5.5 Einföld sveifluhreyfing

Lykilhugtök hluta

Lögmál Hookes og einföld sveifluhreyfing

Ímyndaðu þér bíl sem lagt er upp við vegg. Ef jarðýta ýtir bílnum inn í vegginn mun bíllinn ekki hreyfast en hann mun breyta um lögun svo um munar. Breyting á lögun vegna beitingar krafts kallast aflögun. Jafnvel mjög litlir kraftar eru þekktir fyrir að valda einhverri aflögun. Fyrir litlar aflaganir geta tveir mikilvægir hlutir gerst. Í fyrsta lagi, ólíkt dæminu um bílinn og jarðýtuna, fer hluturinn aftur í upprunalega lögun þegar kraftinum er létt af. Í öðru lagi er stærð aflögunarinnar í réttu hlutfalli við kraftinn. Þessi seinni eiginleiki er þekktur sem lögmál Hookes. Á jöfnuformi er lögmál Hookes

þar sem x er stærð aflögunarinnar (breyting á lengd, til dæmis) sem endurheimtarkrafturinn F veldur, og k er fasti sem er háður lögun og samsetningu hlutarins. Endurheimtarkrafturinn er krafturinn sem færir hlutinn aftur í jafnvægisstöðu sína; mínusmerkið er til staðar vegna þess að endurheimtarkrafturinn verkar í gagnstæða átt við færsluna. Taktu eftir að endurheimtarkrafturinn er í réttu hlutfalli við aflögunina x. Einnig má hugsa um aflögunina sem færslu frá jafnvægi. Hún er breyting á stöðu vegna krafts. Ef enginn kraftur væri til staðar myndi hluturinn hvíla í jafnvægisstöðu sinni. Gormstuðullinn k tengist stífleika kerfis. Því stærri sem gormstuðullinn er, þeim mun stífara er kerfið. Stífara kerfi er erfiðara að aflaga og krefst meiri endurheimtarkrafts. Einingarnar fyrir k eru njúton á metra (N/m). Ein algengasta notkun lögmáls Hookes er við lausn verkefna sem varða gorma og pendúla, sem við munum fjalla um í lok þessa hluta.

Sveiflur og lotubundin hreyfing

Hvað eiga sjódufl, barn í rólum, gítar og hjartsláttur sameiginlegt? Þau sveiflast öll. Það er að segja, þau hreyfast fram og til baka á milli tveggja punkta, eins og reglustikan sem sýnd er á mynd 5.37. Allar sveiflur fela í sér kraft. Til dæmis ýtir þú barni í rólu til að koma hreyfingunni af stað.

Fyrsta lögmál Newtons gefur til kynna að hlutur sem sveiflast fram og til baka verði fyrir kröftum. Án krafts myndi hluturinn hreyfast eftir beinni línu á jöfnum hraða í stað þess að sveiflast. Hugsum okkur til dæmis að plastreglustiku sé sveigt til vinstri eins og sýnt er á mynd 5.38. Aflögun reglustikunnar skapar kraft í gagnstæða átt, sem kallast endurheimtarkraftur. Þegar henni er sleppt veldur endurheimtarkrafturinn því að reglustikan hreyfist aftur í átt að stöðugri jafnvægisstöðu sinni, þar sem heildarkrafturinn á hana er núll. Hins vegar, þegar reglustikan kemur þangað, hefur hún öðlast skriðþunga og heldur áfram að hreyfast til hægri, sem veldur gagnstæðri aflögun. Hún er þá þvinguð til vinstri, aftur í gegnum jafnvægi, og ferlið er endurtekið þar til hún missir smám saman alla orku sína. Einföldustu sveiflurnar eiga sér stað þegar endurheimtarkrafturinn er í beinu hlutfalli við færsluna. Rifjið upp að lögmál Hookes lýsir þessum aðstæðum með jöfnunni F = −kx. Þess vegna lýsir lögmál Hookes einfaldasta tilfelli sveiflu, sem kallast einföld sveifluhreyfing.

Þegar þú plokkar gítarstreng hefur hljóðið sem myndast stöðugan tón og varir lengi. Hver titringur strengsins tekur jafn langan tíma og sá fyrri. Lotubundin hreyfing er hreyfing sem endurtekur sig með reglulegu millibili, eins og hlutur sem hoppar upp og niður á gormi eða pendúll sem sveiflast fram og til baka. Tíminn sem það tekur að ljúka einni sveiflu (einni heilli hringrás hreyfingarinnar) helst stöðugur og kallast sveiflutími T. Eining hans er yfirleitt sekúnda.

Tíðni f er fjöldi sveiflna á tímaeiningu. SI-einingin fyrir tíðni er hertz (Hz), skilgreind sem fjöldi sveiflna á sekúndu. Sambandið milli tíðni og lotu er

Eins og sjá má af jöfnunni eru tíðni og sveiflutími mismunandi leiðir til að tjá sama hugtakið. Til dæmis, ef þú færð greitt tvisvar í mánuði, gætirðu sagt að greiðslutíðnin sé tvisvar í mánuði, eða að tímabilið milli greiðslna sé hálfur mánuður.

Ef enginn núningur er til staðar til að hægja á honum, mun hlutur í einfaldri hreyfingu sveiflast endalaust með jafn mikilli færslu hvorum megin við jafnvægisstöðuna. Jafnvægisstaðan er þar sem hluturinn myndi náttúrulega hvíla ef enginn kraftur væri til staðar. Hámarksfærsla frá jafnvægi kallast útslag X. Einingarnar fyrir útslag og færslu eru þær sömu, en ráðast af tegund sveiflunnar. Fyrir hlutinn á gorminum, sem sýndur er á mynd 5.39, eru einingar útslags og færslu metrar.

Massinn m og gormstuðullinn k eru einu þættirnir sem hafa áhrif á sveiflutíma og tíðni einfaldrar sveifluhreyfingar. Sveiflutími einfalds sveifils er gefinn með

og þar sem f = 1/T, er tíðni einfalds sveifils

Að leysa dæmi um gorma og pendúla með einfaldri sveifluhreyfingu

Áður en leyst eru dæmi með gormum og pendúlum er mikilvægt að öðlast fyrst skilning á því hvernig pendúll virkar. Mynd 5.40 sýnir gagnlega skýringarmynd af einföldum pendúl.

Dæmi um pendúla í daglegu lífi eru gamaldags klukkur, róla eða sökkur á veiðilínu. Fyrir litlar færslur, þar sem hornið er minna en 15°, er hreyfing pendúlsins einföld sveifluhreyfing; það þýðir að endurheimtarkraftur hans er í réttu hlutfalli við færslu hans. Pendúll í einfaldri sveifluhreyfingu er kallaður einfaldur pendúll. Pendúll hefur hlut með lítinn massa, pendúllóð, sem hangir í léttum vír eða snúru. Jafnvægisstaða pendúls er þar sem hornið θ er núll (það er, þegar pendúllinn hangir beint niður). Það er rökrétt að án nokkurs beitts krafts sé þetta staðurinn þar sem pendúllóðið myndi hvíla.

Færsla pendúllóðsins er bogalengdin s. Þyngdin mg hefur þættina mg cosθ eftir snúrunni og mg sinθ snertlægt við bogann. Togkrafturinn í snúrunni vegur nákvæmlega upp þáttinn mg cosθ sem er samsíða snúrunni. Eftir stendur ytri heildarkraftur í átt að jafnvægisstöðunni; hann liggur snertlægt við bogann og jafngildir − mg sinθ.

Fyrir sveiflur með litlu horni hjá einföldum pendúl er sveiflutíminn T = 2π√(L/g).

Það eina sem hefur áhrif á sveiflutíma einfalds pendúls er lengd hans og þyngdarhröðunin. Sveiflutíminn er algjörlega óháður öðrum þáttum, svo sem massa eða útslagi. Takið þó eftir að T er háð g. Þetta þýðir að ef við vitum lengd pendúls getum við í raun notað hann til að mæla þyngdarhröðun! Þetta mun koma að gagni í Mæling á þyngdarhröðun: Sveiflutími pendúls.

Æfingadæmi

Athugaðu skilning þinn