7. kafli

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$4\times 15=60$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$4\times 15\times 3\times 2=360$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$3\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 26\times 26\times 26=5,272,800,000$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

Fjöldi mögulegra valraða er 5 $\times \text{⁠}$ 4 $\times \text{⁠}$ 3 $\times \text{⁠}$ 2 $\times \text{⁠}$ 1 = 120.$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

Deild n! sérhverrar jákvæðrar heiltölu n er margfeldi allra heiltalna sem eru minni en eða jafnar n. Skilgreint er að 0! = 1.

$6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$

Deild n! sérhverrar jákvæðrar heiltölu n er margfeldi allra heiltalna sem eru minni en eða jafnar n. Skilgreint er að 0! = 1.

$\frac{12!}{10!}=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\frac{12\times 11\times \cancel{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\cancel{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}}=132$

$\frac{12!}{10!}=\frac{12\times 11\times 10!}{10!}=\frac{12\times 11\times \cancel{10!}}{\cancel{10!}}=132$

Deild n! sérhverrar jákvæðrar heiltölu n er margfeldi allra heiltalna sem eru minni en eða jafnar n. Skilgreint er að 0! = 1.

$\frac{8!}{4!4!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5\times \cancel{4!}}{\cancel{4!}\times 4\times 3\times 2\times 1}=\frac{1,680}{24}=70$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$6\mathrm{P}2=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}=\frac{6!}{\left(6-2\right)!}=\frac{6!}{4!}=\frac{6\times 5\times 4!}{4!}=30$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$14\mathrm{P}4=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}=\frac{14!}{\left(14-4\right)!}=\frac{14!}{10!}=\frac{14\times 13\times 12\times 11\times 10!}{10!}=24,024$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$19\mathrm{P}3=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}=\frac{19!}{\left(19-3\right)!}=\frac{19!}{16!}=\frac{19\times 18\times 17\times 16!}{16!}=5,814$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$15\mathrm{P}3=\frac{15!}{\left(15-3\right)!}=\frac{15!}{12!}=\frac{15\times 14\times 13\times 12!}{12!}=2,730$

Fjöldi samantekta n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!/(𝑟!(𝑛 − 𝑟)!).$nCr=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

$6C4=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{6!}{4!\left(6-4\right)!}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6\times 5\times \cancel{4!}}{\cancel{4!}\times 2\times 1}=\frac{30}{2}=15$

Fjöldi samantekta n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!/(𝑟!(𝑛 − 𝑟)!).$nCr=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

$10C8=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{10!}{8!\left(10-8\right)!}=\frac{10!}{8!2!}=\frac{10\times 9\times \cancel{8!}}{\cancel{8!}\times 2\times 1}=\frac{90}{2}=45$

Fjöldi samantekta n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!/(𝑟!(𝑛 − 𝑟)!).$nCr=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

$14C5=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{14!}{5!\left(14-5\right)!}=\frac{14!}{5!9!}=\frac{14\times 13\times 12\times 11\times 10\times \cancel{9!}}{5\times 4\times 3\times 2\times 1\times \cancel{9!}}=\frac{240,240}{120}=2,002$

$58C3=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{58!}{3!\left(58-3\right)!}=\frac{58!}{3!55!}=\frac{58\times 57\times 56\times \cancel{55!}}{3\times 2\times 1\times \cancel{55!}}=\frac{185,136}{6}=30,856$

$42C4=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{42!}{4!\left(42-4\right)!}=\frac{42!}{4!38!}=\frac{42\times 41\times 40\times 39\times \cancel{38!}}{4\times 3\times 2\times 1\times \cancel{38!}}=\frac{2,686,320}{24}=111,930$

Notaðu síðan margföldunarregluna um talningu. Hún segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma bæði á $n\times m$𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

Fjöldi handa sem uppfylla kröfurnar er 13C3 $\times \text{⁠}$ 13C2 $\times \text{⁠}$ 13C1.$13\text{C}3\times 13\text{C}2\times 13\text{C}1$

$13C3=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{13!}{3!\left(13-3\right)!}=\frac{13!}{3!10!}=\frac{13\times 12\times 11\times \cancel{10!}}{3\times 2\times 1\times \cancel{10!}}=\frac{1,716}{6}=286$

$13C2=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{13!}{2!\left(13-2\right)!}=\frac{13!}{2!11!}=\frac{13\times 12\cancel{11!}}{2\times 1\times \cancel{11!}}=\frac{156}{2}=78$

$13C1=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{13!}{1!\left(13-1\right)!}=\frac{13!}{1!12!}=\frac{13\cancel{12!}}{1\times \cancel{12!}}=13$

Nú má reikna 13C3 $\times \text{⁠}$ 13C2 $\times \text{⁠}$ 13C1 = 286 $\times \text{⁠}$ 78 $\times \text{⁠}$ 13 = $13\text{C}3\times 13\text{C}2\times 13\text{C}1=286\times 78\times 13=290,004$290,004.

Sample space: {((J$\mathrm{♡}$, Q$\mathrm{♡}$), (J$\mathrm{♡}$, K$\mathrm{♡}$),(Q$\mathrm{♡}$, J$\mathrm{♡}$),(Q$\mathrm{♡}$, K$\mathrm{♡}$),(K$\mathrm{♡}$, J$\mathrm{♡}$),(K$\mathrm{♡}$, Q$\mathrm{♡}$)}

Í tilraun þar sem úrtaksrúmið S samanstendur af jafn líklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðarins E 𝑃(𝐸) $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$= 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆), þar sem n(E) og n(S) tákna fjölda útkoma í atburðinum og úrtaksrúminu.

$P(4)=\frac{1}{6}$

Í tilraun þar sem úrtaksrúmið S samanstendur af jafn líklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðarins E 𝑃(𝐸) $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$= 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆), þar sem n(E) og n(S) tákna fjölda útkoma í atburðinum og úrtaksrúminu.

$P(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}2)=P\left(3,4,5,\mathrm{o}\mathrm{r}6\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Í tilraun þar sem úrtaksrúmið S samanstendur af jafn líklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðarins E 𝑃(𝐸) $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$= 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆), þar sem n(E) og n(S) tákna fjölda útkoma í atburðinum og úrtaksrúminu.

$P\left(odd\right)=P\left(1,3,\mathrm{o}\mathrm{r}5\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Í tilraun þar sem úrtaksrúmið S samanstendur af jafn líklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðarins E 𝑃(𝐸) $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$= 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆), þar sem n(E) og n(S) tákna fjölda útkoma í atburðinum og úrtaksrúminu.

$P\left(6\mathrm{o}\mathrm{r}7\right)=\frac{5}{16}$

P(the first card is a 3 heart) = $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

P(the first card drawn has a lower number than the second card) $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

P(annað spilanna sem dregið er er hjarta 4) = $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Reynslulíkur eru fjöldi skipta sem atburðurinn kom fyrir í fyrri endurtekningum deilt með heildarfjölda fyrri $\frac{\text{fjöldi skipta sem atburðurinn kom fyrir í fyrri endurtekningum}}{\text{heildarfjöldi fyrri endurtekninga}}$endurtekninga.

P(bad placement) $=\frac{13}{1,000}=1.3\mathrm{\%}$.

Í tilraun þar sem úrtaksrúmið S samanstendur af jafn líklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðarins E 𝑃(𝐸) $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$= 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆), þar sem n(E) og n(S) tákna fjölda útkoma í atburðinum og úrtaksrúminu.

$P(\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g})=\frac{1}{500}=0.002=0.2\mathrm{\%}$

Í tilraun þar sem úrtaksrúmið S samanstendur af jafn líklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðarins E 𝑃(𝐸) $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$= 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆), þar sem n(E) og n(S) tákna fjölda útkoma í atburðinum og úrtaksrúminu.

$P\left(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}3\right)=\frac{13}{16}$

Fjöldi mögulegra fimm spila handa úr 52 spila stokki er 52C5 = 2,598,960.$\text{52C5 = 2,598,960}$

Fjöldi leiða til að draga 2 spaða af 13 er 13C2 = 78.$\text{13C2 = 78}$

Fjöldi leiða til að draga 3 hjörtu af 13 er 13C3 = 286.$\text{13C3 = 286}$

$13\text{C}2\times 13\text{C}3$

P(drawing 2 spades og 3 hearts) = $\frac{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}2\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}3\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{s}}{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}5\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s}}=\frac{78\times 286}{2,598,960}\approx 0.086\mathrm{\%}$.

Fjöldi útkoma utan atburðarins er 16 − 13 = 3.$16-13=3$

Hlutfall fjölda jafn líklegra útkoma í atburði $E$E og fjölda jafn líklegra útkoma utan hans kallast líkindahlutfall með atburðinum.

Líkindahlutfallið með atburðinum er 13:3.$\text{13: 3}$

Fjöldi útkoma utan atburðarins er 16 − 4 = 12.$16-4=12$

Hlutfall fjölda jafn líklegra útkoma í atburði $E$E og fjölda jafn líklegra útkoma utan hans kallast líkindahlutfall með atburðinum.

Líkindahlutfallið gegn atburðinum er 12:4 eða $\text{12:4}$3:1.$\text{3:1}$

Ef líkurnar eru 80% er líkindahlutfallið með atburðinum 0.8:(1 − 0.8).$0.8:\left(1-0.8\right)$

$0.8:0.2$

$1:0.25$

$4:1$

$1:4$

Líkindahlutfallið með E er $E$1:15.$\text{1: 15}$

Ef líkindahlutfallið með E er $E$A:B, $A:B$þá

$P(E)=\frac{A}{A+B}$.

$P(E)=\frac{A}{A+B}=\frac{1}{15+1}=\frac{1}{16}$

Líkindahlutfallið með E er $E$2.5:1.$2.5:1$

Ef líkindahlutfallið með E er $E$A:B, $A:B$þá

$P(E)=\frac{A}{A+B}$.

$P(E)=\frac{A}{A+B}=\frac{2.5}{2.5+1}=\frac{2.5}{3.5}=\frac{25}{35}=\frac{5}{7}\approx 0.714$

$E$ = {A hearts, A spades, A clubs, A diamonds}

$F$ = {K hearts, K spades, K clubs, K diamonds}

Ef $E$E $F$og F eru sundurlægir atburðir, þá er P(E eða F) = P(E) + P(F).$\text{P}\left(E\text{eða}F\right)=\text{ P}\left(E\right)+\text{ P}\left(F\right)$

P(Ace eða King) = $\frac{4}{10}+\frac{2}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

Ef $E$E $F$og F eru sundurlægir atburðir, þá er P(E eða F) = P(E) + P(F).$\text{P}\left(E\text{eða}F\right)=\text{ P}\left(E\right)+\text{ P}\left(F\right)$

P(heart eða king) = $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Nota má innifalið–frátalið. Ef E og F $E$$F$eru ekki sundurlægir atburðir, þá

$\text{P}\left(E\text{eða}F\right)=\text{ P}\left(E\right)+\text{ P}\left(F\right)-\text{ P}$ P(E eða $E$F) = P(E) + P(F) $F$− P(E og F).

P(orange eða even) = P(orange) + P(even) – P(orange og even) = $\frac{2}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Nota má innifalið–frátalið. Ef E og F $E$$F$eru ekki sundurlægir atburðir, þá

$\text{P}\left(E\text{eða}F\right)=\text{ P}\left(E\right)+\text{ P}\left(F\right)-\text{ P}$ P(E eða $E$F) = P(E) + P(F) $F$− P(E og F).

P(green eða A) = P(green) + P(A) – P(green og A) = $\frac{2}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Ef $E$E $F$og F eru sundurlægir atburðir, þá er P(E eða F) = P(E) + P(F).$\text{P}\left(E\text{eða}F\right)=\text{ P}\left(E\right)+\text{ P}\left(F\right)$

P(even eða green) = $\frac{2}{6}+\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Af þessum valkostum er P(bókstafur er sérhljóði | liturinn er appelsínugulur) = $\text{P}\left(\text{letter us a vowel | the number is orange}\right)=\frac{1}{3}$1/3.

Af þessum valkostum er P(talan er 1 | liturinn er rauður) = 1/1 = $\text{P}\left(\text{talan er 1 | liturinn er rauður}\right)=\frac{1}{1}=1$1.

Af þessum valkostum er P(liturinn er rauður | talan er 1) = $\text{P}\left(\text{liturinn er rauður | talan er 1}\right)=\frac{2}{3}$2/3.

Margföldunarregla líkinda: Ef E og F eru atburðir sem $E$tengjast $F$fyrsta og öðru þrepi tilraunar, þá er P(E og F) = P(E) $\times \text{⁠}$ P(F | E).$\text{P}\left(E\text{og}F\right)=\text{ P}\left(E\right)\times \text{ P}\left(F|E\right)$

$\text{P(heart, then spade) = }\frac{3}{8}\left(\frac{2}{7}\right)=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$.

Margföldunarregla líkinda: Ef E og F eru atburðir sem $E$tengjast $F$fyrsta og öðru þrepi tilraunar, þá er P(E og F) = P(E) $\times \text{⁠}$ P(F | E).$\text{P}\left(E\text{og}F\right)=\text{ P}\left(E\right)\times \text{ P}\left(F|E\right)$

$\text{P(9, then a 6) = }\frac{3}{8}\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{56}$.

Margföldunarregla líkinda: Ef E og F eru atburðir sem $E$tengjast $F$fyrsta og öðru þrepi tilraunar, þá er P(E og F) = P(E) $\times \text{⁠}$ P(F | E).$\text{P}\left(E\text{og}F\right)=\text{ P}\left(E\right)\times \text{ P}\left(F|E\right)$

$\text{P(a heart, then another heart) = }\frac{3}{8}\left(\frac{2}{7}\right)=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$.

Tvíkostalíkindaformúla: Í tvíkostatilraun með n tilraunum og líkur p á árangri í hverri tilraun er P(fjöldi árangra er a) = 𝑛𝐶𝑎 $\times \text{⁠}$ 𝑝ᵃ $\times \text{⁠}$ (1 − 𝑝)ⁿ⁻ᵃ.$nCa\times p^a\times {\left(1-p\right)}^{n-a}$

Ein hlið af fjórum sýnir 2 og því er p = 1/4.$\frac{1}{4}$

P(nákvæmlega fjórir 2 í 10 köstum) = (10C4)(1/4)⁴(1 − 1/4)¹⁰⁻⁴.$\left(10C4\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(1-\frac{1}{4}\right)}^{10-4}$

$\left(210\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(\frac{3}{4}\right)}^6=\frac{153,090}{1,048,576}\approx 0.146$

Tvíkostalíkindaformúla: Í tvíkostatilraun með n tilraunum og líkur p á árangri í hverri tilraun er P(fjöldi árangra er a) = 𝑛𝐶𝑎 $\times \text{⁠}$ 𝑝ᵃ $\times \text{⁠}$ (1 − 𝑝)ⁿ⁻ᵃ.$nCa\times p^a\times {\left(1-p\right)}^{n-a}$

Ein hlið af fjórum sýnir 2 og því er p = 1/4.$\frac{1}{4}$

P(nákvæmlega fjórir 2 í 20 köstum) = (20C4)(1/4)⁴(1 − 1/4)²⁰⁻⁴.$\left(20C4\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(1-\frac{1}{4}\right)}^{20-4}$

$\left(4,845\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(\frac{3}{4}\right)}^{16}\approx 0.190$

Tvíkostalíkindaformúla: Í tvíkostatilraun með n tilraunum og líkur p á árangri í hverri tilraun er P(fjöldi árangra er a) = 𝑛𝐶𝑎 $\times \text{⁠}$ 𝑝ᵃ $\times \text{⁠}$ (1 − 𝑝)ⁿ⁻ᵃ.$nCa\times p^a\times {\left(1-p\right)}^{n-a}$

Ein hlið af fjórum sýnir 2 og því er p = 1/4.$\frac{1}{4}$

P(nákvæmlega fjórir 2 í 20 köstum) = (30C4)(1/4)⁴(1 − 1/4)³⁰⁻⁴.$\left(30C4\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(1-\frac{1}{4}\right)}^{30-4}$

$\left(27,405\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4{\left(\frac{3}{4}\right)}^{26}\approx 0.060$

Tvær hliðar eru stærri en 4, þ.e. 5 og 6. Líkurnar eru 2/6 = 1/3 ≈ 0.333333.$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0.333333$

Tvær hliðar eru stærri en 4, þ.e. 5 og 6. Líkurnar eru 2/6 = 1/3 ≈ 0.333333.$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0.333333$

Svarið er 1 − 0.4793 = 0.5207.$1-0.4793=0.5207$

Ef O táknar útkomu tilraunar og n(O) gildi hennar er væntigildi tilraunarinnar ∑ n(O) $\times \text{⁠}$ P(O).$\sum n\left(O\right)\times P\left(O\right)$

Líkur hverrar hliðar teningsins eru $\frac{1}{6}$1/6. Margfaldaðu gildið á hverri hlið með líkum hennar. Ekki stytta brotin því auðveldara er að leggja þau saman óstytt.

Summa talnanna í síðasta dálki er væntigildið = 20/6 = 10/3.$\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$

Væntigildið er 10/3.$\frac{10}{3}$

Summa talnanna í síðasta dálki er væntigildið = 12/8 = 3/2.$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Summa talnanna í síðasta dálki er væntigildið = 50/8 = 25/4 = $\frac{50}{8}=\frac{25}{4}$$6,25.

Væntigildi veðmáls á 7 er −1/6, eða $-\frac{1}{6}$tap upp á $0,17.

Væntigildi veðmáls á 12 er −5/36, eða $-\frac{5}{36}$tap upp á $0,14.

Væntigildi veðmáls á 2, 3 eða 12 er −1/9, eða $-\frac{1}{9}$tap upp á $0,11.

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$18\times 30=540$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$2\times 7=14$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=1,024$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$5\times 8\times 4\times 5=800$

Margföldunarreglan um talningu segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma $n\times m$bæði verkin á 𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

$15\times 18\times 12\times 8=25,920$

Deild n! sérhverrar jákvæðrar heiltölu n er margfeldi allra heiltalna sem eru minni en eða jafnar n. Skilgreint er að 0! = 1.

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

Deild n! sérhverrar jákvæðrar heiltölu n er margfeldi allra heiltalna sem eru minni en eða jafnar n. Skilgreint er að 0! = 1.

$\frac{10!}{7!3!}=\frac{10\times 9\times 8\times \cancel{7!}}{\cancel{7!}\times 3\times 2\times 1}=\frac{720}{6}=120$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$12\mathrm{P}3=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}=\frac{12!}{\left(12-3\right)!}=\frac{12!}{9!}=\frac{12\times 11\times 10\times \cancel{9!}}{\cancel{9!}}=1,320$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$8\mathrm{P}4=\frac{8!}{\left(8-4\right)!}=\frac{8!}{4!}=\frac{8\times 7\times 6\times 5\times \cancel{4!}}{\cancel{4!}}=1,680$

Umröðun n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er nPr = 𝑛!/(𝑛 − 𝑟)!, þar sem $\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$1 ≤ r ≤ n.

$15\mathrm{P}4=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}=\frac{15!}{\left(15-4\right)!}=\frac{15!}{11!}=\frac{15\times 14\times 13\times 12\times \cancel{11!}}{\cancel{11!}}=32,760$

Fjöldi samantekta n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!/(𝑟!(𝑛 − 𝑟)!).$nCr=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

$12C10=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{12!}{10!\left(12-10\right)!}=\frac{12!}{10!2!}=\frac{12\times 11\times \cancel{10!}}{\cancel{10!}\times 2\times 1}=\frac{132}{2}=66$

Fjöldi samantekta n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!/(𝑟!(𝑛 − 𝑟)!).$nCr=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

$16C3=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{16!}{3!\left(16-3\right)!}=\frac{13!}{3!13!}=\frac{16\times 15\times 14\times \cancel{13!}}{3\times 2\times 1\times \cancel{13!}}=\frac{3,360}{6}=560$

Fjöldi samantekta n hluta, þar sem r eru valdir í senn, er 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!/(𝑟!(𝑛 − 𝑟)!).$nCr=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

$6C3=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{6!}{3!\left(6-3\right)!}=\frac{6!}{3!3!}=\frac{6\times 5\times 4\times \cancel{3!}}{3\times 2\times 1\times \cancel{3!}}=\frac{120}{6}=20$

Notaðu síðan margföldunarregluna um talningu. Hún segir að ef unnt er að framkvæma eitt verk á n vegu og annað á m vegu megi framkvæma bæði á $n\times m$𝑛 $\times \text{⁠}$ 𝑚 vegu. Fleiri verkum má bæta við með því að margfalda fyrri margfeldið með fjölda leiða fyrir hvert þeirra.

Fjöldi valkosta sem uppfylla kröfurnar er 8C3 $\times \text{⁠}$ 6C3.$8\text{C}3\times 6\text{C}3$

$8C3=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{8!}{3!\left(8-5\right)!}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\times 7\times 6\times \cancel{5!}}{3\times 2\times 1\times \cancel{5!}}=\frac{336}{6}=56$

$5C3=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\times 4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}\times 2\times 1}=\frac{20}{2}=10$

Nú má reikna 8C3 $\times \text{⁠}$ 5C3 = 56 $\times \text{⁠}$ 10 = $8\text{C}3\times 5\text{C}3=56\times 10=560$560.

$P(\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{s})=P\left(\mathrm{H}\mathrm{H}\right)=\frac{1}{4}$