5.2 Samlagning og frádráttur vigra: reikniaðferðir
Lykilhugtök hluta
reikniaðferð
þáttur (tvívíðs vigurs)
Þættir vigra
Við samlagningu og frádrátt vigra með reikniaðferð notum við einfalda rúmfræði og hornafræði í stað reglustiku og gráðuboga eins og í myndrænum aðferðum. Myndræna aðferðin kemur þó enn að góðum notum til að sjá verkefnið fyrir sér með því að teikna vigra með odd-í-rófu aðferðinni. Reikniaðferðin er nákvæmari en sú myndræna, sem takmarkast af nákvæmni teikningarinnar. Til að rifja upp skilgreiningar á sínus, kósínus og tangens horns, sjá mynd 5.17.
Mynd 5.17. Fyrir rétthyrndan þríhyrning eru sínus, kósínus og tangens af θ skilgreind út frá aðlægri hlið, mótlægri hlið eða langhlið. Á þessari mynd er x aðlæga hliðin, y er mótlæga hliðin og h er langhliðin.
Þar sem, samkvæmt skilgreiningu, cos θ = x / h, getum við fundið lengdina x ef við þekkjum h og θ með því að nota x = h cos θ. Á sama hátt getum við fundið lengdina y með því að nota y = h sin θ. Þessi hornafræðilegu sambönd eru gagnleg við samlagningu vigra.
Þegar vigur verkar í meira en einni vídd er gagnlegt að liða hann í x- og y-þætti sína. Fyrir tvívíðan vigur er þáttur hluti af vigri sem vísar annaðhvort í x- eða y-stefnu. Hvern tvívíðan vigur má tjá sem summu x- og y-þátta hans.
Til dæmis, gefinn vigur eins og A á mynd 5.18, gætum við viljað finna hvaða tveir hornréttu vigrar, Aₓ og Aᵧ, mynda hann þegar þeir eru lagðir saman. Í þessu dæmi mynda Aₓ og Aᵧ rétthyrndan þríhyrning, sem þýðir að hornið á milli þeirra er 90 gráður. Þetta eru algengar aðstæður í eðlisfræði og vill svo til að þetta er einfaldasta hornafræðilega tilvikið.
Mynd 5.18. Vigurinn A, með upphafspunkt í núllpunkti x-y-hnitakerfis, er sýndur ásamt x- og y-þáttum sínum, Aₓ og Aᵧ. Þessir vigrar mynda rétthyrndan þríhyrning.
Aₓ og Aᵧ eru skilgreindir sem þættir A eftir x- og y-ásunum. Vigrarnir þrír, A, Aₓ og Aᵧ, mynda rétthyrndan þríhyrning.
Ef vigurinn A er þekktur, þá eru stærð hans A (lengd hans) og horn θ (stefna hans) þekkt. Til að finna Aₓ og Aᵧ, x- og y-þætti hans, notum við eftirfarandi sambönd fyrir rétthyrndan þríhyrning:
og
þar sem Aₓ er stærð A í x-stefnu, Aᵧ er stærð A í y-stefnu, og θ er horn summuvigursins miðað við x-ásinn, eins og sýnt er á mynd 5.19.
Mynd 5.19. Stærðir vigurþáttanna Aₓ og Aᵧ má tengja við summuvigurinn A og hornið θ með hornafræðireglum. Hér sjáum við að Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ.
Gerum ráð fyrir, til dæmis, að A sé vigurinn sem táknar heildarfærslu manneskju sem gengur í borg, eins og sýnt er á mynd 5.20.
Mynd 5.20. Við getum notað samböndin Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ til að ákvarða stærð láréttu og lóðréttu þátta vigranna í þessu dæmi.
Þá eru A = 10,3 húsalengdir og θ = 29,1°, þannig að
Þessi stærð gefur til kynna að gangandinn hafi farið 9 húsalengdir til austurs — með öðrum orðum, 9 húsalengda færsla til austurs. Á sama hátt,
sem gefur til kynna að gangandinn hafi farið 5 húsalengdir til norðurs — 5 húsalengda færsla til norðurs.
Reikniaðferð við samlagningu og frádrátt vigra
Að reikna summuvigur (vigursamlagning) er andhverft því að liða vigur í þætti sína. Ef hornréttu þættirnir Aₓ og Aᵧ fyrir vigur A eru þekktir, þá getum við fundið A með reikniaðferðum. Hvernig gerum við það? Þar sem, samkvæmt skilgreiningu,
leysum við fyrir θ til að finna stefnu summuvigursins.
Athugið að tan⁻¹(Aᵧ/Aₓ) gefur horn í fyrsta fjórðungi ef Aᵧ/Aₓ > 0 og í fjórða fjórðungi ef Aᵧ/Aₓ < 0. Ef bæði Aₓ og Aᵧ eru neikvæð, eða ef Aₓ er neikvætt og Aᵧ jákvætt, þá fæst heildarhornið θ, mælt frá jákvæðri x-stefnu, með því að bæta 180° við tan⁻¹(Aᵧ/Aₓ).
Þar sem þetta er rétthyrndur þríhyrningur, gildir regla Pýþagórasar (x² + y² = h² ) til að finna langhliðina. Í þessu tilviki verður hún
Að leysa fyrir A gefur
Í stuttu máli, til að finna stærð A og stefnu θ vigurs út frá hornréttum þáttum hans Aₓ og Aᵧ, eins og sýnt er á mynd 5.21, notum við eftirfarandi sambönd:
Mynd 5.21. Hægt er að ákvarða stærð og stefnu summuvigursins A þegar láréttu þættirnir Aₓ og Aᵧ hafa verið ákvarðaðir.
Stundum eru vigrarnir sem lagðir eru saman ekki fullkomlega hornréttir hver á annan. Dæmi um þetta er tilvikið hér að neðan, þar sem vigrarnir A og B eru lagðir saman til að mynda summuvigurinn R, eins og sýnt er á mynd 5.22.
Mynd 5.22. Vigrarnir A og B eru tveir leggir gönguferðar, og R er summuvigurinn eða heildarfærslan. Þú getur notað reikniaðferðir til að ákvarða stærð og stefnu R.
Ef A og B tákna tvo leggi gönguferðar (tvær færslur), þá er R heildarfærslan. Sá sem gengur endar við oddinn á R. Það eru margar leiðir til að komast á sama stað. Viðkomandi hefði getað gengið beint áfram fyrst í x-stefnu og síðan í y-stefnu. Þær leiðir eru x- og y-þættir summuvigursins, Rₓ og Rᵧ. Ef við þekkjum Rₓ og Rᵧ, getum við fundið R og θ með því að nota jöfnurnar R = √(Rₓ² + Rᵧ²) og θ = tan⁻¹(Rᵧ/Rₓ).
Teiknið inn x og y þætti hvers vigurs (þar með talið summuvigursins) með brotinni línu. Notið jöfnurnar Aₓ = A cos θ og Aᵧ = A sin θ til að finna þættina. Á mynd 5.23 eru þessir þættir Aₓ, Aᵧ, Bₓ, og Bᵧ. Vigurinn A myndar hornið θ_A θ_A við x-ásinn, og vigurinn B myndar hornið θ_B θ_B við sinn eigin x-ás (sem er örlítið fyrir ofan x-ásinn sem vigur A notar). Mynd 5.23 Til að leggja saman vigrana A og B, skal fyrst ákvarða lárétta og lóðrétta þætti hvers vigurs. Þetta eru punktalínuvigrarnir Aₓ, Aᵧ, Bₓ og Bᵧ sem sýndir eru á myndinni.
Mynd 5.23. Til að leggja saman vigrana A og B, skal fyrst ákvarða lárétta og lóðrétta þætti hvers vigurs. Þetta eru punktalínuvigrarnir Aₓ, Aᵧ, Bₓ og Bᵧ sem sýndir eru á myndinni.
Finnið x þátt summuvigursins með því að leggja saman x þætti vigranna Rₓ = Aₓ + Bₓ og finnið y þátt summuvigursins (eins og sýnt er á mynd 5.24 ) með því að leggja saman y þætti vigranna. Rᵧ = Aᵧ + Bᵧ. Mynd 5.24 Vigrarnir Aₓ og Bₓ leggjast saman og gefa stærð summuvigursins í lárétta stefnu, Rₓ. Á sama hátt leggjast vigrarnir Aᵧ og Bᵧ saman og gefa stærð summuvigursins í lóðrétta stefnu, Rᵧ. Nú þegar við þekkjum þætti R, getum við fundið stærð hans og stefnu.
Mynd 5.24. Vigrarnir Aₓ og Bₓ leggjast saman og gefa stærð summuvigursins í lárétta stefnu, Rₓ. Á sama hátt leggjast vigrarnir Aᵧ og Bᵧ saman og gefa stærð summuvigursins í lóðrétta stefnu, Rᵧ.
Til að fá stærð summuvigursins R, notið reglu Pýþagórasar. R = Rₓ² + Rᵧ²
Til að fá stefnu summuvigursins θ = tan⁻¹(Rᵧ/Rₓ).
Notkun reikniaðferðar aðferðar við samlagningu og frádrátt vigra til að leysa verkefni
Mynd 5.25 notar reikniaðferðina til að leggja saman vigra.
Æfingadæmi
5.
Hver er stærð vigurs sem hefur x-þáttinn 4 cm og y-þáttinn 3 cm?
1 cm
5 cm
7 cm
25 cm
6.
Hver er stærð vigurs sem myndar hornið 30° við lárétta stefnu og hefur x-þáttinn 3 einingar?
2.61 einingar
3.00 einingar
3.46 einingar
6.00 einingar
Athugaðu skilning þinn
7.
Hvort er nákvæmara, reikniaðferðir eða myndrænar aðferðir við samlagningu vigra? Af hverju?
Reikniaðferðin er ónákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú fyrrnefnda felur í sér rúmfræði og hornafræði.
Reikniaðferðin er nákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú síðarnefnda felur í sér umfangsmikla útreikninga.
Reikniaðferðin er ónákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú fyrrnefnda felur í sér að teikna allar myndir í réttum mælikvarða.
Reikniaðferðin er nákvæmari en myndræna aðferðin, vegna þess að sú síðarnefnda takmarkast af nákvæmni teikningarinnar.
8.
Hvað er þáttur tvívíðs vigurs?
Þáttur er hluti af vigri sem vísar annaðhvort í x- eða y-stefnu.
Þáttur er hluti af vigri sem hefur helming af stærð upprunalega vigursins.
Þáttur er hluti af vigri sem vísar í gagnstæða átt við upprunalega vigurinn.
Þáttur er hluti af vigri sem vísar í sömu átt og upprunalegi vigurinn en er tvöfalt stærri.
9.
Hvernig getum við ákvarðað heildarhornið θ (mælt rangsælis frá jákvæðum x-ás) ef við þekkjum Aₓ og Aᵧ ?
θ = cos − 1 Aᵧ Aₓ
θ = cot − 1 Aᵧ Aₓ
θ = sin − 1 Aᵧ Aₓ
θ = tan⁻¹(Aᵧ/Aₓ)
10.
Hvernig getum við ákvarðað stærð vigurs ef við þekkjum stærðir þátta hans?
