Í kaflanum Gröf vísisfalla sáum við hvernig graf vísislíkans getur hjálpað okkur að skilja líkanið og spá fyrir um framvinduna. En hvernig nýtast gröf lografalla? Lografall er andhverfa vísisfalls. Úttak lografallsins er því inntak samsvarandi vísisfalls. Með logrum má þannig vinna til baka frá niðurstöðu líkansins að gildinu sem leiddi til hennar.
Gerum ráð fyrir að við leggjum 2.500 dollara inn á reikning með 5% ársvöxtum og samfelldri vaxtavöxtun. Innstæðan A eftir t ár fæst þá með jöfnunni A = 2.500e0,05t.
En hvað ef við viljum vita hve langan tíma tekur að ná tiltekinni innstæðu? Þá víxlum við inntaki og úttaki vísisfallsins og fáum lografall. Inntakið er nú innstæðan og úttakið tíminn í árum. Af grafi lografallsins getum við til dæmis lesið hve mörg ár tekur að tvöfalda upphaflegu innstæðuna. Mynd 1 sýnir punktinn sem svarar til þess.
Í þessum kafla skoðum við fyrst fyrir hvaða gildi lograföll eru skilgreind. Síðan lærum við að teikna gröf þeirra.
Skilgreiningarmengi lografalls ákvarðað
Áður en við vinnum með gröf skoðum við skilgreiningarmengi lografallsins, það er mengi þeirra inntaksgilda sem fallið er skilgreint fyrir.
Vísisfallið y = bx er skilgreint fyrir allar rauntölur x þegar grunntalan b er jákvæð og b ≠ 1. Þá gildir:
Skilgreiningarmengi vísisfallsins er (−∞, ∞).
Myndmengi vísisfallsins er (0, ∞).
Í síðasta kafla lærðum við að lografallið y = logb(x) er andhverfa vísisfallsins y = bx. Skilgreiningarmengi og myndmengi fallanna víxlast því:
Skilgreiningarmengi lografallsins y = logb(x) er myndmengi vísisfallsins y = bx, það er (0, ∞).
Myndmengi lografallsins y = logb(x) er skilgreiningarmengi vísisfallsins y = bx, það er (−∞, ∞).
Við getum ummyndað grunnfallið y = logb(x) á sama hátt og önnur grunnföll: með hliðrun, teygju, samþjöppun og speglun.
Í kaflanum Gröf vísisfalla sáum við að ummyndanir geta breytt myndmengi vísisfallsins y = bx. Á sama hátt geta ummyndanir breytt skilgreiningarmengi lografallsins y = logb(x). Skilyrðið er alltaf að viðfang lograns sé jákvætt. Þegar viðfangið er segð með x finnum við því þau gildi x sem gera segðina stærri en núll.
Skoðum til dæmis fallið f(x) = log4(2x − 3). Það er skilgreint fyrir þau gildi x sem gera viðfangið 2x − 3 jákvætt. Við finnum skilgreiningarmengið með því að leysa eftirfarandi ójöfnu fyrir x:
Skilgreiningarmengi fallsins f(x) = log4(2x − 3) er því bilið (1,5; ∞).
Dæmi 1
Skilgreiningarmengi hliðraðs lografalls ákvarðað
Hvert er skilgreiningarmengi fallsins f(x) = log2(x + 3)?
Lausn
Viðfang lograns verður að vera jákvætt. Fallið er því skilgreint þegar x + 3 > 0. Við leysum ójöfnuna:
Skilgreiningarmengi fallsins f(x) = log2(x + 3) er því (−3, ∞).
Dæmi 2
Skilgreiningarmengi hliðraðs og speglaðs lografalls ákvarðað
Hvert er skilgreiningarmengi fallsins f(x) = log(5 − 2x)?
Lausn
Viðfang lograns verður að vera jákvætt. Fallið er því skilgreint þegar 5 − 2x > 0. Við leysum ójöfnuna:
Skilgreiningarmengi fallsins f(x) = log(5 − 2x) er því (−∞, 5/2).
Gröf lografalla teiknuð
Nú höfum við skoðað skilgreiningarmengi lografalla og snúum okkur að gröfum þeirra. Við byrjum á grunnfallinu y = logb(x) og skoðum síðan ummyndanir þess: hliðranir, teygjur, samþjappanir og speglanir.
Lografallið y = logb(x) og vísisfallið y = bx eru andhverf föll. Gröf þeirra eru því spegilmyndir hvort annars um línuna y = x. Í töflu 1 sjáum við samband inntaks og úttaks í jöfnunni y = 2x og jafngildri jöfnu x = log2(y).
Við notum gildin úr töflu 1 til að bera saman punkta á gröfum andhverfu fallanna f(x) = 2x og g(x) = log2(x). Samanburðurinn sést í töflu 2.
Eins og við má búast víxlast x- og y-hnitin þegar farið er frá grafi falls að grafi andhverfu þess. Mynd 2 sýnir gröf fallanna f og g.
Mynd 2. Gröf fallanna f(x) = 2x og g(x) = log2(x) eru spegilmyndir hvort annars um línuna y = x.
Af grafinu má sjá eftirfarandi:
Graf fallsins f(x) = 2x sker y-ásinn í punktinum (0, 1). Graf andhverfu þess, g(x) = log2(x), sker x-ásinn í punktinum (1, 0).
Skilgreiningarmengi fallsins f(x) = 2x er (−∞, ∞), sem er jafnframt myndmengi fallsins g(x) = log2(x).
Myndmengi fallsins f(x) = 2x er (0, ∞), sem er jafnframt skilgreiningarmengi fallsins g(x) = log2(x).
Skoðum fyrst helstu punkta á grafinu og hvernig fallið hagar sér.
Grunntalan b = 5 er stærri en 1, svo fallið er vaxandi. Þegar x nálgast núll frá hægri lækka fallgildin án neðri marka og grafið nálgast lóðfelluna x = 0. Þegar x stækkar vaxa fallgildin hægt án efri marka.
Grafið sker x-ásinn í punktinum (1, 0).
Punkturinn (5, 1) liggur á grafinu.
Við teiknum og merkjum lóðfelluna, merkjum punktana og drögum mjúkan feril í gegnum þá (sjá mynd 5).
Mynd 5
Skilgreiningarmengið er (0, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 0.
Gröf ummyndaðra lografalla teiknuð
Við getum beitt sömu ummyndunum á gröf lografalla og á gröf annarra grunnfalla. Út frá grafi grunnfallsins y = logb(x) getum við myndað ný gröf með hliðrun, teygju, samþjöppun og speglun.
Lárétt hliðrun á grafi lografallsins með grunntöluna b
Skoðum grunnfallið f(x) = logb(x) og látum c > 0. Graf fallsins g(x) = logb(x + c) fæst með því að hliðra grafi f um c einingar til vinstri. Graf fallsins h(x) = logb(x − c) fæst með því að hliðra grafi f um c einingar til hægri. Sjá mynd 6.
Mynd 6. Láréttar hliðranir grafs lografalls til vinstri og hægri.
Dæmi 4
Lárétt hliðrun á grafi lografallsins með grunntöluna b
Teiknið skissu af grafi fallsins f(x) = log3(x − 2) og grafi grunnfallsins í sama hnitakerfi. Merkið helstu punkta og aðfellur. Tilgreinið skilgreiningarmengi, myndmengi og aðfellu hliðraða fallsins.
Lausn
Fallið er f(x) = log3(x − 2). Við skrifum viðfangið sem x + (−2) til að bera það saman við formið x + c.
Þá er c = −2 < 0. Graf grunnfallsins y = log3(x) hliðrast því um 2 einingar til hægri.
Lóðfellan er x = −(−2) = 2.
Á grafi grunnfallsins eru punktarnir (1/3, −1), (1, 0) og (3, 1).
Við finnum hnit hliðruðu punktanna með því að bæta 2 við hvert x-hnit.
Merkið punktana (7/3, −1), (3, 0) og (5, 1).
Skilgreiningarmengið er (2, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 2.
Mynd 7
Lóðrétt hliðrun á grafi lografallsins með grunntöluna b
Skoðum grunnfallið f(x) = logb(x) og látum d > 0. Þegar d er bætt við fallgildið fæst g(x) = logb(x) + d og grafið hliðrast um d einingar upp. Þegar d er dregið frá fallgildinu fæst h(x) = logb(x) − d og grafið hliðrast um d einingar niður. Sjá mynd 8.
Mynd 8. Lóðréttar hliðranir grafs lografalls upp og niður.
Dæmi 5
Lóðrétt hliðrun á grafi lografallsins með grunntöluna b
Teiknið skissu af grafi fallsins f(x) = log3(x) − 2 og grafi grunnfallsins í sama hnitakerfi. Merkið helstu punkta og aðfelluna. Tilgreinið skilgreiningarmengi, myndmengi og aðfellu hliðraða fallsins.
Lausn
Í fallinu f(x) = log3(x) − 2 er d = −2, svo d < 0.
Graf grunnfallsins y = log3(x) hliðrast því um 2 einingar niður.
Lóðfellan er áfram x = 0.
Á grafi grunnfallsins eru punktarnir (1/3, −1), (1, 0) og (3, 1).
Við finnum hnit hliðruðu punktanna með því að draga 2 frá hverju y-hniti.
Merkið punktana (1/3, −3), (1, −2) og (3, −1).
Skilgreiningarmengið er (0, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 0.
Mynd 9
Skilgreiningarmengið er (0, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 0.
Teygja og samþjöppun á grafi lografallsins með grunntöluna b
Þegar fallgildi grunnfallsins f(x) = logb(x) eru margfölduð með jákvæðum fasta getur grafið teygst eða samþjappast lóðrétt. Látum a > 1. Þá sýnir g(x) = a logb(x) lóðrétta teygju en h(x) = (1/a) logb(x) lóðrétta samþjöppun. Ef margfaldarinn er 1 helst grafið óbreytt. Sjá mynd 10.
Mynd 10. Lóðrétt teygja og samþjöppun grafs lografalls.
Dæmi 6
Teygja eða samþjöppun á grafi lografallsins með grunntöluna b
Teiknið skissu af grafi fallsins f(x) = 2 log4(x) og grafi grunnfallsins í sama hnitakerfi. Merkið helstu punkta og aðfelluna. Tilgreinið skilgreiningarmengi, myndmengi og aðfellu.
Lausn
Í fallinu f(x) = 2 log4(x) er stuðullinn a = 2.
Graf grunnfallsins y = log4(x) teygist því lóðrétt með stuðlinum 2.
Lóðfellan er áfram x = 0.
Á grafi grunnfallsins eru punktarnir (1/4, −1), (1, 0) og (4, 1).
Við finnum hnit punktanna á teygða grafinu með því að margfalda hvert y-hnit með 2.
Merkið punktana (1/4, −2), (1, 0) og (4, 2).
Skilgreiningarmengið er (0, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 0. Sjá mynd 11.
Mynd 11
Skilgreiningarmengið er (0, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 0.
Dæmi 7
Hliðrun og teygja sameinaðar
Teiknið skissu af grafi fallsins f(x) = 5 log(x + 2). Tilgreinið skilgreiningarmengi, myndmengi og aðfellu.
Lausn
Við getum byrjað á að hliðra grafi grunnfallsins y = log(x) um 2 einingar til vinstri og síðan teygt það lóðrétt með stuðlinum 5, eins og sýnt er á mynd 12. Lóðfellan verður x = −2 og grafið sker x-ásinn í punktinum (−1, 0). Skilgreiningarmengið er (−2, ∞). Punktarnir (−1, 0) og (8, 5) hjálpa okkur að teikna grafið. Við veljum x = 8 vegna þess að þá er x + 2 = 10, sem er grunntala tugalograns. Því er log(10) = 1 og f(8) = 5.
Mynd 12
Skilgreiningarmengið er (−2, ∞), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = −2.
Speglanir á grafi lografallsins með grunntöluna b
Þegar fallgildi grunnfallsins f(x) = logb(x) eru margfölduð með −1 speglast grafið um x-ásinn. Þá fæst g(x) = −logb(x). Ef við setjum −x í stað x speglast grafið um y-ásinn og við fáum h(x) = logb(−x). Til að sýna þessar speglanir berum við gröfin saman fyrir b > 1.
Mynd 13. Speglun grafs lografalls um x-ásinn og y-ásinn.
Dæmi 8
Speglun lografalls teiknuð
Teiknið skissu af grafi f(x) = log(−x) og grafi grunnfallsins. Merkið lykilpunkta og aðfellu inn á myndina. Tilgreinið skilgreiningarmengi, myndmengi og aðfellu fallsins f.
Lausn
Áður en við teiknum graf f(x) = log(−x) skoðum við hegðun fallsins og finnum lykilpunkta á grafinu.
Grunnfallið er vaxandi því grunnurinn b = 10 er stærri en 1. Inntakið er margfaldað með −1 og því fæst graf f með því að spegla graf grunnfallsins um y-ásinn. Fallið f(x) = log(−x) er því minnkandi á bilinu (−∞, 0). Þegar x nálgast 0 frá vinstri lækkar grafið án takmarka og nálgast lóðfelluna x = 0.
Skurðpunkturinn við x-ás er (−1, 0).
Við teiknum og merkjum aðfelluna, merkjum punktana inn á myndina og drögum mjúkan feril í gegnum þá.
Mynd 14
Skilgreiningarmengið er (−∞, 0), myndmengið er (−∞, ∞) og lóðfellan er x = 0.
Dæmi 9
Nálgunarlausn lograjöfnu fundin
Leysið jöfnuna 4 ln(x) + 1 = −2 ln(x − 1) með því að teikna gröf. Námundið lausnina að þremur aukastöfum.
Lausn
Ýtið á [Y=] og sláið inn Y1 = 4 ln(x) + 1 og Y2 = −2 ln(x − 1). Stillið gluggann þannig að x taki gildi frá 0 til 5 og y frá −10 til 10. Ýtið á [GRAPH]. Gröfin skerast rétt hægra megin við x = 1.
Til að fá nákvæmari nálgun ýtið þið á [2ND] og síðan [CALC]. Veljið [5: intersect] og ýtið þrisvar á [ENTER]. X-hnit skurðpunktsins birtist sem 1.3385297 á reikninum, eða 1,3385297 með íslenskri tugabrotskommu. Síðustu aukastafir nálgunarinnar geta verið örlítið mismunandi eftir gluggastillingu og upphafsgildinu sem valið er við „Guess?“. Námundað að þremur aukastöfum er lausnin x ≈ 1,339.
Yfirlit yfir ummyndanir lografallsins
Í töflu 4 eru teknar saman helstu ummyndanir á grafi lografalls.
Ummyndanir grunnfallsins
Ummyndun
Jafna
Hliðrun: til vinstri um c einingar ef c > 0, en til hægri um |c| ef c < 0; upp um d einingar ef d > 0, en niður um |d| ef d < 0.
Lóðrétt teygja ef |a| > 1; lóðrétt samþjöppun ef 0 < |a| < 1. Ef a < 0 bætist við speglun um x-ásinn.
Speglun um x-ásinn
Speglun um y-ásinn
Hliðrun, lóðrétt teygja eða samþjöppun og möguleg speglun um x-ásinn (a ≠ 0)
Dæmi 10
Lóðfella grafs lografalls fundin
Hver er lóðfella grafs fallsins f(x) = −2 log3(x + 4) + 5?
Lausn
Lóðfellan er línan x = −4.
Greining
Stuðullinn −2, grunnurinn 3 og hliðrunin upp um 5 einingar breyta ekki staðsetningu lóðfellunnar. Þegar grafið er hliðrað um 4 einingar til vinstri færist lóðfellan úr x = 0 í x = −4.
Dæmi 11
Jafna fundin út frá grafi
Finnið jöfnu sem gæti lýst tugalografallinu á mynd 15.
Mynd 15
Lausn
Lóðfella grafsins er x = −2 og grafið er minnkandi. Það fæst því með hliðrun og speglun á grafi grunnfallsins um x-ásinn, ásamt hugsanlegri lóðréttri teygju eða samþjöppun. Við eigum enn eftir að finna lóðréttu hliðrunina og kvarðastuðulinn. Jafnan er af eftirfarandi gerð, þar sem a > 0:
Grafið virðist liggja í gegnum punktana (−1, 1) og (2, −1). Setjum fyrst x = −1 og f(x) = 1 inn í jöfnuna:
Næst setjum við x = 2 og f(x) = −1 inn í jöfnuna:
Þá fæst jafnan f(x) = −[2/log(4)] log(x + 2) + 1.
Greining
Við getum sannreynt niðurstöðuna með því að bera fallgildin í töflu 5 saman við punktana á grafinu á mynd 15.
−1
0
1
2
3
1
0
−0,58496
−1
−1,3219
4
5
6
7
8
−1,5850
−1,8074
−2
−2,1699
−2,3219
4.4 Verkefni hlutans
Munnleg verkefni
1.
Andhverfa hvers lografalls er vísisfall og öfugt. Hvað segir það okkur um sambandið milli hnita samsvarandi punkta á gröfum falls og andhverfu þess?
2.
Hvaða ummyndanir hafa áhrif á myndmengi lografalls, ef einhverjar?
3.
Hvaða ummyndanir hafa áhrif á skilgreiningarmengi lografalls, ef einhverjar?
4.
Skoðið lografallið f(x) = logb(x). Hvers vegna getur x ekki verið núll?
5.
Hefur graf almenns lografalls láfellu? Rökstyðjið svarið.
Algebruverkefni
Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins í eftirfarandi verkefnum.
6.
7.
8.
9.
10.
Tilgreinið skilgreiningarmengi og lóðfellu fallsins í eftirfarandi verkefnum.
11.
12.
13.
14.
15.
Tilgreinið skilgreiningarmengi og lóðfellu fallsins í hverju verkefni og lýsið endahegðun þess.
16.
17.
18.
19.
20.
Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins í hverju verkefni. Finnið einnig skurðpunkta grafsins við x-ás og y-ás, ef þeir eru til. Ef skurðpunktur við annan ásinn er ekki til skal rita DNE („er ekki til“) fyrir þann ás.
21.
22.
23.
24.
25.
Myndræn verkefni
Parið hvert fall í eftirfarandi verkefnum við bókstafinn sem merkir graf þess á mynd 17.
Mynd 17. Gröf fimm lografalla, merkt A, B, C, D og E.
26.
27.
28.
29.
30.
Parið hvert fall í eftirfarandi verkefnum við bókstafinn sem merkir graf þess á mynd 18.
Mynd 18. Gröf þriggja lografalla, merkt A, B og C.
31.
32.
33.
Teiknið gröf beggja fallanna í hverju pari í sama hnitakerfi.
34.
og
35.
og
36.
og
37.
og
Parið hvert fall í eftirfarandi verkefnum við bókstafinn sem merkir graf þess á mynd 19.
Mynd 19. Gröf þriggja ummyndaðra lografalla, merkt A, B og C.
38.
39.
40.
Teiknið skissu af grafi tilgreinds falls í eftirfarandi verkefnum.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Ritið lograjöfnu sem samsvarar grafinu í hverju verkefni.
47.
Notið sem grunnfall.
48.
Notið sem grunnfall.
49.
Notið sem grunnfall.
50.
Notið sem grunnfall.
Tækni
Notið grafreikni til að finna nálgunarlausn hverrar jöfnu í eftirfarandi verkefnum.
51.
52.
53.
54.
55.
Frekari verkefni
56.
Látum vera jákvæða rauntölu og Hvert er gildi ? Sannreynið niðurstöðuna.
57.
Skoðið og ræðið gröf og Setjið fram tilgátu út frá niðurstöðunni.
58.
Sannið tilgátuna úr síðasta verkefni.
59.
Hvert er skilgreiningarmengi fallsins Ræðið niðurstöðuna.
60.
Notið veldareglur til að finna skurðpunkta grafs fallsins við x-ás með algebruaðferðum. Sýnið lausnarskrefin og sannreynið síðan niðurstöðuna með því að teikna graf fallsins.
