5.3 Kasthreyfing

Lykilhugtök hluta

Eiginleikar kasthreyfingar

Kasthreyfing er hreyfing hlutar sem kastað er (varpað) út í loftið þegar, eftir upphafskraftinn sem kemur hlutnum af stað, loftmótstaða er hverfandi og eini annar krafturinn sem verkar á hlutinn er þyngdarkrafturinn. Hluturinn kallast kasthlutur og braut hans kallast kastferill. Loftmótstaða er núningskraftur sem hægir á hreyfingunni og getur breytt ferli hreyfingarinnar verulega. Vegna þess hve útreikningar eru flóknir, er í inngangsáföngum í eðlisfræði aðeins fjallað um aðstæður þar sem frávik frá kasthreyfingu eru hverfandi og hægt er að líta framhjá loftmótstöðu. Sú nálgun er oft nokkuð nákvæm.

Mikilvægasta hugtakið í kasthreyfingu er að þegar litið er framhjá loftmótstöðu eru lárétt og lóðrétt hreyfing óháðar, sem þýðir að þær hafa ekki áhrif hvor á aðra. Mynd 5.27 ber saman fallbyssukúlu í frjálsu falli (blá) og fallbyssukúlu sem skotið er lárétt í kasthreyfingu (rauð). Þið getið séð að fallbyssukúlan í frjálsu falli fellur jafn hratt og fallbyssukúlan í kasthreyfingu. Hafið í huga að ef fallbyssan skyti kúlunni með einhverjum lóðréttum þætti í hraðanum, myndu lóðréttu færslurnar ekki standast fullkomlega á.

Þar sem lóðrétt og lárétt hreyfing eru óháðar getum við greint þær í sundur, eftir hornréttum ásum. Til að gera þetta skiptum við kasthreyfingunni í tvo þætti hreyfingarinnar, annan eftir lárétta ásnum og hinn eftir þeim lóðrétta.

Við köllum lárétta ásinn x-ás og lóðrétta ásinn y-ás. Hvað varðar rithátt er d heildarfærslan, og x og y eru þættir hennar eftir lárétta og lóðrétta ásnum. Stærðir þessara vigra eru x og y, eins og sýnt er á mynd 5.28.

Eins og venjulega notum við hraða, hröðun og færslu til að lýsa hreyfingu. Við verðum einnig að finna þætti þessara breytistærða eftir x- og y-ásunum. Þættir hröðunar eru þá mjög einfaldir: aᵧ = −g = −9,80 m/s² og aₓ = 0. Takið eftir að þessi skilgreining skilgreinir uppstefnu sem jákvæða. Þar sem þyngdaraflið er lóðrétt er lárétti þátturinn núll. Báðar hröðunir eru fastar, svo við getum notað hreyfijöfnurnar. Til upprifjunar eru hreyfijöfnurnar úr fyrri kafla teknar saman í töflu 5.1.

Þar sem x er staða, x₀ er upphafsstaða, v er hraði, v avg er meðalhraði, t er tími og a er hröðun.

Lausn verkefna sem varða kasthreyfingu

Eftirfarandi skref eru notuð til að greina kasthreyfingu:

1. Skiptið hreyfingunni í lárétta og lóðrétta þætti eftir x- og y-ásunum. Þessir ásar eru hornréttir, svo A x = A cos θ og A y = A sin θ eru notuð. Stærðir færslunnar s eftir x- og y-ásunum eru kallaðar x og y. y. Stærðir þátta hraðans v eru vₓ = v ​ ​ ​ cos θ og vᵧ = v ​ ​ ​ sin θ, þar sem v er stærð hraðans og θ er stefna hans. Upphafsgildi eru auðkennd með neðanmálsritinu 0.
2. Meðhöndlið hreyfinguna sem tvær óháðar einvíðar hreyfingar, eina lárétta og hina lóðrétta. Hreyfijöfnurnar fyrir lárétta og lóðrétta hreyfingar taka á sig eftirfarandi myndir Lárétt hreyfing (aₓ = 0): x = x₀ + vₓ t vₓ = v₀ x = vₓ = hraðinn er fasti. Lóðrétt hreyfing (jákvæð stefna upp, aᵧ = −g = −9,80 m/s²): y = y₀ + 1 2 (v₀ y + vᵧ) t vᵧ = v₀ y − g t y = y₀ + v₀ y t − 1 2 g t² vᵧ² = v₀ y² − 2 g (y − y₀)
   $$Lárétt hreyfing (aₓ = 0): x = x₀ + vₓt; vₓ = v₀ₓ = fasti$$
   $$Lóðrétt hreyfing (aᵧ = −g = −9,80 m/s²): y = y₀ + ½(v₀ᵧ + vᵧ)t; vᵧ = v₀ᵧ − gt; y = y₀ + v₀ᵧt − ½gt²; vᵧ² = v₀ᵧ² − 2g(y − y₀)$$
3. Leysið fyrir óþekktu stærðirnar í hreyfingunum tveimur (annarri láréttri og hinni lóðréttri). Takið eftir að eina sameiginlega breytistærðin milli hreyfinganna er tíminn t. Aðferðirnar við lausn verkefna hér eru þær sömu og í einvíðri hreyfifræði.
4. Sameinið hreyfingarnar tvær til að finna heildarfærsluna s og hraðann v. Við getum notað reikniaðferðina við samlagningu vigra, sem notar A = A x² + A y² og θ = tan − 1 (A y / A x) til að finna stærð og stefnu heildarfærslunnar og hraðans. Færsla d = x² + y² θ = tan − 1 (y / x) Hraði v = vₓ² + vᵧ² θ v = tan − 1 (vᵧ / vₓ) θ er stefna færslunnar d, og θ v er stefna hraðans v. (Sjá mynd 5.29 Mynd 5.29 (a) Við greinum tvívíða kasthreyfingu með því að skipta henni í tvær óháðar einvíðar hreyfingar eftir lóðrétta og lárétta ásnum. (b) Lárétta hreyfingin er einföld, því aₓ = 0 og vₓ er því fasti. (c) Hraðinn í lóðrétta stefnu byrjar að minnka þegar hluturinn rís; í hæsta punkti er lóðrétti hraðinn núll. Þegar hluturinn fellur aftur til jarðar eykst lóðrétti hraðinn aftur að stærð en vísar í öfuga átt við upphaflega lóðrétta hraðann. (d) x - og y -hreyfingarnar eru sameinaðar til að gefa heildarhraðann í hvaða punkti sem er á ferlinum.
   $$Færsla: d = √(x² + y²), θ = tan⁻¹(y/x). Hraði: v = √(vₓ² + vᵧ²), θᵥ = tan⁻¹(vᵧ/vₓ)$$

   

Segðin sem við fundum fyrir y þegar við leystum lið (a) í fyrra dæminu virkar fyrir hvaða kasthreyfingardæmi sem er þar sem loftmótstaða er hverfandi. Köllum hámarkshæðina y = h; þá gildir,

Þessi jafna skilgreinir hámarkshæð kasthlutar. Hámarkshæðin ræðst eingöngu af lóðréttum þætti upphafshraðans.

Æfingadæmi

Sú staðreynd að lóðrétt og lárétt hreyfing eru óháðar hvor annarri gerir okkur kleift að spá fyrir um drægni kasthlutar. Drægnin er lárétta vegalengdin R sem kasthlutur ferðast á jafnsléttu, eins og sýnt er á mynd 5.32. Í gegnum söguna hefur fólk haft áhuga á að finna drægni kasthluta í hagnýtum tilgangi, svo sem við að miða fallbyssum.

Hvernig hefur upphafshraði kasthlutar áhrif á drægni hans? Augljóslega er drægnin meiri eftir því sem upphafshraðinn v₀ er meiri, eins og sýnt er á myndinni hér að ofan. Upphafshornið θ₀ hefur einnig mikil áhrif á drægnina. Þegar loftmótstaða er hverfandi er drægnin R fyrir kasthlutur á jafnsléttu

þar sem v₀ er upphafshraðinn og θ₀ er upphafshornið miðað við lárétt. Mikilvægt er að hafa í huga að drægnin á ekki við um dæmi þar sem upphafs- og lokastaða í y eru mismunandi, eða í tilfellum þar sem hlutnum er kastað alveg lárétt.

Athugaðu skilning þinn