4.3 Lograföll

Árið 2010 reið öflugur jarðskjálfti yfir Haítí. Samkvæmt heimildum frumútgáfunnar eyðilögðust eða skemmdust meira en 285.000 íbúðarhús⁴. Ári síðar ollu jarðskjálfti og flóðbylgja mikilli eyðileggingu á Honshu í Japan. Í sömu heimildum er greint frá skemmdum á meira en 332.000 byggingum⁵, meðal annars þeim sem sjást á mynd 1. Í samanburði frumtextans er miðað við stærðina 7,0 fyrir skjálftann á Haítí⁶ og eldra stærðarmatið 9,0 fyrir skjálftann í Japan⁷. Þetta eru stærðargildi á lograkvarða. Munurinn er tvær einingar og 10² = 100. Sú tala lýsir hlutfalli sveifluvídda í logralíkani við sambærilegar mæliaðstæður; hún segir ekki að orkan eða tjónið hafi verið hundraðfalt. Við mat á stærð stórra jarðskjálfta er notaður kvarði sem byggist á vægi skjálftans fremur en upprunalegi Richterkvarðinn. Til að skilja slíka kvarða þurfum við að kynnast logrum.

Richterkvarðinn byggist á tugalogrum. Ein eining á kvarðanum samsvarar tíföldun á mældri sveifluvídd jarðskjálftabylgna þegar tekið hefur verið tillit til fjarlægðar frá upptökum. Til að sjá hvað þetta þýðir má bera saman gildin 8 og 4 í þessu logralíkani: hlutfall sveifluvíddanna er 10^{8 − 4} = 10⁴ = 10.000, en ekki 2. Hér er borið saman útslag bylgna, ekki orka sem losnar eða umfang tjóns. Í þessum kafla kynnumst við lograföllum, þar á meðal tugalogrum sem liggja að baki slíkum kvörðum.

Til að bera saman stærð jarðskjálfta með logralíkani þurfum við að geta breytt milli lograforms og vísisforms. Gerum ráð fyrir að mæld sveifluvídd bylgna frá einum skjálfta sé 500 sinnum sveifluvídd bylgna frá öðrum, eftir leiðréttingu fyrir fjarlægð frá upptökum. Munurinn á stærðargildunum á Richterkvarðanum er þá x, þar sem 10^x = 500. Hér er borið saman útslag bylgna, ekki orka sem losnar. Hvernig leysum við jöfnuna fyrir x?

Við höfum ekki enn kynnst aðferð til að leysa vísisjöfnur á borð við 10^x = 500. Við vitum þó að 10² = 100 og 10³ = 1.000. Þar sem fallið y = 10^x er vaxandi hlýtur lausnin x að liggja á milli 2 og 3. Með því að skoða grafið á mynd 2 getum við metið lausnina nánar.

Mat út frá grafi er þó ónákvæmt. Til að finna lausn með algebru kynnum við nýtt fall. Takið eftir að grafið á mynd 2 stenst lárétta línuprófið. Vísisfallið y = b^x er eintækt þegar b > 0 og b ≠ 1 og á því andhverft fall. Til að finna andhverfuna víxlum við x og y og fáum x = b^y. Síðan þurfum við að leysa jöfnuna fyrir y. Til þess notum við lografall og skrifum y = log_b(x), þar sem x > 0. Logri jákvæðrar tölu með grunntöluna b er veldisvísirinn sem hefja þarf b í til að fá töluna.

Jöfnuna log_b(x) = y lesum við: „Logri x með grunntöluna b er jafn y.“ Þetta jafngildir því að segja: „b í veldinu y er jafnt x.“ Logri er því veldisvísir. Til dæmis er logri 32 með grunntöluna 2 jafn 5, því að 2⁵ = 32. Við skrifum því log₂(32) = 5.

Athugið að grunntalan $b$ er alltaf jákvæð.

Við skrifum yfirleitt log_b(x) og notum sviga utan um inntakið, rétt eins og í rithættinum f(x). Þegar inntakið er ein tala eða breyta er þó algengt að svigunum sé sleppt og skrifað log_b x. Athugið að margir reiknar krefjast sviga utan um inntakið.

Þegar við berum saman lografallið y = log_b(x) og vísisfallið y = b^x sjáum við að hlutverk inntaks og úttaks hafa víxlast. Föllin eru andhverfur hvort annars.

Til að breyta jöfnu úr vísisformi í lograform förum við öfuga leið. Í jöfnunni b^x = y finnum við grunntöluna b, veldisvísinn x og gildi veldisins y. Síðan skrifum við x = log_b(y).

Ef við þekkjum annað og þriðja veldi talna og rætur þeirra getum við reiknað marga logra í huganum. Skoðum til dæmis log₂(8). Við spyrjum: „Í hvaða veldi þarf að hefja 2 til að fá 8?“ Þar sem 2³ = 8 er log₂(8) = 3.

Reiknum nú log₇(49) og log₃(27) í huganum.

Jafnvel suma logra sem virðast flóknari má reikna án reiknis. Reiknum til dæmis log_2/3(4/9) í huganum.

• Við spyrjum: „Í hvaða veldi þarf að hefja 2/3 til að fá 4/9?“ Við vitum að 2² = 4 og 3² = 9. Því er (2/3)² = 4/9 og þar með log_2/3(4/9) = 2.

Stundum er logri skrifaður án þess að grunntalan sé tilgreind. Þá þarf að athuga hvaða venju er fylgt í efninu. Í þessum kafla táknar log(x) tugalogra, það er log₁₀(x). Þessi ritháttur er þó ekki notaður á sama hátt alls staðar, svo ekki má gera ráð fyrir grunntölunni án þess að skoða samhengið.

Einnig eru notaðar skammstafanirnar lg(x) fyrir log₁₀(x), lb(x) fyrir log₂(x) og ln(x) fyrir log_e(x). Rithátturinn log_b(x) tilgreinir grunntöluna b sérstaklega. Hér höldum við okkur við log(x) fyrir tugalogra og ln(x) fyrir náttúrulega logra.

Grunntalan e er mikið notuð í logrum og er nálgunargildi hennar 2,71828. Lograr með grunntöluna e kallast náttúrulegir lograr. Þeir eru mikilvægir í stærðfræðigreiningu og ýmsum vísindalegum viðfangsefnum. Fyrir log_e(x) notum við sérstakan rithátt: ln(x).

Til að finna nálgunargildi náttúrulegra logra notum við oft reikni. Sum gildi má þó finna nákvæmlega án reiknis. Til dæmis er ln(1) = 0, því að e⁰ = 1. Einnig má nota andhverfutengsl logra og vísisfalla til að reikna ln(e^a) = a. Fyrir önnur gildi má nota [ln]-takkann sem er á mörgum vísindareiknum.