1. kafli
1. kafli
Þitt verkefni
1.1
Í upptalningarrithætti eru stök mengis skráð innan slaufusviga og aðgreind með kommum. Listinn þinn kann að innihalda önnur verkfæri. Mengi eru yfirleitt táknuð með hástöfum.
𝑇
=
{
w
r
e
n
c
h
,
s
c
r
e
w
d
r
i
v
e
r
,
h
a
m
m
e
r
,
p
l
i
e
r
s
}
T
=
{
w
r
e
n
c
h
,
s
c
r
e
w
d
r
i
v
e
r
,
h
a
m
m
e
r
,
p
l
i
e
r
s
}
Ein möguleg lausn:
𝑇
=
{
w
r
e
n
c
h
,
s
c
r
e
w
d
r
i
v
e
r
,
h
a
m
m
e
r
,
p
l
y
e
r
s
}
T
=
{
skiptilykill, skrúfjárn, hamar, töng
}
.
1.2
Vel skilgreint mengi segir skýrt hvort stak tilheyri menginu. „Safn meðalstórra kartaflna“ er ekki vel skilgreint; hvað gerir kartöflu meðalstóra?
Þetta er ekki vel skilgreint mengi.
Vel skilgreint mengi segir skýrt hvort stak tilheyri menginu. Hægt er að ákvarða hvaða tónlistarfólk var í hljómsveitinni þegar hún var stofnuð árið 1995.
𝐵
=
{
w
i
l
l
.
i
.
a
m
,
a
p
l
.
d
e
.
a
p
,
t
a
b
o
o
}
B
=
{
w
i
l
l
.
i
.
a
m
,
a
p
l
.
d
e
.
a
p
,
t
a
b
o
o
}
Þetta er vel skilgreint mengi.
1.3
Ef ekkert stak uppfyllir skilyrði mengisins er tóma mengið táknað annaðhvort með yfirstrikuðu núlli eða tómum slaufusvigum.
∅
o
r
{
}
∅
o
r
{
}
∅
o
r
{
}
∅
eða { }
1.4
Mundu að taka núll með, því skilyrðið segir „stærra en eða jafnt og núll“. Stöðvaðu fyrir 10, því 10 er ekki eins stafs tala.
𝐷
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
D
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
𝐷
=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
9
}
D
=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
9
}
1.5
Mengið er óendanlegt. Fyrir stór mengi eru nógu margar tölur skráðar til að sýna mynstrið og síðan þrír punktar, úrfellingarpunktar, sem sýna framhaldið. Ef engin tala fylgir punktunum heldur mengið áfram endalaust.
𝑀
=
{
1
,
3
,
5
,
⋯
}
M
=
{
1
,
3
,
5
,
⋯
}
𝑀
=
{
1
,
3
,
5
,
…
}
M
=
{
1
,
3
,
5
,
…
}
1.6
Upptalningarritháttur skráir stök mengis. Mengjaskilgreining notar bókstaf fyrir dæmigert stak, lóðrétt strik og lýsingu á stakinu. Þar sem óhentugt er að telja upp allar bílategundir er mengjaskilgreining einfaldari.
𝐶
=
{
𝑐
|
𝑐
i
s
a
t
y
p
e
o
f
c
a
r
}
C
=
{
c
|
c
i
s
a
t
y
p
e
o
f
c
a
r
}
𝐶
=
{
𝑐
|
𝑐
i
s
a
c
a
r
}
C
=
{
c
|
c
er bíll
}
1.7
Upptalningarritháttur skráir stök mengis. Mengjaskilgreining notar bókstaf fyrir dæmigert stak, lóðrétt strik og lýsingu á stakinu. Þar sem óhentugt er að telja upp öll hljóðfæri er mengjaskilgreining einfaldari.
𝐼
=
{
𝑖
|
𝑖
i
s
a
m
u
s
i
c
a
l
i
n
s
t
r
u
m
e
n
t
}
I
=
{
i
|
i
i
s
a
m
u
s
i
c
a
l
i
n
s
t
r
u
m
e
n
t
}
𝐼
=
{
𝑖
|
𝑖
i
s
a
m
u
s
i
c
a
l
i
n
s
t
r
u
m
e
n
t
}
I
=
{
i
|
i
er hljóðfæri
}
1.8
Fjöldatala er fjöldi staka í menginu. Engar frumtölur eru minni en 2.
𝑛
(
P
)
=
0
n
(
P
)
=
0
𝑛
(
𝑃
)
=
0
n
(
P
)
=
0
Fjöldatala er fjöldi staka í menginu. Í enska stafrófinu eru 26 lágstafir.
𝑛
(
P
)
=
2
6
n
(
P
)
=
26
𝑛
(
𝐴
)
=
2
6
n
(
A
)
=
26
1.9
Fjögur stök eru í menginu
B
, svo mengið er endanlegt.
endanlegt
Engin stærsta eða minnsta rauntala er til og því er mengið óendanlegt.
óendanlegt
1.10
Jöfn mengi hafa sömu stök óháð röð. Þessi mengi hafa sömu stök í ólíkri röð.
Mengið
𝐵
B
er jafnt menginu
𝐴
A
,
𝐵
=
𝐴
B
=
A
Jöfn mengi hafa sömu stök óháð röð. Þessi mengi eru ekki jöfn því aðeins annað þeirra inniheldur stakið
f
. Jafnfjölmenn mengi hafa jafnmörg stök. Annað mengið hefur fjögur stök en hitt fimm og því eru þau hvorki jöfn né jafnfjölmenn.
hvorugt
Jöfn mengi hafa sömu stök en jafnfjölmenn mengi hafa jafnmörg stök. Þessi mengi eru jafnfjölmenn en ekki jöfn: bæði hafa fjögur stök en stök þeirra eru ekki öll þau sömu. Annað hefur
b
, en hitt hefur
c
.
Mengið
𝐵
B
er jafnfjölmennt menginu
𝐶
C
,
𝐵
∼
𝐶
B
∼
C
1.11
Skref 1: Byrjaðu á menginu sjálfu, því hvert mengi er hlutmengi sjálfs sín. Upprunalega mengið hefur tvö stök og fjöldatöluna 2.
Skref 2: Skráðu næst öll eiginleg hlutmengi með einu staki færra en upprunalega mengið, það er eins staks mengin.
Skref 3: Haltu áfram og fækkaðu stökum um eitt í hverju skrefi. Hér eru skráð hlutmengi með engu staki, það er tóma mengið.
{
h
e
a
d
s
,
t
a
i
l
s
}
;
{
framhlið, bakhlið
}
;
{
h
e
a
d
s
}
,
{
t
a
i
l
s
}
;
{
framhlið
}
,
{
bakhlið
}
;
og
∅
∅
1.12
Mengi er eiginlegt hlutmengi L ef sérhvert stak þess er í L og það vantar að minnsta kosti eitt stak L. Eiginleg eins staks hlutmengi L eru eftirfarandi.
Eins staks mengi gæti innihaldið hvert eftirfarandi stak:
.
Mengi er eiginlegt hlutmengi L ef sérhvert stak þess er í L og það vantar að minnsta kosti eitt stak L. Þriggja staka eiginleg hlutmengi L innihalda þrjú stök og sleppa einu.
Hver eftirfarandi samsetning þriggja staka gengur:
{ Articuno, Zapdos, Mewtwo },{ Articuno, Moltres, Mewtwo }, eða { Zapdos, Moltres, Mewtwo }.
Mengi er eiginlegt hlutmengi
L
ef sérhvert stak hlutmengisins er í
L
og hlutmengið
inniheldur ekki
stak sem er í
L
. Eina eiginlega hlutmengi
L
án staka er tóma mengið, táknað með
{
}
{
}
eða
∅
∅
.
Tóma mengið er táknað
{
}
{
}
eða
∅
∅
.
1.13
Mengið af sléttum tölum í verkefninu er hlutmengi náttúrlegu talnanna. Það er eiginlegt hlutmengi því sumar náttúrlegar tölur, til dæmis 1 og 3, eru ekki sléttar. Táknmálið er:
Athugaðu að neikvæðar sléttar tölur voru ekki hluti þessa verkefnis.
𝐸
⊂
ℕ
E
⊂
N
1.14
Notaðu formúluna fyrir fjölda hlutmengja n-staka mengis A: 2ⁿ.
Mengið T hefur níu stök.
512
1.15
Mengjaskilgreining notar bókstaf fyrir dæmigert stak, lóðrétt strik og lýsingu á stakinu.
{
𝑚
|
𝑚
=
5
𝑛
w
h
e
r
e
𝑛
∈
ℕ
}
{
m
|
m
=
5
n
þar sem
n
∈
N
}
1.16
Serena pantaði einnig fisksamloku og kjúklingabita, því til að mengin væru jöfn þurftu þau að innihalda nákvæmlega sömu stök: {fisksamloka, kjúklingabitar} = {fisksamloka, kjúklingabitar}.
Jöfn mengi hafa sömu stök. Til að valkostirnir væru jafnir þurftu þau að panta sama mat. Serena pantaði fisksamloku og kjúklingabita.
1.17
Margar lausnir eru mögulegar. Hvort mengi þarf að innihalda tvo leikmenn, en leikmennirnir mega ekki báðir vera þeir sömu því þá væru mengin jöfn en ekki aðeins jafnfjölmenn. Dæmi: {Maria, Shantelle} og {Angie, Maria}.
1.18
L er hlutmengi U ef sérhvert stak L er í U. Þar sem öll ljón eru kettir er sérhvert stak ljónamengisins í kattamenginu.
Ljónamengið er hlutmengi altæka kattamengisins. Venn-myndin sýnir með öðrum orðum að öll ljón eru kettir. Táknrænt:
𝐿
⊂
𝑈
L
⊂
U
.
1.19
Mengi eru sundurlæg ef þau eiga ekkert stak sameiginlegt. Enginn örn er kanarífugl og enginn kanarífugl örn. Mengin eru sundurlæg.
Arnamengið og kanarífuglamengið eru tvö sundurlæg hlutmengi altæka mengis allra fugla.
1.20
Altæka mengið er mengi heiltalna. Teiknaðu rétthyrning og merktu hann
𝑈
=
I
n
t
e
g
e
r
s
U
=
Heiltölur
. Teiknaðu síðan hring innan rétthyrningsins og merktu hann Náttúrlegar tölur.
1.21
1.22
A′ táknar fyllimengi A, það er öll stök altæka mengisins U sem eru ekki í A. Skráðu stök U sem eru ekki í A.
𝐴
′
=
{
o
r
a
n
g
e
,
g
r
e
e
n
,
i
n
d
i
g
o
,
v
i
o
l
e
t
}
A
′
=
{
appelsínugulur, grænn, indigóblár, fjólublár
}
A′ táknar fyllimengi A, það er öll stök altæka mengisins U sem eru ekki í A. Þar sem A inniheldur ketti sem eru ekki ljón inniheldur fyllimengið ketti sem eru ljón.
𝐴
′
=
{
𝑐
∈
𝑈
|
𝑐
i
s
a
l
i
o
n
}
A
′
=
{
c
∈
U
|
c
er ljón
}
eða
𝐴
′
=
{
𝑐
∈
𝑈
|
𝑐
∉
𝐴
}
A
′
=
{
c
∈
U
|
c
∉
A
}
1.23
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur sameiginleg stök þeirra. Aðeins stakið a er í báðum.
𝐴
formúluhlutur
𝐵
=
{
𝑎
}
A
formúluhlutur
B
=
{
a
}
1.24
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur sameiginleg stök þeirra. Mengin eiga ekkert sameiginlegt stak og sniðmengið er því tóma mengið, táknað með yfirstrikuðu núlli eða tómum slaufusvigum.
eða
𝐴
∩
𝐵
=
{
}
A
∩
B
=
{
}
1.25
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur sameiginleg stök þeirra. Mengin eiga sérhljóðana sameiginlega.
𝐴
∩
𝐵
=
𝐵
=
{
𝑎
,
𝑒
,
𝑖
,
𝑜
,
𝑢
}
A
∩
B
=
B
=
{
a
,
e
,
i
,
o
,
u
}
1.26
Sammengi tveggja mengja inniheldur öll stök beggja mengja. Ekki skrá tvítekningar.
𝐴
∪
𝐵
=
{
𝑎
,
𝑑
,
ℎ
,
𝑝
,
𝑠
,
𝑦
}
A
∪
B
=
{
a
,
d
,
h
,
p
,
s
,
y
}
1.27
Sammengi tveggja mengja inniheldur öll stök beggja mengja. Ekki skrá tvítekningar.
𝐴
∪
𝐵
=
{
r
e
d
,
y
e
l
l
o
w
,
b
l
u
e
,
o
r
a
n
g
e
,
g
r
e
e
n
,
p
u
r
p
l
e
}
A
∪
B
=
{
red, yellow, blue, orange, green, purple}
1.28
Sammengi tveggja mengja inniheldur öll stök beggja mengja. Ekki skrá tvítekningar. Sérhljóðarnir í B eru hlutmengi A og sammengið er því A.
𝐴
∪
𝐵
=
{
𝑎
,
𝑏
,
𝑐
,
…
,
𝑧
}
=
𝐴
A
∪
B
=
{
a
,
b
,
c
,
…
,
z
}
=
A
.
1.29
33
Notaðu formúluna n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
1.30
113
Notaðu formúluna n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
1.31
Til að finna A eða B skaltu finna A ∪ B. Sammengið inniheldur öll stök beggja mengja án tvítekninga.
𝐴
A
eða
𝐵
=
𝐴
∪
𝐵
=
{
ℎ
,
𝑎
,
𝑝
,
𝑦
,
𝑤
,
𝑒
,
𝑠
,
𝑜
,
𝑚
}
.
B
=
A
∪
B
=
{
h
,
a
,
p
,
y
,
w
,
e
,
s
,
o
,
m
}
.
Til að finna A og C skaltu finna A ∩ C. Sniðmengið inniheldur stök sem eru í báðum mengjum.
𝐴
A
og
𝐶
=
𝐴
∩
𝐶
=
{
𝑎
,
ℎ
}
.
C
=
A
∩
C
=
{
a
,
h
}
.
Til að finna B eða C skaltu finna B ∪ C. Sammengið inniheldur öll stök beggja mengja án tvítekninga.
𝐵
B
eða
𝐶
=
𝐵
∪
𝐶
=
{
𝑎
,
𝑤
,
𝑒
,
𝑠
,
𝑜
,
𝑚
,
𝑡
,
ℎ
}
.
C
=
B
∪
C
=
{
a
,
w
,
e
,
s
,
o
,
m
,
t
,
h
}
.
Til að finna (A og C) og B þarf að fylgja röð aðgerða og reikna svigann fyrst.
Reiknaðu fyrst innan svigans: A og C = A ∩ C. Sniðmengið inniheldur stök sem eru í báðum mengjum.
To find (A og C) og , find .
(
𝐴
A
og
𝐶
C
) og
𝐵
=
(
𝐴
∩
𝐶
)
∩
𝐵
=
{
𝑎
,
ℎ
}
∩
{
𝑎
,
𝑤
,
𝑒
,
𝑠
,
𝑜
,
𝑚
}
=
{
𝑎
}
.
B
=
(
A
∩
C
)
∩
B
=
{
a
,
h
}
∩
{
a
,
w
,
e
,
s
,
o
,
m
}
=
{
a
}
.
1.32
127
Heildarfjöldi gesta = 150
n(neither soup nor salad) = 23
Til að finna fjöldann sem fékk súpu, salat eða hvort tveggja skaltu draga 23 frá 150.
50
Heildarfjöldi gesta = 150
n(neither soup nor salad) = 23
Til að finna fjöldann sem fékk súpu, salat eða hvort tveggja skaltu draga 23 frá 150.
Þetta er fjöldi staka í sammengi súpu- og salatneytenda.
n(Soup Salad) = 127
n (Soup) = 92
n (Salad) = 85
Notaðu formúluna n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
| Settu inn. | 1 2 7 = 9 2 + 8 5 − 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 127 = 92 + 85 − n ( A ∩ B ) |
| Einfaldaðu. | 1 2 7 = 1 7 7 − 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 127 = 177 − n ( A ∩ B ) |
| Dragðu 127 frá. | 1 2 7 − 1 2 7 = 1 7 7 − 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) − 1 2 7 127 − 127 = 177 − n ( A ∩ B ) − 127 |
| Einfaldaðu. | 0 = 5 0 − 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 0 = 50 − n ( A ∩ B ) |
| Bættu breytunni við. | 0 + 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 5 0 − 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) + 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 0 + n ( A ∩ B ) = 50 − n ( A ∩ B ) + n ( A ∩ B ) |
| Einfaldaðu. | 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 5 0 n ( A ∩ B ) = 50 |
1.33
.
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur sameiginleg stök þeirra. Leitaðu að stökum á skörun hringjanna.
.
Sammengi tveggja mengja inniheldur öll stök beggja mengja án tvítekninga. Skráðu stök innan hringjanna tveggja.
.
Finndu fyrst B′, fyllimengi B, það er stök U sem eru ekki í B. Skráðu þau.
Finndu nú
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur stök sem eru í báðum.
.
Finndu fyrst B′, fyllimengi B, það er stök U sem eru ekki í B. Skráðu þau.
Finndu nú
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur stök sem eru í báðum.
n(A ∩ B′) er fjöldi staka í menginu, sem er tveir.
1.34
Til að finna A eða B skaltu finna A ∪ B. Sammengið inniheldur öll stök beggja mengja án tvítekninga.
Þar sem mengin eru sundurlæg er fjöldi staka í sammengi þeirra summa fjölda staka í hvoru mengi.
40
Til að finna A eða B, skaltu finna . Sniðmengið inniheldur sameiginleg stök. Mengin eiga engin sameiginleg stök og fjöldi staka í sniðmenginu er því núll.
0
A′ er fyllimengi A, það er stök U sem eru ekki í A. Fjöldi staka utan A er:
27
1.35
Teldu alla blóðflokka sem innihalda einhvers konar B.
Einnig mætti telja alla flokka án B. Ef þú leystir fyrra verkefni þekkirðu þegar fyllimengi B.
Teldu fólkið sem er annaðhvort í B-hringnum eða Rh+-hringnum.
1.36
Teiknaðu rétthyrning fyrir altæka mengið og merktu hann „U = ráðstefnugestir = 50“.
Teiknaðu þrjá skarandi hringi innan rétthyrningsins og merktu þá Súpa, Samloka og Salat. Í svæði Súpu án skörunar skrifarðu 4, í skörun aðeins við Samloku 2, í skörun allra þriggja 8 og í skörun aðeins við Salat 3. Í Samloku án skörunar skrifarðu 15 og í skörun aðeins við Salat 10. Í Salat án skörunar skrifarðu 8. Utan allra hringja skrifarðu 0.
1.37
Reiknaðu fyrst aðgerðina innan svigans.
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur stök sem eru í báðum.
𝐴
∩
(
𝐵
∩
𝐶
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
∩
{
0
,
6
,
1
2
}
=
{
0
,
6
}
A
∩
(
B
∩
C
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
∩
{
0
,
6
,
12
}
=
{
0
,
6
}
Reiknaðu segðina í vinstri sviganum.
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur stök sem eru í báðum.
Reiknaðu segðina í hægri sviganum.
Nú má finna (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
(
𝐴
∩
𝐵
)
∪
(
𝐵
∩
𝐶
)
=
{
0
,
2
,
4
,
6
}
∪
{
0
,
3
,
6
}
=
{
0
,
2
,
3
,
4
,
6
}
(
A
∩
B
)
∪
(
B
∩
C
)
=
{
0
,
2
,
4
,
6
}
∪
{
0
,
3
,
6
}
=
{
0
,
2
,
3
,
4
,
6
}
C′, fyllimengi C, inniheldur stök U sem eru ekki í C.
og
Reiknaðu segðina í vinstri sviganum.
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur stök sem eru í báðum.
Reiknaðu segðina í hægri sviganum.
Nú má finna (A ∪ C′) ∩ (A ∪ C′).
(
𝐴
∪
𝐶
′
)
∩
(
𝐵
∪
𝐶
′
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
1
0
,
1
1
}
∩
{
0
,
1
,
2
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
1
0
,
1
1
,
1
2
}
=
{
0
,
1
,
2
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
1
0
,
1
1
}
(
A
∪
C
′
)
∩
(
B
∪
C
′
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
10
,
11
}
∩
{
0
,
1
,
2
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
10
,
11
,
12
}
=
{
0
,
1
,
2
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
10
,
11
}
1.38
Teiknaðu fyrst vinstri hlið jöfnunnar.
Fyrir A ∩ B teiknarðu rétthyrning fyrir U og merkir hann U. Teiknaðu tvo skarandi hringi innan hans, merkta A og B, og skyggðu skörunina.
Teiknaðu síðan fyllimengi sniðmengisins: sömu Venn-mynd en skyggðu allt nema skörunina til að tákna (A ∩ B)′.
Teiknaðu nú hægri hlið jöfnunnar, A′ ∪ B′.
Teiknaðu fyrst A′: rétthyrning fyrir U með hringnum A innan hans og skyggðu allt utan hringsins.
Teiknaðu ∪-táknið hægra megin við rétthyrninginn.
Teiknaðu nú B′: rétthyrning fyrir U með hringnum B innan hans og skyggðu allt utan hringsins.
Teiknaðu jafnaðarmerkið = hægra megin við seinni rétthyrninginn.
Fyrir A′ ∪ B′ teiknarðu rétthyrning fyrir U og tvo skarandi hringi A og B innan hans. Skyggðu allt nema skörunina.
Vinstri hlið jöfnunnar er:
Hægri hlið jöfnunnar er:
Athugaðu skilning þinn
mengi
Annað svar: fjöldatala
fjöldatala
Vel skilgreint mengi segir skýrt hvort stak tilheyri því. Þetta mengi er ekki vel skilgreint því listar allra yrðu ekki eins.
ekki vel skilgreint mengi
Vel skilgreint mengi segir skýrt hvort stak tilheyri því. Hægt er að skrá nöfn þeirra tólf sem höfðu gengið á tunglinu 12. mars 2021.
M = {Neil Armstrong, Edwin “Buzz” Aldrin, Charles “Pete” Conrad, Alan Bean, Alan Shepard Jr., Edgar Mitchell, David Scott, James Irwin, John Young, Charles Duke, Eugene Cernan, Harrison Schmitt}
12
Jöfn mengi hafa sömu stök en jafnfjölmenn mengi jafnmörg stök. Þessi mengi eru jafnfjölmenn en ekki jöfn, því þau hafa jafnmörg en ólík stök.
jafnfjölmenn en ekki jöfn
Þótt fiðrildi séu gríðarlega mörg er fjöldi þeirra endanlegur. Mengið er endanlegt.
endanlegt
Upptalningarritháttur skráir einstök stök innan slaufusviga, aðgreind með kommum. Þegar mynstrið er ljóst má nota úrfellingarpunkta, en skrá þarf síðasta stakið Z svo mengið virðist ekki óendanlegt.
Mengjaskilgreining notar bókstaf fyrir dæmigert stak, lóðrétt strik og lýsingu á stakinu.
𝐴
=
{
𝑎
|
𝑎
i
s
a
c
a
p
i
t
a
l
l
e
t
t
e
r
o
f
t
h
e
E
n
g
l
i
s
h
a
l
p
h
a
b
e
t
}
A
=
{
a
|
a
i
s
a
c
a
p
i
t
a
l
l
e
t
t
e
r
o
f
t
h
e
E
n
g
l
i
s
h
a
l
p
h
a
b
e
t
}
Roster method: og set builder notation:
hlutmengi
Til að vera hlutmengi þurfa öll stök þess að vera í menginu. Til að vera eiginlegt hlutmengi þarf að minnsta kosti eitt stak mengisins að vanta í hlutmengið.
tómt
Rétt.
A
er hlutmengi sjálfs sín því sérhvert stak
A
er í
A
.
rétt
Notaðu formúluna fyrir fjölda hlutmengja n-staka mengis A: 2ⁿ.
Mengið A hefur tíu stök.
2
1
0
=
1
0
2
4
2
10
=
1024
Jafnfjölmenn mengi hafa jafnmörg stök. Þar sem
𝑛
(
𝐴
)
=
𝑛
(
𝐵
)
n
(
A
)
=
n
(
B
)
, eru mengin jafnfjölmenn.
jafnfjölmenn
jöfn
Jöfn mengi hafa sömu stök. Ekkert stak má vera aðeins í öðru menginu. Mengin
A
og
B
eru jöfn því sérhvert stak
A
er í
B
og sérhvert stak
B
er í
A
.
tengsl
altækt
sundurlæg eða skarast ekki
fyllimengi
sundurlæg
Til minnis má hugsa um gatnamót tveggja gatna: gatnamótin eru svæðið sem göturnar eiga sameiginlegt.
sniðmengi
Til minnis má hugsa um samband ríkja í ríkjasambandi: sammengi sameinar hluti.
sammengi
Gagnlegt er að sammengistáknið
(
∪
)
(
∪
)
líkist að nokkru
U
.
Sniðmengi tveggja mengja inniheldur sameiginleg stök. Þar sem
A
er hlutmengi
B
, eru öll stök
A
einnig í
B
. Engin önnur stök í
B
geta verið í
A
. Því gildir
𝐴
∩
𝐵
=
𝐴
A
∩
B
=
A
.
𝐴
A
Sammengi tveggja mengja inniheldur öll stök beggja mengja. Ekki skrá tvítekningar.
Þar sem A er hlutmengi B eru öll stök A einnig í B. Ekkert stak A er utan B og því er A ∪ B = B.
𝐵
B
Sundurlæg mengi eiga engin sameiginleg stök. Sniðmengið inniheldur sameiginleg stök. Þar sem mengið
A
og mengið
B
eru sundurlæg er sniðmengi þeirra tóma mengið.
tómt
𝑛
(
𝐴
∪
𝐵
)
=
𝑛
(
𝐴
)
+
𝑛
(
𝐵
)
−
𝑛
(
𝐴
∩
𝐵
)
n
(
A
∪
B
)
=
n
(
A
)
+
n
(
B
)
−
n
(
A
∩
B
)
skörun
Með því að byrja á svæðinu þar sem skörunin er mest er byrjað á flóknustu svæðunum og unnið þaðan að einfaldari hlutum myndarinnar.
miðlægu
sniðmengi allra þriggja mengjanna,
𝐴
∩
𝐵
∩
𝐶
A
∩
B
∩
C
svigar, fyllimengi
jafna, rétt