3. kafli
3. kafli
Þitt verkefni
3.1
Prófa má hvort talan sé deilanleg með 9. Leggðu tölustafina saman. Ef summan er deilanleg með 9 er upphaflega talan það einnig.
5 + 4 = 9 og því er 54 deilanleg með 9.
Já. Þegar 54 er deilt með 9 fæst 6 án afgangs. Einnig má rita 54 sem margfeldi 9 og 6.
3.2
Síðasti tölustafurinn er 0 og því er 45.730 deilanleg með 5, því reglan segir að ef síðasti tölustafurinn er 0 eða 5 sé upphaflega talan deilanleg með 5.
3.3
Summa tölustafanna er 32. Þar sem 32 er ekki deilanleg með 9 er 342.887 það ekki heldur.
3.4
Síðasti tölustafurinn er sléttur og því gengur 2 upp í 43.568. Summa tölustafanna er 26. Þar sem 26 er ekki deilanleg með 3 er 43.568 það ekki heldur. Til að tala sé deilanleg með 6 þarf hún að vera deilanleg með bæði 2 og 3. Þar sem 43.568 er ekki deilanleg með 3 er hún ekki deilanleg með 6.
3.5
Þar sem síðasti tölustafur 87.762 er ekki 0 er talan ekki deilanleg með 10.
3.6
Talan sem síðustu tveir tölustafir 43.568 mynda er 68 og hún er deilanleg með 4. Þar sem þessi tveggja stafa tala er deilanleg með 4 er 43.568 það einnig.
3.7
Aðeins þarf að prófa tölur upp að kvaðratrót 1.429, sem er um 37,80.
Skref 1: Notaðu þekktar deilanleikareglur.
2: Síðasti tölustafurinn er sléttur.
Síðasti tölustafurinn er ekki sléttur.
3: Leggðu tölustafi tölunnar saman. Ef summan er deilanleg með 3 er upphaflega talan það einnig.
1 + 4 + 2 + 9 = 16
16 er ekki deilanleg með 3.
5: Ef síðasti tölustafurinn er 5 eða 0 er upphaflega talan deilanleg með 5.
Síðasti tölustafurinn er hvorki 5 né 0 og því er talan ekki deilanleg með 5.
Skref 2:
Notaðu reiknivél til að prófa frumtölurnar upp að 37.
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
Til dæmis er 1.429 ÷ 7 ≈ 178,4285714.
Engin þessara frumtalna gefur heiltölukvóta; allir kvótarnir hafa aukastafi.
Niðurstaðan er að 1.429 sé frumtala.
Já, 1.429 er frumtala.
3.8
Aðeins þarf að prófa tölur upp að kvaðratrót 859, sem er um 29,308.
Skref 1: Notaðu þekktar deilanleikareglur.
2: Síðasti tölustafurinn er sléttur.
Síðasti tölustafurinn er ekki sléttur.
3: Leggðu tölustafi tölunnar saman. Ef summan er deilanleg með 3 er upphaflega talan það einnig.
8 + 5 = 13
13 er ekki deilanleg með 3.
5: Ef síðasti tölustafurinn er 5 eða 0 er upphaflega talan deilanleg með 5.
Síðasti tölustafurinn er hvorki 5 né 0 og því er talan ekki deilanleg með 5.
Skref 2:
Notaðu reiknivél til að prófa frumtölurnar upp að 29.
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Til dæmis er 859 ÷ 7 ≈ 122,7142857.
Engin þessara frumtalna gefur heiltölukvóta; allir kvótarnir hafa aukastafi.
Niðurstaðan er að 859 sé frumtala.
Já, 859 er frumtala.
3.9
Aðeins þarf að prófa tölur upp að kvaðratrót 5.067.322, sem er um 2.251,071301.
Skref 1: Notaðu þekktar deilanleikareglur.
2: Síðasti tölustafurinn er sléttur.
Síðasti tölustafurinn er sléttur.
5,067,322 = 2 2,533,661
Niðurstaðan er að 5.067.322 sé samsett tala.
5.067.322 er samsett tala.
3.10
Aðeins þarf að prófa tölur upp að kvaðratrót 1.477, sem er um 38,4317577.
Skref 1: Notaðu þekktar deilanleikareglur.
2: Síðasti tölustafurinn er sléttur.
Síðasti tölustafurinn er ekki sléttur.
3: Leggðu tölustafi tölunnar saman. Ef summan er deilanleg með 3 er upphaflega talan það einnig.
1 + 4 + 7 + 7 = 19
19 er ekki deilanleg með 3.
5: Ef síðasti tölustafurinn er 5 eða 0 er upphaflega talan deilanleg með 5.
Síðasti tölustafurinn er hvorki 5 né 0 og því er talan ekki deilanleg með 5.
Skref 2:
Notaðu reiknivél til að prófa frumtölurnar upp að 38.
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
Til dæmis er 1.477 ÷ 7 = 211.
7 er heiltöluþáttur og því er niðurstaðan að 1.477 sé samsett tala.
Nei, 1.477 er samsett tala.
3.11
Notaðu deilanleikareglur frumtalnanna og byrjaðu á þeirri minnstu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Þar sem 90 er slétt tala er hún deilanleg með 2.
Þar sem 45 endar á 5 er hún deilanleg með 5.
9
0
=
2
3
2
5
90
=
2
3
2
5
3.12
85 hefur þáttinn 5 því talan endar á 5.
Þar sem 17 er frumtala er þáttuninni lokið.
8
5
=
5
1
7
85
=
5
17
3.13
Þar sem 280 endar á 0 hefur talan þáttinn 10, sem er 2 sinnum 5. Taktu 2 og 5 út sem þætti.
28 er deilanleg með 2; taktu 2 aftur út sem þátt.
14 er slétt tala; taktu 2 aftur út sem þátt.
Einnig má rita frumþáttunina: 2 8 0 = 2 3 5 7 280 = 2 3 5 7.
2
3
5
7
2
3
5
7
3.14
Þar sem 180 endar á 0 hefur talan þáttinn 10, sem er 2 sinnum 5. Taktu 2 og 5 út sem þætti.
18 er deilanleg með 2; taktu 2 aftur út sem þátt.
Þáttaðu 9.
180 hefur þrjá frumþætti (2, 3 og 5).
Talan 180 hefur þrjá frumþætti.
3.15
| Tala | Þættir | |||||
| 270 | 2 | 3 | 3 | 3 | 5 | |
| 99 | 3 | 3 | 11 | |||
| Sameiginlegir | 3 | 3 |
Stærsti samdeilir er margfeldi sameiginlegu þáttanna:
3
3
=
9
3
3
=
9
.
Stærsti samdeilirinn er 9.
3.16
| Tala | Þættir | ||||||||
| 36 | 2 | 2 | 3 | 3 | |||||
| 128 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||
| Sameiginlegir | 2 | 2 |
Stærsti samdeilir er margfeldi sameiginlegu þáttanna:
2
2
=
4
2
2
=
4
.
Stærsti samdeilir 36 og 128 er 4.
3.17
| Tala | Þættir | |||||
| 120 | 2 | 2 | 2 | 3 | 5 | |
| 200 | 2 | 2 | 2 | 5 | 5 | |
| Sameiginlegir | 2 | 2 | 2 | 5 |
Stærsti samdeilir er margfeldi sameiginlegu þáttanna:
2
2
2
5
=
4
0
2
2
2
5
=
40
40
3.18
Finna þarf stærsta samdeili breiddar og lengdar: 400 cm og 540 cm
| Tala | Þættir | ||||||||
| 400 | 2 | 2 | 2 | 2 | 5 | 5 | |||
| 540 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 5 | |||
| Sameiginlegir | 2 | 2 | 5 |
Stærsti samdeilir = 2 2 5 = 2 0 c m 2 2 5 = 20 c m
Stærstu ferhyrndu flísarnar sem nota má eru 20 cm á 20 cm.
Stærstu ferhyrndu flísarnar sem nota má eru 20 cm á 20 cm.
3.19
Finndu stærsta samdeili 21, 35 og 28.
| Tala | Þættir | ||||
| 21 | 3 | 7 | |||
| 35 | 5 | 7 | |||
| 28 | 2 | 2 | 7 | ||
| Sameiginlegir | 7 |
Stærsti samdeilir = 7
Stærsta hópstærðin er 7 nemendur.
Stærsti hópurinn sem mynda má er 7 nemendur.
3.20
Margfeldi af 12: 12, 24, 36, 48, 60
Margfeldi af 15: 15, 30, 45, 60
Fyrsta talan sem kemur fyrir í báðum listum er 60.
Minnsta samfeldi er 60.
60
3.21
Finndu frumþáttun hvorrar tölu.
Búðu til töflu yfir hverja frumtölu og hæsta veldisvísinn sem hún hefur.
| Frumtala | 2 | 5 | 7 |
| Veldisvísir | 2 | 1 | 1 |
Minnsta samfeldið er margfeldi hverrar frumtölu í því veldi sem taflan sýnir.
Minnsta samfeldið er 2 2 5 7 = 1 4 0 2 2 5 7 = 140.
140
3.22
Finndu frumþáttun hvorrar tölu.
Búðu til töflu yfir hverja frumtölu og hæsta veldisvísinn sem hún hefur.
| Frumtala | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| Veldisvísir | 4 | 1 | 2 | 1 | 1 |
Minnsta samfeldið er margfeldi hverrar frumtölu í því veldi sem taflan sýnir.
Minnsta samfeldið er 2 4 3 5 2 7 1 1 = 9 2 , 4 0 0 2 4 3 5 2 7 11 = 92.400.
92,400
3.23
Með listum:
Skráðu margfeldi hverrar tölu þar til sameiginleg tala finnst.
18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252, 270, 288, 306, 324, 342, 360
24: 24, 48, 72, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, 312, 336, 360
40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360
Fyrsta sameiginlega talan er 360. Minnsta samfeldið er 360.
Með frumþáttun:
Finndu frumþáttun hvorrar tölu.
Búðu til töflu yfir hverja frumtölu og hæsta veldisvísinn sem hún hefur.
| Frumtala | 2 | 3 | 5 |
| Veldisvísir | 3 | 2 | 1 |
Minnsta samfeldið er margfeldi hverrar frumtölu í því veldi sem taflan sýnir.
Minnsta samfeldið er 2 3 3 2 5 = 3 6 0 2 3 3 2 5 = 360.
360
3.24
Finndu minnsta samfeldi 255 og 4.330.
Finndu frumþáttun hvorrar tölu.
Búðu til töflu yfir hverja frumtölu og hæsta veldisvísinn sem hún hefur.
| Frumtala | 2 | 3 | 5 | 17 | 433 |
| Veldisvísir | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Minnsta samfeldið er margfeldi hverrar frumtölu í því veldi sem taflan sýnir.
Minnsta samfeldið er 2 3 5 1 7 4 3 3 = 2 2 0 , 8 3 0 2 3 5 17 433 = 220.830.
Sólin, Venus og Júpíter raðast upp eftir 220.830 daga.
Sólin, Venus og Júpíter verða aftur í beinni röð eftir 220.830 daga.
3.25
Finndu minnsta samfeldi 130 og 900.
Finndu frumþáttun hvorrar tölu.
Búðu til töflu yfir hverja frumtölu og hæsta veldisvísinn sem hún hefur.
| Frumtala | 2 | 3 | 5 | 13 |
| Veldisvísir | 2 | 2 | 2 | 1 |
Minnsta samfeldið er margfeldi hverrar frumtölu í því veldi sem taflan sýnir.
Minnsta samfeldið er 2 2 3 2 5 2 1 3 = 1 1 , 7 0 0 2 2 3 2 5 2 13 = 11.700.
Vinningshafinn er sá sem sendir inn 11.700. innsendinguna.
Fyrsti einstaklingurinn sem fengi báðar gjafirnar væri sá sem sendir inn 11.700. innsendinguna.
3.26
–214 er heiltala, því hún er neikvæða gildi teljutölu.
heiltala
38/11 er ekki heiltala. Gildið er um 3,45, sem liggur milli 3 og 4 og þar með milli tveggja samliggjandi heiltalna.
ekki heiltala
Kvaðratrót 90 er um 9,4868, sem liggur milli 9 og 10. Hún er ekki heiltala.
ekki heiltala
Kvaðratrót 121 er 11. Hún er heiltala.
heiltala
Þegar 420 er deilt með 35 fæst 12, sem er heiltala. Þetta er heiltala.
heiltala
3.27
Á talnalínu með striki við hverja heiltölu skaltu telja 10 strik í neikvæða átt. Settu fylltan punkt þar.
Á talnalínu með striki við hverja heiltölu skaltu telja fjögur strik í jákvæða átt. Settu fylltan punkt þar.
Á talnalínu með striki við hverja heiltölu skaltu setja fylltan punkt við núll.
3.28
2
7
>
−
3
8
27
>
−
38
og
−
3
8
<
2
7
−
38
<
27
Hugsaðu þér talnalínu með striki við hverja heiltölu. Til að merkja −38 færist þú 38 strik til vinstri frá núlli. Til að merkja 27 færist þú 27 strik til hægri frá núlli.
−38 er lengra til vinstri en 27 og því er −38 minna en 27.
3.29
Hugsaðu þér talnalínu með striki við hverja heiltölu. Til að merkja −213 færist þú 213 strik til vinstri frá núlli. Til að merkja −63 færist þú 63 strik til vinstri frá núlli.
−213 er lengra til vinstri en −63 og því er −213 minna en −63.
−
6
3
>
−
2
1
3
−
63
>
−
213
og
−
2
1
3
<
−
6
3
−
213
<
−
63
3.30
101 er stærri.
1
0
1
>
9
8
101
>
98
og
9
8
<
1
0
1
98
<
101
.
101 er hægra megin við 98 á talnalínu. Því gildir
1
0
1
>
9
8
101
>
98
og
9
8
<
1
0
1
98
<
101
.
3.31
38
Þar sem talan innan algildisins er jákvæð er algildið talan sjálf.
3.32
Þar sem talan innan algildisstrikanna er neikvæð fjarlægir algildið mínusmerkið.
|–81| = 81
81
3.33
Notaðu reiknivél til að finna að (−18) + 11 = −7. Þegar tölur með ólík formerki eru lagðar saman fær svarið formerki heiltölunnar með stærra algildi. Þar sem |−18| > |11| fær svarið formerki −18.
−7. Þar sem |−18| > |11| fær svarið formerki −18.
3.34
Notaðu reiknivél til að finna að 38 − 100 = −62.
Þar sem 100 er stærri en 38 má búast við neikvæðum mismun.
−62. Þar sem stærri jákvæð tala var dregin frá minni jákvæðri tölu var búist við neikvæðri niðurstöðu.
3.35
Notaðu reiknivél til að finna að 45 − (−26) = 71. Að draga frá neikvæða tölu jafngildir því að leggja jákvæða tölu við. Þetta er hið sama og að reikna 45 + 26 = 71.
71. Að draga frá neikvæða tölu jafngildir því að leggja jákvæða tölu við.
3.36
Notaðu reiknivél til að finna að 19 + (−36) = −17.
Þegar tölur með ólík formerki eru lagðar saman fær svarið formerki heiltölunnar með stærra algildi. Þar sem |−36| > |19| fær svarið formerki −36.
−17. Þar sem algildi 19 er minna en algildi −36 fær svarið formerki −36, sem er neikvætt.
3.37
$89
Chanel skuldar Christian fé og því er $180 táknað sem jákvæð tala. Christian skuldar Jeff fé og því eru 91 dregnir frá 180.
Hrein eign Christians er $89.
3.38
2.106. Þar sem báðar tölurnar eru jákvæðar er margfeldið jákvætt.
.
Þar sem 81 og 26 eru báðar jákvæðar er margfeldið jákvætt.
3.39
−234. Þar sem tölurnar hafa ólík formerki er margfeldið neikvætt.
.
Þar sem −18 og 13 hafa ólík formerki er margfeldið neikvætt.
3.40
−29. Tölurnar hafa ólík formerki og því er kvótinn neikvæður.
.
Þar sem −116 og 4 hafa ólík formerki er kvótinn neikvæður.
3.41
7. Þar sem tölurnar hafa sama formerki er kvótinn jákvæður.
.
Þar sem −77 og −11 hafa sama formerki er kvótinn jákvæður.
3.42
Meðaldagstaðan var $529.
Leggðu saman stöðurnar sjö og deildu síðan með 7.
Sum:
Deildu summunni með 7:
Meðalstaðan er $529.
3.43
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða. Aðgerðin með hæsta forgang í þessari segð er margföldun.
| Margfaldaðu. | 4 3 + 2 7 0 43 + 270 |
| Leggðu saman. | 3 1 3 313 |
313
3.44
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Reiknaðu veldið. | 3 6 0 0 / 5 0 3600 / 50 |
| Deildu. | 7 2 72 |
72
3.45
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Reiknaðu veldið. | 3 2 1 6 − 1 8 3 216 − 18 |
| Margfaldaðu. | 6 4 8 − 1 8 648 − 18 |
| Dragðu frá. | 6 3 0 630 |
630
3.46
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Reiknaðu veldin. | 1 3 + 8 1 8 / 6 2 5 − 3 4 13 + 81 8 / 6 25 − 3 4 |
| Margfaldaðu með 8. | 1 3 + 6 4 8 / 6 2 5 − 3 4 13 + 648 / 6 25 − 3 4 |
| Deildu með 6. | 1 3 + 1 0 8 2 5 − 3 4 13 + 108 25 − 3 4 |
| Margfaldaðu með 25. | 1 3 + 2 , 7 0 0 − 3 4 13 + 2 , 700 − 3 4 |
| Margfaldaðu með 4. | 1 3 + 2 , 7 0 0 − 1 2 13 + 2 , 700 − 12 |
| Leggðu saman. | 2 , 7 1 3 − 1 2 2 , 713 − 12 |
| Dragðu frá. | 2 , 7 0 1 2 , 701 |
2,701
3.47
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Reiknaðu veldið. | 1 2 / ( − 4 ) + 8 9 / 1 2 8 − 2 4 2 5 / 1 0 12 / ( − 4 ) + 8 9 / 12 8 − 24 25 / 10 |
| Deildu með −4. | − 3 + 8 9 / 1 2 8 − 2 4 2 5 / 1 0 − 3 + 8 9 / 12 8 − 24 25 / 10 |
| Margfaldaðu með 9. | − 3 + 7 2 / 1 2 8 − 2 4 2 5 / 1 0 − 3 + 72 / 12 8 − 24 25 / 10 |
| Deildu með 12. | − 3 + 6 8 − 2 4 2 5 / 1 0 − 3 + 6 8 − 24 25 / 10 |
| Margfaldaðu með 8. | − 3 + 4 8 − 2 4 2 5 / 1 0 − 3 + 48 − 24 25 / 10 |
| Margfaldaðu með 25. | − 3 + 4 8 − 6 0 0 / 1 0 − 3 + 48 − 600 / 10 |
| Deildu með 10. | − 3 + 4 8 − 6 0 − 3 + 48 − 60 |
| Leggðu saman. | 4 5 − 6 0 45 − 60 |
| Dragðu frá. | − 1 5 − 15 |
−15
3.48
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Reiknaðu veldin. | 3 6 4 7 + 2 4 / 6 4 9 − 9 / 3 8 3 64 7 + 24 / 6 49 − 9 / 3 8 |
| Margfaldaðu með 64. | 1 9 2 7 + 2 4 / 6 4 9 − 9 / 3 8 192 7 + 24 / 6 49 − 9 / 3 8 |
| Margfaldaðu með 7. | 1 , 3 4 4 + 2 4 / 6 4 9 − 9 / 3 8 1 , 344 + 24 / 6 49 − 9 / 3 8 |
| Deildu með 6. | 1 , 3 4 4 + 4 4 9 − 9 / 3 8 1 , 344 + 4 49 − 9 / 3 8 |
| Margfaldaðu með 49. | 1 , 3 4 4 + 1 9 6 − 9 / 3 8 1 , 344 + 196 − 9 / 3 8 |
| Deildu með 3. | 1 , 3 4 4 + 1 9 6 − 3 8 1 , 344 + 196 − 3 8 |
| Margfaldaðu með 8. | 1 , 3 4 4 + 1 9 6 − 2 4 1 , 344 + 196 − 24 |
| Leggðu saman. | 1 , 5 4 0 − 2 4 1 , 540 − 24 |
| Dragðu frá. | 1 , 5 1 6 1 , 516 |
1,516
3.49
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
Reiknaðu fyrst aðgerðirnar innan sviganna.
| Reiknaðu veldið. | 8 − ( 2 5 − 4 ) / 7 8 − ( 25 − 4 ) / 7 |
| Dragðu frá innan sviganna. | 8 − ( 2 1 ) / 7 8 − ( 21 ) / 7 |
| Deildu með 7. | 8 − 3 8 − 3 |
| Dragðu frá. | 5 5 |
5
3.50
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
Reiknaðu fyrst aðgerðirnar innan sviganna.
| Dragðu frá innan fyrri sviganna. | ( 2 ) 2 1 0 0 − ( ( 4 8 / 6 − 3 ) 2 − 4 7 ) ( 2 ) 2 100 − ( ( 48 / 6 − 3 ) 2 − 4 7 ) |
| Deildu með 6 innan innri sviganna. | ( 2 ) 2 1 0 0 − ( ( 8 − 3 ) 2 − 4 7 ) ( 2 ) 2 100 − ( ( 8 − 3 ) 2 − 4 7 ) |
| Dragðu frá innan innri sviganna. | ( 2 ) 2 1 0 0 − ( ( 5 ) 2 − 4 7 ) ( 2 ) 2 100 − ( ( 5 ) 2 − 4 7 ) |
| Reiknaðu veldið innan síðari sviganna. | ( 2 ) 2 1 0 0 − ( 2 5 − 4 7 ) ( 2 ) 2 100 − ( 25 − 4 7 ) |
| Margfaldaðu með 7 innan síðari sviganna. | ( 2 ) 2 1 0 0 − ( 2 5 − 2 8 ) ( 2 ) 2 100 − ( 25 − 28 ) |
| Dragðu frá innan síðari sviganna. | ( 2 ) 2 1 0 0 − ( − 3 ) ( 2 ) 2 100 − ( − 3 ) |
| Reiknaðu veldið. | 4 1 0 0 − ( − 3 ) 4 100 − ( − 3 ) |
| Margfaldaðu með 100. | 4 0 0 − ( − 3 ) 400 − ( − 3 ) |
| Dragðu frá. | 4 0 3 403 |
403
3.51
94 er ekki ferningstala.
Frumþáttun 94 er 2 4 7 2 47. Enginn þáttanna myndar par.
94 er ekki ferningstala.
441 er ferningstala.
2
1
2
1
=
4
4
1
21
21
=
441
441 er ferningstala.
3.52
Ekki ræð tala
√ 1 3 ≈ 3 , 6 0 5 5 5 . . . . 13 ≈ 3.60555.... Engin endurtekning er í aukastöfunum og því er talan ekki ræð.
ekki ræð tala
Þetta er ræð tala því aukastafirnir eru lotubundnir.
ræð tala
Þetta er ræð tala því hún er hlutfall tveggja heiltalna.
ræð tala
Þetta er ræð tala. Blandna tölu má rita sem hlutfall tveggja heiltalna.
ræð tala
Þetta er ræð tala. Endanlega tugabrot má rita sem hlutfall tveggja heiltalna.
ræð tala
3.53
Tvö brot, 𝑎 𝑏 a/b og 𝑐 𝑑 c/d, eru jafngild ef 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑐 a d = b c.
Þar sem margfeldin eru ekki jöfn eru brotin ekki jafngild.
𝑎
𝑏
=
8
2
6
=
2
0
8
a
b
=
8
26
=
208
og
𝑏
𝑐
=
1
4
1
2
=
1
6
8
b
c
=
14
12
=
168
. Brotin eru ekki jafngild.
3.54
| Ritaðu brotið á þáttuðu formi. | 2 2 3 3 7 2 2 2 3 5 7 2 2 3 3 7/2 2 2 3 5 7 |
| Styttu sameiginlegu þættina út. | 2 2 3 3 7 2 2 2 3 5 7 2 2 3 3 7/2 2 2 3 5 7 |
| Einfaldaðu. | 3 1 0 3/10 |
3
1
0
3
10
3.55
Sláðu brotin inn í Desmos (desmos.com) og notaðu „/“ sem brotastrik.
Þú slærð inn: 1 2 4 / 2 9 7 124 / 297
Brot birtist á vinnusvæðinu og tugabrot á svarsvæðinu.
Færðu bendilinn út úr brotinu og ýttu á +.
Sláðu inn síðara brotið: 3 / 1 2 5 3 / 125
Svarsvæðið sýnir 0 , 4 4 1 5 0 8 4 1 7 5 . 0.4415084175.
Smelltu á hnappinn „breyta í brot“. Hann lítur út eins og ◻ ◻ ◻/◻.
Lokasvarið birtist: 1 6 , 3 9 1 3 7 , 1 2 5 16 , 391/37 , 125.
1
6
,
3
9
1
3
7
,
1
2
5
16
,
391
37
,
125
3.56
Þegar tvö brot hafa sama nefnara eru teljararnir lagðir saman.
Engir sameiginlegir þættir eru til að stytta út.
4
5
7
3
45
73
3.57
Þegar tvö brot hafa sama nefnara eru teljararnir dregnir hvor frá öðrum.
Engir sameiginlegir þættir eru til að stytta út.
1
3
4
0
13
40
3.58
Finndu minnsta samfeldi 9 og 12. (Nota má Desmos.)
| Tala | Þættir | |||
| 9 | 3 | 3 | ||
| 12 | 2 | 2 | 3 | |
| Minnsta samfeldi | 2 | 2 | 3 | 3 |
Endurritaðu brotin með nefnarann 36.
Nú má leggja brotin saman með því að leggja teljarana saman.
Engir sameiginlegir þættir eru til að stytta út.
Annað svar: 1 1 3 6 1 1/36
3
7
3
6
37
36
3.59
Finndu minnsta samfeldi 99 og 300. (Nota má Desmos.)
| Tala | Þættir | ||||||
| 99 | 3 | 3 | 11 | ||||
| 300 | 2 | 2 | 3 | 5 | 5 | ||
| Minnsta samfeldi | 2 | 2 | 3 | 3 | 5 | 5 | 11 |
Endurritaðu brotin með nefnarann 9.900.
Nú má draga brotin frá með því að draga teljarana hvor frá öðrum.
Engir sameiginlegir þættir eru til að stytta út.
4
3
9
9
,
9
0
0
439
9
,
900
3.60
9 5 ÷ 2 6 95 ÷ 26 er 3 með afgangi. Hver er afgangurinn?
Afgangurinn er 17.
Ritaðu því 9 5 2 6 95/26 sem 3 1 7 2 6 3 17/26.
3
1
7
2
6
3
17
26
3.61
| Margfaldaðu heiltöluhlutann með nefnaranum. | 9 1 4 = 1 2 6 9 14 = 126 |
| Leggðu margfeldið við teljarann. | 1 2 6 + 5 = 1 3 1 126 + 5 = 131 |
| Ritaðu summuna deilda með nefnaranum. | 1 3 1 1 4 131/14 |
1
3
1
1
4
131
14
3.62
Þriðji aukastafurinn er 8. Næsti stafur er 2 og því er námundað niður.
5.108
5.108
3.63
Annar aukastafurinn er 2. Næsti stafur er 9 og því er námundað upp; breyttu 2 í 3.
18.63
18.63
3.64
Deildu 48 með 30 í reiknivél og fáðu 1,6.
Einnig má finna tugabrotið með því að stytta þannig að nefnarinn verði 10.
1.6
3.65
Aukastafirnir eru fimm og því er 10 hafið í fimmta veldi.
1
,
7
0
3
,
3
4
7
1
0
0
,
0
0
0
1
,
703
,
347
100
,
000
3.66
Margfaldaðu teljarana og settu margfeldið í teljarann.
Margfaldaðu nefnarana og settu margfeldið í nefnarann.
Einfaldaðu. Stærsti samdeilir 1.260 og 6.600 er 60.
2
1
1
1
0
21
110
3.67
4 5 , 6 3 ÷ 1 7 , 1 3 45.63 ÷ 17.13 er um 2,663747 …
Þriðji aukastafurinn er 3. Næsti stafur er 7 og því er námundað upp; breyttu 3 í 4.
2.664
2.664
3.68
Margfaldaðu fyrra brotið með gagnhverfu þess síðara.
Einfaldaðu.
3
8
3
5
38
35
Margfaldaðu fyrra brotið með gagnhverfu þess síðara.
Einfaldaðu.
1
1
1
1
2
11
112
3.69
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Leggðu saman brotin innan sviganna. | ( 1 0 1 6 ) 2 + 1 5 ÷ 3 1 0 ( 10/16 ) 2 + 1/5 ÷ 3/10 |
| Einfaldaðu. | ( 5 8 ) 2 + 1 5 ÷ 3 1 0 ( 5/8 ) 2 + 1/5 ÷ 3/10 |
| Reiknaðu veldið. | 2 5 6 4 + 1 5 ÷ 3 1 0 25/64 + 1/5 ÷ 3/10 |
| Deildu. Margfaldaðu með gagnhverfunni. | 2 5 6 4 + 1 5 1 0 3 25/64 + 1/5 10/3 |
| 2 5 6 4 + 1 0 1 5 25/64 + 10/15 | |
| 2 5 6 4 + 2 3 25/64 + 2/3 | |
| Leggðu saman. Minnsta samfeldið er 192. | 2 5 3 6 4 3 + 2 6 4 3 6 4 25 3/64 3 + 2 64/3 64 |
| 7 5 1 9 2 + 1 2 8 1 9 2 75/192 + 128/192 | |
| 2 0 3 1 9 2 203/192 | |
| Annað rétt svar: | 1 1 1 1 9 2 1 11/192 |
2
0
3
1
9
2
203
192
3.70
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Leggðu saman tölurnar innan sviganna. | ( 3 5 + 1 0 5 ) ( 4 5 − 1 2 ) 2 ÷ 1 1 1 5 ( 3/5 + 10/5 ) ( 4/5 − 1/2 ) 2 ÷ 11/15 |
| 1 3 5 ( 4 5 − 1 2 ) 2 ÷ 1 1 1 5 13/5 ( 4/5 − 1/2 ) 2 ÷ 11/15 | |
| Dragðu brotin hvort frá öðru innan sviganna. | 1 3 5 ( 8 1 0 − 5 1 0 ) 2 ÷ 1 1 1 5 13/5 ( 8/10 − 5/10 ) 2 ÷ 11/15 |
| Reiknaðu veldið. | 1 3 5 ( 3 1 0 ) 2 ÷ 1 1 1 5 13/5 ( 3/10 ) 2 ÷ 11/15 |
| Margfaldaðu. | 1 1 7 5 0 0 ÷ 1 1 1 5 117/500 ÷ 11/15 |
| Deildu. Margfaldaðu með gagnhverfunni. | 1 1 7 1 0 0 5 3 5 1 1 117/100 5 3 5/11 |
| 1 1 7 5 0 0 1 5 1 1 117/500 15/11 | |
| 3 5 1 1 , 1 0 0 351/1 , 100 |
Valfrjálst tugabrotaform: 0 , 3 1 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 9 0 0.31 90 ¯
3
5
1
1
,
1
0
0
351
1
,
100
, eða á tugabrotaformi,
0
.
3
1
9
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
0
9
0.319
09
¯
3.71
Aðferðin sem byggist á þéttleika:
Skref 1: Leggðu saman ræðu tölurnar tvær.
Skref 2: Deildu niðurstöðunni með 2. Að deila með 2 jafngildir því að margfalda með einum helmingi.
Aðrar tölur koma til greina, en þessi fæst með aðferðinni.
Aðferðin hér að framan gefur
5
4
3
2
6
0
543
260
.
3.72
Stærðfræði: helmingur t i m e = 1 2 1 0 = 5 h o u r s t i m e = 1/2 10 = 5 h o u r s í stærðfræði
Saga: fjórðungur t i m e = 1 4 1 0 = 2 , 5 h o u r s t i m e = 1/4 10 = 2.5 h o u r s í sögu
Ritun: áttundi hluti t i m e = 1 8 1 0 = 1 , 2 5 h o u r s t i m e = 1/8 10 = 1.25 h o u r s í ritun
Eðlisfræði: áttundi hluti t i m e = 1 8 1 0 = 1 , 2 5 h o u r s t i m e = 1/8 10 = 1.25 h o u r s í eðlisfræði
Stærðfræðinám: 5 klukkustundir
Sögunám: 2,5 klukkustundir
Ritunarnám: 1,25 klukkustundir
Eðlisfræðinám: 1,25 klukkustundir
3.73
30% af 2.400 hitaeiningum
Callum ætti að neyta 720 hitaeininga úr próteini.
720 hitaeiningar úr próteini
3.74
2
0
0
m
i
l
e
s
(
1
.
6
0
9
3
4
k
m
1
m
i
l
e
)
≈
3
2
1
.
8
6
8
k
m
200
m
i
l
e
s
(
1.60934
k
m
1
m
i
l
e
)
≈
321.868
k
m
321,868 km
3.75
2
5
q
u
a
r
t
s
(
3
.
7
8
5
l
i
t
e
r
s
4
q
u
a
r
t
s
)
≈
2
3
.
6
5
6
l
i
t
e
r
s
25
q
u
a
r
t
s
(
3
.785
l
i
t
e
r
s
4
q
u
a
r
t
s
)
≈
23.656
l
i
t
e
r
s
23,656 lítrar
3.76
Prósenta er tiltekin ræð tala og merkir bókstaflega af hundraði. 𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Annað rétt svar: 1 2 5 1/25
4
1
0
0
4
100
Prósenta er tiltekin ræð tala og merkir bókstaflega af hundraði. 𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Annað rétt svar: 1 2 1/2
5
0
1
0
0
50
100
3.77
Prósenta er tiltekin ræð tala og merkir bókstaflega af hundraði. 𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Á tugabrotaformi: 0,14
0.14
Prósenta er tiltekin ræð tala og merkir bókstaflega af hundraði. 𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Á tugabrotaformi: 0,07
0.07
3.78
25% of 1,200
| Endurritaðu „af“ sem margföldun. | 2 5 1 0 0 1 , 2 0 0 25/100 1 , 200 |
| Einfaldaðu. | 2 5 1 2 1 0 0 1 0 0 25 12 100/100 |
| 3 0 0 300 |
300
53% of 1,588
| Endurritaðu „af“ sem margföldun. | 5 3 1 0 0 1 , 5 8 8 53/100 1 , 588 |
| Notaðu reiknivélina. | 8 4 1 . 6 4 841.64 |
841.64
3.79
25% af heildinni eru 30.
| Endurritaðu „af“ sem margföldun. | 2 5 1 0 0 3 0 25/100 30 |
| Notaðu reiknivélina. | 1 2 0 120 |
120
45% af heildinni eru 360.
𝑛 % n % af 𝑥 x hlutum er 𝑛 1 0 0 𝑥 n/100 x.
| Endurritaðu „af“ sem margföldun og „eru“ sem jafnaðarmerki. | 4 5 1 0 0 𝑡 𝑜 𝑡 𝑎 𝑙 = 3 6 0 45/100 t o t a l = 360 |
| Margfaldaðu báðar hliðar með 1 0 0 4 5 100/45.100/45 | |
| 𝑡 𝑜 𝑡 𝑎 𝑙 = 8 0 0 t o t a l = 800 |
800
3.80
𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Hve mörg prósent af 1.000 eru 70?
Endurritaðu „eru“ sem jafnaðarmerki og „prósent af“ sem 𝑛 1 0 0 1 , 0 0 0 . n/100 1.000.
| 7 0 = 1 0 𝑛 70 = 10 n | Deildu með 10. |
Svarið er 7%.
7%
𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Hve mörg prósent af 500 eru 425?
Endurritaðu „eru“ sem jafnaðarmerki og „prósent af“ sem 𝑛 1 0 0 5 0 0 . n/100 500.
| 4 2 5 = 5 𝑛 425 = 5 n | Deildu með 5. |
Svarið er 85%.
85%
3.81
Hvað eru 20% af 2.200?
𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
| Endurritaðu „af“ sem margföldun. | 2 0 1 0 0 2 , 2 0 0 20/100 2 , 200 |
| Notaðu reiknivélina. | 4 4 0 440 |
Rily ætti að borða 440 hitaeiningar úr próteini.
440 hitaeiningar úr próteini
3.82
𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
Hve mörg prósent af 450 eru 54?
Endurritaðu „eru“ sem jafnaðarmerki og „prósent af“ sem 𝑛 1 0 0 5 0 0 . n/100 500.
| 5 4 = 4 . 5 𝑛 54 = 4.5 n | Deildu með 4,5. |
Svarið er að 12% skráðra kjósenda kusu í forvalinu.
12% skráðra kjósenda í smábænum kusu í forvalinu.
3.83
40% af heildinni eru $30.
𝑛 % n % af 𝑥 x hlutum er 𝑛 1 0 0 𝑥 n/100 x.
| Endurritaðu „af“ sem margföldun og „eru“ sem jafnaðarmerki. | 4 0 1 0 0 𝑡 𝑜 𝑡 𝑎 𝑙 = 3 0 40/100 t o t a l = 30 |
| Margfaldaðu báðar hliðar með 1 0 0 4 0 100/40.100/40 | |
| 𝑡 𝑜 𝑡 𝑎 𝑙 = $ 7 5 t o t a l = $ 75 |
Upphaflega verðið var $75.
Leitað er að upphaflegu verði vörunnar, það er heildinni. Prósentan 40 og prósentuhluti heildarinnar, $30, eru þekkt. Notaðu eftirfarandi til að finna upphaflega verðið:
1
0
0
𝑥
𝑛
100
x
n
, þar sem
𝑥
=
3
0
x
=
30
og
𝑛
=
4
0
n
=
40
. Reiknað með þessum gildum fæst
1
0
0
3
0
4
0
=
7
5
100
30
40
=
75
. Upphaflega verðið var því $75.
3.84
36 er ferningstala því hún er jöfn
6
2
6
2
.
ferningstala
27 er ekki ferningstala. Hún er teningstala því frumþáttun hennar er
3
3
3
3
.
ekki ferningstala
9
4
9
=
(
3
7
)
2
9
49
=
(
3
7
)
2
Þetta er ferningstala.
ferningstala
Þetta er ekki ferningstala því frumþættirnir mynda ekki pör.
ekki ferningstala
3.85
ræð
Þetta er ekki órætt því rita má 15 sem hlutfall tveggja heiltalna.
óræð
Þetta jafngildir tugabroti sem er ekki lotubundið og er því óræð tala.
óræð
Þetta jafngildir tugabroti sem er ekki lotubundið og er því óræð tala.
óræð
Þetta jafngildir tugabroti sem er ekki lotubundið og er því óræð tala.
3.86
Ræði hlutinn er 5.
Óræði hlutinn er √ 2 2 22.
5
√
2
2
5
22
. Ræði hlutinn er 5 og óræði hlutinn er
√
2
2
22
.
3.87
773 er frumtala og því verður þetta ekki einfaldað frekar.
Ræði hlutinn er 1. (Alltaf má hafa þáttinn 1.)
Óræði hlutinn er √ 1 5 15.
√
7
3
3
733
. Ræði hlutinn er 1 og óræði hlutinn er
√
7
3
3
733
.
3.88
Ræði hlutinn er 11.
Óræði hlutinn er √ 1 5 15.
1
1
√
1
5
11
15
. Ræði hlutinn er 11 og óræði hlutinn er
√
1
5
15
.
3.89
1
8
√
1
5
18
15
Þar sem óræðu hlutarnir eru eins má draga tölurnar frá án reiknivélar.
Formúlan notar dreifireglu: ( 𝑎 𝑥 ) ± ( 𝑏 𝑥 ) = ( 𝑎 ± 𝑏 ) 𝑥 ( a x ) ± ( b x ) = ( a ± b ) x.
( 4 1 − 2 3 ) √ 1 5 ( 41 − 23 ) 15 Dragðu frá.
3.90
Þar sem óræðu hlutarnir eru eins má leggja tölurnar saman án reiknivélar.
Formúlan notar dreifireglu: ( 𝑎 𝑥 ) ± ( 𝑏 𝑥 ) = ( 𝑎 ± 𝑏 ) 𝑥 ( a x ) ± ( b x ) = ( a ± b ) x.
( 4 , 1 + 3 , 2 ) 𝜋 ( 4.1 + 3.2 ) π Leggðu saman.
7
.
3
𝜋
7.3
π
3.91
Tölurnar tvær hafa ólíka óræða hluta og því er ekki unnt að draga þær frá á núverandi formi. Nota mætti reiknivél eða umrita fyrri töluna þannig að hún fengi sama óræða hluta og sú síðari.
Tölurnar sem draga á hvor frá annarri hafa ekki sama óræða hluta og því er ekki unnt að framkvæma aðgerðina án reiknivélar.
3.92
Skref 1: Deildu ræðu hlutunum.
Skref 2: Styttu niðurstöðu skrefs 1 í fullstytt form ef þess þarf.
Ekki nauðsynlegt.
Skref 3: Deildu óræðu hlutunum.
Skref 4: Styttu niðurstöðu skrefs 3 í fullstytt form ef þess þarf.
Skref 5: Niðurstaðan er margfeldi ræðu og óræðu hlutanna.
1
2
√
3
12
3
Skref 1: Deildu ræðu hlutunum.
Skref 2: Styttu niðurstöðu skrefs 1 í fullstytt form ef þess þarf.
Ekki nauðsynlegt.
Skref 3: Deildu óræðu hlutunum.
Skref 4: Styttu niðurstöðu skrefs 3 í fullstytt form ef þess þarf.
Skref 5: Niðurstaðan er margfeldi ræðu og óræðu hlutanna.
3
4
2
2
5
√
1
1
342
25
11
3.93
Skref 1: Margfaldaðu ræðu hlutana.
Skref 2: Styttu niðurstöðu skrefs 1 í fullstytt form ef þess þarf.
Ekki nauðsynlegt.
Skref 3: Margfaldaðu óræðu hlutana.
Skref 4: Styttu niðurstöðu skrefs 3 í fullstytt form ef þess þarf.
Skref 5: Niðurstaðan er margfeldi ræðu og óræðu hlutanna.
3
7
.
8
√
6
37.8
6
Skref 1: Deildu ræðu hlutunum.
Skref 2: Styttu niðurstöðu skrefs 1 í fullstytt form ef þess þarf.
Ekki nauðsynlegt.
Skref 3: Deildu óræðu hlutunum.
Skref 4: Styttu niðurstöðu skrefs 3 í fullstytt form ef þess þarf.
Ekki nauðsynlegt.
Skref 5: Niðurstaðan er margfeldi ræðu og óræðu hlutanna.
19
3.94
Margfaldaðu teljara og nefnara með √ 1 5 15.
Einfaldaðu.
Styttu 3 út.
8
√
1
5
5
8
15
5
Margfaldaðu teljara og nefnara með √ 2 1 21.
Einfaldaðu.
Styttu 3 út.
1
1
√
6
1
8
11
6
18
3.95
Skref 1: Taktu eftir að nefnarinn er summa eða mismunur tveggja talna og að önnur eða báðar innihalda kvaðratrætur. Þá má nota samokann til að fjarlægja kvaðratrótina úr nefnaranum.
Skref 2: Margfaldaðu teljara og nefnara með samoka nefnarans: 5 + √ 1 3 5 + 13.
Skref 3: Mundu að í nefnaranum er summa margfölduð með mismun mismunur ferninga.
Skref 4: Beittu dreifireglu í teljaranum.
Skref 5: Rita má svarið sem tvær aðskildar tölur með því að nota 𝑎 − 𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 a − b/c = a/c − b/c.
Einfaldaðu.
Athugaðu skilning þinn
2
5
4
+
5
√
1
3
4
25
4
+
5
13
4
3.96
Þetta er rauntala. Hún er hlutfall tveggja heiltalna og því ræð tala. Ræðar tölur eru rauntölur.
rauntala
Talan
i
er ekki rauntala. Sérhver tala sem inniheldur hana er ekki rauntala.
ekki rauntala
Töluna má tákna með ólotubundnu tugabroti. Hún er óræð tala og þar með rauntala.
rauntala
3.97
Eina hlutmengið sem talan tilheyrir er mengi óræðra talna. Tugabrotaform hennar er ekki lotubundið.
óræð tala
Þetta er heiltala og ræð tala því rita má hana sem hlutfall tveggja heiltalna.
heiltala, ræð tala
Þetta er ræð tala því hana má rita, og hún er rituð, sem hlutfall tveggja heiltalna.
ræð tala
3.98
−4 á heima á svæðinu Z því hún er heiltala.
13,863 á heima á svæðinu Q því hún er ræð tala. Endanleg tugabrot má rita sem hlutfall tveggja heiltalna.
15 og 871 eiga heima á svæðinu N því þær eru náttúrlegar tölur.
− 3 𝜋 − 3 π og 5 √ 2 5 2 eiga heima á svæðinu R því þær eru rauntölur. Þær eru óræðar og eiga ekki heima á neinu hinna svæðanna.
3.99
Þegar dreifiregla er notuð dreifist margföldun yfir samlagningu.
dreifiregla
Reglan um samlagningarandhverfu segir að summa sérhverrar tölu og neikvæðs gildis hennar sé núll.
regla um samlagningarandhverfu
3.100
9
1
1
=
9
9
9
11
=
99
. Með því má breyta dæminu í
9
9
8
99
8
. Breyttu í
9
9
=
(
1
0
0
−
1
)
99
=
(
100
−
1
)
. Samkvæmt dreifireglu,
9
9
8
=
(
1
0
0
−
1
)
8
=
1
0
0
8
−
1
8
=
8
0
0
−
8
=
7
9
2
99
8
=
(
100
−
1
)
8
=
100
8
−
1
8
=
800
−
8
=
792
.
3.101
Finndu afganginn þegar 93 er deilt með 12.
93 ÷ 12 = 7 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 84 frá 93.
Afgangurinn er 9.
Afgangurinn er lausn 93 módúló 12.
93 módúló 12 ≡ 9
93 = 9 (módúló 12)
Finndu afganginn þegar 387 er deilt með 12.
387 ÷ 12 = 32 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 384 frá 387.
Afgangurinn er 3.
Afgangurinn er lausn 387 módúló 12.
387 módúló 12 ≡ 3
387 = 3 (módúló 12)
3.102
Finndu fyrst 43 módúló 12.
Finndu afganginn þegar 43 er deilt með 12.
43 ÷ 12 = 3 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 36 frá 43.
Afgangurinn er 7.
Afgangurinn er lausn 43 módúló 12.
43 módúló 12 ≡ 7
Bættu nú 7 klukkustundum við kl. 9:00.
Sjö klukkustundum eftir kl. 9:00 er klukkan 4:00.
4:00
3.103
Finndu fyrst 34 módúló 12.
Finndu afganginn þegar 34 er deilt með 12.
34 ÷ 12 = 2 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 24 frá 34.
Afgangurinn er 10.
Afgangurinn er lausn 34 módúló 12.
34 módúló 12 ≡ 10
Dragðu nú 10 klukkustundir frá kl. 7:00.
Tíu klukkustundum fyrir kl. 7:00 var klukkan 9:00.
9:00
3.104
Margfaldaðu fyrst 4 og 19 og fáðu 76.
Finndu nú 76 módúló 12.
Finndu afganginn þegar 76 er deilt með 12.
76 ÷ 12 = 6 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 72 frá 76.
Afgangurinn er 4.
Afgangurinn er lausn 76 módúló 12.
76 módúló 12 ≡ 4
Margfeldi 4 og 19 módúló 12 er 4.
4
3.105
Þú sendir skilaboð á þriggja klukkustunda fresti í 15 skipti. Skilaboðin spanna 45 klukkustundir.
Finna þarf 45 módúló 12.
45 ÷ 12 = 3 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 36 frá 45.
Afgangurinn er 9.
Afgangurinn er lausn 45 módúló 12.
45 módúló 12 ≡ 9
Níu klukkustundum eftir kl. 8 að morgni er klukkan 5 síðdegis.
5:00
3.106
Ef þú eldar máltíðina 20 sinnum í viðbót og gerir það á fimm daga fresti líða 100 dagar.
Til að finna vikudaginn þarf að reikna 100 módúló 7.
100 ÷ 7 = 14 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 98 frá 100.
Afgangurinn er 2.
Afgangurinn er lausn 100 módúló 7.
100 módúló 7 ≡ 2
Tveimur dögum eftir þriðjudag er fimmtudagur.
Eftir að þú hefur eldað máltíðirnar 20 sinnum í viðbót verður fimmtudagur.
Fimmtudagur
3.107
Notaðu margfeldisregluna: 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 + 𝑛 a m a n = a m + n.
1
2
2
1
12
21
Þar sem grunntölurnar eru ekki eins (önnur er 3 en hin 4) er ekki hægt að einfalda með margfeldisreglu velda.
3.108
Notaðu margfeldisregluna: 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 + 𝑛 a m a n = a m + n.
𝑏
9
b
9
3.109
Notaðu kvótaregluna: 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 ( 𝑛 − 𝑚 ) a n/a m = a ( n − m ).
𝑏
2
b
2
3.110
Notaðu dreifireglu velda: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a b ) n = a n b n.
2
1
4
1
9
1
4
2
14
19
14
3.111
Notaðu dreifireglu velda: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a b ) n = a n b n.
𝑎
6
𝑏
6
a
6
b
6
3.112
Notaðu dreifireglu velda. Þegar brotinu 𝑎 𝑏 a/b er hafið í veldið n gildir ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a/b ) n = a n/b n.
1
4
9
5
9
14
9
5
9
Notaðu dreifireglu velda. Þegar brotinu 𝑎 𝑏 a/b er hafið í veldið n gildir ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a/b ) n = a n/b n.
𝑎
5
1
8
5
a
5
18
5
3.113
Notaðu veldisregluna. Ef grunntala sem er ekki núll er hafin í veldið n og niðurstaðan síðan í veldið m, fæst grunntalan í margfeldi veldisvísanna: ( 𝑎 𝑛 ) 𝑚 = 𝑎 ( 𝑛 𝑚 ) ( a n ) m = a ( n m ).
1
1
4
8
11
48
Notaðu veldisregluna. Ef grunntala sem er ekki núll er hafin í veldið n og niðurstaðan síðan í veldið m, fæst grunntalan í margfeldi veldisvísanna: ( 𝑎 𝑛 ) 𝑚 = 𝑎 ( 𝑛 𝑚 ) ( a n ) m = a ( n m ).
𝑎
4
2
a
42
3.114
Notaðu regluna um neikvæð veldi: 𝑎 − 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 a − n = 1/a n, að því gefnu að a ≠ 0.
7
5
1
2
3
7
5
12
3
Notaðu regluna um neikvæð veldi: 𝑎 − 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 a − n = 1/a n, að því gefnu að a ≠ 0.
5
3
𝑐
7
5
3
c
7
3.115
6
3
1
3
−
8
6
3
13
−
8
Notaðu regluna um neikvæð veldi: 𝑎 − 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 a − n = 1/a n, að því gefnu að a ≠ 0.
Reglan um neikvæð veldi segir að 1 1 3 8 1/13 8 sé jafnt 1 3 − 8 13 − 8.
𝑐
5
2
−
9
c
5
2
−
9
Notaðu regluna um neikvæð veldi: 𝑎 − 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 a − n = 1/a n, að því gefnu að a ≠ 0.
Reglan um neikvæð veldi segir að 1 2 9 1/2 9 sé jafnt 2 − 9 2 − 9.
3.116
Notaðu dreifireglu velda. Þegar brotinu 𝑎 𝑏 a/b er hafið í veldið n gildir ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a/b ) n = a n/b n.
Notaðu dreifireglu velda í nefnaranum: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a b ) n = a n b n.
Notaðu veldisregluna. Ef grunntala sem er ekki núll er hafin í veldið n og niðurstaðan síðan í veldið m, fæst grunntalan í margfeldi veldisvísanna.
7
7
2
1
0
4
0
6
2
4
7
72
10
40
6
24
Notaðu dreifireglu velda. Þegar brotinu 𝑎 𝑏 a/b er hafið í veldið n gildir ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a/b ) n = a n/b n.
Notaðu dreifireglu velda í nefnaranum: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a b ) n = a n b n.
Notaðu veldisregluna. Ef grunntala sem er ekki núll er hafin í veldið n og niðurstaðan síðan í veldið m, fæst grunntalan í margfeldi veldisvísanna.
1
6
𝑎
1
8
𝑏
1
2
16
a
18
b
12
3.117
Þetta er ekki margfeldi tölu milli 1 og 9 og veldis af 10 með heiltöluveldisvísi.
42,67 er stærra en 9.
Er ekki ritað á staðalformi; 42,67 er ekki að minnsta kosti 1 og minna en 10.
Þetta er margfeldi tölu milli 1 og 9 og veldis af 10 með heiltöluveldisvísi.
Er ritað á staðalformi
Þetta er ekki margfeldi tölu milli 1 og 9 og veldis af 10 með heiltöluveldisvísi.
Algildi − 8 0 , 9 1 − 80.91 er stærra en 9.
Er ekki ritað á staðalformi; algildi −80,91 er ekki að minnsta kosti 1 og minna en 10.
3.118
–38300
Tilvik 3: Algildi tölunnar er 10 eða meira.
Skref 1: Teldu tölustafina vinstra megin við kommuna. Kallaðu fjöldann n.
Skref 2: Ritaðu tölustafi tölunnar án kommu ef hún var til staðar. Ef talan var neikvæð skaltu halda formerkinu.
–38300
Skref 3: Ef tölustafirnir eru fleiri en einn skaltu setja kommu á eftir fyrsta tölustafnum.
–3.8300
Skref 4: Margfaldaðu töluna úr skrefi 3 með 1 0 𝑛 − 1 10 n − 1.
−
3
.
3
8
1
0
4
−
3.38
10
4
0.0045
Tilvik 2: Algildi tölunnar er minna en 1.
Skref 1: Teldu tölustafina milli kommu og fyrsta tölustafs sem er ekki núll. Kallaðu fjöldann n.
Skref 2: Ritaðu tölustafina og byrjaðu á fyrsta staf sem er ekki núll. Ef talan var neikvæð skaltu halda mínusmerkinu.
45
Skref 3: Ef tölustafirnir eru fleiri en einn skaltu setja kommu á eftir fyrsta stafnum úr skrefi 2.
4.5
Skref 4: Margfaldaðu töluna úr skrefi 3 með 1 0 − ( 𝑛 + 1 ) 10 − ( n + 1 ).
4
.
5
1
0
−
3
4.5
10
−
3
1
Tilvik 1: Talan er eins stafs heiltala.
Í þessu tilviki er staðalform tölunnar 𝑑 𝑖 𝑔 𝑖 𝑡 1 0 0 d i g i t 10 0.
1
1
0
0
1
10
0
3.119
Þegar komman er færð um fjögur sæti til vinstri verður 46,113 að
0,0046113 eða 4 , 6 1 1 3 1 0 − 4 4.6113 10 − 4.
Til að halda töluverðinu óbreyttu þarf að margfalda með 10 4. Hækkaðu veldisvísinn um 4 til að vega upp færslu kommunnar um fjögur sæti til vinstri.
0
.
0
0
4
6
1
1
3
1
0
1
2
0.0046113
10
12
3.120
Þegar komman er færð um tvö sæti til hægri verður 149,11 að 14.911. Þar sem talan stækkaði þarf að lækka veldisvísinn um 2, úr −4 í −6.
1
4
,
9
1
1
.
0
1
0
−
6
14
,
911.0
10
−
6
3.121
Þar sem veldisvísirinn er jákvæður er komman færð um sex sæti til hægri. (Hugsaðu um talnalínu; jákvæði endinn er hægra megin.)
1,020,000
1,020,000
Þar sem veldisvísirinn er neikvæður er komman færð um sex sæti til vinstri. (Hugsaðu um talnalínu; neikvæði endinn er vinstra megin.)
0.0000409
0.0000409
3.122
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Leggðu síðan hina hluta talnanna saman.
9
.
6
0
1
1
0
1
3
9.601
10
13
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Dragðu síðan hina hluta talnanna hvorn frá öðrum.
1
.
5
3
1
0
−
6
1.53
10
−
6
3.123
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Leggðu síðan hina hluta talnanna saman.
1
.
1
9
8
1
0
4
1.198
10
4
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Dragðu síðan hina hluta talnanna hvorn frá öðrum.
2
.
0
7
1
0
−
3
9
2.07
10
−
39
3.124
Fyrst þurfa tölurnar tvær að hafa sama veldi af 10.
Láttu báðar hafa veldisvísinn −43. Færðu kommuna um þrjú sæti til vinstri í síðari tölunni.
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Leggðu síðan hina hluta talnanna saman.
1
.
1
4
2
5
6
1
0
−
4
3
1.14256
10
−
43
3.125
Fyrst þurfa tölurnar tvær að hafa sama veldi af 10.
Láttu báðar hafa veldisvísinn 28. Færðu kommuna um tvö sæti til vinstri í síðari tölunni.
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Dragðu síðan hina hluta talnanna hvorn frá öðrum.
9
.
0
7
7
7
1
0
2
8
9.0777
10
28
3.126
Skref 1: Margfaldaðu töluhlutana.
Skref 2: Leggðu saman veldisvísa tugveldanna.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
Ekki nauðsynlegt.
6
.
8
7
1
0
7
6.87
10
7
Skref 1: Margfaldaðu töluhlutana.
6
.
9
1
9
.
1
=
6
2
.
8
8
1
6.91
9.1
=
62.881
Skref 2: Leggðu saman veldisvísa tugveldanna.
−
3
+
5
=
2
−
3
+
5
=
2
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
6
.
2
8
8
1
1
0
3
6.2881
10
3
3.127
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
2
.
4
1
0
−
5
2.4
10
−
5
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
3
.
7
5
1
0
0
3.75
10
0
3.128
Dragðu 2 1 0 − 1 0 2 10 − 10 frá 1 , 4 1 0 − 8 1.4 10 − 8.
Fyrst þurfa veldin af 10 að vera eins.
Láttu bæði hafa veldisvísinn −8. Færðu kommuna um tvö sæti til vinstri í fyrri tölunni.
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Dragðu síðan hina hluta talnanna hvorn frá öðrum.
Smárinn er 1 , 3 8 1 0 − 8 1.38 10 − 8 metrum stærri en þvermál atóms.
Smárinn er
1
.
3
8
1
0
−
8
1.38
10
−
8
m stærri en þvermál atóms.
3.129
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
Neptúnus er um 8 , 9 3 0 6 1 0 1 8.9306 10 1, eða 89,3 sinnum fjær sólu en Merkúríus.
Neptúnus er
8
.
9
3
0
1
0
1
8.930
10
1
, eða 89,3 sinnum fjær sólu en Merkúríus.
3.130
Deildu 7 , 5 1 0 2 1 7.5 10 21 með 1 1 0 1 2 1 10 12.
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
Á strandlengju Ástralíu eru 7 , 5 1 0 9 7.5 10 9 rúmmetrar af sandi.
7
.
5
1
0
9
7.5
10
9
rúmmetrar
3.131
Deildu 6 , 4 2 3 5 1 0 1 2 6.4235 10 12 með 7 , 6 4 7 1 0 9 7.647 10 9.
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
Manneskja andar frá sér um 8 , 4 1 0 2 8.4 10 2 pundum af koltvísýringi á ári.
Manneskja andar að meðaltali frá sér
8
.
4
1
0
2
8.4
10
2
, eða 840 pundum af koltvísýringi á ári.
3.132
Allir liðirnir fylgja þessu mynstri og því er þetta jafnmunaruna.
Þetta er jafnmunaruna. Hver liður er fyrri liður að frádregnum 2,2.
1 8 + 2 = 2 0 , 18 + 2 = 20, en það er ekki næsti liður.
Þetta er ekki jafnmunaruna.
Þetta er ekki jafnmunaruna. Munur fyrsta og annars liðar er 2 en munur þriðja og fjórða liðar 4. Munirnir eru ekki jafnir.
Mynstrið heldur áfram fyrir alla sýndu liði. Þetta er óendanleg jafnmunaruna.
Þetta er (óendanleg) jafnmunaruna. Hver liður er fyrri liður að viðbættum 6. Úrfellingarpunktarnir sýna að mynstrið heldur áfram.
3.133
Liðurinn 𝑎 1 a 1 er fyrsti liður runu. Í þessari runu er 𝑎 1 = 4 , 5 a 1 = 4.5.
𝑑 d táknar fasta muninn. Dragðu fyrsta liðinn frá öðrum liðnum.
Finna má hvaða lið sem er með formúlunni 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
𝑎
1
=
4
.
5
a
1
=
4.5
,
𝑑
=
3
.
6
d
=
3.6
,
𝑎
3
6
=
3
1
0
.
5
a
36
=
310.5
3.134
Þegar tveir liðir eru þekktir má finna fasta muninn með formúlunni 𝑑 = 𝑎 𝑗 − 𝑎 𝑖 𝑗 − 𝑖 d = a j − a i/j − i.
Fyrsta lið rununnar má finna með formúlunni 𝑎 1 = 𝑎 𝑖 − 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a 1 = a i − d ( i − 1), þar sem 𝑎 1 4 = 4 1 a 14 = 41.
151. liðinn má finna með formúlunni 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
Fasti munurinn er 5, fyrsti liðurinn er − 2 4, −24, og 151. liðurinn er 726.
𝑑
=
5
d
=
5
,
𝑎
1
=
−
2
4
a
1
=
−
24
, og
𝑎
1
5
1
=
7
2
6
a
151
=
726
3.135
Summa fyrstu 𝑛 n liða jafnmunarunu er 𝑠 𝑛 = 𝑛 ( 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 ) s n = n ( a 1 + a n/2 ).
Síðasti liðurinn er óþekktur og því er fyrst notað 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ) til að finna 101. liðinn.
Nú má nota summuformúluna.
12,675.5
3.136
Fyrsta vika: $10
Önnur vika: $15
Þriðja vika: $20
Þetta er jafnmunaruna með fyrsta liðinn 10 og fasta muninn 5.
Notaðu formúluna til að finna 52. liðinn: 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
Christina sparar $265 í 52. viku.
Christina sparar $265 í viku 52.
3.137
Þetta er jafnmunaruna með fyrsta liðinn 24 og fasta muninn 2.
Finna á summu fyrstu 40 liðanna.
Fyrst þarf að finna 40. liðinn til að nota summuformúluna.
Finna má 40. liðinn með formúlunni 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
Finndu summu fyrstu 40 raðanna: 𝑠 𝑛 = 𝑛 ( 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 ) s n = n ( a 1 + a n/2 ).
Í leikhúsinu eru 2.520 sæti í fyrstu 40 röðunum.
Í leikhúsinu eru 2.520 sæti.
3.138
Prófaðu 5.
Mynstrið heldur áfram að ganga og því er þetta kvótaruna. Fastahlutfallið er 5.
Þetta er kvótaruna; fastahlutfallið er 5.
Prófaðu −2.
2 4 − 2 = − 4 8 24 − 2 = −48, sem er ekki næsti liður. Þetta er ekki kvótaruna.
Ekkert eitt fastahlutfall er til; annar liður er fyrsti liður margfaldaður með −2 en sjötti liður er fimmti liður margfaldaður með 3.
Prófaðu −0,1.
Mynstrið heldur áfram að ganga. Þetta er kvótaruna. Fastahlutfallið er −0,1 eða − 1 1 0 − 1/10.
Þetta er kvótaruna; fastahlutfallið er
−
1
1
0
−
1
10
.
3.139
n-ti liður kvótarunu, 𝑎 𝑛 a n, með fyrsta lið 𝑎 1 a 1 og fastahlutfall r er 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛 − 1 a n = a 1 r n − 1.
Annað svar: 1,5
3
2
3
2
n-ti liður kvótarunu, 𝑎 𝑛 a n, með fyrsta lið 𝑎 1 a 1 og fastahlutfall r er 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛 − 1 a n = a 1 r n − 1.
2,048
3.140
Summa fyrstu n liða kvótarunu með fyrsta lið 𝑎 1 a 1 og fastahlutfall r er
𝑠 𝑛 = 𝑎 1 ( 1 − 𝑟 𝑛 1 − 𝑟 ) s n = a 1 ( 1 − r n/1 − r ), að því gefnu að 𝑟 ≠ 1 r ≠ 1.
84,652,645
Summa fyrstu n liða kvótarunu með fyrsta lið 𝑎 1 a 1 og fastahlutfall r er
𝑠 𝑛 = 𝑎 1 ( 1 − 𝑟 𝑛 1 − 𝑟 ) s n = a 1 ( 1 − r n/1 − r ), að því gefnu að 𝑟 ≠ 1 r ≠ 1.
40.444444
3.141
Ef P dollarar eru lagðir inn á reikning með árlegri vaxtavöxtun er innstæðan A eftir t ár reiknuð með 𝐴 = 𝑃 ( 1 + 𝑟 ) 𝑡 A = P ( 1 + r ) t. Þetta er kvótaruna með fastahlutfallið (1 + r) og fyrsta liðinn 𝑎 1 = 𝑃 a 1 = P.
Innstæðan var $11.671,03 (námundað að tveimur aukastöfum).
3.142
Nota má kvótaraðir til að túlka veldisvöxt þegar fjöldi tvöfaldast á 30 mínútna fresti. Fastahlutfallið er 2, fyrsti liðurinn 15 og tímabilið 30 mínútur. Í 20 klukkustundum eru 40 slík tímabil.
𝑎 2 0 = 1 5 ( 2 ) 1 9 ≈ 1 , 6 4 9 3 1 0 1 3 a 20 = 15 ( 2 ) 19 ≈ 1.6493 10 13 bakteríur
Eftir 20 klukkustundir eru
1
.
6
4
9
3
1
0
1
3
1.6493
10
13
lífverur.
3.143
Fyrsti liður: 0,5 af ferningnum er blár og 0,5 ekki blár.
Annar liður: Helmingur þess svæðis sem eftir var hefur verið litaður og því er 0,75 blátt en 0,25 ekki blátt.
Þriðji liður: Helmingur þess svæðis sem eftir var hefur verið litaður. Nú er 0,875 blátt en 0,125 ekki blátt.
Fjórði liður: Helmingur þess svæðis sem eftir var hefur verið litaður. Nú er 0,9375 blátt en 0,0625 ekki blátt.
Fastahlutfall ólitaða hlutans er 0,5.
Bláu tölurnar mynda ekki kvótarunu en tölur ólitaða hlutans gera það. Finndu 15. lið ólitaða hlutans og dragðu hann frá 1.
0. 99996948242188
Athugaðu skilning þinn
31 og 701 eru frumtölur.
Hinar eru samsettar: 56, 213 og 48.
31 og 701 eru frumtölur. 56, 213 og 48 eru samsettar tölur.
4.570 endar á 0 og hefur því þáttinn 10. Styttu 2 og 5 út.
Kvaðratrót 457 er um 21,37.
457 er ekki deilanleg með 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 eða 19, frumtölunum undir 21.
Því er þáttuninni lokið og 4 , 5 7 0 = 2 5 4 5 7 4 , 570 = 2 5 457.
2
5
4
5
7
2
5
457
| Tala | Þættir | |||||||
| 410 | 2 | 5 | 41 | |||||
| 144 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | ||
| Sameiginlegir | 2 |
Stærsti samdeilirinn er margfeldi sameiginlegu þáttanna. Aðeins einn þáttur er sameiginlegur: 2.
2
Finndu minnsta samfeldi 45 og 70.
Finndu frumþáttun hvorrar tölu.
Búðu til töflu yfir hverja frumtölu og hæsta veldisvísinn sem hún hefur.
| Frumtala | 2 | 3 | 5 | 7 |
| Veldisvísir | 1 | 2 | 1 | 7 |
Minnsta samfeldið er margfeldi hverrar frumtölu í því veldi sem taflan sýnir.
Minnsta samfeldið er 2 3 2 5 7 = 6 3 0 2 3 2 5 7 = 630.
630
Finndu stærsta samdeili 30, 20 og 70.
| Tala | Þættir | ||||
| 30 | 2 | 3 | 5 | ||
| 20 | 2 | 2 | 5 | ||
| 70 | 2 | 5 | 7 | ||
| Sameiginlegir | 2 | 5 |
Stærsti samdeilir = 2 5 = 1 0 2 5 = 10
Hámarksfjöldi poka er 10.
Í mesta lagi má fylla 10 poka með þessum hætti.
−4 er heiltala því hún er neikvætt gildi teljutölu.
15,2 er ekki heiltala því hún hefur aukastafahluta. Hún liggur milli heiltalnanna 15 og 16.
Kvaðratrót 2 er ekki heiltala. Hún er um 1,414 og liggur milli heiltalnanna 1 og 2.
Brotið 3 deilt með 20 er ekki heiltala. Það er 0,15 og liggur milli tveggja heiltalna.
430 er heiltala. Hún er teljutala.
−4, 430
Notaðu talnalínu með striki við hverja heiltölu.
4: Settu fylltan punkt fjórum strikum til hægri frá núlli.
−2: Settu fylltan punkt tveimur strikum til vinstri frá núlli.
7: Settu fylltan punkt sjö strikum til hægri frá núlli.
Hugsaðu þér talnalínu með striki við hverja heiltölu. Því lengra til vinstri sem tala er, því lægra er gildi hennar.
Neikvæðu tölurnar eru vinstra megin við núll.
Talan lengst til vinstri er −13, síðan −7 og loks −2.
Jákvæðu tölurnar eru hægra megin við núll.
Af jákvæðu tölunum er 4 vinstra megin við 10.
Í vaxandi röð: −13, −7, −2, 4, 10
−13, −7, −2, 4, 10
7
Þar sem talan innan algildisstrikanna er neikvæð fjarlægir algildið mínusmerkið.
Að draga frá neikvæða tölu jafngildir því að leggja jákvæða tölu við. 4 − (−9) er hið sama og 4 + 9 = 13.
13
36
Þar sem −3 og −12 hafa sama formerki er margfeldið jákvætt.
Æfingar í hluta 3.2
Svigar hafa hæstan forgang.
Forgangsröð reikniaðgerða
Svigar
Veldi
Multiplication/Division
Addition/Subtraction
Þegar aðgerðir hafa sama forgang er unnið frá vinstri til hægri.
svigar
Veldi eru reiknuð á undan samlagningu.
Forgangsröð reikniaðgerða
Svigar
Veldi
Multiplication/Division
Addition/Subtraction
Þegar aðgerðir hafa sama forgang er unnið frá vinstri til hægri.
veldi
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Reiknaðu veldið. | 2 9 − 5 8 2 9 − 5 8 |
| Margfaldaðu með 9. | 1 8 − 5 8 18 − 5 8 |
| Margfaldaðu með 8. | 1 8 − 4 0 18 − 40 |
| Dragðu frá. | − 2 2 − 22 |
−22
svigar
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða.
| Dragðu frá innan sviganna. | ( 1 ) 2 + 2 7 8 2 ÷ 6 2 ( 1 ) 2 + 27 8 2 ÷ 6 2 |
| Reiknaðu veldin. | 1 + 2 7 6 4 ÷ 3 6 1 + 27 64 ÷ 36 |
| Margfaldaðu með 64. | 1 + 1 , 7 2 8 ÷ 3 6 1 + 1 , 728 ÷ 36 |
| Deildu með 36. | 1 + 4 8 1 + 48 |
| Leggðu saman. | 4 9 49 |
49
− 4 1 − 41 er ræð tala því hún er heiltala. Rita má heiltölu sem brot með nefnarann 1.
4 3 4/3 er ræð tala því hún er hlutfall tveggja heiltalna.
2,75 er ræð tala því hún er hlutfall tveggja heiltalna; til dæmis jafngildir hún 275 deilt með 100.
0 , 2 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1 3 0.2 13 ¯ er ræð tala því lotubundin tugabrot eru ræðar tölur.
Kvaðratrót 13 er ekki ræð tala því hún er um það bil ólotubundið tugabrot.
−
4
1
,
4
3
,
2
.
7
5
,
0
.
2
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
1
3
−
41
,
4
3
,
2.75
,
0.2
13
¯
eru ræðar;
√
1
3
13
er það ekki.
1
8
3
0
=
3
6
5
6
=
3
5
18
30
=
3
6
5
6
=
3
5
3
5
3
5
Hvert er minnsta samfeldi 8 og 12?
| Tala | Þættir | |||
| 8 | 2 | 2 | 2 | |
| 12 | 2 | 2 | 3 | |
| Minnsta samfeldi | 2 | 2 | 2 | 3 |
Minnsta samfeldi 8 og 12 er 24.
Endurritaðu bæði brotin með nefnarann 24.
Leggðu teljarana saman þegar nefnararnir eru orðnir eins.
1
9
2
4
19
24
Annað fullstytt svar: 1 7 5 0 17/50
3
4
1
0
0
34
100
4 7 ÷ 1 2 47 ÷ 12 er 3 með afgangi. Hver er afgangurinn?
Afgangurinn er 11.
Því er 4 7 3 6 47/36 sem blandin tala 3 1 1 1 2 3 11/12.
3
1
1
1
2
3
11
12
Margfaldaðu teljara og nefnara og styttu sameiginlega þætti út.
7
3
3
7
33
Notaðu forgangsröð reikniaðgerða. Deildu fyrst með því að margfalda með gagnhverfunni.
Margfaldaðu teljara og nefnara og styttu sameiginlega þætti út.
Endurritaðu fyrra brotið með nefnarann 6.
Leggðu teljarana saman.
Styttu sameiginlega þætti út.
3
2
3
2
Nota má aðferðina sem byggist á þéttleika:
Skref 1: Leggðu saman ræðu tölurnar tvær.
Skref 2: Deildu niðurstöðunni með 2. Að deila með 2 jafngildir því að margfalda með einum helmingi.
Aðrar tölur koma til greina, en þessi fæst með aðferðinni.
Með aðferð kaflans fæst
3
0
7
3
3
6
307
336
, en önnur svör eru einnig möguleg.
| Margfaldaðu heiltöluhlutann með nefnaranum. | 3 7 = 2 1 3 7 = 21 |
| Leggðu margfeldið við teljarann. | 2 1 + 2 = 2 3 21 + 2 = 23 |
| Ritaðu summuna deilda með nefnaranum. | 2 3 7 23/7 |
2
3
7
23
7
Finndu áttunda hluta $882.
Deildu 882 með 8.
Lina sparar $110,25.
$110.25
Hvað eru 38% af 600?
𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
| Endurritaðu „af“ sem margföldun. | 3 8 1 0 0 6 0 0 38/100 600 |
| Notaðu reiknivélina. | 2 2 8 228 |
228
Hvað eru 10% af 70?
𝑛 n prósent, táknað 𝑛 % n %, er brotið 𝑛 1 0 0 . n/100.
| Endurritaðu „af“ sem margföldun. | 1 0 1 0 0 7 0 10/100 70 |
| Notaðu reiknivélina. | 7 7 |
Fyrirtækið ræður 7 nýja starfsmenn.
Sjö nýir starfsmenn verða ráðnir.
1
0
√
5
10
5
Þar sem óræðu hlutarnir eru eins má draga tölurnar frá án reiknivélar.
Formúlan notar dreifireglu: ( 𝑎 𝑥 ) ± ( 𝑏 𝑥 ) = ( 𝑎 ± 𝑏 ) 𝑥 ( a x ) ± ( b x ) = ( a ± b ) x.
( 3 − 1 0 ) √ 7 ( 3 − 10 ) 7 Dragðu frá.
−
7
√
7
−
7
7
Skref 1: Margfaldaðu ræðu hlutana.
Skref 2: Styttu niðurstöðu skrefs 1 í fullstytt form ef þess þarf.
Ekki nauðsynlegt.
Skref 3: Margfaldaðu óræðu hlutana.
Skref 4: Styttu niðurstöðu skrefs 3 í fullstytt form ef þess þarf.
Skref 5: Niðurstaðan er margfeldi ræðu og óræðu hlutanna.
4
8
√
5
48
5
Margfaldaðu teljara og nefnara með √ 7 7.
Einfaldaðu.
Æfingar í hluta 3.5
4
√
7
7
4
7
7
Rauntölur: √ 7 7, − 1 9, 3 8 , 9 0 2 77, −19, 38.902
Ekki rauntala: 4 + 𝑖 4 + i er ekki rauntala því tala sem inniheldur i er ekki rauntala.
√
7
7
,
−
1
9
,
3
8
.
9
0
2
77
,
−19
,
38.902
| ℕ ⊂ ℤ N ⊂ Z | ℕ ⊂ ℚ N ⊂ Q | ℕ ⊂ ℝ N ⊂ R | ℤ ⊂ ℚ Z ⊂ Q | ℤ ⊂ ℝ Z ⊂ R | ℚ ⊂ ℝ Q ⊂ R |
Þegar dreifiregla er notuð dreifist margföldun yfir samlagningu.
Rita má regluna í hina áttina.
dreifiregla
Finndu 23 módúló 12.
Finndu afganginn þegar 26 er deilt með 12.
26 ÷ 12 = 2 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 24 frá 26.
Afgangurinn er 2.
Afgangurinn er lausn 26 módúló 12.
26 módúló 12 ≡ 2
2
Finndu −23 módúló 12.
Auðveldara er að hugsa um módúlódæmi þegar talan er jákvæð. Vísirinn er í sömu stöðu á 12 klukkustunda fresti og því má alltaf bæta við hvaða margfeldi 12 klukkustunda sem er. Bættu 24 klukkustundum við til að fá jákvæða tölu.
Finndu nú 1 módúló 12.
Finndu afganginn þegar 1 er deilt með 12.
1 ÷ 12 = 0 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Afgangurinn er 1.
Afgangurinn er lausn 1 módúló 12.
1 módúló 12 ≡ 1
−23 módúló 12 = 1
Svarið við 8 − 31 er 1.
1
Finndu 185 módúló 12.
Finndu afganginn þegar 185 er deilt með 12.
185 ÷ 12 = 15 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 180 frá 185.
Afgangurinn er 5.
Afgangurinn er lausn 185 módúló 12.
185 módúló 12 ≡ 5
5
Ef Calene hringir á fjögurra daga fresti og hringir átta sinnum hafa 32 dagar liðið.
Finndu 32 módúló 7.
Til að finna vikudaginn þarf að reikna 32 módúló 7.
32 ÷ 7 = 4 og afgangur. Hver er afgangurinn?
Dragðu 28 frá 32.
Afgangurinn er 4.
Afgangurinn er lausn 32 módúló 7.
32 módúló 7 ≡ 4
Fjórum dögum eftir mánudag er föstudagur.
Það verður föstudagur þegar Calene hringir aftur í móður sína.
Föstudagur
Notaðu margfeldisregluna: 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛 + 𝑚 a n a m = a n + m.
𝑎
8
a
8
Notaðu kvótaregluna: 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 ( 𝑛 − 𝑚 ) a n/a m = a ( n − m ).
Annað svar:
Notaðu regluna um neikvæð veldi: 𝑎 − 𝑛 = 1 𝑎 𝑛 a − n = 1/a n, að því gefnu að a ≠ 0.
5
−
4
5
−
4
eða
1
5
4
1
5
4
Notaðu dreifireglu velda: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a b ) n = a n b n.
6
9
𝑏
9
6
9
b
9
Notaðu dreifireglu velda. Þegar brotinu 𝑎 𝑏 a/b er hafið í veldið n gildir ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a/b ) n = a n/b n.
𝑐
3
7
3
c
3
7
3
Notaðu dreifireglu velda. Þegar brotinu 𝑎 𝑏 a/b er hafið í veldið n gildir ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a/b ) n = a n/b n.
Notaðu dreifireglu velda: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ( a b ) n = a n b n.
Notaðu veldisregluna. Ef grunntala sem er ekki núll er hafin í veldið n og niðurstaðan síðan í veldið m, fæst grunntalan í margfeldi veldisvísanna.
3
6
𝑎
1
2
4
6
𝑏
3
0
3
6
a
12
4
6
b
30
0.00456
Tilvik 2: Algildi tölunnar er minna en 1.
Skref 1: Teldu tölustafina milli kommu og fyrsta tölustafs sem er ekki núll. Kallaðu fjöldann n.
Skref 2: Ritaðu tölustafina og byrjaðu á fyrsta staf sem er ekki núll. Ef talan var neikvæð skaltu halda mínusmerkinu.
456
Skref 3: Ef tölustafirnir eru fleiri en einn skaltu setja kommu á eftir fyrsta stafnum úr skrefi 2.
4.56
Skref 4: Margfaldaðu töluna úr skrefi 3 með 1 0 − ( 𝑛 + 1 ) 10 − ( n + 1 ).
4
.
5
6
1
0
−
3
4.56
10
−
3
Þar sem veldisvísirinn er jákvæður er komman færð um átta sæti til hægri. (Hugsaðu um talnalínu; jákvæði endinn er hægra megin.)
567,000,000
5
6
7
,
0
0
0
,
0
0
0
567
,
000
,
000
Fyrst þurfa veldin af 10 að vera eins.
Láttu bæði hafa veldisvísinn 3. Færðu kommuna um eitt sæti til vinstri í síðari tölunni.
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Leggðu síðan hina hluta talnanna saman.
5
.
4
8
1
0
3
5.48
10
3
Fyrst þurfa veldin af 10 að vera eins.
Láttu bæði hafa veldisvísinn 6. Færðu kommuna um eitt sæti til vinstri í fyrri tölunni.
Þar sem veldin af 10 eru eins er dreifiregla notuð til að taka veldið af 10 út fyrir sviga. Dragðu síðan hina hluta talnanna hvorn frá öðrum.
−
9
.
5
5
1
0
6
−
9.55
10
6
Skref 1: Margfaldaðu töluhlutana.
Skref 2: Leggðu saman veldisvísa tugveldanna.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
3
.
5
5
2
1
0
8
3.552
10
8
5
.
7
5
1
0
3
5.75
10
3
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
Deildu til að finna svarið: 1 , 5 1 4 1 0 1 0 ÷ 4 , 3 1 0 − 3 1.514 10 10 ÷ 4.3 10 − 3.
Skref 1: Deildu töluhlutunum.
Skref 2: Dragðu veldisvísa tugveldanna hvorn frá öðrum.
Skref 3: Niðurstaðan er svarið úr skrefi 1 margfaldað með 10 í veldinu sem fékkst í skrefi 2.
Skref 4: Ef svarið er ekki á staðalformi skaltu laga það.
Stafli af dollaraseðlum sem næði til tunglsins innihéldi um 3 , 5 2 1 1 0 1 2 3.521 10 12 dollaraseðla.
Stafli af dollaraseðlum sem næði til tunglsins innihéldi
3
.
5
2
1
1
0
1
2
3.521
10
12
seðla.
9 + 3 = 1 2 , 9 + 3 = 12, en næsti liður er ekki 12 heldur 15. Þetta er ekki jafnmunaruna.
Nei. Munurinn frá fyrsta lið til annars er annar en munurinn frá fjórða lið til fimmta.
Teldu að sjöunda lið rununnar.
8
Finna má hvaða lið sem er með formúlunni 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
613
Þegar tveir liðir eru þekktir má finna fasta muninn með formúlunni 𝑑 = 𝑎 𝑗 − 𝑎 𝑖 𝑗 − 𝑖 d = a j − a i/j − i.
Fyrsta lið rununnar má finna með formúlunni 𝑎 1 = 𝑎 𝑖 − 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a 1 = a i − d ( i − 1), þar sem 𝑎 8 = 3 5 a 8 = 35.
Fasti munurinn er 3 og fyrsti liðurinn 14.
𝑑
=
3
d
=
3
,
𝑎
1
=
1
4
a
1
=
14
Finna þarf 100. liðinn.
Finna má hvaða lið sem er með formúlunni 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
Summa fyrstu 𝑛 n liða jafnmunarunu er 𝑠 𝑛 = 𝑛 ( 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 ) s n = n ( a 1 + a n/2 ).
35050
Þetta er jafnmunaruna með fyrsta liðinn 30 og fasta muninn 4. Svarið við spurningunni er 100. liðurinn.
Finna má hvaða lið sem er með formúlunni 𝑎 𝑖 = 𝑎 1 + 𝑑 ( 𝑖 − 1 ) a i = a 1 + d ( i − 1 ).
Á 100. degi verða 426 manns í hópnum.
Eftir 100 daga verða 426 manns í könnunarhópnum.
Prófaðu 2.
Mynstrið heldur áfram fyrir hvern lið. Hver liður er tvöfaldur fyrri liður. Þetta er kvótaruna.
Já, hver liður er fyrri liður margfaldaður með 2.
Finndu fastahlutfallið með því að deila lið með fyrri lið.
Fastahlutfallið er −10.
n-ti liður kvótarunu, 𝑎 𝑛 a n, með fyrsta lið 𝑎 1 a 1 og fastahlutfall r er 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑟 𝑛 − 1 a n = a 1 r n − 1.
𝑎 1 5 = 1 0 ( 1 , 5 ) 1 4 ≈ 2 , 9 1 9 , 2 9 3 a 15 = 10 ( 1.5 ) 14 ≈ 2.919,293 (námundað að þremur aukastöfum)
2.919,293 (námundað að þremur aukastöfum)
Summa fyrstu n liða kvótarunu með fyrsta lið 𝑎 1 a 1 og fastahlutfall r er
𝑠 𝑛 = 𝑎 1 ( 1 − 𝑟 𝑛 1 − 𝑟 ) s n = a 1 ( 1 − r n/1 − r ), að því gefnu að 𝑟 ≠ 1 r ≠ 1.
𝑠 1 0 0 = 4 ( 1 − 0 , 3 1 0 0 1 − 0 , 3 ) ≈ 5 , 7 1 4 s 100 = 4 ( 1 − 0.3 100/1 − 0.3 ) ≈ 5.714 (námundað að þremur aukastöfum)
5,714 (námundað að þremur aukastöfum)
Ef P dollarar eru lagðir inn á reikning með árlegri vaxtavöxtun er innstæðan A eftir t ár reiknuð með 𝐴 = 𝑃 ( 1 + 𝑟 ) 𝑡 A = P ( 1 + r ) t. Þetta er kvótaruna með fastahlutfallið (1 + r) og fyrsta liðinn 𝑎 1 = 𝑃 a 1 = P.
𝐴 = 𝑃 ( 1 + 𝑟 ) 𝑡 = 1 5 , 0 0 0 ( 1 + 0 , 0 4 2 ) 1 7 ≈ $ 3 0 , 1 8 8 , 5 7 A = P ( 1 + r ) t = 15,000 ( 1 + 0.042 ) 17 ≈ $ 30,188.57 (námundað að tveimur aukastöfum)
$30.188,57 (námundað að tveimur aukastöfum)