5.4 Skáplön

Lykilhugtök hluta

Hvíldarnúningur og hreyfinúningur

Rifjaðu upp úr fyrri kafla að núningur er kraftur sem vinnur gegn hlutfallslegri hreyfingu samsíða snertifleti hlutanna sem eiga í hlut og er allt í kringum okkur allan tímann. Núningur gerir okkur kleift að hreyfa okkur, sem þú hefur uppgötvað ef þú hefur einhvern tímann reynt að ganga á ís.

Til eru mismunandi tegundir núnings: hreyfinúningur og hvíldarnúningur. Hreyfinúningur verkar á hlut á hreyfingu, en hvíldarnúningur verkar milli hluta eða kerfa sem eru í kyrrstöðu hvort miðað við annað. Hámark hvíldarnúnings er venjulega meira en hreyfinúningurinn milli hlutanna.

Ímyndaðu þér, til dæmis, að reyna að renna þungum kassa eftir steypugólfi. Þú gætir ýtt fastar og fastar á kassann án þess að hreyfa hann. Þetta þýðir að hvíldarnúningurinn bregst við því sem þú gerir – hann eykst þannig að hann verður jafn stór og gagnstæður ýtikraftinum. En ef þú ýtir loks nógu fast virðist kassinn skyndilega renna til og byrjar að hreyfast. Þegar hann er kominn á hreyfingu er auðveldara að halda honum á hreyfingu en það var að koma honum af stað vegna þess að hreyfinúningskrafturinn er minni en hvíldarnúningskrafturinn. Ef þú myndir auka massa kassans (til dæmis með því að setja kassa ofan á hann) þyrftir þú að ýta enn fastar til að koma honum af stað og einnig til að halda honum á hreyfingu. Ef þú myndir hins vegar bera olíu á steypuna myndir þú finna að það væri auðveldara að koma kassanum af stað og halda honum á hreyfingu.

Mynd 5.33 sýnir hvernig núningur verður til á snertifleti tveggja hluta. Stækkun á þessum flötum sýnir að þeir eru hrjúfir á smásæjum mælikvarða. Þannig að þegar þú ýtir til að koma hlut á hreyfingu (í þessu tilviki kassa), verður þú að lyfta hlutnum þar til hann getur skoppað áfram þannig að aðeins toppar yfirborðsins snertist, brotið af toppana, eða gert hvort tveggja. Því fastar sem flötunum er þrýst saman (eins og ef annar kassi er settur ofan á kassann), því meiri kraft þarf til að hreyfa þá.

Stærð núningskraftsins hefur tvö form: eitt fyrir hvíldarnúning, annað fyrir hreyfinúning. Þegar engin hreyfing er milli hlutanna er stærð hvíldarnúnings fₛ

þar sem μₛ er hvíldarnúningsstuðullinn og N er stærð þverkraftsins. Rifjaðu upp að þverkrafturinn verkar hornrétt á yfirborðið og kemur í veg fyrir að kassinn falli í gegnum gólfið. Hann vinnur gegn þyngdarkraftinum í þessu dæmi, en það er ekki alltaf tilfellið.

Þar sem táknið ≤ þýðir minna en eða jafnt og, segir þessi jafna að hvíldarnúningur geti haft hámarksgildið μₛ N. Það er,

Hvíldarnúningur er viðbragðskraftur sem eykst þannig að hann verður jafn stór og gagnstæður hvaða krafti sem beitt er, upp að hámarksmörkum sínum. Þegar beitti krafturinn fer yfir fₛ(max), mun hluturinn hreyfast. Þegar hlutur er á hreyfingu er stærð hreyfinúnings fₖ gefin með

þar sem μₖ er hreyfinúningsstuðullinn.

Núningur er breytilegur frá einu yfirborði til annars vegna þess að mismunandi efni eru hrjúfari en önnur. Tafla 5.2 ber saman hvíldar- og hreyfinúningsstuðla fyrir mismunandi yfirborð. Núningsstuðullinn er háður snertiflötunum tveimur.

Þar sem núningur vinnur alltaf gegn hlutfallslegri hreyfingu er stefna núningsins upp eftir planinu ef hluturinn er kyrrstæður eða rennur niður hallann. Til dæmis, ef kassinn sem þú reynir að ýta á (með krafti samsíða gólfinu) hefur massann 100 kg, þá væri þverkrafturinn jafn stór og þyngd hans

hornrétt á gólfið. Ef hvíldarnúningsstuðullinn er 0,45, þyrftir þú að beita krafti samsíða gólfinu sem væri meiri en

til að hreyfa kassann. Þegar hreyfing er komin á er núningurinn minni og hreyfinúningsstuðullinn gæti verið 0,30, þannig að kraftur sem nemur aðeins 290 N

myndi halda honum á hreyfingu með jafnri ferð. Ef gólfið væri smurt yrðu báðir stuðlarnir mun minni en þeir væru án smurningar. Núningsstuðullinn er einingarlaus og er tala sem er venjulega á milli 0 og 1,0, en það eru engin fræðileg efri mörk fyrir gildi hans.

Vinna með skáplön

Við ræddum áður að þegar hlutur hvílir á láréttum fleti, er þverkraftur sem styður hann jafn stór og þyngd hans. Hingað til höfum við aðeins fengist við þverkraft í einni vídd, þar sem þyngdarkraftur og þverkraftur verka hornrétt á yfirborðið í gagnstæðar áttir (þyngdarkraftur niður og þverkraftur upp). Nú þegar þú hefur færni til að vinna með krafta í tveimur víddum getum við skoðað hvað verður um þyngd og þverkraft á hallandi fleti eins og skáplani. Fyrir verkefni með skáplön er auðveldara að liða kraftana í þætti ef við snúum hnitakerfinu, eins og sýnt er á mynd 5.34. Fyrsta skrefið við uppsetningu dæmisins er að liða þyngdarkraftinn í þætti.

Þegar hlutur hvílir á skáplani sem myndar hornið θ við lárétt, skiptist þyngdarkrafturinn sem verkar á hlutinn í tvo þætti: kraft sem verkar hornrétt á planið, w⊥, og kraft sem verkar samsíða planinu, w∥. Hornrétti þyngdarkraftþátturinn, w⊥, er venjulega jafn stór og gagnstæður þverkraftinum, N. Krafturinn sem verkar samsíða planinu, w∥, veldur því að hluturinn fær hröðun niður hallann. Núningskrafturinn, f, vinnur gegn hreyfingu hlutarins, svo hann verkar upp eftir planinu.

Mikilvægt er að fara varlega þegar þyngd hlutarins er liðuð í þætti. Ef halli plansins er við hornið θ miðað við láréttan flöt, þá eru stærðir þyngdarþáttanna

Í stað þess að leggja þessar jöfnur á minnið er gagnlegt að geta leitt þær út með rökum. Til að gera þetta skal teikna rétthyrnda þríhyrninginn sem þyngdarvigrarnir þrír mynda. Takið eftir að hallahornið er það sama og hornið sem myndast á milli w og w⊥. Með því að þekkja þennan eiginleika geturðu notað hornafræði til að ákvarða stærð þyngdarþáttanna

Til upprifjunar er ferlið við að leysa dæmi um skáplön eftirfarandi:

1. Teiknið skissu af dæminu.
2. Greinið þekktar og óþekktar stærðir og skilgreinið kerfið sem um ræðir.
3. Teiknið kraftamynd (sem er skissa sem sýnir alla krafta sem verka á hlut) með hnitakerfið snúið í sama horn og skáplanið. Liðið vigrana í lárétta og hornrétta þætti og teiknið þá inn á kraftamyndina.
4. Skrifið annað lögmál Newtons fyrir lárétta og lóðrétta stefnu og leggið saman kraftana sem verka á hlutinn. Ef hluturinn hefur enga hröðun í tiltekna stefnu (til dæmis x-stefnu) þá er F heild x = 0. Ef hluturinn hefur hröðun í þá stefnu, er F heild x = m a.
5. Yfirfarið svarið. Er svarið raunhæft? Eru einingarnar réttar?

Æfingadæmi

Athugaðu skilning þinn