd 2 sýnir að gröfin tvö skerast ekki og því verður vinstri hliðin aldrei jöfn þeirri hægri. Jafnan hefur því enga lausn.
Mynd 2. Gröf fallanna y = 3ˣ+1 og y = −2 skerast ekki.
Vísisjöfnur leystar með logrum
Stundum er ekki auðvelt að rita báðar hliðar vísisjöfnu sem veldi með sömu grunntölu. Þá getum við leyst jöfnuna með því að taka logra af báðum hliðum, að því gefnu að þær séu jákvæðar. Fyrir jákvæðar tölur a og b gildir log(a) = log(b) þá og því aðeins að a = b. Því má taka logra með sömu grunntölu af báðum hliðum án þess að breyta lausnamenginu.
Dæmi 5
Jafna með veldum ólíkra grunntalna leyst
Leysið
Lausn
Jöfnur sem innihalda e
Algeng gerð vísisjafna hefur grunntöluna Þessi fasti kemur sífellt fyrir í náttúrunni, stærðfræði, vísindum, verkfræði og fjármálum. Þegar jafna hefur grunntöluna öðrum hvorum megin má leysa hana með náttúrulega logranum.
Dæmi 6
Jafna á forminu y = Aeᵏᵗ leyst
Leysið
Lausn
Greining
Með reiknireglum logra má einnig rita svarið á forminu Ef óskað er eftir tugabrotsnálgun á svarinu notum við reiknivél.
Dæmi 7
Jafna sem einfalda má á formið y = Aeᵏᵗ leyst
Leysið
Lausn
Aukalausnir
Við lausn jöfnu getur komið fram aukalausn: gildi sem leysir umbreytta jöfnu en ekki upphaflegu jöfnuna. Því þarf að prófa mögulegar lausnir í upphaflegu jöfnunni og gæta að skilgreiningarskilyrðum. Þegar logra er beitt verður viðfang hvers logra að vera jákvætt. Logri af núlli eða neikvæðri tölu er ekki skilgreindur í rauntölum.
Dæmi 8
Vísisjöfnur leystar á annars stigs formi
Leysið
Lausn
Greining
Til að leysa jöfnu með þáttun færum við alla liði á aðra hliðina svo hin verði núll. Ef margfeldi tveggja þátta er núll er að minnsta kosti annar þeirra núll. Hér fæst annaðhvort ex = −7 eða ex = 8. Fyrri jafnan hefur enga rauntölulausn því að ex er alltaf jákvætt. Stæðan ln(−7) er ekki skilgreind í rauntölum og gefur því enga lausn fyrir x. Eina rauntölulausn upphaflegu jöfnunnar er x = ln(8).
Skilgreining lograns notuð til að leysa lograjöfnur
Við höfum þegar séð að lograjafnan logb(x) = y er jafngild vísisjöfnunni by = x, þar sem b > 0, b ≠ 1 og x > 0. Þessa staðreynd má nota ásamt reiknireglum logra til að leysa lograjöfnur þar sem viðfangið er algebrustæða.
Skoðum til dæmis jöfnuna log2(2) + log2(3x − 5) = 3. Hún er aðeins skilgreind þegar 3x − 5 > 0, það er þegar x > 5/3. Við notum margfeldisreglu logra til að sameina lograna vinstra megin og beitum síðan skilgreiningu lograns til að leysa fyrir x:
Dæmi 9
Lograjafna leyst með algebru
Leysið
Lausn
Dæmi 10
Algebra notuð fyrir og eftir að skilgreiningu náttúrulega lograns er beitt
Leysið
Lausn
Dæmi 11
Graf notað til að skilja lausn lograjöfnu
Leysið
Lausn
Mynd 3 sýnir gröf fallanna y = ln(x) og y = 3. X-hnit skurðpunkts þeirra er nálægt 20, það er e3 ≈ 20. Reiknivél gefur nákvæmara nálgunargildi: e3 ≈ 20,0855.
Mynd 3. Gröf fallanna y = ln(x) og y = 3 skerast í punktinum (e3; 3), sem er um það bil (20,0855; 3).
Eintæknieiginleiki logra notaður til að leysa lograjöfnur
Líkt og með vísisjöfnur má nota eintæknieiginleikann til að leysa lograjöfnur. Lograföll eru eintæk: fyrir jákvæðar rauntölur S og T og grunntölu b > 0, b ≠ 1, gildir:
Til dæmis:
Úr jöfnunni x − 1 = 8 fæst x = 9. Við sannreynum svarið með innsetningu í upphaflegu jöfnuna: log2(9 − 1) = log2(8) = 3. Viðföng beggja logra eru jákvæð. Þegar báðar hliðar jöfnu eru einn logri með sömu grunntölu eru viðföngin því jöfn. Þetta gildir einnig þegar viðföngin eru algebrustæður. Við getum því notað reiknireglur logra til að rita hvora hlið sem einn logra, að uppfylltum skilgreiningarskilyrðum. Síðan notum við eintækni lografalla til að setja viðföngin jöfn og leysa fyrir óþekktu stærðina.
Skoðum jöfnuna log(3x − 2) − log(2) = log(x + 4). Skilyrðin 3x − 2 > 0 og x + 4 > 0 gefa x > 2/3. Við notum deilingarreglu logra til að rita vinstri hliðina sem einn logra og síðan eintæknieiginleikann til að leysa fyrir x:
Til að sannreyna niðurstöðuna setjum við x = 10 í upphaflegu jöfnuna log(3x − 2) − log(2) = log(x + 4). Gildið uppfyllir einnig skilyrðið x > 2/3.
Dæmi 12
Jafna leyst með eintæknieiginleika logra
Leysið
Lausn
Greining
Lausnirnar eru x = 3 og x = −1. Við x = 3 eru viðföng beggja logra 9, en við x = −1 eru þau 1. Báðar lausnirnar uppfylla því upphaflegu jöfnuna. Þótt x = −1 sé neikvætt eru viðföng logranna jákvæð.
Hagnýt verkefni leyst með vísis- og lograjöfnum
Í fyrri köflum lærðum við um eiginleika og reiknireglur vísisfalla og lografalla. Við höfum séð að logb(x) = y er jafngilt by = x þegar b > 0, b ≠ 1 og x > 0. Við höfum notað þetta samband til að leysa bæði lograjöfnur og vísisjöfnur. Nú getum við beitt þessum aðferðum saman til að leysa jöfnur sem lýsa raunverulegum aðstæðum, hvort sem óþekkta stærðin er í veldisvísi eða viðfangi logra.
Eitt notkunarsvið þessara aðferða er rannsókn á geislavirkri sundrun. Helmingunartími geislavirkrar samsætu er sá tími sem tekur helming atómkjarna hennar í sýni að sundrast. Tafla 1 sýnir helmingunartíma nokkurra geislavirkra samsæta.
Efni
Notkun
Helmingunartími (um það bil)
gallín-67
kjarnlæknisfræði
80 klukkustundir
kóbalt-60
framleiðsla
5,3 ár
teknetín-99m
kjarnlæknisfræði
6 klukkustundir
ameríkín-241
reykskynjarar
432 ár
kolefni-14
aldursgreining fornleifa
5.730 ár
úran-235
kjarnorka
703.800.000 ár
Helmingunartími þessara efna er greinilega mjög mismunandi. Þegar helmingunartími efnis er þekktur má reikna magn þess sem eftir er að tilteknum tíma liðnum. Nota má formúluna fyrir geislavirka sundrun:
þar sem
er upphaflegt magn
er helmingunartími efnisins
er tíminn sem liðinn er frá upphafi
er magn efnisins sem er til staðar eftir tímann
Dæmi 13
Tími fundinn með formúlunni fyrir geislavirka sundrun
Hve langan tíma tekur tíu prósent af 1000 gramma sýni af úrani-235 að sundrast?
Lausn
Greining
Tíu prósent af 1000 grömmum eru 100 grömm. Ef 100 grömm sundrast eru 900 grömm af úrani-235 eftir.
4.6 Kaflaæfingar
Munnleg verkefni
1.
Hvernig má leysa vísisjöfnu?
2.
Hvenær kemur aukalausn fram? Hvernig má þekkja aukalausn?
3.
Hvenær má nota eintæknieiginleika logra til að leysa jöfnu? Hvenær er það ekki hægt?
Algebruverkefni
Í eftirfarandi æfingum skal leysa vísisjöfnuna með því að umrita báðar hliðar hennar sem veldi með sömu grunntölu.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Í eftirfarandi æfingum skal leysa með því að nota logra.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Í eftirfarandi æfingum skal nota skilgreiningu lograns til að umrita jöfnuna sem vísisjöfnu.
29.
30.
Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuna með skilgreiningu lograns.
31.
32.
33.
34.
35.
Í eftirfarandi æfingum skal leysa með eintæknieiginleika logra.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Í eftirfarandi æfingum skal leysa hverja jöfnu fyrir
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Grafísk verkefni
Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuna fyrir ef lausn er til. Teiknið síðan gröf fallanna sem standa sitt hvorum megin við jafnaðarmerkið og notið skurðpunkta þeirra, ef einhverjir eru, til að sannreyna lausnirnar.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
Í eftirfarandi æfingum skal finna gildið sem spurt er um, teikna graf sem lýsir aðstæðunum og merkja punktinn sem samsvarar lausninni.
65.
Inn á reikning eru lagðir í upphafi. Reikningurinn ber ársvexti með samfelldri vaxtasamsetningu. Hve há verður innstæðan eftir 20 ár?
66.
Hljóðstigið í desíbelum er gefið með jöfnunni þar sem er hljóðstyrkurinn í vöttum á fermetra og vött á fermetra er viðmið sem samsvarar um það bil heyrnarmörkum við tíðnina 1000 Hz. Hvert er hljóðstig frá þotu ef hljóðstyrkurinn er vött á fermetra?
67.
Íbúafjölda í litlum bæ er lýst með jöfnunni þar sem er mælt í árum. Eftir um það bil hve mörg ár verður íbúafjöldinn
Tækni
Í eftirfarandi æfingum skal leysa hverja jöfnu með því að taka tilgreindan logra. Notið síðan reiknivél til að finna lausnina og námundið hana að þremur aukastöfum.
68.
með tugalogra.
69.
með náttúrulegum logra
70.
með tugalogra
71.
með tugalogra
72.
með náttúrulegum logra
Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuna með reiknivél. Nema annað sé tekið fram skal námunda öll svör að fjórum aukastöfum.
73.
74.
75.
76.
Loftþrýstingi í pundum á fertommu er lýst með formúlunni þar sem er hæð yfir sjávarmáli í mílum. Í hve margra feta hæð yfir sjávarmáli er fjallstindur ef loftþrýstingurinn þar er pund á fertommu? Námundið að næsta heila feti. (Ábending: 5280 fet eru í einni mílu.)
77.
Stærð M jarðskjálfta er í þessu líkani lýst með jöfnunni þar sem orkan sem jarðskjálftinn losar í júlum er táknuð með og júl er viðmiðunarorka líkansins. Hver væri samkvæmt líkaninu stærð jarðskjálfta sem losar júl af orku? Námundið svarið að tveimur aukastöfum.
Viðbótarverkefni
78.
Notið skilgreiningu lograns ásamt eintæknieiginleika logra til að sanna að Gerið ráð fyrir að b > 0, b ≠ 1 og x > 0.
79.
Rifjið upp formúluna fyrir samfellda vaxtasamsetningu, Notið skilgreiningu lograns ásamt eiginleikum logra til að leysa formúluna fyrir tímann þannig að sé jafnt einum logra. Gerið ráð fyrir að A > 0, y > 0 og k ≠ 0.
80.
Rifjið upp formúluna fyrir vaxtasamsetningu Notið skilgreiningu lograns ásamt eiginleikum logra til að leysa formúluna fyrir tímann Gerið ráð fyrir að a > 0, A > 0, k > 0, 1 + r/k > 0 og r ≠ 0.
81.
Kælingarlögmál Newtons segir að hitastigi hlutar á sérhverjum tíma t megi lýsa með jöfnunni þar sem er fast hitastig umhverfisins, er upphafshiti hlutarins og er jákvæður fasti sem lýsir því hversu hratt hitamunurinn minnkar. Notið skilgreiningu lograns ásamt eiginleikum logra til að leysa formúluna fyrir tímann þannig að sé jafnt einum logra. Gerið ráð fyrir að T0 ≠ Ts og 0 < (T − Ts)/(T0 − Ts) ≤ 1.
