5.1 Samlagning og frádráttur vigra: myndrænar aðferðir

Lykilhugtök hluta

Myndræna aðferðin við samlagningu og frádrátt vigra

Rifjið upp að vigur er stærð sem hefur bæði stærð og stefnu. Til dæmis eru færsla, hraði, hröðun og kraftur allt vigrar. Í einvíðri hreyfingu eða hreyfingu eftir beinni línu er hægt að gefa stefnu vigurs einfaldlega með plús- eða mínusmerki. Hreyfing sem er áfram, til hægri eða upp er venjulega talin jákvæð (+); og hreyfing sem er afturábak, til vinstri eða niður er venjulega talin neikvæð (−).

Í tveimur víddum lýsir vigur hreyfingu í tvær hornréttar stefnur, svo sem lóðrétt og lárétt. Fyrir lóðrétta og lárétta hreyfingu er hver vigur samsettur úr lóðréttum og láréttum þáttum. Í einvíðu verkefni hefur annar þáttanna einfaldlega gildið núll. Fyrir tvívíða vigra vinnum við með vigra með því að nota viðmiðunarkerfi eins og hnitakerfi. Líkt og með einvíða vigra, táknum við vigra myndrænt með ör sem hefur lengd í hlutfalli við stærð vigursins og bendir í þá átt sem vigurinn stefnir.

Mynd 5.2 sýnir myndræna framsetningu á vigri; heildarfærslu fyrir manneskju sem gengur í borg. Manneskjan gengur fyrst níu húsaraðir austur og síðan fimm húsaraðir norður. Heildarfærsla hennar passar ekki við leiðina á lokaáfangastað. Færslan tengir einfaldlega upphafspunkt hennar við endapunkt með beinni línu, sem er stysta vegalengdin. Við notum þá ritháttarreglu að feitletrað tákn, eins og D , standi fyrir vigur. Tölugildi hans er táknað með skáletruðu tákni, D , og stefna hans er gefin með horni sem táknað er með tákninu θ. Takið eftir að færsla hennar væri sú sama ef hún hefði byrjað á því að ganga fimm húsaraðir norður og síðan gengið níu húsaraðir austur.

Odd-í-rófu aðferðin er myndræn leið til að leggja saman vigra. Rófa vigursins er upphafspunktur vigursins og oddurinn (eða toppurinn) á vigri er oddhvassi endi örvarinnar. Eftirfarandi skref lýsa því hvernig nota á odd-í-rófu aðferðina við myndræna samlagningu vigra.

1. Látum x-ásinn tákna austur-vestur stefnuna. Notið reglustiku og gráðuboga til að teikna ör sem táknar fyrsta vigurinn (níu húsaraðir til austurs), eins og sýnt er á mynd 5.3 (a) . Mynd 5.3 Skýringarmyndin sýnir vigur með stærðina níu einingar og stefnuna 0°.

   

2. Látum y-ásinn tákna norður-suður stefnuna. Teiknið ör til að tákna seinni vigurinn (fimm húsaraðir til norðurs). Setjið rófu seinni vigursins við odd fyrri vigursins, eins og sýnt er á mynd 5.4 (b) . Mynd 5.4 Lóðréttum vigri er bætt við.

   

3. Ef það eru fleiri en tveir vigrar, haldið þá áfram að leggja vigrana saman odd-í-rófu eins og lýst er í skrefi 2. Í þessu dæmi höfum við aðeins tvo vigra, svo við erum búin að setja örvarnar odd-í-rófu.
4. Teiknið ör frá rófu fyrsta vigursins til odds síðasta vigursins, eins og sýnt er á mynd 5.5 (c) . Þetta er summuvigurinn, eða summa vigranna. Mynd 5.5 Skýringarmyndin sýnir summuvigurinn, reglustiku og gráðuboga.

   

5. Til að finna stærð summuvigursins, mælið lengd hans með reglustiku. Þegar við fáumst við vigra á með reikniaðferð í næsta hluta, verður stærðina reiknað með því að nota reglu Pýþagórasar.
6. Til að finna stefnu summuvigursins, notið gráðuboga til að mæla hornið sem hann myndar við viðmiðunarstefnuna (í þessu tilviki x-ásinn). Þegar við fáumst við vigra á með reikniaðferð í næsta hluta, verður stefnan reiknuð með því að nota hornafræði til að finna hornið.

Frádráttur vigra er framkvæmdur á sama hátt og samlagning vigra með einni lítilli breytingu. Við leggjum fyrsta vigurinn við neikvæða gildið af vigrinum sem á að draga frá. Neikvæður vigur hefur sama stærð og upphaflegi vigurinn, en bendir í gagnstæða átt (eins og sýnt er á mynd 5.6 ). Að draga vigurinn B frá vigrinum A, sem er ritað sem A − B, er það sama og A + (− B ). Þar sem það skiptir ekki máli í hvaða röð vigrar eru lagðir saman, er A − B einnig jafnt og (− B ) + A . Þetta gildir jafnt um skalara og vigra. Til dæmis, 5 – 2 = 5 + (−2) = (−2) + 5.

Heildarhorn eru reiknuð rangsælis. Réttsælis stefna er talin neikvæð. Til dæmis er hornið 30° suður af vestri það sama og heildarhornið 210°, sem einnig má tákna sem −150° frá jákvæða x-ásnum.

Notkun myndrænnar aðferðar við samlagningu og frádrátt vigra til að leysa eðlisfræðiverkefni

Nú þegar við höfum færni til að vinna með vigra í tveimur víddum, getum við beitt samlagningu vigra til að ákvarða myndrænt summuvigur, sem táknar heildarkraftinn. Skoðum dæmi um kraft þar sem tveir skautarar ýta á þann þriðja eins og sést á mynd 5.7 .

Í verkefnum þar sem breytur eins og kraftur eru þegar þekktar, er hægt að tákna kraftana með því að láta lengd vigranna vera í hlutfalli við stærð kraftanna. Til þess þarf að búa til kvarða. Til dæmis gæti hver sentimetri af lengd vigurs táknað 50 N af krafti. Þegar upphaflegu vigrarnir hafa verið teiknaðir í kvarða, er hægt að nota odd-í-rófu aðferðina til að teikna summuvigurinn. Lengd samanlagða vigursins er þá hægt að mæla og breyta aftur í upphaflegu einingarnar með því að nota kvarðann sem var búinn til.

Það má sjá með því að skoða vigrana á kraftamyndinni á mynd 5.7 að skautararnir tveir ýta á þriðja skautarann með jafn stórum kröftum, þar sem lengd kraftvigra þeirra er sú sama. Takið þó eftir að kraftarnir eru ekki jafnir því þeir verka í mismunandi stefnur. Ef, til dæmis, hver kraftur hefði stærðina 400 N, þá myndum við finna stærð ytri heildarkraftsins sem verkar á þriðja skautarann með því að finna stærð samanlagða vigursins. Þar sem kraftarnir verka hornrétt hvor á annan, getum við notað reglu Pýþagórasar. Fyrir þríhyrning með hliðarnar a, b og c, segir regla Pýþagórasar okkur að

Með því að beita þessari reglu á þríhyrninginn sem myndaður er af F₁, F₂ og F_tot á mynd 5.7 , fáum við

eða

Athugið að ef vigrarnir væru ekki hornréttir hvor á annan ( 90° hvor á annan), gætum við ekki notað reglu Pýþagórasar til að finna stærð samanlagða vigursins. Annað dæmi þar sem nauðsynlegt er að leggja saman tvívíða vigra er fyrir hraða, þar sem stefnan er kannski ekki eingöngu austur-vestur eða norður-suður, heldur einhver blanda af þessum tveimur stefnum. Í næsta hluta förum við yfir hvernig á að leysa þessa tegund verkefna með reikningi (með reikniaðferð). Í augnablikinu skulum við skoða verkefnið myndrænt.

Æfingadæmi

Athugaðu skilning þinn