5. kafli
5. kafli
Þitt verkefni
5.1
18 plús 11 EÐA summa 18 og 11
27 sinnum 9 EÐA margfeldi 27 og 9
84 deilt með 7 EÐA kvóti 84 og 7
𝑝
p
mínus
𝑞
q
EÐA mismunur
𝑝
p
og
𝑞
q
5.2
4
3
+
6
7
43
+
67
Annað svar:
Krossmerkið er yfirleitt ekki notað í algebru.
(
4
5
)
(
3
)
(
45
)
(
3
)
Önnur svör:
45 / 3
4
5
÷
3
45
÷
3
8
9
−
4
2
89
−
42
5.3
𝑛
−
2
0
n
−
20
(
𝑛
+
2
)
⋅
6
(
n
+
2
)
⋅
6
EÐA
6
(
𝑛
+
2
)
6
(
n
+
2
)
Önnur svör:
Krossmerkið er yfirleitt ekki notað í algebru.
𝑛
3
−
5
n
3
−
5
| 𝑛 3 n 3 | Hafðu breytuna fyrst í þriðja veldi. |
| 𝑛 3 − 5 n 3 − 5 | Dragðu síðan 5 frá. |
6
0
ℎ
+
4
0
60
h
+
40
| 60 h | Margfaldaðu breytuna fyrst með 60: |
| 60 h + 40 | Bættu síðan 40 við: |
5.4
5
𝑦
=
5
0
5
y
=
50
Skiptu setningunni í hluta.
| Fimm sinnum y | er | 50 |
| 5 y | 50 |
1
2
𝑛
=
3
0
1
2
n
=
30
Skiptu setningunni í hluta.
| Helmingur tölunnar n | er | 30 |
| 1 2 𝑛 1/2 n | 30 |
Annað svar:
3
𝑛
−
7
=
2
3
n
−
7
=
2
Skiptu setningunni í hluta.
| Mismunur þrefaldrar tölu | og 7 | er | 2 |
| 3 n | – 7 | 2 |
3n – 7 = 2
2
𝑥
+
7
=
2
1
2
x
+
7
=
21
Skiptu setningunni í hluta.
| Tvöfalt x | að viðbættum 7 | er | 21 |
| 2 x | + 7 | 21 |
5.5
2
4
−
(
1
7
−
6
)
=
1
3
24
−
(
17
−
6
)
=
13
Staðfestu með forgangsröð reikniaðgerða.
(
3
⋅
6
)
+
1
3
=
3
1
(
3
⋅
6
)
+
13
=
31
Staðfestu með forgangsröð reikniaðgerða.
(
1
2
−
6
)
÷
(
5
−
3
)
=
3
(
12
−
6
)
÷
(
5
−
3
)
=
3
Staðfestu með forgangsröð reikniaðgerða.
5
⋅
(
3
2
+
5
)
=
7
0
5
⋅
(
3
2
+
5
)
=
70
Staðfestu með forgangsröð reikniaðgerða.
5.6
| 5 𝑥 − 6 = 5 ( 3 ) − 6 5 x − 6 = 5 ( 3 ) − 6 | Settu inn. |
| 1 5 − 6 15 − 6 | Einfaldaðu. |
9
9
9
| 𝑥 2 − 6 𝑥 + 3 = 3 2 − 6 ( 3 ) + 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 2 − 6 ( 3 ) + 3 | Settu inn. |
| 9 − 1 8 + 3 9 − 18 + 3 | Einfaldaðu. |
–6
−
6
−
6
5.7
Líkir liðir eru fastar eða hafa sömu breytu og sama veldisvísi. Flokkaðu líku liðina saman.
Leggðu saman stuðlana og haltu sömu breytu.
5
𝑥
2
−
3
𝑥
−
7
5
x
2
−
3
x
−
7
5.8
| 𝑥 2 − 4 𝑥 + 8 − 𝑥 2 − 5 𝑥 − 1 2 x 2 − 4 x + 8 − x 2 − 5 x − 12 | Dreifðu mínusmerkinu. |
Líkir liðir eru fastar eða hafa sömu breytu og sama veldisvísi. Flokkaðu líku liðina saman.
Leggðu saman stuðlana og haltu sömu breytu.
−
9
𝑥
–
4
−
9
x
–
4
5.9
2
𝑦
+
1
0
2
y
+
10
| 2 ( 𝑦 + 5 ) 2 ( y + 5 ) | Notaðu dreifireglu. |
| 2 𝑦 + 2 ( 5 ) 2 y + 2 ( 5 ) | |
| 2 𝑦 + 1 0 2 y + 10 |
−
2
𝑎
−
2
𝑏
+
8
−
2
a
−
2
b
+
8
| ( − 2 ) ( 𝑎 + 𝑏 − 4 ) ( − 2 ) ( a + b − 4 ) | Notaðu dreifireglu. |
| ( − 2 ) 𝑎 + ( − 2 ) 𝑏 + ( − 2 ) ( − 4 ) ( − 2 ) a + ( − 2 ) b + ( − 2 ) ( − 4 ) | |
| − 2 𝑎 − 2 𝑏 + 8 − 2 a − 2 b + 8 |
1
1
2
+
1
6
𝑥
112
+
16
x
| 4 2 ( 4 7 − 4 0 + 𝑥 ) 4 2 ( 47 − 40 + x ) | Einfaldaðu. Dragðu frá innan sviganna. |
| 4 2 ( 7 + 𝑥 ) 4 2 ( 7 + x ) | Reiknaðu veldið. |
| 1 6 ( 7 + 𝑥 ) 16 ( 7 + x ) | Notaðu dreifireglu. |
| 1 6 ( 7 ) + 1 6 ( 𝑥 ) 16 ( 7 ) + 16 ( x ) | |
| 1 1 2 + 1 6 𝑥 112 + 16 x |
6
𝑥
+
1
8
6
x
+
18
| ( 1 8 ÷ 3 ) ( 𝑥 + 7 − 4 ) ( 18 ÷ 3 ) ( x + 7 − 4 ) | Einfaldaðu. Deildu innan fyrri sviganna. |
| ( 6 ) ( 𝑥 + 7 − 4 ) ( 6 ) ( x + 7 − 4 ) | Dragðu frá innan síðari sviganna. |
| ( 6 ) ( 𝑥 + 3 ) ( 6 ) ( x + 3 ) | Notaðu dreifireglu. |
| 6 𝑥 + 6 ( 3 ) 6 x + 6 ( 3 ) | |
| 6 𝑥 + 1 8 6 x + 18 |
| 2 ( 3 𝑎 + 5 ) + ( − 3 ) ( 𝑎 + 2 ) 2 ( 3 a + 5 ) + ( − 3 ) ( a + 2 ) | Notaðu dreifireglu. |
| 2 ( 3 𝑎 ) + 2 ( 5 ) + ( − 3 ) ( 𝑎 ) + ( − 3 ) ( 2 ) 2 ( 3 a ) + 2 ( 5 ) + ( − 3 ) ( a ) + ( − 3 ) ( 2 ) | |
| 6 𝑎 + 1 0 − 3 𝑎 − 6 6 a + 10 − 3 a − 6 |
Líkir liðir eru fastar eða hafa sömu breytu og sama veldisvísi. Flokkaðu líku liðina saman.
Leggðu saman stuðlana og haltu sömu breytu.
3
𝑎
+
4
3
a
+
4
5.10
Notaðu dreifireglu.
Notaðu dreifireglu aftur.
Einfaldaðu.
Líkir liðir eru fastar eða hafa sömu breytu og sama veldisvísi. Leggðu saman stuðlana og haltu sömu breytu.
5.11
| ( 1 6 𝑥 2 + 4 𝑥 − 8 ) ÷ ( 4 ) ( 16 x 2 + 4 x − 8 ) ÷ ( 4 ) | Deildu hverjum lið með 4. |
| ( 1 6 𝑥 2 ÷ 4 ) + ( 4 𝑥 ÷ 4 ) + ( − 8 ÷ 4 ) ( 16 x 2 ÷ 4 ) + ( 4 x ÷ 4 ) + ( − 8 ÷ 4 ) | Einfaldaðu. |
| 4 𝑥 2 + 𝑥 − 2 4 x 2 + x − 2 |
5.12
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
Hér þarf ekkert að gera.
Skref 3: Safnaðu fastaliðunum hinum megin.
Skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
Skref 5: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑥
=
3
x
=
3
5.13
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
Hér þarf ekkert að gera.
Skref 3: Safnaðu fastaliðunum hinum megin.
Skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
Lausnin er þegar fundin.
Skref 5: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑦
=
2
8
y
=
28
5.14
Látum S tákna bækur Sams og H bækur Henrys.
Saman eiga þeir 68 bækur og því er S + H = 68.
Sam á 26 bækur; settu því 26 inn fyrir S.
26 + H = 68
Leystu fyrir H.
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
26 + H = 68
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
26 + H = 68
Þetta er þegar leyst.
Skref 3: Safnaðu fastaliðunum hinum megin.
26 + H – 26 = 68 – 26
H = 42
Skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
H = 42
Lausnin er þegar fundin.
Skref 5: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
Henry á 42 bækur.
Henry á 42 bækur.
5.15
Meðalverðið er $3,053 á gallón. Aiko fyllir bílinn með 16 gallónum.
Heildarkostnaður = 1 6 g a l l o n s ( 3 , 0 5 3 d o l l a r s 1 g a l l o n ) ≈ 4 8 , 8 5 d o l l a r s 16 g a l l o n s ( 3.053 d o l l a r s/1 g a l l o n ) ≈ 48.85 d o l l a r s
Heildarkostnaðurinn er $48,85.
Heildarkostnaður er $48,85
5.16
Dæmið sem þú semur getur verið breytilegt.
Leystu síðan algebrujöfnuna: 2 5 𝑥 + 7 5 = 2 0 0 25 x + 75 = 200
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
Þetta er þegar leyst.
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
Þetta er þegar leyst.
Skref 3: Safnaðu fastaliðunum hinum megin.
Skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
Skrifaðu setningu sem notar töluna 5 í samhengi við dæmið þitt.
Skref 5: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
Svör eru breytileg. Dæmi: Leigja má róðrarbretti fyrir $25 á klukkustund og kaupa vatnsskó á $75. Ef þú greiddir $200, hve margar klukkustundir leigðir þú brettið?
Þú leigðir róðrarbrettið í 5 klukkustundir.
5.17
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
Þetta er ósönn yrðing og jafnan hefur því enga lausn.
1
2
=
−
1
12
=
−
1
, sem er ósatt; þetta er því ósönn yrðing og jafnan hefur enga lausn.
5.18
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
Þessi yrðing er alltaf sönn. Breytan skiptir engu og lausnirnar eru því óendanlega margar.
−
1
2
=
−
1
2
−
12
=
−
12
, sem er satt; þetta er því sönn yrðing og lausnirnar eru óendanlega margar.
5.19
Leystu 𝐼 = 𝑃 𝑟 𝑡 I = P r t fyrir t. Meðhöndlaðu t sem breytu en allt annað sem fasta.
Fara má beint í skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
Annað svar: 𝑡 = 𝐼 𝑃 𝑟 t = I/P r
Skref 5: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑡
=
𝐼
P
𝑟
t
=
I
P
r
5.20
Meðhöndlaðu h sem breytu en allt annað sem fasta.
Fara má beint í skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
Annað svar: ℎ = 3 𝑉 𝜋 𝑟 2 h = 3 V/π r 2
ℎ
=
3
𝑉
𝜋
𝑟
2
h
=
3
V
π
r
2
5.21
Skyggðu talnalínuna vinstra megin við 2,5 til að sýna allar tölur minni en 2,5 og settu síðan sviga við 2,5 til að sýna að talan sé ekki með.
Ritaðu bilrithátt með sviga og mínusóendanleika vinstra megin til að sýna allar tölur minni en 2,5. Eftir kommu ritarðu 2,5 með sviga til að sýna að 2,5 sé ekki í lausnarmenginu.
(–∞, 2.5)
5.22
Teiknaðu 𝑥 ≥ 0 x ≥ 0 og 𝑥 ≤ 2 , 5 x ≤ 2.5. Skörun svæðanna er lausnin.
Á talnalínu: Settu hornklofa við 0 sem snýr til hægri og hornklofa við 2,5 sem snýr til vinstri. Skyggðu milli hornklofanna.
Bilritháttur: [0, 2,5]
0
≤
𝑥
≤
2
.
5
0
≤
x
≤
2.5
Mynd:
5.23
Leystu fyrst ójöfnuna.
| − 1 3 𝑚 ≥ 6 5 − 13 m ≥ 65 | Deildu með −13. |
| − 1 3 𝑚 − 1 3 ≤ 6 5 − 1 3 − 13 m/− 13 ≤ 65/− 13 | Snúðu ójöfnumerkinu í ≤ því deilt var með neikvæðri tölu. |
| 𝑚 ≤ − 5 m ≤ − 5 |
Skyggðu talnalínuna vinstra megin við − 5 − 5 til að sýna allar tölur þar og settu hornklofa við − 5 − 5 til að sýna að talan sé með.
Ritaðu bilrithátt með sviga og mínusóendanleika vinstra megin til að sýna allar tölur minni en −5. Eftir kommu ritarðu −5 með hornklofa til að sýna að −5 sé í lausnarmenginu.
(–∞, –5]
![Talnalína nær frá −7 til −4 í einingarskrefum. Hægri hornklofi er við −5 og svæðið vinstra megin skyggt. Textinn sýnir m ≤ −5 og (−∞, −5].](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/contemporary-mathematics/is/image-v3/75246e13dbcfe2795e959e33f4fced271cfc7a83/rendered.jpg?v=e87c79c85cea)
5.24
Leystu fyrst ójöfnuna.
| 8 𝑝 + 3 ( 𝑝 − 1 2 ) ≥ 7 𝑝 − 2 8 8 p + 3 ( p − 12 ) ≥ 7 p − 28 | Dreifðu. |
| 8 𝑝 + 3 𝑝 − 3 6 ≥ 7 𝑝 − 2 8 8 p + 3 p − 36 ≥ 7 p − 28 | Einfaldaðu. |
| 1 1 𝑝 − 3 6 ≥ 7 𝑝 − 2 8 11 p − 36 ≥ 7 p − 28 . | |
| 1 1 𝑝 − 3 6 − 7 𝑝 ≥ 7 𝑝 − 2 8 − 7 𝑝 11 p − 36 − 7 p ≥ 7 p − 28 − 7 p | Safnaðu breytuliðunum vinstra megin. |
| 4 𝑝 − 3 6 ≥ − 2 8 4 p − 36 ≥ − 28 | |
| 4 𝑝 − 3 6 + 3 6 ≥ − 2 8 + 3 6 4 p − 36 + 36 ≥ − 28 + 36 | Safnaðu fastaliðunum hægra megin. |
| 4 𝑝 ≥ 8 4 p ≥ 8 | |
| 4 𝑝 4 ≥ 8 4 4 p/4 ≥ 8/4 | Deildu með 4. |
| 𝑝 ≥ 2 p ≥ 2 |
Settu hornklofa við 2 til að sýna að 2 sé með í lausninni. Skyggðu til hægri frá 2 til að sýna allar stærri tölur.
Ritaðu bilrithátt með hornklofa við 2 til að sýna að 2 sé með. Lausnin heldur áfram til hægri og inniheldur allar tölur stærri en 2.
𝑝
≥
2
p
≥
2
5.25
Skiptu orðunum í hluta.
| Reikningurinn | er ekki hærri en | $28,80 fast gjald | að viðbættum | $0,20 fyrir hvert skilaboð |
| 28.80 | + | 0.20 m |
Haltu reikningnum í mesta lagi $50.
Haltu 2 8 , 8 0 + 0 , 2 𝑚 ≤ 5 0 28.80 + 0.2 m ≤ 50.
Leystu ójöfnuna 2 8 , 8 0 + 0 , 2 𝑚 ≤ 5 0 28.80 + 0.2 m ≤ 50.
| 2 8 . 8 0 + 0 . 2 𝑚 ≤ 5 0 − 2 8 . 8 0 28.80 + 0.2 m ≤ 50 − 28.80 | Safnaðu fastaliðunum öðrum megin. |
| 0 . 2 𝑚 ≤ 2 1 . 2 0.2 m ≤ 21.2 | |
| 0 . 2 𝑚 0 . 2 ≤ 2 1 . 2 0 . 2 0.2 m/0.2 ≤ 21.2/0.2 | Deildu báðum hliðum með 0,2. |
| 𝑚 ≤ 1 0 6 m ≤ 106 |
Taleisha getur sent í mesta lagi 106 textaskilaboð á mánuði.
Taleisha getur sent eða tekið við 106 textaskilaboðum eða færri og haldið mánaðarreikningnum í mesta lagi $50.
5.26
Skiptu orðunum í hluta.
| Fjöldi námseininga sem þú getur tekið | er ekki hærri en | $1.500 í sparnaði | að viðbættum | $500 námsstyrkur | deilt með | $113 kostnaður hverrar námseiningar |
| (1,500 | + | 500) | / | 113 |
Þú getur ekki eytt meiru en sparnaðinum og námsstyrknum samanlagt.
Leystu 𝐻 ≤ 1 , 5 0 0 + 5 0 0 1 1 3 H ≤ 1 , 500 + 500/113
Þar sem aðeins er hægt að taka heilan fjölda námseininga geturðu tekið í mesta lagi 17 námseiningar.
Þú gætir tekið allt að 17 námseiningar og haldið kostnaðinum undir $2.000.
5.27
Malik þarf að sinna kennslu í að minnsta kosti 23 klukkustundir.
Malik áformar sex daga frí.
$840 í sparnaði.
Fær $45 á klukkustund.
Fastur kostnaður: $525, $780
Daglegur kostnaður: $95 á nótt í 6 nætur = $570
Savings – Costs:
Malik þarf enn að afla $1.035.
Skiptu orðunum í hluta.
| 1,035 | er ekki minna en | 45 | sinnum | unnar klukkustundir |
| 1,035 | 45 | ∙ | h |
Leystu ójöfnuna 1 , 0 3 5 ≤ 4 5 ℎ 1 , 035 ≤ 45 h
| 1 , 0 3 5 ≤ 4 5 ℎ 1 , 035 ≤ 45 h | Deildu báðum hliðum með 45. |
| 1 , 0 3 5 4 5 ≤ 4 5 ℎ 4 5 1 , 035/45 ≤ 45 h/45 | |
| 2 3 ≤ ℎ 23 ≤ h |
Malik þarf að sinna kennslu í að minnsta kosti 23 klukkustundir.
5.28
Rita má hlutföll á þrjá vegu: a á móti b, a : b eða a/b, sem má rita með brotarithætti ( 𝑎 𝑏 ) ( a/b ).
Ef 𝑎 = 1 a = 1 Bandaríkjadalur og 𝑏 = 1 , 2 1 b = 1.21 Kanadadalur má rita hlutfallið á þrjá vegu.
1 á móti 1,21
1:1.21
𝑎
a
= 1 Bandaríkjadalur og
𝑏
b
= 1,21 Kanadadalur; hlutfallið er 1 á móti 1,21, eða 1 : 1,21, eða
1
1
.
2
1
1
1.21
.
5.29
Rita má hlutföll á þrjá vegu: a á móti b, a : b eða a/b, sem má rita með brotarithætti ( 𝑎 𝑏 ) ( a/b ).
Ef 𝑎 = 1 7 0 a = 170 pund og 𝑏 = 6 4 b = 64 pund má rita hlutfallið á þrjá vegu.
170 á móti 64
170:64
Þar sem
𝑎
a
= 170 pund á jörðinni og
𝑏
b
= 64 pund á Mars; hlutfallið er 170 á móti 64, eða 170 : 64, eða
1
7
0
6
4
170
64
.
5.30
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera dollarafjöldann sem þú átt að fá.
Settu upp hlutföll með Bandaríkjadali í teljara og evrur í nefnara. Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Gjaldeyrisskipti | Það sem ég á eða vil | |
| Bandaríkjadalir | 1 | |
| Evrur | 0.82 | 180 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 1 ( 1 8 0 ) = 0 . 8 2 𝑥 1 ( 180 ) = 0.82 x | Krossmargfaldaðu. |
| Deildu. Námundaðu að tveimur aukastöfum þar sem um peninga er að ræða. | |
| 2 1 9 . 5 1 ≈ 𝑥 219.51 ≈ x |
Þú ættir að fá $219,51.
$219.51
5.31
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera þyngdina á tunglinu.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Umreikningur | Það sem ég á eða vil | |
| Þyngd á jörðinni | 200 | 3,040 |
| Þyngd á tunglinu | 33 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 2 0 0 𝑥 = ( 3 3 ) ( 3 , 0 4 0 ) 200 x = ( 33 ) ( 3 , 040 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 2 0 0 𝑥 = 1 0 0 , 3 2 0 200 x = 100 , 320 | |
| Deildu. | |
| 𝑥 = 5 0 1 . 6 x = 501.6 |
Þyngd bílsins á Mars er nákvæmlega 501,6 pund.
501,6 pund
5.32
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera fjölda smákaka sem hægt er að baka.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Uppskrift | Það sem ég á eða vil | |
| Bollar af hveiti | 2.25 | 27 |
| Smákökur | 60 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 2 . 2 5 𝑥 = ( 6 0 ) ( 2 7 ) 2.25 x = ( 60 ) ( 27 ) | Krossmargfaldaðu: 200x |
| 2 . 2 5 𝑥 = 1 , 6 2 0 2.25 x = 1 , 620 | |
| Deildu. | |
| 𝑥 = 7 2 0 x = 720 |
Þú getur bakað 720 smákökur.
720 smákökur
5.33
Settu upp töflu til samanburðar.
| Gólfflís | bók | borð | blýantur | |
| Lengd (tommur) | 24 | 13 | 60 | 7.5 |
| Lengd (cm) | 60.96 | 33.02 | 152.4 | 19.05 |
| Hlutfall 𝑐 𝑚 𝑖 𝑛 c m/i n c m/i n | 6 0 . 9 6 2 4 60.96/24 | 3 3 . 0 2 1 3 33.02/13 | 1 5 2 . 4 6 0 152.4/60 | 1 9 . 0 5 7 . 5 19.05/7.5 |
| Fastinn. Deildu til að finna fastann. | 2.54 | 2.54 | 2.54 | 2.54 |
Hlutfallsfastinn er 2,54. Hann segir að 2,54 cm séu um það bil 1 tomma.
Hlutfallsfastinn, sentímetrar deilt með tommum, er 2,54. Það segir að 2,54 sentímetrar séu í einni tommu.
5.34
Zac hleypur á jöfnum hraða, 4 mílur á klukkustund.
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera hlaupatímann.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Gjaldeyrisskipti | Það sem ég á eða vil | |
| mílur | 4 | 122 |
| klukkustundir | 1 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 4 𝑥 = ( 1 ) ( 1 2 2 ) 4 x = ( 1 ) ( 122 ) | Krossmargfaldaðu |
| Deildu. | |
| 𝑥 = 3 0 . 5 x = 30.5 |
Zac hljóp í 30,5 klukkustundir.
Annað svar: Zac hljóp í 30 klukkustundir og 30 mínútur.
30,5 klukkustundir (eða 30½ klukkustund, eða 30 klukkustundir og 30 mínútur)
5.35
Joe fær $2,50 fyrir hverja fötu.
Joe fyllti 83 fötur.
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera upphæðina sem hann vann sér inn.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Umreikningur | Það sem ég á eða vil | |
| fötur | 1 | 83 |
| dollarar | $2.50 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 𝑥 = ( 2 . 5 0 ) ( 8 3 ) x = ( 2.50 ) ( 83 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 𝑥 = 2 0 7 . 5 0 x = 207.50 |
Joe vann sér inn $207,50.
$207.50
5.36
0,62 mílur eru um það bil 1 kílómetri.
Montreal er í 203 kílómetra fjarlægð.
Látum x vera fjarlægðina til Montreal í mílum.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Umreikningur | Það sem ég á eða vil | |
| kílómetrar | 1 | 203 |
| mílur | 0.62 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 𝑥 = ( 0 . 6 2 ) ( 2 0 3 ) x = ( 0.62 ) ( 203 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 𝑥 ≈ 1 2 5 . 9 m i l e s x ≈ 125.9 m i l e s |
Fjarlægðin til Montreal er um 125,9 mílur.
125,9 mílur
5.37
Mælikvarðinn er breytilegur eftir skjá nemandans. Hér er gert ráð fyrir eftirfarandi jaðarlengdum kortsins:
Suðurjaðar kortsins er 4 tommur.
Norðurjaðar kortsins er einnig 4 tommur.
Austur- og vesturjaðar kortsins eru hvor um sig 3 tommur.
Raunverulegi suðurjaðarinn er 365 mílur.
Látum x vera mælikvarðann, það er hve margar raunverulegar mílur ein tomma á kortinu táknar.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Umreikningur | Það sem ég á eða vil | |
| tommur á korti | 4 | 1 |
| mílur | 365 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 4 𝑥 = ( 3 6 5 ) ( 1 ) 4 x = ( 365 ) ( 1 ) | Krossmargfaldaðu. |
| Deildu. | |
| 𝑥 = 9 1 . 2 5 m i l e s x = 91.25 m i l e s |
Mælikvarðinn er ein tomma á korti jafngildir 91,25 raunverulegum mílum.
Notaðu nú mælikvarðann til að finna lengd austur- og vesturjaðarsins.
Látum b vera lengd vesturjaðarsins.
| Mælikvarði | Vesturjaðar | |
| tommur á korti | 1 | 3 |
| mílur | 91.25 |
| 𝑏 = ( 9 1 . 2 5 ) ( 3 ) b = ( 91.25 ) ( 3 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 𝑏 = 2 7 3 . 7 5 m i l e s b = 273.75 m i l e s |
Vestur- og austurjaðarinn eru 273,75 mílur að lengd. Norður- og suðurjaðarinn eru 365 mílur. Mælikvarðinn er ein tomma = 91,25 mílur.
Mælikvarðinn er
1
i
n
c
h
=
9
1
.
2
5
m
i
l
e
s
1
tomma
=
91.25
mílur
. Hinir jaðrarnir reiknast þannig: austur- og vesturjaðar eru 273,75 mílur og norðurjaðar 365 mílur.
5.38
Látum x vera raunverulega lengd Jeep-bílsins.
| Mælikvarði | Það sem ég veit eða vil vita | |
| leikfangajeppi | 1 | 11,5 tommur |
| raunverulegur Jeep-bíll | 16 |
| 𝑥 = ( 1 6 ) ( 1 1 . 5 ) x = ( 16 ) ( 11.5 ) | Krossmargfaldaðu. |
Raunverulegi Jeep-bíllinn er 184 tommur að lengd. Einnig má rita svarið sem 15 fet og 4 tommur.
184 tommur, eða 15 fet og 4 tommur.
5.39
(−4, 2): Færðu þig 4 einingar til vinstri og 2 upp til að merkja punktinn. Hann er í öðrum fjórðungi.
(−1, −2): Færðu þig 1 einingu til vinstri og 2 niður til að merkja punktinn. Hann er í þriðja fjórðungi.
(3, −5): Færðu þig 3 einingar til hægri og 5 niður til að merkja punktinn. Hann er í fjórða fjórðungi.
(−3, 0): Færðu þig 3 einingar til vinstri og merktu punktinn á neikvæða x-ásnum.
(5/3, 2): Færðu þig 5/3 einingar til hægri og 2 upp til að merkja punktinn. Hann er í fyrsta fjórðungi.
5.40
Er raðaða parið lausn jöfnunnar?
Settu parið inn í jöfnuna.
Þetta er satt og því er raðaða parið lausn.
Er punkturinn á línunni?
Já. Ef raðaða parið er lausn jöfnunnar er það punktur á línunni.
Er raðaða parið lausn jöfnunnar? Settu parið inn í jöfnuna.
Þetta er ekki satt og því er raðaða parið ekki lausn.
Er punkturinn á línunni?
Nei. Ef raðaða parið er ekki lausn jöfnunnar er það ekki punktur á línunni.
Er raðaða parið lausn jöfnunnar? Settu parið inn í jöfnuna.
Þetta er satt og því er raðaða parið lausn.
Er punkturinn á línunni?
Já. Ef raðaða parið er lausn jöfnunnar er það punktur á línunni.
Er raðaða parið lausn jöfnunnar? Settu parið inn í jöfnuna.
Þetta er satt og því er raðaða parið lausn.
Er punkturinn á línunni?
Já. Ef raðaða parið er lausn jöfnunnar er það punktur á línunni.
5.41
Finndu þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar. Veldu þrjú gildi fyrir x.
| –1 | |
| 0 | |
| 1 |
Settu þau inn í jöfnuna til að finna y-gildin.
| 𝑦 = 3 𝑥 – 1 y = 3 x – 1 | ||
| –1 | –4 | 3 ( – 1 ) – 1 = – 3 – 1 = – 4 3 ( – 1 ) – 1 = – 3 – 1 = – 4 |
| 0 | –1 | 3 ( 0 ) – 1 = 0 – 1 = – 1 3 ( 0 ) – 1 = 0 – 1 = – 1 |
| 1 | 2 | 3 ( 1 ) – 1 = 3 – 1 = 2 3 ( 1 ) – 1 = 3 – 1 = 2 |
Merktu punktana. Gakktu úr skugga um að þeir liggi á beinni línu og teiknaðu línuna.
5.42
Skiptu orðunum í hluta.
Látum x vera fjölda frímerkja.
Látum y vera kostnaðinn við að senda bréfabúntið.
| Sendingarkostnaður | er | verð eins frímerkis | sinnum | fjöldi bréfa |
| $0.55 | ∙ |
| 𝑦 = 0 . 5 5 𝑥 y = 0.55 x | |
| 𝑦 = 0 . 5 5 ( 3 ) y = 0.55 ( 3 ) | Settu 3 inn fyrir x. |
| 𝑦 = 1 . 6 5 y = 1.65 |
Vinur þinn greiðir $1,65 fyrir frímerki.
Vinur þinn greiðir $1,65.
5.43
Er raðaða parið lausn ójöfnunnar?
Settu parið inn í ójöfnuna.
Þetta er satt og því er raðaða parið lausn.
Já
Er raðaða parið lausn ójöfnunnar?
Settu parið inn í ójöfnuna.
Þetta er satt og því er raðaða parið lausn.
Já
Er raðaða parið lausn ójöfnunnar?
Settu parið inn í ójöfnuna.
Þetta er ekki satt og því er raðaða parið ekki lausn.
Nei
Er raðaða parið lausn ójöfnunnar?
Settu parið inn í ójöfnuna.
Þetta er ekki satt og því er raðaða parið ekki lausn.
Nei
Er raðaða parið lausn ójöfnunnar?
Settu parið inn í ójöfnuna.
Þetta er ekki satt og því er raðaða parið ekki lausn.
Nei
5.44
Jaðarlína myndarinnar er gefin: 𝑦 = − 2 𝑥 + 3 y = − 2 x + 3.
Prófaðu punkt sem er ekki á línunni til að kanna hvort 𝑦 ≥ − 2 𝑥 + 3 y ≥ − 2 x + 3 sé svarið:
0 ≥ 3 er ósatt og því er (0, 0) ekki lausn. Það samræmist því að tillagan er svæðið ofan við línuna.
Prófaðu (5, 1).
1 ≥ −7 er satt og því er rétt að skyggja ofan við línuna.
Svarið er 𝑦 ≥ − 2 𝑥 + 3 y ≥ − 2 x + 3.
𝑦
≥
−
2
𝑥
+
3
y
≥
−
2
x
+
3
5.45
Teiknaðu línuna 𝑦 = 2 3 𝑥 − 1 y = 2/3 x − 1 með punktalínu því ójafnan er stranglega stærra en.
Skyggðu ofan við línuna því hér er y >.
Prófaðu (0, 0) til að staðfesta að rétt sé að skyggja ofan við línuna.
0 > −1 er satt og því er (0, 0) í lausnarmenginu. Skyggingin á að innihalda (0, 0) og er rétt.
5.46
1
1
𝑥
+
1
6
.
5
𝑦
≥
3
3
0
11
x
+
16.5
y
≥
330
Skiptu orðunum í hluta.
Látum x vera fjölda unninna klukkustunda á bensínstöðinni.
$11 = tímakaup á bensínstöðinni.
Látum y vera fjölda unninna klukkustunda sem upplýsingatækniráðgjafi.
$16,50 = tímakaup sem upplýsingatækniráðgjafi.
$330 = lágmarksupphæð sem afla þarf á viku.
| Laun á bensínstöð | að viðbættum | Laun í upplýsingatækni | er að minnsta kosti | 330 |
| 11 x | + | 16.50 y | 330 |
Ritaðu ójöfnu sem lýsir aðstæðunum:
Teiknaðu ójöfnuna 1 1 𝑥 + 1 6 , 5 0 𝑦 ≥ 3 3 0 11 x + 16.50 y ≥ 330.
Teiknaðu línuna 1 1 𝑥 + 1 6 , 5 0 𝑦 = 3 3 0 11 x + 16.50 y = 330 með heilli línu því jafnaðarmerki er með.
Prófaðu (0, 0) í 1 1 𝑥 + 1 6 , 5 0 𝑦 ≥ 3 3 0 11 x + 16.50 y ≥ 330.
0 ≥ 330 er ósatt og því er hin hlið jaðarlínunnar skyggð.
Skyggingin á ekki að innihalda (0, 0).
Svör eru breytileg.
Prófaðu (0, 0) í 1 1 𝑥 + 1 6 , 5 0 𝑦 ≥ 3 3 0 11 x + 16.50 y ≥ 330.
0 ≥ 330 er ósatt. Punkturinn er ekki í lausnarmenginu.
Harrison ætti ekki að sleppa vinnu alveg; þá fengi hann engin laun.
Prófaðu (15, 5).
Þessi punktur er ekki í lausnarmenginu.
Ef Harrison vinnur 15 klukkustundir á bensínstöðinni og 5 í upplýsingatæknistarfinu aflar hann ekki nægilegra tekna.
Prófaðu (30, 10).
Þessi punktur er í lausnarmenginu.
Ef Harrison vinnur 30 klukkustundir á bensínstöðinni og 10 í upplýsingatæknistarfinu aflar hann $496, sem er meira en krafist er. Þetta eru 40 vinnustundir á viku og vel framkvæmanlegt.
5.47
Nota má töflu til að æfa dreifingu þar til margföldun margliða er orðin kunnugleg. Dreifing gildir óháð fjölda liða og alltaf má nota slíka töflu til að halda utan um liðina.
| + 3 | ||
| 𝑥 2 x 2 | 3 x | |
| + 1 | 3 |
Eftir margföldun eru margfeldin úr reitunum rituð sem summa.
Sameinaðu líka liði.
𝑥
2
+
4
𝑥
+
3
x
2
+
4
x
+
3
5.48
2
𝑥
2
−
5
𝑥
−
3
2
x
2
−
5
x
−
3
Nota má töflu til að æfa dreifingu þar til margföldun margliða er orðin kunnugleg. Dreifing gildir óháð fjölda liða og alltaf má nota slíka töflu til að halda utan um liðina.
| – 3 | ||
| 2 x | 2 𝑥 2 2 x 2 | –6 x |
| + 1 | –3 |
Eftir margföldun eru margfeldin úr reitunum rituð sem summa.
Sameinaðu líka liði.
5.49
(
𝑥
+
2
)
(
𝑥
+
4
)
(
x
+
2
)
(
x
+
4
)
Leitaðu að þáttum 8 sem hafa summuna 6. Þetta gildir þegar stuðull 𝑥 2 x 2 liðarins er 1.
| Þættir 8 | Summa þátta = 6 | Tókst? |
| 1 sinnum 8 | 1 + 8 = 9 1 + 8 = 9 | Nei |
| 2 sinnum 4 | 2 + 4 = 6 2 + 4 = 6 | Já! |
Þar sem 2 og 4 eru þættir 8 og summa þeirra er 6 má mynda þætti margliðunnar.
5.50
Leitaðu að þáttum 63 sem hafa summuna −16. Þetta gildir þegar stuðull 𝑥 2 x 2 liðarins er 1.
| Þættir 63 | Summa þátta = −16 | Tókst? |
| 1 sinnum 63 | 1 + 6 3 = 6 4 1 + 63 = 64 | Nei |
| 3 sinnum 21 | 3 + 2 1 = 2 4 3 + 21 = 24 | Nei |
| 7 sinnum 9 | 7 + 9 = 1 6 7 + 9 = 16 | Nei, en þetta er andstæða summunnar sem leitað er að. Prófaðu neikvæð gildi þáttanna. |
| −7 sinnum −9 | − 7 + ( − 9 ) = − 1 6 − 7 + ( − 9 ) = − 16 | Já |
Þar sem −7 og −9 eru þættir 63 og summa þeirra er −16 má mynda þætti margliðunnar.
(
𝑥
−
7
)
(
𝑥
−
9
)
(
x
−
7
)
(
x
−
9
)
5.51
Leystu í bili með því að merkja nokkra punkta.
| 𝑥 x | 𝑦 y | 𝑦 = − 𝑥 2 y = − x 2 |
| –3 | –9 | 𝑦 = − ( − 3 ) 2 y = − ( − 3 ) 2 |
| –2 | –4 | 𝑦 = − ( − 2 ) 2 y = − ( − 2 ) 2 |
| –1 | –1 | 𝑦 = − ( − 1 ) 2 y = − ( − 1 ) 2 |
| 0 | 0 | 𝑦 = − ( 0 ) 2 y = − ( 0 ) 2 |
| 1 | –1 | 𝑦 = − ( 1 ) 2 y = − ( 1 ) 2 |
| 2 | –4 | 𝑦 = − ( 2 ) 2 y = − ( 2 ) 2 |
| 3 | –9 | 𝑦 = − ( 3 ) 2 y = − ( 3 ) 2 |
Tengdu punktana með mjúkri ferilínu.
5.52
𝑦
=
0
y
=
0
þar sem
𝑥
=
−
3
x
=
−
3
eða
𝑥
=
2
x
=
2
𝑥
=
−
3
,
𝑥
=
2
x
=
−
3
,
x
=
2
5.53
| 𝑥 − 2 = 0 x − 2 = 0 | 𝑥 + 5 = 0 x + 5 = 0 | Settu þættina jafna núlli. |
| 𝑥 = 2 x = 2 | 𝑥 = − 5 x = − 5 | Leystu hvora nýja jöfnu. |
Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑥
=
2
x
=
2
eða
𝑥
=
−
5
x
=
−
5
5.54
| 𝑥 2 + 2 𝑥 − 1 5 = 0 x 2 + 2 x − 15 = 0 | ||
| ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 5 ) = 0 ( x − 3 ) ( x + 5 ) = 0 | Þáttaðu margliðuna. | |
| 𝑥 − 3 = 0 x − 3 = 0 | 𝑥 + 5 = 0 x + 5 = 0 | Settu þættina jafna núlli. |
| 𝑥 = 3 x = 3 | 𝑥 = − 5 x = − 5 | Leystu hvora nýja jöfnu. |
Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑥
=
3
x
=
3
eða
𝑥
=
−
5
x
=
−
5
5.55
| 𝑥 2 = 2 5 x 2 = 25 | ||
| 𝑥 = ± √ 2 5 x = ± 25 | Notaðu kvaðratrótarregluna. | |
| 𝑥 = ± 5 x = ± 5 | Einfaldaðu. | |
| 𝑥 = 5 x = 5 | 𝑥 = − 5 x = − 5 | Endurritaðu lausnirnar tvær. |
Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑥
=
5
x
=
5
,
𝑥
=
−
5
x
=
−
5
5.56
| 2 5 𝑝 2 = 4 9 25 p 2 = 49 | ||
| 𝑝 2 = 4 9 2 5 p 2 = 49/25 | Deildu. | |
| 𝑝 = ± √ 4 9 2 5 p = ± 49/25 | Notaðu kvaðratrótarregluna. | |
| 𝑝 = ± 7 5 p = ± 7/5 | Einfaldaðu. | |
| 𝑝 = 7 5 p = 7/5 | 𝑝 = − 7 5 p = − 7/5 | Endurritaðu lausnirnar tvær. |
Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
𝑝
=
7
5
p
=
7
5
,
𝑝
=
−
7
5
p
=
−
7
5
5.57
| 𝑎 2 − 2 𝑎 − 1 5 = 0 a 2 − 2 a − 15 = 0 | Jafnan er á staðalformi. |
Í annars stigs formúlunni eru 𝑎 = 1 a = 1, 𝑏 = −2 b = −2 og 𝑐 = −15 c = −15. Ekki ruglast þótt bókstafurinn a komi tvisvar fyrir í dæminu.
Lausnir jöfnunnar fást með annars stigs formúlunni − 𝑏 ± √ 𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 2 𝑎 − b ± b 2 − 4 a c/2 a.
| − ( − 2 ) ± √ ( − 2 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 1 5 ) 2 ( 1 ) − ( − 2 ) ± ( − 2 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 15 )/2 ( 1 ) | Settu inn. | |
| 2 ± √ 4 + 6 0 2 2 ± 4 + 60/2 | Einfaldaðu. | |
| 2 ± √ 6 4 2 2 ± 64/2 | ||
| 2 ± 8 2 2 ± 8/2 | ||
| 𝑎 = 2 + 8 2 a = 2 + 8/2 | 𝑎 = 2 − 8 2 a = 2 − 8/2 | Endurritaðu til að sýna lausnirnar tvær. |
| 𝑎 = 1 0 2 a = 10/2 | 𝑎 = − 6 2 a = − 6/2 | Einfaldaðu. |
| 𝑎 = 5 a = 5 | 𝑎 = − 3 a = − 3 |
Þú átt eftir að sannreyna.
𝑎
=
5
a
=
5
,
𝑎
=
−
3
a
=
−
3
5.58
| 3 𝑦 2 − 5 𝑦 + 2 = 0 3 y 2 − 5 y + 2 = 0 | Jafnan er á staðalformi. |
Í annars stigs formúlunni eru 𝑎 = 3 a = 3, 𝑏 = −5 b = −5 og 𝑐 = 2 c = 2.
Lausnir jöfnunnar fást með annars stigs formúlunni − 𝑏 ± √ 𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 2 𝑎 − b ± b 2 − 4 a c/2 a.
| − ( − 5 ) ± √ ( − 5 ) 2 − 4 ( 3 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) − ( − 5 ) ± ( − 5 ) 2 − 4 ( 3 ) ( 2 )/2 ( 3 ) | Settu inn. | |
| 5 ± √ 2 5 − 2 4 6 5 ± 25 − 24/6 | Einfaldaðu. | |
| 5 ± √ 1 6 5 ± 1/6 | ||
| 5 ± 1 6 5 ± 1/6 | ||
| 𝑦 = 5 + 1 6 y = 5 + 1/6 | 𝑦 = 5 − 1 6 y = 5 − 1/6 | Endurritaðu til að sýna lausnirnar tvær. |
| 𝑦 = 6 6 y = 6/6 | 𝑦 = 4 6 y = 4/6 | Einfaldaðu. |
| 𝑦 = 1 y = 1 | 𝑦 = 2 3 y = 2/3 |
Þú átt eftir að sannreyna.
𝑦
=
1
y
=
1
,
𝑦
=
2
3
y
=
2
3
5.59
Látum 𝑦 = ein heiltala. y = ein heiltala.
Látum 𝑦 + 1 vera næstu heiltölu. y + 1 = næsta heiltala.
Skiptu setningunni í hluta.
| Margfeldi tveggja samliggjandi heiltalna | er | 240 | ||
| 𝑦 y | margfaldað með | 𝑦 + 1 y + 1 | 240 |
| 𝑦 ( 𝑦 + 1 ) = 2 4 0 y ( y + 1 ) = 240 | Jafnan er ekki á staðalformi. |
| 𝑦 2 + 𝑦 = 2 4 0 y 2 + y = 240 | Dreifðu vinstra megin. |
| 𝑦 2 + 𝑦 − 2 4 0 = 2 4 0 − 2 4 0 y 2 + y − 240 = 240 − 240 | Dragðu frá til að færa jöfnuna á staðalform. |
| 𝑦 2 + 𝑦 − 2 4 0 = 0 y 2 + y − 240 = 0 | Jafnan er á staðalformi. Notaðu einhverja lausnaraðferðina. |
Ábending: Notaðu WolframAlpha til að þátta 240 og leitaðu að pari með summuna 1 og margfeldið 240. Parið 16 og −15 gengur. Formerkin þurfa að vera ólík svo margfeldið verði neikvætt og 16 jákvætt svo miðliðurinn verði jákvæður.
| ( 𝑦 + 1 6 ) ( 𝑦 − 1 5 ) = 0 ( y + 16 ) ( y − 15 ) = 0 | ||
| 𝑦 + 1 6 = 0 y + 16 = 0 | 𝑦 − 1 5 = 0 y − 15 = 0 | Settu þættina jafna núlli. |
| 𝑦 = − 1 6 y = − 16 | 𝑦 = 1 5 y = 15 | Leystu hvora nýja jöfnu. |
| 𝑦 + 1 = − 1 5 y + 1 = − 15 | 𝑦 + 1 = 1 6 y + 1 = 16 | Finndu síðari heiltöluna fyrir hvora lausn. |
Tvö talnapör ganga: −16 og −15 annars vegar og 15 og 16 hins vegar.
Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
16, 15 og −16, −15
5.60
Látum 𝑤 vera breidd skiltisins í fetum. w = breidd skiltisins í fetum.
Látum 𝑤 + 1 vera lengd skiltisins. w + 1 = lengd skiltisins.
Skiptu setningunni í hluta.
| Lengd | sinnum | breidd | er | flatarmál |
| 𝑤 w | sinnum | 𝑤 + 1 w + 1 | 30 |
| 𝑤 ( 𝑤 + 1 ) = 3 0 w ( w + 1 ) = 30 | Jafnan er ekki á staðalformi. | |
| 𝑤 2 + 𝑤 = 3 0 w 2 + w = 30 | Dreifðu vinstra megin. | |
| 𝑤 2 + 𝑤 − 3 0 = 3 0 − 3 0 w 2 + w − 30 = 30 − 30 | Dragðu frá til að færa jöfnuna á staðalform. | |
| 𝑤 2 + 𝑤 − 3 0 = 0 w 2 + w − 30 = 0 | Jafnan er á staðalformi. Notaðu einhverja lausnaraðferðina. | |
| ( 𝑤 + 6 ) ( 𝑤 − 5 ) = 0 ( w + 6 ) ( w − 5 ) = 0 | Þetta er leyst með þáttun. | |
| 𝑤 + 6 = 0 w + 6 = 0 | 𝑤 − 5 = 0 w − 5 = 0 | Settu þættina jafna núlli. |
| 𝑦 = − 6 y = − 6 | 𝑤 = 5 w = 5 | Leystu hvora nýja jöfnu. |
| 𝑤 + 1 = − 5 w + 1 = − 5 | 𝑤 + 1 = 6 w + 1 = 6 | Finndu síðari heiltöluna fyrir hvora lausn. |
Aðeins eitt talnapar gengur því lengd og breidd geta ekki verið neikvæðar: breiddin er 5 fet og lengdin 6 fet.
Þetta stenst því flatarmálið er 30 ferfet.
w
i
d
t
h
=
5
f
e
e
t
breidd
=
5
fet
,
l
e
n
g
t
h
=
6
f
e
e
t
lengd
=
6
fet
5.61
| 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 − 2 𝑥 + 1 f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 | |
| 𝑓 ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 − 2 ( 3 ) + 1 f ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 − 2 ( 3 ) + 1 | Settu 3 inn fyrir x. |
| 𝑓 ( 3 ) = 2 7 − 6 + 1 f ( 3 ) = 27 − 6 + 1 | Einfaldaðu. |
| 𝑓 ( 3 ) = 2 2 f ( 3 ) = 22 |
22
| 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 − 2 𝑥 + 1 f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 | |
| 𝑓 ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 1 f ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 1 | Settu −1 inn fyrir x. |
| 𝑓 ( 1 ) = 3 + 2 + 1 f ( 1 ) = 3 + 2 + 1 | Einfaldaðu. |
| 𝑓 ( 1 ) = 6 f ( 1 ) = 6 |
6
| 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 − 2 𝑥 + 1 f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 | |
| 𝑓 ( 𝑡 ) = 3 ( 𝑡 ) 2 − 2 ( 𝑡 ) + 1 f ( t ) = 3 ( t ) 2 − 2 ( t ) + 1 | Settu t inn fyrir x. |
| 𝑓 ( 𝑡 ) = 3 𝑡 2 − 2 𝑡 + 1 f ( t ) = 3 t 2 − 2 t + 1 | Einfaldaðu. |
3
𝑡
2
−
2
𝑡
+
1
3
t
2
−
2
t
+
1
5.62
| 𝑁 ( 𝑡 ) = 1 0 0 + 1 5 𝑡 N ( t ) = 100 + 15 t | |
| 𝑁 ( 5 ) = 1 0 0 + 1 5 ( 7 ) N ( 5 ) = 100 + 15 ( 7 ) | Settu 7 inn fyrir t. |
| 𝑁 ( 5 ) = 1 0 0 + 1 0 5 N ( 5 ) = 100 + 105 | Einfaldaðu. |
| 𝑁 ( 5 ) = 2 0 5 N ( 5 ) = 205 |
Bryan átti 205 ólesin tölvupóstskeyti eftir sjö daga.
Eftir 7 daga voru 205 ólesin tölvupóstskeyti.
5.63
Þessi vensl eru fall því engin
x
-gildi endurtaka sig. Hvert
x
-gildi samsvarar aðeins einu
y
-gildi.
Þessi vensl eru fall.
Þessi vensl eru ekki fall því
x
-gildi endurtaka sig. Til dæmis samsvarar
x
-gildið 2 fleiri en einu
y
-gildi.
Þessi vensl eru ekki fall.
5.64
Þessi vensl eru ekki fall því
x
-gildi. Bæði George og Mike samsvara fleiri en einu
y
-gildi.
Bæði George og Mike hafa tvö símanúmer. Hvert
𝑥
x
-gildi samsvarar ekki aðeins einu
𝑦
y
-gildi. Þessi vensl eru ekki fall.
5.65
Þetta er jafna línu. Hvert
x-
gildi á línu er parað við aðeins eitt
y
-gildi.
fall
| 𝑥 + 𝑦 2 = 1 x + y 2 = 1 | Einangraðu y-liðinn. | |
| 𝑥 + 𝑦 2 − 𝑥 = 1 − 𝑥 x + y 2 − x = 1 − x | ||
| 𝑦 2 = 1 − 𝑥 y 2 = 1 − x | ||
| 𝑦 = ± √ 1 − 𝑥 y = ± 1 − x | Notaðu kvaðratrótarregluna. |
Settu 0 inn fyrir x.
y = 1 og −1.
Tvö y-gildi samsvara því einu x-gildi. Þetta er ekki fall.
ekki fall
Fyrst er x hafið í annað veldi og síðan 2 bætt við. Þar sem hvert x-gildi samsvarar aðeins einu y-gildi er þetta fall.
fall
5.66
Þetta er fall. Lóðrétt lína sker grafið aðeins einu sinni og það stenst því lóðrétta línuprófið.
Þetta graf táknar fall.
5.67
Þetta er ekki fall. Sums staðar sker lóðrétt lína grafið oftar en einu sinni og það stenst ekki lóðrétta línuprófið.
Þetta graf táknar ekki fall.
5.68
Skilgreiningarmengið er mengi allra
𝑥
x
-gilda venslanna:
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
.
Myndmengið er mengi allra
𝑦
y
-gilda venslanna:
{
1
,
8
,
2
7
,
6
4
,
1
2
5
}
{
1
,
8
,
27
,
64
,
125
}
.
5.69
Röðuðu pör venslanna eru:
{
(
−
3
,
3
)
,
(
−
2
,
2
)
,
(
−
1
,
0
)
,
(
0
,
−
1
)
,
(
2
,
−
2
)
,
(
4
,
−
4
)
}
{
(
−
3
,
3
)
,
(
−
2
,
2
)
,
(
−
1
,
0
)
,
(
0
,
−
1
)
,
(
2
,
−
2
)
,
(
4
,
−
4
)
}
.
Skilgreiningarmengið er mengi allra
𝑥
x
-gilda venslanna:
{
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
2
,
4
}
{
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
2
,
4
}
.
Myndmengið er mengi allra
𝑦
y
-gilda venslanna:
{
−
4
,
−
2
,
−
1
,
0
,
2
,
3
}
{
−
4
,
−
2
,
−
1
,
0
,
2
,
3
}
.
5.70
Grafið sker
𝑥
x
-ásinn í punktinum (2, 0). Skurðpunkturinn við
𝑥
x
-ásinn er (2, 0). Grafið sker
𝑦
y
-ásinn í punktinum (0, −2). Skurðpunkturinn við
𝑦
y
-ásinn er (0, −2).
y-hnit punktsins þar sem línan sker x-ásinn er núll. Hér er punkturinn (2, 0). Skurðpunktur við x-ás hefur formið (𝑎, 0) og kallast x-skurðpunktur línunnar. Hér er hann (2, 0).
x-hnit punktsins þar sem línan sker y-ásinn er núll. Hér er punkturinn (0, −2). Skurðpunktur við y-ás hefur formið (0, 𝑏) og kallast y-skurðpunktur línunnar. Hann kemur þar sem x = 0 og er hér (0, −2).
5.71
Settu y = 0 til að finna x-skurðpunktinn.
x-skurðpunktur: (4, 0).
Settu x = 0 til að finna y-skurðpunktinn.
y-skurðpunktur: (0, 12).
Merktu skurðpunktana og tengdu þá til að teikna línuna.
Skurðpunkturinn við
𝑥
x
-ásinn er (4, 0) og skurðpunkturinn við
𝑦
y
-ásinn er (0, 12).
5.72
Finndu tvo punkta á grafinu með heiltöluhnit. Hér eru notaðir (0, −2) og (3, −6).
Teiknaðu rétthyrndan þríhyrning á grafið til að auðvelda talningu hækkunar á móti láréttri færslu.
Byrjaðu í (0, −2).
Teldu hækkunina. Þar sem farið er niður er hún neikvæð: −4.
Teldu láréttu færsluna. Farið er til hægri og hún er því jákvæð: 3.
Notaðu hallatöluformúluna. 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = −4/3.
Hallatala línunnar er −4/3.
𝑚
=
−
4
3
m
=
−
4
3
5.73
Punktur 1: (−3, 4) og punktur 2: (2, −1).
Finndu hallatöluna.
| Settu inn. | ||
| 𝑚 = 5 − 5 = − 1 m = 5/− 5 = − 1 | Einfaldaðu. |
Hallatalan er −1.
Merkja má punktana og staðfesta hallatöluna með því að telja hækkun á móti láréttri færslu.
s
l
o
p
e
=
−
1
hallatala
=
−
1
5.74
Þegar jafnan er á hallatölu- og skurðpunktsformi línujöfnu,
.
m = hallatalan.
(0, b) = the y-intercept.
| 𝑦 = 2 𝑥 − 1 y = 2 x − 1 | Þessi jafna er á hallatölu- og skurðpunktsformi og hallatalan er því 2. |
y-skurðpunkturinn er (0, −1).
hallatala
𝑚
=
2
m
=
2
og
𝑦
-
i
n
t
e
r
c
e
p
t
=
(
0
,
−
1
)
y
-skurðpunktur
=
(
0
,
−
1
)
Þegar jafnan er á hallatölu- og skurðpunktsformi línujöfnu,
.
m = hallatalan.
(0, b) = the y-intercept.
| 𝑥 + 4 𝑦 = 1 6 x + 4 y = 16 | Leystu fyrir y. |
| 𝑥 + 4 𝑦 − 𝑥 = 1 6 − 𝑥 x + 4 y − x = 16 − x | Dragðu frá. |
| 4 𝑦 = − 𝑥 + 1 6 4 y = − x + 16 | |
| Deildu. | |
| 𝑦 = − 1 4 𝑥 + 4 y = − 1/4 x + 4 | Jafnan er nú á hallatölu- og skurðpunktsformi. |
Hallatalan er −1/4.
y-skurðpunkturinn er (0, 4).
hallatala
𝑚
=
−
1
4
m
=
−
1
4
og
𝑦
-
i
n
t
e
r
c
e
p
t
=
(
0
,
4
)
y
-skurðpunktur
=
(
0
,
4
)
5.75
Þegar jafnan er á hallatölu- og skurðpunktsformi línujöfnu,
.
m = hallatalan.
(0, b) = the y-intercept.
| 𝑦 = − 𝑥 − 3 y = − x − 3 | Þetta er á hallatölu- og skurðpunktsformi. |
Hallatalan er −1. Til að sýna hækkun á móti láréttri færslu er hún rituð −1/1.
y-skurðpunkturinn er (0, −3).
Merktu punktinn (0, −3).
Notaðu hallatöluna frá þeim punkti, 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = −1/1, farðu eina einingu niður og eina til hægri og merktu næsta punkt.
Tengdu punktana tvo með línu.
5.76
Ein breyta er sértilvik.
Búðu til gildistöflu.
| 5 | 2 |
| 5 | 4 |
| 5 | –1 |
Merktu punktana og tengdu þá með línu.
5.77
Ein breyta er sértilvik.
Búðu til gildistöflu.
| –3 | –4 |
| 0 | –4 |
| 2 | –4 |
Merktu punktana og tengdu þá með línu.
5.78
(0, 20) er
𝑦
-
i
n
t
e
r
c
e
p
t
y
-skurðpunktur
og táknar að 20 kennarar voru við Jones-framhaldsskólann árið 1990. Enginn
𝑥
-
i
n
t
e
r
c
e
p
t
x
-skurðpunktur
.
Milli 1990 og 1995:
Hækkunin er 10 og lárétta færslan 5.
Notaðu hallatöluformúluna: 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = 10/5 = 2.
Að meðaltali bættust tveir kennarar við skólann á ári milli 1990 og 1995.
Milli 1995 og 2000:
Hækkunin er 50 − 30 = 20.
Lárétta færslan er 2000 − 1995 = 5.
Notaðu hallatöluformúluna: 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = 20/5 = 4.
Að meðaltali bættust fjórir kennarar við skólann á ári milli 1995 og 2000.
Milli 2000 og 2005:
Hækkunin er 0.
Lárétta færslan er 5.
Hallatalan er 0.
Að meðaltali bættist enginn kennari við á ári milli 2000 og 2005; kennarafjöldinn var óbreyttur.
Milli 2005 og 2010:
Hækkunin er −10.
Lárétta færslan er 5.
Notaðu hallatöluformúluna: 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = −10/5 = −2.
Að meðaltali fækkaði kennurum um tvo á ári milli 2005 og 2010.
Milli 2010 og 2015:
Hækkunin er 20.
Lárétta færslan er 5.
Notaðu hallatöluformúluna: 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = 20/5 = 4.
Að meðaltali bættust fjórir kennarar við skólann á ári milli 2010 og 2015.
Milli 2015 og 2020:
Hækkunin er 20.
Lárétta færslan er 5.
Notaðu hallatöluformúluna: 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = 20/5 = 4.
Að meðaltali bættust fjórir kennarar við á ári milli 2015 og 2020, sama hallatala og milli 2010 og 2015.
Fyrstu fimm árin er hallatalan 2; að meðaltali bættust tveir kennarar við árlega milli 1990 og 1995. Milli 1995 og 2000 er hallatalan 4 og fjórir bættust við árlega. Hallatalan er 0 milli 2000 og 2005 og fjöldinn stóð í stað. Kennurum fækkaði milli 2005 og 2010, táknað með hallatölunni −2. Loks er hallatalan 4 milli 2010 og 2020, svo að meðaltali bættust fjórir kennarar við árlega.
Svör eru breytileg. Jones-framhaldsskólinn var stofnaður 1990 og réð tvo kennara árlega til 1995. Þá fjölgaði nemendum og skólinn réð fjóra á ári næstu fimm ár. Ráðningar voru frystar 2000–2005. Síðan fækkaði nemendum og kennurum fækkaði um tvo á ári til 2010. Önnur fjölgun nemenda leiddi til fjögurra nýrra kennara árlega til 2020, þegar kennararnir voru 80.
5.79
Áætluð hæð er 50 tommur.
50 tommur
Áætluð hæð er 66 tommur.
66 tommur
Fyrir hverja hækkun um eitt skónúmer hækkar áætluð hæð um tvær tommur. Skurðpunkturinn segir að við skónúmer 0 sé áætluð hæð 50 tommur.
Hallatalan 2 merkir að hæðin
ℎ
h
eykst um 2 tommur þegar skónúmerið hækkar um eitt.
Merktu punktinn (0, 50). Notaðu hallatöluna
(
𝑚
=
2
=
𝑟
𝑖
𝑠
𝑒
𝑟
𝑢
𝑛
=
2
1
)
(
m
=
2
=
r
i
s
e
r
u
n
=
2
1
)
til að finna annan punkt. Frá (0, 50) ferðu 2 upp og 1 til hægri, merkir punktinn og tengir punktana með línu.
Skurðpunkturinn við
ℎ
h
-skurðpunkturinn merkir að þegar skónúmerið er 0 er hæð konunnar 50 tommur.
5.80
Kostnaður Stellu er $25 þegar engin pítsa er seld.
$25
Kostnaður Stellu er $85.
$85
Þegar jafnan er á hallatölu- og skurðpunktsformi línujöfnu,
.
m = hallatalan.
(0, b) = the y-intercept.
y-skurðpunkturinn gefur kostnaðinn þegar engin pítsa er seld: $25.
Hallatalan gefur hækkun kostnaðar fyrir hverja pítsu. Fyrir hverja selda pítsu hækkar kostnaður Stellu um $4.
Hallatalan 4 merkir að vikulegur kostnaður
𝐶
C
hækkar um $4 þegar fjöldi seldra pítsa
𝑝
p
hækkar um 1. Skurðpunkturinn við
𝐶
C
-ás merkir að þegar engin pítsa er seld er vikulegur kostnaður $25.
Merktu punktinn (0, 25).
Notaðu hallatöluna 𝑚 = hækkun/lárétt færsla = 4/1 frá þeim punkti, farðu 4 upp og 1 til hægri og merktu næsta punkt.
Tengdu punktana tvo með línu.
Mynd:
5.81
| { 𝑥 − 3 𝑦 = − 8 − 3 𝑥 − 𝑦 = 4 { x − 3 y = − 8 − 3 x − y = 4 | |
| Prófaðu (2, −2). | |
| 2 − 3 ( − 2 ) = − 8 2 − 3 ( − 2 ) = − 8 | Settu inn í fyrri jöfnuna. |
| 2 + 6 = − 8 2 + 6 = − 8 | Þetta er ekki satt. Raðaða parið er ekki lausn jöfnuhneppisins því það er ekki lausn jöfnunnar. |
Nei
| { 𝑥 − 3 𝑦 = − 8 − 3 𝑥 − 𝑦 = 4 { x − 3 y = − 8 − 3 x − y = 4 | |
| Prófaðu (−2, 2). | |
| − 2 − 3 ( 2 ) = − 8 − 2 − 3 ( 2 ) = − 8 | Settu inn í fyrri jöfnuna. |
| − 2 − 6 = − 8 − 2 − 6 = − 8 | Þetta er satt. |
| − 3 ( − 2 ) − ( 2 ) = 4 − 3 ( − 2 ) − ( 2 ) = 4 | Settu inn í síðari jöfnuna. |
| 6 − 2 = 4 6 − 2 = 4 | |
| 4 = 4 4 = 4 | Þetta er satt. Raðaða parið er lausn jöfnuhneppisins. |
Já
5.82
| { 𝑦 = 2 3 𝑥 + 1 − 2 𝑥 + 3 𝑦 = 5 { y = 2/3 x + 1 − 2 x + 3 y = 5 | |
| Prófaðu (3, 3). | |
| 3 = 2 3 ( 3 ) + 1 3 = 2/3 ( 3 ) + 1 | Settu inn í fyrri jöfnuna. |
| 3 = 2 + 1 3 = 2 + 1 | Þetta er satt. |
| − 2 ( 3 ) + 3 ( 3 ) = 5 − 2 ( 3 ) + 3 ( 3 ) = 5 | Settu inn í síðari jöfnuna. |
| − 6 + 9 = 5 − 6 + 9 = 5 | |
| 3 = 5 3 = 5 | Þetta er ekki satt. Raðaða parið er ekki lausn jöfnuhneppisins. |
Nei
| { 𝑦 = 2 3 𝑥 + 1 − 2 𝑥 + 3 𝑦 = 5 { y = 2/3 x + 1 − 2 x + 3 y = 5 | |
| Prófaðu (−3, 3). | |
| 3 = 2 3 ( − 3 ) + 1 3 = 2/3 ( − 3 ) + 1 | Settu inn í fyrri jöfnuna. |
| 3 = − 2 + 1 3 = − 2 + 1 | Þetta er ekki satt. Raðaða parið er ekki lausn jöfnuhneppisins og ekki þarf að prófa síðari jöfnuna. |
Nei
5.83
Teiknaðu fyrri línuna með skurðpunktunum (−3, 0) og (0, 1).
Teiknaðu síðari línuna með skurðpunktunum (5, 0) og (0, 5).
Línurnar skerast í (3, 2).
Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
5.84
Skref 1: Leystu aðra jöfnuna fyrir aðra hvora breytuna.
Skref 2: Settu segðina úr skrefi 1 inn í hina jöfnuna.
Skref 3: Leystu jöfnuna sem fæst.
Skref 4: Settu lausn skrefs 3 inn í aðra hvora upphaflegu jöfnuna til að finna hina breytuna.
Skref 5: Ritaðu lausnina sem raðað par.
Skref 6: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
(3, 2)
5.85
Skref 1: Ritaðu báðar jöfnurnar á staðalformi, 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 = 𝐶 A x + B y = C.
Jöfnuhneppið er þegar á staðalformi.
Skref 2: Gerðu stuðla annarrar breytunnar að gagnstæðum tölum.
Skref 3: Leggðu saman jöfnurnar úr skrefi 2 til að eyða annarri breytunni.
| –3 y | –3 | |||
| –5 | ||||
| SUMMA: | –4 y | –8 |
Skref 4: Leystu fyrir breytuna sem eftir er.
Skref 5: Settu lausn skrefs 4 inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leystu fyrir hina breytuna.
Skref 6: Ritaðu lausnina sem raðað par.
Skref 6: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
(
3
,
2
)
(
3
,
2
)
5.86
Skref 1: Leystu aðra jöfnuna fyrir aðra hvora breytuna.
Skref 2: Settu segðina úr skrefi 1 inn í hina jöfnuna.
Skref 3: Leystu jöfnuna sem fæst.
Þetta er ósatt. Jöfnuhneppið hefur enga lausn.
Jöfnuhneppið hefur enga lausn.
5.87
Skref 1: Leystu aðra jöfnuna fyrir aðra hvora breytuna.
Skref 2: Settu segðina úr skrefi 1 inn í hina jöfnuna.
Skref 3: Leystu jöfnuna sem fæst.
Þetta er alltaf satt. Jöfnuhneppið hefur óendanlega margar lausnir.
Jöfnuhneppið hefur óendanlega margar lausnir.
5.88
Látum e vera hitaeiningar sem brenna á hverri mínútu á sporöskjulaga þjálfunartæki.
Látum c vera hitaeiningar sem brenna á hverri mínútu í stöðvaþjálfun.
Búðu til töflu yfir þekktu upplýsingarnar.
| Mínútur á sporöskjulaga þjálfunartæki | Mínútur í stöðvaþjálfun | Hitaeiningar | |
| Fyrsta lota | 10 | 20 | 278 |
| Önnur lota | 20 | 30 | 473 |
Með þessum upplýsingum má setja upp jöfnuhneppi.
Skref 1: Ritaðu báðar jöfnurnar á staðalformi, 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 = 𝐶 A x + B y = C.
Jöfnuhneppið er þegar á staðalformi.
Skref 2: Gerðu stuðla annarrar breytunnar að gagnstæðum tölum.
Skref 3: Leggðu saman jöfnurnar úr skrefi 2 til að eyða annarri breytunni.
| –20 e | –40 c | –556 | ||
| 20 e | 30 c | 473 | ||
| SUMMA: | –10 c | –83 |
Skref 4: Leystu fyrir breytuna sem eftir er.
Skref 5: Settu lausn skrefs 4 inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leystu fyrir hina breytuna.
Skref 6: Túlkaðu svarið.
Jenna brennir 8,3 hitaeiningum á mínútu í stöðvaþjálfun og 11,2 hitaeiningum á mínútu á sporöskjulaga þjálfunartækinu.
Skref 6: Þú átt eftir að sannreyna lausnina.
Jenna brennir 8,3 hitaeiningum á mínútu í stöðvaþjálfun og 11,2 hitaeiningum á mínútu á sporöskjulaga þjálfunartækinu.
5.89
| { 𝑥 − 5 𝑦 > 1 0 2 𝑥 + 3 𝑦 > − 2 { x − 5 y > 10 2 x + 3 y > − 2 | |
| 𝑥 − 5 𝑦 > 1 0 x − 5 y > 10 | Settu inn í fyrri ójöfnuna. |
| 3 − 5 ( − 1 ) > 1 0 3 − 5 ( − 1 ) > 10 | |
| 3 + 6 > 1 0 3 + 6 > 10 | Einfaldaðu. |
| 9 > 1 0 9 > 10 |
Þetta er ekki satt og því er þetta ekki lausn jöfnuhneppisins.
ekki lausn
| { 𝑥 − 5 𝑦 > 1 0 2 𝑥 + 3 𝑦 > − 2 { x − 5 y > 10 2 x + 3 y > − 2 | |
| 𝑥 − 5 𝑦 > 1 0 x − 5 y > 10 | Settu inn í fyrri ójöfnuna. |
| 6 − 5 ( − 3 ) > 1 0 6 − 5 ( − 3 ) > 10 | |
| 6 + 1 5 > 1 0 6 + 15 > 10 | Einfaldaðu. |
| 2 3 > 1 0 23 > 10 | Þetta er satt. |
| 2 𝑥 + 3 𝑦 > − 2 2 x + 3 y > − 2 | Settu inn í síðari ójöfnuna. |
| 2 ( 6 ) + 3 ( − 3 ) > − 2 2 ( 6 ) + 3 ( − 3 ) > − 2 | |
| 1 2 − 9 > − 2 12 − 9 > − 2 | Einfaldaðu. |
| 3 > − 2 3 > − 2 |
Þetta er satt. Raðaða parið uppfyllir báðar ójöfnurnar og er lausn jöfnuhneppisins.
lausn
5.90
Skoðaðu grafið og finndu svæðið sem uppfyllir báðar ójöfnurnar. Veldu prófunarpunkt á svæðinu sem báðar myndirnar skyggja og prófaðu hann.
| Prófaðu (1, 7). | |
| { 𝑦 < 3 𝑥 + 2 𝑦 > − 𝑥 − 1 { y < 3 x + 2 y > − x − 1 | |
| 𝑦 < 3 𝑥 + 2 y < 3 x + 2 | Settu inn í fyrri ójöfnuna. |
| 7 < 3 ( 7 ) + 2 7 < 3 ( 7 ) + 2 | |
| 7 < 2 1 + 2 7 < 21 + 2 | Einfaldaðu. |
| 7 < 2 3 7 < 23 | Þetta er satt. |
| 𝑦 > − 𝑥 − 1 y > − x − 1 | Settu inn í síðari ójöfnuna. |
| 7 > − 1 − 1 7 > − 1 − 1 | |
| 7 > − 2 7 > − 2 | Einfaldaðu. Þetta er einnig satt. |
Raðaða parið uppfyllir báðar ójöfnurnar og er lausn jöfnuhneppisins.
Svæðið sem inniheldur (0, 0) er lausn línulega ójöfnuhneppisins.
5.91
Teiknaðu fyrri línuna sem heila línu með skurðpunktunum (2, 0) og (0, 2).
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 + 0 ≤ 2 0 + 0 ≤ 2 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
| 𝑦 ≥ 2 3 𝑥 − 1 y ≥ 2/3 x − 1 |
Teiknaðu síðari línuna sem heila línu með skurðpunktinum (0, −1) og hallatölunni 2/3.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 ≥ 2 3 ( 0 ) − 1 0 ≥ 2/3 ( 0 ) − 1 | |
| 0 ≥ − 1 0 ≥ − 1 | Þetta er einnig satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
Lausnin er dekksta skyggða svæðið.
5.92
Teiknaðu fyrri línuna sem heila línu með skurðpunktinum (0, −2) og hallatölunni 3/3.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 ≥ 3 ( 0 ) − 2 0 ≥ 3 ( 0 ) − 2 | |
| 0 ≥ − 2 0 ≥ − 2 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
| 𝑦 < − 1 y < − 1 |
Teiknaðu síðari línuna sem punktalínu með skurðpunktinum (0, −1) og hallatölunni 0/0. Hún er lárétt.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 < − 1 0 < − 1 | Þetta er ekki satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
Lausnin er ljósara skyggða svæðið.
5.93
Teiknaðu fyrri línuna sem heila línu með skurðpunktunum (4, 0) og (0, −6).
| Prófaðu (0, 0). | |
| ( 0 ) 𝑥 − 2 ( 0 ) ≥ 1 2 ( 0 ) x − 2 ( 0 ) ≥ 12 | |
| 0 ≥ 1 2 0 ≥ 12 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
| 𝑦 ≥ 3 2 𝑥 + 1 y ≥ 3/2 x + 1 |
Teiknaðu síðari línuna sem heila línu með skurðpunktinum (0, 1) og hallatölunni 3/2.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 ≥ 3 2 ( 0 ) + 1 0 ≥ 3/2 ( 0 ) + 1 | |
| 0 ≥ 1 0 ≥ 1 | Þetta er ekki satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
Engin skörun er á grafinu og engir sameiginlegir punktar. Engin lausn er til.
Engin lausn.
5.94
Teiknaðu fyrri línuna sem heila línu með skurðpunktinum (0, 1) og hallatölunni 3/3.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 ≥ 3 ( 0 ) + 1 0 ≥ 3 ( 0 ) + 1 | |
| 0 ≥ 1 0 ≥ 1 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
| − 3 𝑥 + 𝑦 ≥ − 4 − 3 x + y ≥ − 4 | |
| 𝑦 ≥ 3 𝑥 − 4 y ≥ 3 x − 4 | Umritaðu ójöfnuna til að forðast brotna skurðpunkta. |
Teiknaðu síðari línuna sem heila línu með skurðpunktinum (0, −4) og hallatölunni 3/3.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 ≥ 3 ( 0 ) − 4 0 ≥ 3 ( 0 ) − 4 | |
| 0 ≥ − 4 0 ≥ − 4 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
Lausnin er ljósara skyggða svæðið.
5.95
Látum h vera fjölda hamborgara sem eru borðaðir.
Látum c vera fjölda smákaka sem eru borðaðar.
Hamborgari inniheldur 240 hitaeiningar og kostar $1,40.
Smákaka inniheldur 160 hitaeiningar og kostar $0,50.
Omar vill eyða í mesta lagi $5.
Omar þarf að neyta 800 hitaeininga.
Fjöldi hamborgara og pylsa getur ekki verið minni en núll.
Búðu til töflu yfir þekktu upplýsingarnar.
| Hitaeiningar úr hamborgurum | Hitaeiningar úr smákökum | að minnsta kosti | 800 hitaeiningar |
| 240 h | 160 h | 800 |
| Kostnaður hamborgara í $ | Kostnaður smákaka í $ | ekki meira en | $5 |
| 1.40 h | 0.50 c | 5 |
Með þessum upplýsingum má setja upp jöfnuhneppi.
⎧
{ { {
⎨
{ { {
⎩
2
4
0
ℎ
+
1
6
0
𝐶
≥
8
0
0
1
.
4
0
ℎ
+
0
.
5
0
𝐶
≤
5
ℎ
≥
0
𝐶
≥
0
{
240
h
+
160
C
≥
800
1.40
h
+
0.50
C
≤
5
h
≥
0
C
≥
0
Til að forðast of mikla óreiðu á grafinu skaltu fyrir síðustu ójöfnurnar tvær aðeins muna að lausnin er í fyrsta fjórðungi.
| 2 4 0 ℎ + 1 6 0 𝑐 ≥ 8 0 0 240 h + 160 c ≥ 800 | Deildu báðum hliðum með 80 til að einfalda útreikninginn. |
| 3 ℎ + 2 𝑐 ≥ 1 0 3 h + 2 c ≥ 10 | |
| 2 𝑐 ≥ − 3 ℎ + 1 0 2 c ≥ − 3 h + 10 | Leystu fyrir c. |
| 2 𝑐 2 ≥ − 3 ℎ + 1 0 2 2 c/2 ≥ − 3 h + 10/2 | |
| 𝑐 ≥ − 3 2 ℎ + 5 c ≥ − 3/2 h + 5 | |
| Prófaðu (0, 0). | |
| 0 ≥ − 3 2 ( 0 ) + 5 0 ≥ − 3/2 ( 0 ) + 5 | |
| 0 ≥ 5 0 ≥ 5 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
Teiknaðu jaðarinn sem heila línu með skurðpunktinum (0, 5) og hallatölunni −3/2.
| 1 . 4 ℎ + 0 . 5 𝑐 ≤ 5 1.4 h + 0.5 c ≤ 5 | Margfaldaðu með 2 til að losna við brotið í stað y. |
| 2 ( 1 . 4 ℎ + 0 . 5 𝑐 ) ≤ 2 ( 5 ) 2 ( 1.4 h + 0.5 c ) ≤ 2 ( 5 ) | |
| 2 . 8 ℎ + 𝑐 ≤ 1 0 2.8 h + c ≤ 10 | |
| 𝑐 ≤ − 2 . 8 ℎ + 1 0 c ≤ − 2.8 h + 10 |
Teiknaðu jaðarinn sem heila línu með skurðpunktinum (0, 10) og hallatölunni −2,8.
| Prófaðu (0, 0). | |
| 1 . 4 ( 0 ) + 0 . 5 ( 0 ) ≤ 5 1.4 ( 0 ) + 0.5 ( 0 ) ≤ 5 | |
| 0 ≤ 5 0 ≤ 5 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Skyggða svæðið milli línanna er lausn jöfnuhneppisins.
Prófaðu (3, 2).
| 1 , 0 8 0 ≥ 8 0 0 1 , 080 ≥ 800 | Þetta er satt. Prófaðu síðari ójöfnuna. |
| 5 . 2 ≤ 5 5.2 ≤ 5 | Þetta er ósatt. Raðaða parið er ekki lausn jöfnuhneppisins. |
Hann getur ekki borðað 3 hamborgara og 2 smákökur því þær kosta meira en $5,00.
Punkturinn
(
3
,
2
)
(
3
,
2
)
er ekki í lausnarsvæðinu. Omar myndi ekki velja að borða 3 hamborgara og 2 smákökur.
Prófaðu (2, 4).
| 1 , 1 2 0 ≥ 8 0 0 1 , 120 ≥ 800 | Þetta er satt. Prófaðu síðari ójöfnuna. |
| 4 . 8 ≤ 5 4.8 ≤ 5 | Þetta er satt. Raðaða parið er lausn jöfnuhneppisins. |
Omar getur borðað 2 hamborgara og 4 smákökur. Þær veita nægar hitaeiningar og kosta minna en $5.
Punkturinn
(
2
,
4
)
(
2
,
4
)
er í lausnarsvæðinu. Omar gæti valið að borða 2 hamborgara og 4 smákökur.
5.96
Látum a vera fjölda eplapoka.
Látum b vera fjölda bananaklasa.
Hagnaður af eplum er $4 á poka og af banönum $6 á klasa.
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarhagnaður | er | $4 sinnum fjöldi eplapoka | að viðbættum | $6 sinnum fjöldi bananaklasa. |
| 4 a | + | 6 b |
Þar sem
𝑎
=
a
=
fjöldi seldra eplapoka og
𝑏
=
b
=
fjöldi seldra bananaklasa; markfallið er
𝑃
=
4
𝑎
+
6
𝑏
P
=
4
a
+
6
b
.
5.97
Látum x vera fjölda græja.
Látum y vera fjölda annarra græja.
Það tekur 20 mínútur að búa til fyrri græjuna og 28 mínútur þá síðari.
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildartími | er | tími til að búa til fyrri græjurnar | að viðbættum | tími til að búa til síðari græjurnar |
| T | 20 x | + | 28 y |
𝑇
=
2
0
𝑥
+
2
8
𝑦
T
=
20
x
+
28
y
5.98
Látum a vera fjölda eplapoka.
Látum b vera fjölda bananaklasa.
Hagnaður af eplum er $4 á poka og af banönum $6 á klasa.
Skorður:
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarhagnaður | er | $4 sinnum fjöldi eplapoka | að viðbættum | $6 sinnum fjöldi bananaklasa. |
| 4 a | + | 6 b |
| Fjöldi eplapoka | að viðbættum | Fjöldi bananaklasa | má ekki vera meiri en | 20 |
| + | 20 |
| Fjöldi eplapoka sinnum 3 pund | að viðbættum | Fjöldi bananaklasa sinnum 5 pund | má ekki vera meiri en | 70 pund |
| 3 a | + | 5 b | 70 |
Samantekt jöfnuhneppisins:
Markfall: 𝑃 = 4 𝑎 + 6 𝑏 P = 4 a + 6 b
Skorður:
Skorðurnar eru
𝑎
+
𝑏
≤
2
0
a
+
b
≤
20
og
3
𝑎
+
5
𝑏
≤
7
0
3
a
+
5
b
≤
70
. Samantektin er:
𝑃
=
4
𝑎
+
6
𝑏
P
=
4
a
+
6
b
,
𝑎
+
𝑏
≤
2
0
a
+
b
≤
20
, og
3
𝑎
+
5
𝑏
≤
7
0
3
a
+
5
b
≤
70
.
5.99
Skorðurnar eru:
1
5
≤
𝑥
≤
2
2
15
≤
x
≤
22
1
3
≤
𝑦
≤
1
9
13
≤
y
≤
19
Jöfnuhneppið er því:
𝑇
=
2
0
𝑥
+
2
8
𝑦
T
=
20
x
+
28
y
1
5
≤
𝑥
≤
2
2
15
≤
x
≤
22
1
3
≤
𝑦
≤
1
9
13
≤
y
≤
19
5.100
Hámark hagnaðarins
𝑃
P
fæst þegar
𝑥
=
1
5
x
=
15
og
𝑦
=
5
y
=
5
. Til að hámarka hagnaðinn ætti vélmennaklúbburinn því að selja 15 eplapoka og 5 bananaklasa á dag.
Látum a vera fjölda eplapoka.
Látum b vera fjölda bananaklasa.
Hagnaður af eplum er $4 á poka og af banönum $6 á klasa.
Skorður:
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarhagnaður | er | $4 sinnum fjöldi eplapoka | að viðbættum | $6 sinnum fjöldi bananaklasa. |
| 4 a | + | 6 b |
| Fjöldi eplapoka | að viðbættum | Fjöldi bananaklasa | má ekki vera meiri en | 20 |
| + | 20 |
| Fjöldi eplapoka sinnum 3 pund | að viðbættum | Fjöldi bananaklasa sinnum 5 pund | má ekki vera meiri en | 70 pund |
| 3 a | + | 5 b | 70 |
3
𝑎
+
5
𝑏
≤
7
0
3
a
+
5
b
≤
70
Samantekt jöfnuhneppisins:
Leystu jöfnuhneppið.
Gerðu ráð fyrir að venjulegi x-ásinn sé a-ás og y-ásinn b-ás.
Hámarkið fæst í einum hornpunktanna.
Teiknaðu jöfnuhneppið.
Jaðarlínan sker ásana í (20, 0) og (0, 20).
Prófaðu (0, 0).
| 0 + 0 ≤ 2 0 0 + 0 ≤ 20 | Punkturinn er í lausnarmenginu; skyggðu því neðan jaðarlínunnar í fyrsta fjórðungi. |
Teiknaðu 3 𝑎 + 5 𝑏 ≤ 7 0 3 a + 5 b ≤ 70.
Jaðarlínan sker ásana í (23,3̅, 0) og (0, 14).
Prófaðu (0, 0).
| 0 + 0 ≤ 7 0 0 + 0 ≤ 70 | Punkturinn er í lausnarmenginu; skyggðu því neðan jaðarlínunnar í fyrsta fjórðungi. |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja. Hornpunktar svæðisins eru skurðpunktur jaðarlínanna og punktarnir (0, 14) og (20, 0). Hámark og lágmark fást í einum hornpunktanna. Ekki þarf að prófa (0, 0), því hagnaðurinn þar er 0.
Hvar skerast jaðarlínur ójafnanna?
Leystu 𝑎 + 𝑏 = 2 0 a + b = 20 fyrir a.
Settu inn í síðari jaðarjöfnuna og leystu fyrir b.
Settu inn í fyrri jöfnuna til að finna b.
Túlkaðu niðurstöðuna.
Hornpunktar lausnarsvæðisins eru skurðpunktur jaðarlínanna og punktarnir (0, 14) og (20, 0).
(0, 14) Hver er hagnaðurinn? 𝑃 = 4 𝑎 + 6 𝑏 = 4 (0) + 6 (14) = $84
(20, 0) Hver er hagnaðurinn? 𝑃 = 4 𝑎 + 6 𝑏 = 4 (20) + 6 (0) = $80
(5, 15) Hver er hagnaðurinn? 𝑃 = 4 𝑎 + 6 𝑏 = 4 (15) + 6 (5) = 60 + 30 = $90
Hámarkshagnaður fæst með því að selja 15 eplapoka og 5 bananaklasa á dag.
Athugaðu skilning þinn
Juliette er 2 tommum hærri en Vivian.
Prófa má þetta með dæmitölum. Ef Vivian er 50 tommur á hæð er Juliette 52 tommur.
| 𝐽 = 𝑉 + 2 + 2 | |
| 5 2 = 5 0 + 2 52 = 50 + 2 | Þetta gengur og því gildir 𝐽 = 𝑉 + 2 + 2J = V + 2. |
| 𝑉 = 𝐽 − 2 − 2 | |
| 5 0 = 5 2 − 2 50 = 52 − 2 | Þetta gengur og því gildir 𝑉 = 𝐽 − 2 − 2V = J − 2. |
| 𝐽 + 2 = 𝑉 J + 2 = V | |
| 5 2 + 2 = 5 0 52 + 2 = 50 | Þetta er ósatt og gengur því ekki. |
| 𝐽 = 𝑉 − 2 − 2 | |
| 5 2 = 5 0 − 2 52 = 50 − 2 | Þetta er ósatt og gengur því ekki. |
𝐽
=
𝑉
+
2
J
=
V
+
2
,
𝑉
=
𝐽
−
2
V
=
J
−
2
Segðir tengja tölur og breytur án jafnaðarmerkis. Jöfnur segja að tvær stærðir séu jafnar. Jafnaðarmerkið greinir þar á milli. Eftirfarandi eru segðir:
5
𝑥
+
8
5
x
+
8
,
2
𝑛
+
3
𝑚
2
n
+
3
m
| ( 8 𝑥 + 1 2 ) ÷ 4 𝑥 − 2 𝑥 ( 8 x + 12 ) ÷ 4 x − 2 x | Deildu fyrstu tveimur liðunum með 4x. |
| ( 8 𝑥 ÷ 4 𝑥 ) + ( 1 2 ÷ 4 𝑥 ) − 2 𝑥 ( 8 x ÷ 4 x ) + ( 12 ÷ 4 x ) − 2 x | Einfaldaðu. |
| 2 + 3 𝑥 − 2 𝑥 2 + 3 x − 2 x |
Líkir liðir eru fastar eða hafa sömu breytu og sama veldisvísi. Leggðu saman stuðlana og haltu sömu breytu.
| 2 + 𝑥 2 + x | Þetta er ekki jafnt 10x. Reyndu aftur. |
| 8 𝑥 + ( 1 2 ÷ 4 𝑥 ) − 2 𝑥 8 x + ( 12 ÷ 4 x ) − 2 x | Deildu 12 með 4x. |
| 8 𝑥 + ( 3 𝑥 ) − 2 𝑥 8 x + ( 3 x ) − 2 x | Sameinaðu líka liði. |
| 9 𝑥 9 x | Þetta er ekki jafnt 10. Reyndu aftur. |
| 8 𝑥 + 1 2 𝑥 ÷ ( 4 𝑥 − 2 𝑥 ) 8 x + 12 x ÷ ( 4 x − 2 x ) | Dragðu frá innan sviganna. |
| 8 𝑥 + 1 2 𝑥 ÷ ( 2 𝑥 ) 8 x + 12 x ÷ ( 2 x ) | Deildu með 2x. |
| 8 𝑥 + 6 8 x + 6 | Þetta er ekki jafnt 10. Reyndu aftur. |
| ( 8 𝑥 + 1 2 𝑥 ) ÷ ( 4 𝑥 − 2 𝑥 ) ( 8 x + 12 x ) ÷ ( 4 x − 2 x ) | Reiknaðu aðgerðirnar innan sviganna. |
| ( 2 0 𝑥 ) ÷ ( 2 𝑥 ) ( 20 x ) ÷ ( 2 x ) | Deildu. |
| 10 | Þetta er jafnt 10. |
Segðin (8x + 12x) ÷ (4x − 2x) er jöfn 10.
(
8
𝑥
+
1
2
𝑥
)
÷
(
4
𝑥
−
2
𝑥
)
(
8
x
+
12
x
)
÷
(
4
x
−
2
x
)
| 3 𝑥 2 − 7 𝑥 + 2 3 x 2 − 7 x + 2 | Prófaðu hverja gefna tölu til að sjá hver gefur 50. |
| 3 ( − 2 ) 2 − 7 ( − 2 ) + 2 3 ( − 2 ) 2 − 7 ( − 2 ) + 2 | |
| 3 ( 4 ) + 1 4 + 2 = 1 2 + 1 4 + 2 = 2 8 3 ( 4 ) + 14 + 2 = 12 + 14 + 2 = 28 | Þetta er ekki 50. Reyndu aftur. |
| 3 ( − 3 ) 2 − 7 ( − 3 ) + 2 3 ( − 3 ) 2 − 7 ( − 3 ) + 2 | |
| 3 ( 9 ) + 2 1 + 2 = 2 7 + 2 3 = 5 0 3 ( 9 ) + 21 + 2 = 27 + 23 = 50 | Þetta gekk. |
Gildi x sem gefur 50 er −3.
−
3
−
3
| ( 𝑥 − 𝑦 ) ( 𝑥 − 𝑦 ) ( x − y ) ( x − y ) | Notaðu dreifireglu. |
| 𝑥 ( 𝑥 − 𝑦 ) − 𝑦 ( 𝑥 − 𝑦 ) x ( x − y ) − y ( x − y ) | Notaðu dreifireglu aftur. |
| 𝑥 ( 𝑥 ) − 𝑥 ( 𝑦 ) − 𝑦 ( 𝑥 ) − 𝑦 ( − 𝑦 ) x ( x ) − x ( y ) − y ( x ) − y ( − y ) | Einfaldaðu. |
| 𝑥 2 − 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 x 2 − x y − x y + y 2 | |
| 𝑥 2 − 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 x 2 − 2 x y + y 2 |
Tvö svaranna hafa aðeins tvo liði, sem er augljóslega rangt.
Í einu svaranna gleymist að margfeldi tveggja neikvæðra talna er jákvætt. Formerki y-liðarins í öðru veldi er rangt.
Rétta svarið er 𝑥 2 − 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 x 2 − 2 x y + y 2.
𝑥
2
−
2
𝑥
𝑦
+
𝑦
2
x
2
−
2
x
y
+
y
2
3
𝑥
(
3
𝑥
2
+
𝑥
−
2
)
3
x
(
3
x
2
+
x
−
2
)
Með dreifireglu í öfuga átt má taka 3x út fyrir sviga.
Þetta sést því margföldun þarf til að mynda 𝑥 2 x 2 lið.
margföldun
Þetta sést því deiling þarf til að mynda 1/𝑥 lið.
deiling
Þetta er rétt lausnaraðferð.
Látum
𝑥
=
3
8
8
(
3
8
−
2
)
?
formúluhlut
6
(
3
8
+
1
0
)
8
(
3
6
)
?
formúluhlut
6
(
4
8
)
2
8
8
=
2
8
8
✓
x
=
38
8
(
38
−
2
)
formúluhlut
?
6
(
38
+
10
)
8
(
36
)
formúluhlut
?
6
(
48
)
288
=
288
✓
Þetta er rétt lausnaraðferð.
Látum
𝑥
=
−
2
7
+
4
(
2
+
5
(
−
2
)
)
?
formúluhlut
3
(
6
(
−
2
)
+
7
)
−
(
1
3
(
−
2
)
+
3
6
)
7
+
4
(
2
−
1
0
)
?
formúluhlut
3
(
−
1
2
+
7
)
−
(
−
2
6
+
3
6
)
7
+
4
(
−
8
)
?
formúluhlut
3
(
−
5
)
−
(
1
0
)
7
−
3
2
?
formúluhlut
−
1
5
−
1
0
−
2
5
=
−
2
5
✓
x
=
−
2
7
+
4
(
2
+
5
(
−
2
)
)
formúluhlut
?
3
(
6
(
−
2
)
+
7
)
−
(
13
(
−
2
)
+
36
)
7
+
4
(
2
−
10
)
formúluhlut
?
3
(
−
12
+
7
)
−
(
−
26
+
36
)
7
+
4
(
−
8
)
formúluhlut
?
3
(
−
5
)
−
(
10
)
7
−
32
formúluhlut
?
−
15
−
10
−
25
=
−
25
✓
Þetta er ekki rétt lausnaraðferð. Mínusmerkinu er ekki dreift rétt í annarri línu. Þar ætti að standa
8
𝑥
+
7
−
2
𝑥
+
9
=
2
2
−
4
𝑥
+
4
8
x
+
7
−
2
x
+
9
=
22
−
4
x
+
4
.
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarfargjaldið | er | $3,00 fast gjald | að viðbættum | $1,70 á mílu |
| T | 3 | + | 1.7 x |
Annað svar: 𝑇 = 1 , 7 𝑥 + 3 T = 1.7 x + 3
𝑇
=
1
.
7
𝑥
+
3
T
=
1.7
x
+
3
Settu 22 inn fyrir x í jöfnuna 𝑇 = 3 + 1 , 7 𝑥 T = 3 + 1.7 x.
Ferðin frá flugvellinum á hótelið kostar $40,40.
$40.40
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarfargjaldið | er | $5,00 fast gjald | að viðbættum | $1,60 á mílu |
| T | 5 | + | 1.6 y |
Annað svar: 𝑇 = 1 , 6 𝑦 + 5 T = 1.6 y + 5
𝑇
=
1
.
6
𝑦
+
5
T
=
1.6
y
+
5
Settu 22 inn fyrir y í jöfnuna 𝑇 = 5 + 1 , 6 𝑦 T = 5 + 1.6 y.
Ferðin frá flugvellinum á hótelið kostar $40,20.
$40.20
Enjoyable Cab kostar $40,20 en Nice Cab er 20 sentum dýrara, $40,40. Þú ættir að velja Enjoyable Cab.
Enjoyable Cab, því fargjaldið er $0,20 lægra en hjá Nice Cab.
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið eins mikið og unnt er.
Skref 2: Safnaðu breytuliðunum öðrum megin.
Þessi yrðing er alltaf sönn. Breytan skiptir engu og lausnirnar eru því óendanlega margar.
Luis hefur rétt fyrir sér.
Luis hefur rétt fyrir sér; lausnirnar eru óendanlega margar. Með almennu aðferðinni einfaldast jafnan í
0
=
0
0
=
0
. Þetta er sönn yrðing og því eru lausnirnar óendanlega margar.
d
𝐹
=
9
5
𝐶
+
3
2
F
=
9
5
C
+
32
| 𝐶 = 5 9 ( 𝐹 − 3 2 ) C = 5/9 ( F − 32 ) | Meðhöndlaðu F sem breytu en allt annað sem fasta. |
| Margfaldaðu báðar hliðar með 9/5.( 9/5 ) | |
| ( 9 5 ) 𝐶 = 𝐹 − 3 2 ( 9/5 ) − 32 | |
| ( 9 5 ) 𝐶 + 3 2 = 𝐹 − 3 2 + 3 2 ( 9/5 ) C + 32 = F − 32 + 32 | Bættu 32 við báðar hliðar. |
| 9 5 𝐶 + 3 2 = 𝐹 9/5 C + 32 = F | Víxlaðu hliðunum svo formið samsvari svarmöguleikunum. |
| 𝐹 = 9 5 𝐶 + 3 2 F = 9/5 C + 32 | Þetta er valkostur (d). |
b
Skiptu orðunum í hluta.
| Hitastig í kelvinum | er | hitastigið í selsíusgráðum | að viðbættum | 273 gráður |
| K | C | + | 273 |
𝐾
=
𝐶
+
2
7
3
K
=
C
+
273
, þó d
𝐶
=
𝐾
–
2
7
3
C
=
K
–
273
sé jafngild formúla.
a
Notaðu 𝐶 = 5/9(𝐹 − 32) og K = C + 273 til að finna hitastig í kelvinum út frá Fahrenheitgráðum.
| 𝐾 = 5 9 ( 𝐹 − 3 2 ) + 2 7 3 K = 5/9 ( F − 32 ) + 273 | Settu hægri hlið Fahrenheit-í-selsíus-formúlunnar inn. |
𝐾
=
5
9
(
𝐹
−
3
2
)
+
2
7
3
K
=
5
9
(
F
−
32
)
+
273
b
Skiptu orðunum í hluta.
| Hitastig í Rankine-gráðum | er | hitastigið í Fahrenheitgráðum | að viðbættum | 460 gráður |
| R | F | + | 460 |
Notaðu 𝐹 = 9/5𝐶 + 32 og 𝑅 = 𝐹 + 460 til að finna hitastig í Rankine-gráðum út frá selsíusgráðum.
| 𝑅 = 𝐹 + 4 6 0 + 460 | |
| 𝑅 = 9 5 𝐶 + 3 2 + 4 6 0 R = 9/5 C + 32 + 460 | Settu hægri hlið Fahrenheit-í-selsíus-formúlunnar inn. |
| 𝑅 = 9 5 𝐶 + 4 9 2 R = 9/5 C + 492 |
𝑅
=
9
5
𝐶
+
4
9
2
R
=
9
5
C
+
492
Sviginn sýnir að 1 er ekki í lausnarmenginu. Svæðið vinstra megin við 1 er skyggt og lausnin inniheldur því tölur minni en 1. Á bilrithætti er þetta (−∞, −1).
Athugaðu að bilrithátturinn fylgir sömu röð og grafið: mínusóendanleiki er vinstra megin og 1 hægra megin.
d
(
−
∞
,
−
1
)
(
−
∞
,
−
1
)
Hornklofinn sýnir að 5 er í lausnarmenginu. Svæðið hægra megin við 5 er skyggt og lausnin inniheldur því tölur stærri en 5. Á bilrithætti er þetta [5, ∞).
Athugaðu að bilrithátturinn fylgir sömu röð og grafið: 5 er vinstra megin og plúsóendanleiki hægra megin.
b
[
−
5
,
∞
)
[
−
5
,
∞
)
Hornklofinn sýnir að 3/2 er í lausnarmenginu. Svæðið hægra megin við 3/2 er skyggt og lausnin inniheldur því tölur stærri en 3/2. Á bilrithætti er þetta [3/2, ∞).
Athugaðu að bilrithátturinn fylgir sömu röð og grafið: 3/2 er vinstra megin og plúsóendanleiki hægra megin.
c
[
3
2
,
∞
)
[
3
2
,
∞
)
Lausnin er skyggð milli sviga við −4 og 3. Á bilrithætti eru tölurnar milli sviga með kommu á milli.
a
(
−
4
,
3
)
(
−
4
,
3
)
e
| 6 𝑥 ≥ 2 4 6 x ≥ 24 | Þetta er rétta svarið. |
| 6 𝑥 6 ≥ 2 4 6 6 x/6 ≥ 24/6 | Deildu með 6. |
| 𝑥 ≥ 4 x ≥ 4 | |
| [ 4 , ∞ ) [ 4 , ∞ ) | Þetta er bilritháttur. |
6
𝑥
≥
2
4
6
x
≥
24
b
| − 6 𝑥 ≥ 1 8 − 6 x ≥ 18 | Þetta er rétta svarið. |
| − 6 𝑥 − 6 ≤ 1 8 − 6 − 6 x/− 6 ≤ 18/− 6 | Deildu með −6 og snúðu ójöfnumerkinu við því deilt var með neikvæðri tölu. |
| 𝑥 ≤ − 3 x ≤ − 3 | |
| ( − ∞ , − 3 ) ( − ∞ , − 3 ) | Þetta er bilritháttur. |
−
6
𝑥
>
1
8
−
6
x
>
18
c
| 4 𝑥 − 3 > − 1 1 4 x − 3 > − 11 | Þetta er rétta svarið. |
| 4 𝑥 − 3 + 3 > − 1 1 + 3 4 x − 3 + 3 > − 11 + 3 | Bættu 3 við. |
| 4 𝑥 > − 8 4 x > − 8 | |
| 4 𝑥 4 > − 8 4 4 x/4 > − 8/4 | Deildu með 4. |
| 𝑥 > − 2 x > − 2 | |
| ( − 2 , ∞ ) ( − 2 , ∞ ) | Þetta er bilritháttur. |
4
𝑥
−
3
>
−
1
1
4
x
−
3
>
−
11
c
| − 3 𝑥 + 1 4 > − 1 3 − 3 x + 14 > − 13 | Þetta er rétta svarið. |
| − 3 𝑥 + 1 4 − 1 4 > − 1 3 − 1 4 − 3 x + 14 − 14 > − 13 − 14 | Dragðu 14 frá. |
| − 3 𝑥 > − 2 7 − 3 x > − 27 | |
| − 3 𝑥 − 3 < − 2 7 − 3 − 3 x/− 3 < − 27/− 3 | Deildu með −3 og snúðu ójöfnumerkinu við því deilt var með neikvæðri tölu. |
| 𝑥 < 9 x < 9 | |
| ( − ∞ , 9 ) ( − ∞ , 9 ) | Þetta er bilritháttur. |
−
3
𝑥
+
1
4
>
−
1
3
−
3
x
+
14
>
−
13
b
Skiptu orðunum í hluta.
Látum x vera fjölda garðstóla.
8 rúmfet = rúmmál eins kassa.
764 rúmfet = burðarrými vörubílsins.
Skiptu orðunum í hluta.
| 764 | er hámark fyrir | 8 | sinnum | fjölda kassa |
| 764 | 8 | ∙ |
Leystu ójöfnuna 7 6 4 > 8 𝑥 764 > 8 x
| 7 6 4 > 8 𝑥 764 > 8 x | Snúðu henni við svo hún samsvari einum valkostinum. |
| 8 𝑥 < 7 6 4 8 x < 764 | Þetta er rétt. Ekki þarf að leysa lengra í þessu verkefni. |
8
𝑥
<
7
6
4
8
x
<
764
d
Skiptu orðunum í hluta.
Látum x vera fjölda kvölda í barnagæslu.
$50 = meðaltekjur fyrir hvert kvöld í barnagæslu.
$8.120 = upphæðin sem þarf til að kaupa bíl.
Skiptu orðunum í hluta.
| $8,120 | er lágmarkið sem þarf | 50 | sinnum | fjöldi kvölda í barnagæslu |
| 8,120 | 50 | ∙ |
Leystu ójöfnuna 8 , 1 2 0 ≥ 5 0 𝑥 8 , 120 ≥ 50 x
| 8 , 1 2 0 < 5 0 𝑥 8 , 120 < 50 x | Snúðu henni við svo hún samsvari einum valkostinum. |
| 5 0 𝑥 > 8 , 1 2 0 50 x > 8 , 120 | Þetta er rétt. Ekki þarf að leysa lengra í þessu verkefni. |
5
0
𝑥
>
8
,
1
2
0
50
x
>
8,120
a
Þetta er satt, því síðari hlutföllin eru gagnhverfur fyrri hlutfallanna. Skilyrðið að allar tölurnar séu ekki núll kemur í veg fyrir deilingu með núlli.
Satt
a
Satt
a
Hlutföll bera saman hluta við hluta, hluta við heild og heild við hluta. Brot bera aðeins saman hluta við heild.
Satt
b
Ekki má byrja á krossmargföldun í þessari jöfnu. Krossmargfalda má aðeins þegar ein ræð segð er hvorum megin. Fyrst þarf að leggja saman segðirnar hægra megin svo þar verði ein ræð segð.
Ósatt
a
Hlutföll bera saman hluta við hluta, hluta við heild og heild við hluta. Brot bera aðeins saman hluta við heild.
Satt
Þar sem „nemendur í stærðfræði“ koma á undan „öðrum nemendum“ þarf fjöldi þeirra fyrrnefndu að koma fyrst. Í hlutfallinu 12 : 16 er röðinni snúið við.
1
2
:
1
6
12
:
16
Það eru 16 nemendur í stærðfræði og 12 aðrir nemendur.
Nemendur eru samtals 12 + 16 = 28.
Hlutfall stærðfræðinema af öllum nemendum er 16 á móti 28, eða 16 : 28.
1
6
:
2
8
16
:
28
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera fjölda breskra punda.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Gjaldeyrisskipti | Það sem ég veit eða vil vita | |
| Bandaríkjadalir | 1 | $450 |
| bresk pund | 0.72 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 𝑥 = ( 0 . 7 2 ) ( 4 5 0 ) x = ( 0.72 ) ( 450 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 𝑥 = 3 2 4 x = 324 |
Damon fær 324 bresk pund, sem samsvarar „Ekkert af þessu“ meðal valkostanna.
324,00 bresk pund (Ekkert af þessu.)
10 tommur
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera lengd líkansins af eimreiðinni í tommum.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Mælikvarði | Það sem ég veit eða vil vita | |
| Lestarlíkan | 1 | |
| Raunveruleg lest | 87 | 73 fet = 876 tommur |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 8 7 𝑥 = ( 1 ) ( 8 7 6 ) 87 x = ( 1 ) ( 876 ) | Krossmargfaldaðu. |
| Deildu. | |
| 𝑥 ≈ 1 0 i n c h e s x ≈ 10 i n c h e s |
Líkanið af eimreiðinni er um 10 tommur að lengd.
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera vegalengdina sem Albert kemst á einum eldsneytistanki.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Eldsneytisnýting bíls | Á einum eldsneytistanki | |
| Mílur | 37 | |
| Gallón | 1 | 13.5 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 𝑥 = ( 3 7 ) ( 1 3 . 5 ) x = ( 37 ) ( 13.5 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 𝑥 = 4 9 9 . 5 m i l e s x = 499.5 m i l e s |
Já, en naumlega. Við 37 mílur á gallón kemst Albert
4
9
9
.
5
499.5
mílur. Fræðilega kemst hann alla leið, en líklega ætti hann að fylla á tankinn á leiðinni.
Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu.
Látum x vera upphæðina sem greidd var fyrir eldsneytið.
Tafla hjálpar mörgum nemendum að setja hlutföllin upp.
| Verð eins gallóns | Stóra færslan | |
| Verð | $4.28 | |
| Gallón | 1 | 9.5 |
Settu upp hlutfallajöfnuna.
| 𝑥 = ( 4 . 2 8 ) ( 9 . 5 ) x = ( 4.28 ) ( 9.5 ) | Krossmargfaldaðu. |
| 𝑥 = $ 4 0 . 6 6 x = $ 40.66 |
Albert greiddi $40,66 fyrir 9,5 gallón af eldsneyti.
$
4
0
.
6
6
$
40.66
d
Prófaðu alla valkostina með innsetningu þar til réttur valkostur finnst.
Þar sem þetta er satt er 5/3 lausn.
𝑦
=
5
3
y
=
5
3
Teiknaðu jöfnuna og berðu grafið saman við valkostina.
Finndu þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar. Veldu þrjú gildi fyrir x.
| –1 | |
| 0 | |
| 1 |
Settu þau inn í jöfnuna til að finna y-gildin.
| 𝑦 = 3 𝑥 + 5 y = 3 x + 5 | ||
| –1 | 2 | 3 ( − 1 ) + 5 = − 3 + 5 = 2 3 ( − 1 ) + 5 = − 3 + 5 = 2 |
| 0 | 5 | 3 ( 0 ) + 5 = 5 3 ( 0 ) + 5 = 5 |
| 1 | 8 | 3 ( 1 ) + 5 = 8 3 ( 1 ) + 5 = 8 |
Merktu punktana. Gakktu úr skugga um að þeir liggi á beinni línu og teiknaðu línuna.
Fyrsta grafið er rétt. Það er hið eina sem fer um (0, 5).
b
Prófaðu punktana fyrir alla valkostina. Aðeins rétti valkosturinn gengur.
Réttur valkostur: 𝑦 = 1/2𝑥 + 4.
4 = 4 er satt og raðaða parið er því á línunni.
0 = 0 er satt og raðaða parið er því á línunni.
Tveir punktar nægja til að ákvarða línu og þetta er því rétta jafna línunnar.
𝑦
=
1
2
𝑥
+
4
y
=
1
2
x
+
4
Teiknaðu ójöfnuna og berðu grafið síðan saman við valkostina.
Teiknaðu línuna 𝑦 = 3𝑥 + 5 með punktalínu því ójafnan er stranglega stærra en.
Skyggðu ofan við línuna því hér er y >.
Prófaðu (0, 0) til að staðfesta skygginguna.
0 > 5 er ósatt og því er raðaða parið ekki á línunni. (0, 0) á ekki að vera á skyggða svæðinu. Skyggingin er rétt.
Tveir punktar nægja til að ákvarða línu og þetta er því rétta jafna línunnar.
Þriðja grafið er rétt.
b
Prófaðu punkta á línunni og á skyggða svæðinu fyrir alla valkostina. Aðeins rétti valkosturinn gengur.
Réttur valkostur: 𝑦 ≤ −2𝑥 + 5.
5 ≤ 5 er satt og raðaða parið er því lausn ójöfnunnar og punktur á jaðarlínunni.
−3 ≤ −3 er satt og raðaða parið er því lausn ójöfnunnar og punktur á jaðarlínunni.
Prófaðu (0, 0) fyrir skyggða svæðið.
0 ≤ 5 er satt og því er sú hlið jaðarlínunnar sem inniheldur (0, 0) skyggð.
𝑦
≤
−
2
𝑥
+
5
y
≤
−
2
x
+
5
d
| ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 5 ) ( x − 3 ) ( x + 5 ) | |
| 𝑥 ( 𝑥 + 5 ) − 3 ( 𝑥 + 5 ) x ( x + 5 ) − 3 ( x + 5 ) | Dreifðu. |
| 𝑥 2 + 5 𝑥 − 3 𝑥 − 1 5 x 2 + 5 x − 3 x − 15 | Dreifðu aftur. |
| 𝑥 2 + 2 𝑥 − 1 5 x 2 + 2 x − 15 | Sameinaðu líka liði. |
Þetta samsvarar rétta valkostinum.
b
Leitaðu að tveimur þáttum 15 með summuna −8.
| Þættir 8 | Summa þátta = −8 | Tókst? |
| 1 sinnum 15 | 1 + 1 5 = 1 6 1 + 15 = 16 | Nei |
| 3 sinnum 5 | 3 + 5 = 8 3 + 5 = 8 | Nei, en summan er 8 og því þarf að breyta formerkjunum. |
| −3 sinnum −5 | − 3 + ( − 5 ) = − 8 − 3 + ( − 5 ) = − 8 | Já! |
| ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 − 5 ) ( x − 3 ) ( x − 5 ) | Ritaðu þáttuðu framsetninguna. |
Þetta er rétti valkosturinn.
c
Þar sem grafið sker x-ásinn við −5 og −1 má leysa aftur á bak.
| 𝑥 = − 5 x = − 5 | 𝑥 = − 1 x = − 1 | Ritaðu þættina sem skurðpunktarnir komu frá. |
| 𝑥 + 5 = 0 x + 5 = 0 | 𝑥 + 1 = 0 x + 1 = 0 | Margfaldaðu þá saman til að fá annars stigs jöfnuna. |
| ( 𝑥 + 5 ) ( 𝑥 + 1 ) = 0 ( x + 5 ) ( x + 1 ) = 0 | Dreifðu tvisvar til að margfalda upp úr margliðunni. | |
| 𝑥 2 + 5 𝑥 + 𝑥 + 5 = 0 x 2 + 5 x + x + 5 = 0 | Einfaldaðu. | |
| 𝑥 2 + 6 𝑥 + 5 = 0 x 2 + 6 x + 5 = 0 | Þetta er rétti valkosturinn. |
d
| 𝑥 2 = 4 9 x 2 = 49 | ||
| 𝑥 ± √ 4 9 x ± 49 | Notaðu kvaðratrótarregluna. | |
| 𝑥 = ± 7 x = ± 7 | Einfaldaðu. | |
| 𝑥 = 7 x = 7 | 𝑥 = − 7 x = − 7 | Endurritaðu lausnirnar tvær. |
Þetta er rétti valkosturinn.
b
Þetta er ósatt. Þegar dreift er í margfeldinu fæst
−
𝑥
−
x
og
−
5
𝑥
.
−
5
x
.
Summa þessa er
−
6
𝑥
,
−
6
x
,
sem er ekki miðliður þríliðunnar.
Ósatt
b
Ósatt. Ekki má nota kvaðratrótaraðferðina þegar línulegur liður er til staðar. Liðurinn
5
𝑥
5
x
kemur í veg fyrir það nema jafnan sé umrituð verulega.
Ósatt
a
Satt. Allar annars stigs jöfnur má leysa með annars stigs formúlunni. Sumar hafa tvinntölulausnir og því er rauntölulausn ekki tryggð.
Satt
b
Ósatt. Settu til dæmis (1, 0) inn í jöfnuna.
Settu 1 inn fyrir x. Búist er við 0 en niðurstaðan er 1.
Ósatt
Þetta er ferningfullkomnun. Fyrst þarf að láta vinstri hlið líta út eins og segð í öðru veldi. Aðferðin er oft hentug þegar línulegi stuðullinn er slétt tala, en einnig má nota hana hér.
Færðu fastaliðinn hægra megin.
Látum 𝑏 = b vera stuðul línulega liðarins, þannig að 𝑏 = −5 b = −5.
Bættu (𝑏/2)2 við báðar hliðar. (𝑏/2)2 = (−5/2)2 = 25/4.
| Nú má rita vinstri hliðina sem segð í öðru veldi. | ||
| Leggðu saman fastaliðina hægra megin. | ||
| Á þessu formi má nota kvaðratrótarregluna. | ||
| Einfaldaðu. | ||
| 𝑥 = 5 2 ± √ 5 2 x = 5/2 ± 5/2 | ||
| 𝑥 = 5 2 + √ 5 2 x = 5/2 + 5/2 | 𝑥 = 5 2 − √ 5 2 x = 5/2 − 5/2 | Ritaðu lausnirnar tvær. |
Þú átt eftir að sannreyna.
𝑥
=
5
2
±
√
5
2
x
=
5
2
±
5
2
a
Satt
b
Þessi vensl eru ekki fall því
x
-gildi. Gildið
x-
3 samsvarar fleiri en einu
y
-gildi.
Ósatt
b
Þetta er ekki fall. Sums staðar sker lóðrétt lína grafið oftar en einu sinni og það stenst ekki lóðrétta línuprófið.
Ósatt
a
Satt
Þessi vensl eru fall því engin
x
-gildi endurtaka sig. Hvert
x
-gildi samsvarar aðeins einu
y
-gildi.
b
Skilgreiningarmengið er mengi allra
x
-gildi venslanna: {10, 20, 30, 40}
Ósatt
a
Settu y = 0 til að finna x-skurðpunktinn.
(0, −8) er x-skurðpunkturinn.
Satt
b
Hallatalan er 2, ekki 1.
Punktur 1: (1, 2) og punktur 2: (2, 4).
Finndu hallatöluna.
| Settu inn. | |
| 𝑚 = 2 1 = 2 m = 2/1 = 2 | Einfaldaðu. |
Hallatalan er 2.
Merkja má punktana og staðfesta hallatöluna með því að telja hækkun á móti láréttri færslu.
Ósatt
b
Teldu hækkun á móti láréttri færslu milli merktu punktanna. Hækkunin er 4 og lárétta færslan 1. Hlutfallið er 4, ekki 5.
Ósatt
a
Hallatalan er 4. y-skurðpunkturinn er (0, 5).
Þegar jafnan er á hallatölu- og skurðpunktsformi línujöfnu,
.
m = hallatalan.
(0, b) = the y-intercept.
Línan er 𝑦 = 4𝑥 + 5.
Satt
b
Lóðréttar línur hafa óskilgreinda hallatölu, einnig kallað enga hallatölu.
Ósatt
Eyðingaraðferð hentar best því margfalda má síðari jöfnuna með 5 til að eyða
y
breytunni.
Eyðingaraðferð
Innsetningaraðferð hentar vel því fyrri jafnan er þegar leyst fyrir
x.
Innsetningaraðferð
Innsetningaraðferð hentar vel því fyrri jafnan er þegar leyst fyrir
y.
Innsetningaraðferð
Eyðingaraðferð hentar best því margfalda má síðari jöfnuna með −4 til að eyða
x
breytunni.
Eyðingaraðferð
Innsetningaraðferð hentar vel því fyrri jafnan er þegar leyst fyrir
y.
Innsetningaraðferð
Eyðingaraðferð hentar best því margfalda má síðari jöfnuna með −3 til að eyða
x
breytunni.
Eyðingaraðferð
Eyðingaraðferð hentar best því margfalda má síðari jöfnuna með −2 til að eyða
x
breytunni.
Eyðingaraðferð
Innsetningaraðferð hentar vel því fyrri jafnan er þegar leyst fyrir
x.
Innsetningaraðferð
c
e
Teiknaðu jöfnuhneppið og finndu síðan hvaða graf samsvarar teikningunni.
2𝑥 − 3𝑦 ≤ 5: Teiknaðu fyrri línuna sem heila línu með skurðpunktunum (5/2, 0) og (0, −5/3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 ≤ 5 0 ≤ 5 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Síðari lína: 𝑥 − 𝑦 ≥ 3.
Teiknaðu síðari línuna sem heila línu með skurðpunktunum (3, 0) og (0, −3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 − 0 ≥ 3 0 − 0 ≥ 3 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
d
Teiknaðu jöfnuhneppið og finndu síðan hvaða graf samsvarar teikningunni.
2𝑥 − 3𝑦 > 5: Teiknaðu fyrri línuna sem punktalínu með skurðpunktunum (5/2, 0) og (0, −5/3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 > 5 0 > 5 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega gagnstæða hlið við þá sem inniheldur (0, 0). |
Síðari lína: 𝑥 + 𝑦 < 3.
Teiknaðu síðari línuna sem punktalínu með skurðpunktunum (3, 0) og (0, 3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 − 0 < 3 0 − 0 < 3 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
b
Teiknaðu jöfnuhneppið og finndu síðan hvaða graf samsvarar teikningunni.
2𝑥 + 3𝑦 > 5: Teiknaðu fyrri línuna sem punktalínu með skurðpunktunum (5/2, 0) og (0, 5/3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 > 5 0 > 5 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega gagnstæða hlið við þá sem inniheldur (0, 0). |
Síðari lína: 𝑥 + 𝑦 ≤ 3.
Teiknaðu síðari línuna sem heila línu með skurðpunktunum (3, 0) og (0, 3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 − 0 ≤ 3 0 − 0 ≤ 3 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
a
Teiknaðu jöfnuhneppið og finndu síðan hvaða graf samsvarar teikningunni.
| 2 𝑥 + 3 𝑦 ≤ 5 2 x + 3 y ≤ 5 | Teiknaðu fyrri línuna sem heila línu með skurðpunktunum (5/2, 0) og (0, ( 5/2 , 0 )5/3).( 0 , 5/3 ) |
Prófaðu (0, 0).
| 0 ≤ 5 0 ≤ 5 | Þetta er satt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur (0, 0). |
Síðari lína: 𝑥 + 𝑦 ≥ 3.
Teiknaðu síðari línuna sem heila línu með skurðpunktunum (3, 0) og (0, 3).
Prófaðu (0, 0).
| 0 + 0 ≥ 3 0 + 0 ≥ 3 | Þetta er ósatt. Skyggðu lauslega þá hlið sem inniheldur ekki (0, 0). |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
c
Látum t vera fjölda seldra borða.
Látum c vera fjölda seldra stóla.
Látum P vera hagnaðinn.
Hagnaður af borði er $20 og af stól $10.
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarhagnaður | er | $20 sinnum fjöldi seldra borða | að viðbættum | $10 sinnum fjöldi seldra stóla |
| 20 t | + | 10 c |
a
Látum w vera fjölda ekra undir hveiti.
Látum c vera fjölda ekra undir bygg.
Látum P vera hagnaðinn.
Hagnaður af ekru af hveiti er $150 og af ekru af byggi $180.
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarhagnaður | er | $150 sinnum fjöldi ekra undir hveiti | að viðbættum | $180 sinnum fjöldi ekra undir bygg |
| 150 w | + | 180 b |
b
Látum f vera fjölda 45 snúninga platna.
Látum t vera fjölda 33 snúninga platna.
Látum P vera hagnaðinn.
Hagnaður af 45 snúninga plötu er $2,50.
Hagnaður af 33 snúninga plötu er $6,75.
Skiptu orðunum í hluta.
| Heildarhagnaður | er | $2,50 sinnum fjöldi seldra 45 snúninga platna | að viðbættum | $6,75 sinnum fjöldi seldra 33 snúninga platna |
| 2.50 f | + | 6.75 t |
d
Látum t vera fjölda seldra borða.
Látum c vera fjölda seldra stóla.
Látum P vera hagnaðinn.
Hagnaður af borði er $20 og af stól $10.
Borð þarf 15 borðfet af timbri.
Stóll þarf 4 borðfet af timbri.
Kellie hefur 70 borðfet til ráðstöfunar.
Skorða:
Skiptu orðunum í hluta.
| 15 borðfet sinnum fjöldi borða | að viðbættum | 4 borðfet sinnum fjöldi stóla | má ekki vera meira en | 70 borðfet |
| 15 t | + | 4 c | 70 |
a
Látum t vera fjölda seldra borða.
Látum c vera fjölda seldra stóla.
Látum P vera hagnaðinn.
Hámarksfjöldi borða og stóla sem smíða má á dag er 12.
Skiptu orðunum í hluta.
| Fjöldi borða | að viðbættum | fjöldi stóla | er ekki hærri en | 12 |
| t | + | 12 |
c
Látum w vera fjölda ekra undir hveiti.
Látum b vera fjölda ekra undir bygg.
Fræ kostar $10 á ekru fyrir hveiti.
Fræ kostar $15 á ekru fyrir bygg.
Dave getur aðeins varið $945 í fræ.
Skorða:
Skiptu orðunum í hluta.
| Kostnaður hveitifræs sinnum fjöldi ekra | að viðbættum | Kostnaður byggfræs sinnum fjöldi ekra | er ekki hærri en | $945 |
| 10 w | + | 15 b | 945 |
d
Látum w vera fjölda ekra undir hveiti.
Látum b vera fjölda ekra undir bygg.
Hagnaður af ekru af hveiti er $150 en kostnaður $30 á ekru.
Hagnaður af ekru af byggi er $180 en kostnaður $25 á ekru.
Dave ráðstafar $1.635 til ræktunar beggja tegunda.
Skorða:
Skiptu orðunum í hluta.
| Kostnaður hveitiræktar sinnum fjöldi ekra | að viðbættum | Kostnaður byggræktar sinnum fjöldi ekra | er ekki hærri en | $1,635 |
| 30 w | + | 25 b | 1,635 |
Látum t vera fjölda seldra borða.
Látum c vera fjölda seldra stóla.
Látum P vera hagnaðinn.
Hagnaður af borði er $20 og af stól $10.
Borð þarf 15 borðfet af timbri.
Stóll þarf 4 borðfet af timbri.
Kellie hefur 70 borðfet til ráðstöfunar.
Hámarksfjöldi borða og stóla sem smíða má á dag er 12.
Skorða:
Skiptu orðunum í hluta.
| 15 borðfet sinnum fjöldi borða | að viðbættum | 4 borðfet sinnum fjöldi stóla | má ekki vera meira en | 70 borðfet |
| 15 t | + | 4 c | 70 |
| Fjöldi borða | að viðbættum | fjöldi stóla | má ekki vera meira en | 12 |
| t | + | 12 |
Líttu á t sem breytu x-ássins og c sem breytu y-ássins.
Teiknaðu jaðarinn sem heila línu með skurðpunktunum (12, 0) og (0, 12).
Prófaðu (0, 0).
| 0 + 0 ≤ 1 2 0 + 0 ≤ 12 | Þetta er satt; skyggðu því neðan jaðarlínunnar í fyrsta fjórðungi. |
Teiknaðu 15𝑡 + 4𝑐 ≤ 70.
Teiknaðu jaðarinn sem heila línu með skurðpunktunum (4,6̅, 0) og (0, 17,5).
Prófaðu (0, 0).
| 0 + 0 ≤ 7 0 0 + 0 ≤ 70 | Þetta er satt; skyggðu því neðan jaðarlínunnar í fyrsta fjórðungi. |
Lausnin er svæðið sem báðar myndirnar skyggja.
b
Hvar skerast jaðarlínur ójafnanna?
Leystu 𝑡 + 𝑐 = 12 fyrir t.
Settu inn í síðari jaðarjöfnuna og leystu fyrir b.
Settu inn í fyrri jöfnuna til að finna b.
Hornpunktar skyggða svæðisins eru
Látum P vera hagnaðinn.
Hagnaður af borði er $20 og af stól $10.
Hámark og lágmark fást í einum hornpunktanna. Ekki þarf að prófa (0, 0), því hagnaðurinn þar er 0, þó hann sé tæknilega einnig hornpunktur.
Túlkaðu niðurstöðuna.
Hornpunktar lausnarsvæðisins eru skurðpunktur jaðarlínanna, (2, 10), og punktarnir (0, 12) og (4 2/3, 0).
(0, 12) Hver er hagnaðurinn? 𝑃 = 20(0) + 10(12) = $120.
(4 2/3, 0) Hver er hagnaðurinn? 𝑃 = 20(14/3) + 10(0) ≈ $93,33.
(2, 10) Hver er hagnaðurinn? 𝑃 = 20(2) + 10(10) = $140.
Hámarkshagnaður fæst með því að smíða 2 borð og 10 stóla. Hagnaður Kellie verður $140.
$
1
4
0
$
140