2. kafli
2. kafli
Þitt verkefni
2.1
Rökfræðileg yrðing er setning sem unnt er að ákvarða hvort sé sönn eða ósönn. Þessi setning er rökfræðileg yrðing því unnt er að ákvarða að hún sé ósönn.
Rökfræðileg yrðing, ósönn.
Rökfræðileg yrðing er setning sem unnt er að ákvarða hvort sé sönn eða ósönn. Þessi setning er rökfræðileg yrðing því unnt er að ákvarða að hún sé sönn.
Rökfræðileg yrðing, sönn.
Rökfræðileg yrðing er setning sem unnt er að ákvarða hvort sé sönn eða ósönn. Þessi setning er ekki rökfræðileg yrðing því spurningar eru hvorki sannar né ósannar.
Ekki rökfræðileg yrðing; ekki er unnt að ákvarða hvort spurning sé sönn eða ósönn.
2.2
Veldu lágstaf. Algengast er að velja 𝑝 p, 𝑞 q eða 𝑟 r. Ekki er beðið um að ákvarða sanngildið.
𝑝 p: Kvikmyndin Gandhi hlaut Óskarsverðlaunin sem besta kvikmynd ársins 1982.
𝑝
:
p
:
Kvikmyndin
„Gandhi“
hlaut Óskarsverðlaunin sem besta kvikmynd ársins 1982.
Veldu lágstaf. Algengast er að velja 𝑝 p, 𝑞 q eða 𝑟 r. Ekki er beðið um að ákvarða sanngildið.
𝑞 q: Knattspyrna er vinsælasta íþrótt heims.
𝑞
:
q
:
Knattspyrna er vinsælasta íþrótt heims.
Veldu lágstaf. Algengast er að velja 𝑝 p, 𝑞 q eða 𝑟 r. Ekki er beðið um að ákvarða sanngildið.
𝑟 r: Allar appelsínur eru sítrusávextir.
𝑟
:
r
:
Allar appelsínur eru sítrusávextir.
2.3
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.
Upphafleg yrðing: Ted Cruz fæddist ekki í Texas.
Fjarlægðu „ekki“.
Neitun: Ted Cruz fæddist í Texas.
Ted Cruz fæddist í Texas.
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.
Upphafleg yrðing: Adele hefur fallega söngrödd.
Bættu „ekki“ við.
Neitun: Adele hefur ekki fallega söngrödd.
Adele hefur ekki fallega rödd.
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.
Upphafleg yrðing: Laufblöð breyta koltvísýringi í súrefni við ljóstillífun.
Bættu „ekki“ við.
Neitun: Laufblöð breyta ekki koltvísýringi í súrefni við ljóstillífun.
Laufblöð breyta ekki koltvísýringi í súrefni við ljóstillífun.
2.4
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.
Upphafleg yrðing: ∼ 𝑝 ∼ p
Til að neita neikvæðri yrðingu er bylgjutáknið fjarlægt, því andstæða neikvæðrar yrðingar er jákvæð yrðing.
Neitun: ∼ ( ∼ 𝑝 ) = 𝑝 ∼ ( ∼ p ) = p
𝑝
p
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.
Upphafleg yrðing: 𝑞 q
Til að neita jákvæðri yrðingu er bylgjutákni bætt við.
Neitun: ∼ 𝑞 ∼ q
~
𝑞
~
q
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.
Upphafleg yrðing: 𝑟 r
Til að neita jákvæðri yrðingu er bylgjutákni bætt við.
Neitun: ∼ 𝑟 ∼ r
~
𝑟
~
r
2.5
„Wonder Woman er sterkari en Captain Marvel“ er neitun yrðingarinnar „Wonder Woman er ekki sterkari en Captain Marvel“.
Því er þetta ritað táknrænt sem ∼ ( ∼ 𝑝 ) = 𝑝 ∼ ( ∼ p ) = p.
𝑝
p
Yrðingin 𝑟 r táknar „Woody og Buzz Lightyear eru bestu vinir“.
Neitunin ∼ 𝑟 ∼ r er þýdd „Woody og Buzz Lightyear eru ekki bestu vinir“.
Woody og Buzz Lightyear eru ekki bestu vinir.
2.6
Rangt væri að segja að summa allra samliggjandi heiltalna sé frumtala, því 0 og
1
=
1
1
=
1
, sem er ekki frumtala. Segja má: „Summa einhverra samliggjandi heiltalna er frumtala.“
Summa einhverra samliggjandi heiltalna er frumtala.
Samkvæmt gefnu forsendunum eignast engir fuglar lifandi unga. Yrðingin er þó ósönn, því sumir fuglar eignast lifandi unga.
Engir fuglar eignast lifandi unga.
Allir ferningar eru rétthyrningar. Allir rétthyrningar eru samsíðungar og því er ferningur samsíðungur. Allir samsíðungar hafa fjórar hliðar og því hefur ferningur fjórar hliðar. Þar af leiðandi hafa allir ferningar fjórar hliðar.
Þetta má sýna með Venn-mynd. Ferningar eru hlutmengi rétthyrninga. Rétthyrningar eru hlutmengi samsíðunga. Samsíðungar eru hlutmengi forma með fjórar hliðar. Því eru ferningar hlutmengi forma með fjórar hliðar.
Allir ferningar eru samsíðungar og hafa fjórar hliðar.
2.7
Yrðingu á forminu „Sum … ekki“ er neitað með því að skipta „Sum … ekki“ út fyrir „Öll“.
Upphafleg yrðing: Sum epli eru ekki sæt.
Neitun: Öll epli eru sæt.
Öll epli eru sæt.
Yrðingu á forminu „Engin“ er neitað með því að skipta „Engin“ út fyrir „Sum“.
Upphafleg yrðing: Engir þríhyrningar eru ferningar.
Neitun: Sumir þríhyrningar eru ferningar.
Sumir þríhyrningar eru ferningar.
Yrðingu á forminu „Sum“ er neitað með því að skipta „Sum“ út fyrir „Engin“.
Upphafleg yrðing: Sumt grænmeti er grænt.
Neitun: Ekkert grænmeti er grænt.
Ekkert grænmeti er grænt.
2.8
Neitun;
∼
∼
.
Samtenging;
∧
∧
.
Tvískilyrðing;
↔
↔
.
2.9
Í dag förum við á skíði en það snjóaði ekki í gærkvöldi.
Bæði „og“ og „en“ nota samtengingartengið.
Gefnu yrðingarnar:
𝑝 p: Það snjóaði í gærkvöldi.
𝑞 q: Í dag förum við á skíði.
Skiptu samsettu yrðingunni í hluta hennar.
| Í dag förum við á skíði, | en | ekki | það snjóaði í gærkvöldi |
| 𝑞 q | ∧ ∧ | ∼ ∼ | 𝑝 p |
𝑞
∧
~
𝑝
q
∧
~
p
𝑞
↔
𝑝
q
↔
p
Í dag förum við á skíði ef og aðeins ef það snjóaði í gærkvöldi.
Gefnu yrðingarnar:
𝑝 p: Það snjóaði í gærkvöldi.
𝑞 q: Í dag förum við á skíði.
Skiptu samsettu yrðingunni í hluta hennar.
| Í dag förum við á skíði | ef og aðeins ef | það snjóaði í gærkvöldi |
| 𝑞 q | ↔ ↔ | 𝑝 p |
𝑝
∨
~
𝑞
p
∨
~
q
Það snjóaði í gærkvöldi eða við förum ekki á skíði í dag.
Gefnu yrðingarnar:
𝑝 p: Það snjóaði í gærkvöldi.
𝑞 q: Í dag förum við á skíði.
Skiptu samsettu yrðingunni í hluta hennar.
| Það snjóaði í gærkvöldi | eða | ekki | við förum á skíði í dag |
| 𝑝 p | ∨ ∨ | ∼ ∼ | 𝑞 q |
𝑝
→
𝑞
p
→
q
Ef það snjóaði í gærkvöldi, þá förum við á skíði í dag.
Gefnu yrðingarnar:
𝑝 p: Það snjóaði í gærkvöldi.
𝑞 q: Í dag förum við á skíði.
Skiptu samsettu yrðingunni í hluta hennar.
| Það snjóaði í gærkvöldi | skilyrðing | við förum á skíði í dag |
| 𝑝 p | → → | 𝑞 q |
2.10
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Herbergisfélagar mínir pöntuðu pítsu.
𝑞 q: Ég pantaði kjúklingavængi.
𝑟 r: Vinir okkar komu til að horfa á leikinn.
Þýddu ~ 𝑟 ~ r sem: Vinir okkar komu ekki til að horfa á leikinn.
→ → er skilyrðingartengið og er þýtt „ef … þá“.
∨ ∨ er innifalið eða.
Komman á undan „þá“ sýnir að yrðingarnar innan sviganna eiga saman.
Ef vinir okkar komu ekki til að horfa á leikinn, þá pöntuðu herbergisfélagar mínir pítsu eða ég pantaði kjúklingavængi.
Ef vinir okkar komu ekki til að horfa á leikinn, þá pöntuðu herbergisfélagar mínir pítsu eða ég pantaði kjúklingavængi.
∧ ∧ er samtengingartengið og er þýtt „og“.
→ → er skilyrðingartengið og er þýtt „ef … þá“.
Komman á undan „þá“ sýnir að yrðingarnar innan sviganna eiga saman.
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Herbergisfélagar mínir pöntuðu pítsu.
𝑞 q: Ég pantaði kjúklingavængi.
𝑟 r: Vinir okkar komu til að horfa á leikinn.
Ef herbergisfélagar mínir pöntuðu pítsu og ég pantaði kjúklingavængi, þá komu vinir okkar til að horfa á leikinn.
Ef herbergisfélagar mínir pöntuðu pítsu og ég pantaði kjúklingavængi, þá komu vinir okkar til að horfa á leikinn.
∼ ∼ er neitunartáknið. Skiptu tákninu út fyrir „Það er ekki svo að …“
∨ ∨ er innifalið eða.
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Herbergisfélagar mínir pöntuðu pítsu.
𝑞 q: Ég pantaði kjúklingavængi.
𝑟 r: Vinir okkar komu til að horfa á leikinn.
Það er ekki svo að herbergisfélagar mínir hafi pantað pítsu eða vinir okkar komið til að horfa á leikinn.
Það er ekki svo að herbergisfélagar mínir hafi pantað pítsu eða vinir okkar komið til að horfa á leikinn.
2.11
(
(
𝑝
∨
𝑞
)
∧
(
~
𝑟
)
)
(
(
p
∨
q
)
∧
(
~
r
)
)
Forgangsröð rökaðgerða er
Þegar aðgerðir hafa sama forgang er unnið frá vinstri til hægri.
Aðgerðin með hæsta forgang í þessari segð er neitun; settu því sviga utan um neitunina.
Mistenging og samtenging hafa sama forgang og því er unnið frá vinstri til hægri. Reiknaðu fyrst einka-eðað.
Ljúktu síðan með því að reikna samtenginguna.
(
(
~
𝑝
)
→
(
𝑞
∨
𝑟
)
)
(
(
~
p
)
→
(
q
∨
r
)
)
Forgangsröð rökaðgerða er
Þegar aðgerðir hafa sama forgang er unnið frá vinstri til hægri.
Aðgerðin með hæsta forgang í þessari segð er neitun; settu því sviga utan um neitunina.
Næsta aðgerð í forgangsröðinni er mistengingin. Settu sviga utan um hana.
Að lokum má reikna skilyrðinguna.
(
(
~
𝑝
)
∨
(
~
𝑞
)
)
↔
(
~
(
𝑝
∧
𝑞
)
)
(
(
~
p
)
∨
(
~
q
)
)
↔
(
~
(
p
∧
q
)
)
; þetta er annað dæmi um reglur De Morgans og er alltaf satt.
Forgangsröð rökaðgerða er
Þegar aðgerðir hafa sama forgang er unnið frá vinstri til hægri.
Hægri hlið tvískilyrðingarinnar er þegar innan sviga. Næsta aðgerð í forgangsröðinni er neitun; settu því sviga utan um neitanirnar þrjár.
Næsta skref í forgangsröðinni er mistenging/samtenging. Settu sviga utan um mistenginguna.
Tvískilyrðingin hefur lægstan forgang. Ljúktu með því að reikna hana.
2.12
Neitunin er 𝑝: 3 5 ≠ 1 4 p: 3 5 ≠ 14
Þar sem 3 5 = 1 5 3 5 = 15 er neitunin sönn.
𝑝
:
3
5
≠
1
4
p
:
3
5
≠
14
, sönn
Neitunin er 𝑞: q: Engin hús eru byggð úr múrsteinum.
Neitunin er ósönn því sum hús eru byggð úr múrsteinum.
𝑞
q
: Engin hús eru byggð úr múrsteinum; ósönn
Neitunin er ∼ 𝑟: ∼ r: Abuja er ekki höfuðborg Nígeríu.
Neitunin er ósönn yrðing því Abuja er höfuðborg Nígeríu.
~
𝑟
~
r
: Abuja er ekki höfuðborg Nígeríu; ósönn
2.13
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
Táknið ∧ ∧ táknar samtengingu og er þýtt „og“ eða „en“.
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar.
Satt
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
∼ 𝑟 ∼ r er sönn.
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar.
Ósatt
Gefnar yrðingar:
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar.
Satt
2.14
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar.
Satt
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
∼ 𝑝 ∼ p er ósönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar.
Ósatt
Gefnar yrðingar:
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar.
Satt
2.15
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ∼ 𝑞 ∼ q | ∼ 𝑞 ∧ 𝑝 ∼ q ∧ p | ( 𝑞 ∧ 𝑝 ) ∨ 𝑟 ( q ∧ p ) ∨ r |
| T | T | F | F | F | F |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑞 ∧ 𝑝 ~ q ∧ p | ( ~ 𝑞 ∧ 𝑝 ) ∨ 𝑟 ( ~ q ∧ p ) ∨ r |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
ósatt
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ∼ 𝑟 ∼ r | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ∼ 𝑟 ( p ∨ q ) ∧ ∼ r |
| T | T | F | T | T | T |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ~ 𝑟 ~ r | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( ~ 𝑟 ) ( p ∨ q ) ∧ ( ~ r ) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T | T |
satt
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Gulur er grunnlitur.
𝑝 p er sönn.
𝑞 q: Blár er grunnlitur.
𝑞 q er sönn.
𝑟 r: Grænn er grunnlitur.
𝑟 r er ósönn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑟 p ∧ r | ∼ ( 𝑝 ∧ 𝑟 ∼ ( p ∧ r ) | ∼ ( 𝑝 ∧ 𝑟 ) ∧ 𝑞 ∼ ( p ∧ r ) ∧ q |
| T | T | F | F | T | T |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ( 𝑝 ∧ 𝑟 ) ( p ∧ r ) | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑟 ) ~ ( p ∧ r ) | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑟 ) ∧ 𝑞 ~ ( p ∧ r ) ∧ q |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T |
satt
2.16
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 p ∧ ∼ q |
| T | T | F | F |
| T | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ∧ ~ 𝑞 p ∧ ~ q |
|---|---|---|---|
| T | T | F | F |
| T | F | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | F |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ∼ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∼ ( p ∨ q ) |
| T | T | T | F |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 p ∧ ∼ q | ( 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( p ∧ ∼ q ) ∨ r |
| T | T | T | F | F | T |
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F | T |
| F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | F | F |
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ∧ ~ 𝑞 p ∧ ~ q | ( 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( p ∧ ~ q ) ∨ r |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | T |
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F | T |
| F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | F | F |
2.17
| 𝑝 p | ∼ 𝑝 ∼ p | 𝑝 ∨ ∼ 𝑝 p ∨ ∼ p |
| T | F | T |
| F | T | T |
Gild
| 𝑝 p | ~ 𝑝 ~ p | 𝑝 ∨ ~ 𝑝 p ∨ ~ p |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | ∼ 𝑞 ∼ q | ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 ∼ p ∨ ∼ q |
| T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T |
Ógild
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T |
2.18
Ósatt
| 𝑝 p | 𝑞 q | |
|---|---|---|
| T | F | F |
Þar sem gefið er að 𝑝 p sé sönn og 𝑞 q ósönn þarf aðeins eina röð mögulegra sanngilda í sannleikstöfluna.
| 𝑝 p | 𝑞 q | |
| T | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forliðurinn er sannur og bakliðurinn ósannur. Með gefnu sanngildunum fæst:
Ef satt, þá ósatt
Niðurstaðan er ósönn; skrifaðu því Ó í síðasta dálkinn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | |
| T | F | F |
Satt
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | |
|---|---|---|---|
| T | F | T | T |
Þar sem gefið er að 𝑝 p sé sönn og 𝑞 q ósönn þarf aðeins eina röð mögulegra sanngilda í sannleikstöfluna.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | |
| T | F |
Neitun ósannrar yrðingar er sönn; skrifaðu því S undir ~ 𝑞 ~ q.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | |
| T | F | T |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forliðurinn er sannur og bakliðurinn ósannur. Með 𝑝 p og fyrri dálkinum fæst:
Ef satt, þá satt
Niðurstaðan er sönn; skrifaðu því S í síðasta dálkinn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | |
| T | F | T | T |
Þar sem gefið er að 𝑝 p sé sönn og 𝑞 q ósönn þarf aðeins eina röð mögulegra sanngilda í sannleikstöfluna.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | |
| T | F |
Neitun sannrar yrðingar er ósönn; skrifaðu því Ó undir ~ 𝑝 ~ p.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | |
| T | F | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forliðurinn er sannur og bakliðurinn ósannur. Með tveimur fyrri dálkunum fæst:
Ef ósatt, þá ósatt
Niðurstaðan er sönn; skrifaðu því S í síðasta dálkinn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | |
| T | F | F | T |
Satt
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | |
|---|---|---|---|
| T | F | F | T |
2.19
Gild
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Þar sem yrðingarnar eru tvær þarf fjórar raðir fyrir allar mögulegar samsetningar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | |
| T | T | |||
| T | F | |||
| F | T | |||
| F | F |
Neitun yrðingar hefur gagnstætt sanngildi. Skrifaðu gagnstætt gildi við 𝑝 p í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | |
| T | T | F | ||
| T | F | F | ||
| F | T | T | ||
| F | F | T |
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar. Skrifaðu Ó ef bæði dálkurinn ~ 𝑝 ~ p og dálkurinn 𝑞 q innihalda Ó. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | |
| T | T | F | T | |
| T | F | F | F | |
| F | T | T | T | |
| F | F | T | T |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn. Skrifaðu Ó ef dálkurinn 𝑞 q inniheldur S og fyrri dálkurinn Ó. Annars skrifarðu S.
Yrðingin er gild því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Ógild
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | F | F |
Þar sem yrðingarnar eru tvær þarf fjórar raðir fyrir allar mögulegar samsetningar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | |
| T | T | |||
| T | F | |||
| F | T | |||
| F | F |
Neitun yrðingar hefur gagnstætt sanngildi. Skrifaðu gagnstætt gildi við 𝑝 p í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | |
| T | T | F | ||
| T | F | F | ||
| F | T | T | ||
| F | F | T |
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar. Annars er hún ósönn. Skrifaðu S ef bæði dálkurinn 𝑞 q og dálkurinn 𝑝 p innihalda S. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | |
| T | T | F | T | |
| T | F | F | F | |
| F | T | T | F | |
| F | F | T | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn. Skrifaðu Ó ef dálkurinn ~ 𝑝 ~ p inniheldur S og dálkurinn 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p inniheldur Ó. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | F | F |
Yrðingin er ógild því síðasti dálkurinn er ekki allur sannur.
2.20
Þar sem gefið er að 𝑝 p sé sönn og 𝑞 q ósönn þarf aðeins eina röð mögulegra sanngilda í sannleikstöfluna.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ↔ 𝑞 p ↔ q |
| T | F |
Tvískilyrðing er sönn þegar yrðingarnar tvær hafa sama sanngildi. Annars er hún ósönn.
Þar sem 𝑝 p og 𝑞 q hafa ólík sanngildi er tvískilyrðingin ósönn. Skrifaðu Ó í síðasta dálkinn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ↔ 𝑞 p ↔ q |
| T | F | F |
Yrðingin er ósönn því Ó er í síðasta dálkinum.
Ósatt
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ↔ 𝑞 p ↔ q |
|---|---|---|
| T | F | F |
Þar sem gefið er að 𝑝 p sé sönn og 𝑞 q ósönn þarf aðeins eina röð mögulegra sanngilda í sannleikstöfluna.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ↔ ~ 𝑞 p ↔ ~ q |
| T | F |
Þar sem 𝑞 q er ósönn er ~ 𝑞 ~ q sönn. Skrifaðu S undir ~ 𝑞 ~ q.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ↔ ~ 𝑞 p ↔ ~ q |
| T | F | T |
Tvískilyrðing er sönn þegar yrðingarnar tvær hafa sama sanngildi. Annars er hún ósönn.
Þar sem 𝑝 p og ~ 𝑞 ~ q eru báðar sannar er tvískilyrðingin sönn. Skrifaðu S í síðasta dálkinn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ↔ ~ 𝑞 p ↔ ~ q |
| T | F | T | T |
Yrðingin er sönn því S er í síðasta dálkinum.
Satt
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ↔ ~ 𝑞 p ↔ ~ q |
|---|---|---|---|
| T | F | T | T |
Þar sem gefið er að 𝑝 p sé sönn og 𝑞 q ósönn þarf aðeins eina röð mögulegra sanngilda í sannleikstöfluna.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ↔ 𝑞 ~ p ↔ q |
| T | F |
Þar sem 𝑝 p er sönn er ~ 𝑝 ~ p ósönn. Skrifaðu Ó undir ~ 𝑝 ~ p.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ↔ 𝑞 ~ p ↔ q |
| T | F | F |
Tvískilyrðing er aðeins sönn þegar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Annars er hún ósönn. Forsendan er ósönn; ~ 𝑝 ~ p og 𝑞 q hafa sama sanngildi og því er S skrifað í síðasta dálkinn.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ↔ 𝑞 ~ p ↔ q |
| T | F | F | T |
Yrðingin er sönn því S er í síðasta dálkinum.
Satt
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ↔ 𝑞 ~ p ↔ q |
|---|---|---|---|
| T | F | F | T |
2.21
Þar sem yrðingarnar eru tvær þarf fjórar raðir fyrir allar mögulegar samsetningar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | ||||||
| T | F | ||||||
| F | T | ||||||
| F | F |
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar. Skrifaðu S þegar bæði 𝑝 p og 𝑞 q eru sannar. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | T | |||||
| T | F | F | |||||
| F | T | F | |||||
| F | F | F |
Neitun yrðingar hefur gagnstætt sanngildi. Skrifaðu andstæðu 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | T | F | ||||
| T | F | F | T | ||||
| F | T | F | T | ||||
| F | F | F | T |
Neitun yrðingar hefur gagnstætt sanngildi. Skrifaðu andstæðu 𝑝 p í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | |||
| T | F | F | T | F | |||
| F | T | F | T | T | |||
| F | F | F | T | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑞 q í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | F | ||
| T | F | F | T | F | T | ||
| F | T | F | T | T | F | ||
| F | F | F | T | T | T |
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar. Skrifaðu Ó þar sem bæði ~ 𝑝 ~ p og ~ 𝑞 ~ q eru ósannar. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | F | F | |
| T | F | F | T | F | T | T | |
| F | T | F | T | T | F | T | |
| F | F | F | T | T | T | T |
Tvískilyrðing er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Skrifaðu S þar sem ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) og ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q hafa sama sanngildi, en Ó þar sem gildin eru ólík.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | T | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
Yrðingin er gild því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
Gild
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ~ ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∧ q ) ↔ ( ~ p ∨ ~ q ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | T | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
Þar sem yrðingarnar eru tvær þarf fjórar raðir fyrir allar mögulegar samsetningar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | ~ 𝑝 ↔ ( 𝑞 ∧ 𝑝 ) ~ p ↔ ( q ∧ p ) |
| T | T | |||
| T | F | |||
| F | T | |||
| F | F |
Skrifaðu andstæðu 𝑝 p í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | ~ 𝑝 ↔ ( 𝑞 ∧ 𝑝 ) ~ p ↔ ( q ∧ p ) |
| T | T | F | ||
| T | F | F | ||
| F | T | T | ||
| F | F | T |
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar. Skrifaðu S ef bæði 𝑞 q og 𝑝 p eru sannar. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | ~ 𝑝 ↔ ( 𝑞 ∧ 𝑝 ) ~ p ↔ ( q ∧ p ) |
| T | T | F | T | |
| T | F | F | F | |
| F | T | T | F | |
| F | F | T | F |
Tvískilyrðing er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Skrifaðu S þar sem ~ 𝑝 ~ p og 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p hafa sama sanngildi, en Ó þar sem gildin eru ólík.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | ~ 𝑝 ↔ ( 𝑞 ∧ 𝑝 ) ~ p ↔ ( q ∧ p ) |
| T | T | F | T | F |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | F | F |
Yrðingin er ógild því síðasti dálkurinn er ekki alltaf sannur.
Ógild
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | 𝑞 ∧ 𝑝 q ∧ p | ~ 𝑝 ↔ ( 𝑞 ∧ 𝑝 ) ~ p ↔ ( q ∧ p ) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | F |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | F | F |
Gild
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | ||
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Þar sem yrðingarnar eru tvær þarf fjórar raðir fyrir allar mögulegar samsetningar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | ||
| T | T | ||||
| T | F | ||||
| F | T | ||||
| F | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og bakliðurinn ósannur. Skrifaðu Ó ef 𝑝 p er sönn og 𝑞 q ósönn. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | ||
| T | T | T | |||
| T | F | F | |||
| F | T | T | |||
| F | F | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑝 p í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | ||
| T | T | T | F | ||
| T | F | F | F | ||
| F | T | T | T | ||
| F | F | T | T |
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar. Skrifaðu Ó þegar bæði ~ 𝑝 ~ p og 𝑞 q eru ósannar. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | ||
| T | T | T | F | T | |
| T | F | F | F | F | |
| F | T | T | T | T | |
| F | F | T | T | T |
Tvískilyrðing er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Skrifaðu S þar sem bæði 𝑝 → 𝑞 p → q og ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q eru sannar. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ~ p ∨ q | ||
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Yrðingin er gild því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
Þar sem yrðingarnar eru þrjár þarf átta raðir fyrir allar mögulegar samsetningar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | |||||||
| T | T | F | |||||||
| T | F | T | |||||||
| T | F | F | |||||||
| F | T | T | |||||||
| F | T | F | |||||||
| F | F | T | |||||||
| F | F | F |
Samtenging er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar eru sannar. Annars er hún ósönn. Skrifaðu S þar sem bæði 𝑝 p og 𝑞 q eru sannar. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | ||||||
| T | T | F | T | ||||||
| T | F | T | F | ||||||
| T | F | F | F | ||||||
| F | T | T | F | ||||||
| F | T | F | F | ||||||
| F | F | T | F | ||||||
| F | F | F | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og bakliðurinn ósannur. Skrifaðu Ó ef 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q er sönn og 𝑟 r ósönn. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | T | |||||
| T | T | F | T | F | |||||
| T | F | T | F | T | |||||
| T | F | F | F | T | |||||
| F | T | T | F | T | |||||
| F | T | F | F | T | |||||
| F | F | T | F | T | |||||
| F | F | F | F | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑝 p í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | T | F | ||||
| T | T | F | T | F | F | ||||
| T | F | T | F | T | F | ||||
| T | F | F | F | T | F | ||||
| F | T | T | F | T | T | ||||
| F | T | F | F | T | T | ||||
| F | F | T | F | T | T | ||||
| F | F | F | F | T | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑞 q í þennan dálk.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | T | F | F | |||
| T | T | F | T | F | F | F | |||
| T | F | T | F | T | F | T | |||
| T | F | F | F | T | F | T | |||
| F | T | T | F | T | T | F | |||
| F | T | F | F | T | T | F | |||
| F | F | T | F | T | T | T | |||
| F | F | F | F | T | T | T |
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar. Skrifaðu Ó í þennan dálk ef bæði ~ 𝑝 ~ p og ~ 𝑞 ~ q eru ósannar. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | T | F | F | F | ||
| T | T | F | T | F | F | F | F | ||
| T | F | T | F | T | F | T | T | ||
| T | F | F | F | T | F | T | T | ||
| F | T | T | F | T | T | F | T | ||
| F | T | F | F | T | T | F | T | ||
| F | F | T | F | T | T | T | T | ||
| F | F | F | F | T | T | T | T |
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar. Skrifaðu Ó í þennan dálk ef bæði ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q og 𝑟 r eru ósannar. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | T | F | F | F | T | |
| T | T | F | T | F | F | F | F | F | |
| T | F | T | F | T | F | T | T | T | |
| T | F | F | F | T | F | T | T | T | |
| F | T | T | F | T | T | F | T | T | |
| F | T | F | F | T | T | F | T | T | |
| F | F | T | F | T | T | T | T | T | |
| F | F | F | F | T | T | T | T | T |
Tvískilyrðing er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Skrifaðu S þar sem ( 𝑝 ∧ 𝑞 ) → 𝑟 ( p ∧ q ) → r og ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r hafa sama sanngildi, en Ó þar sem gildin eru ólík.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
| T | T | T | T | T | F | F | F | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | T | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T | F | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T | F | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T | T | T | T |
| F | F | F | F | T | T | T | T | T | T |
Yrðingin er gild því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
Gild
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑟 r | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ∧ 𝑞 p ∧ q | ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ~ p ∨ ~ q | ( ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ( ~ p ∨ ~ q ) ∨ r | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | T | T | F | T | T |
| T | T | F | F | F | T | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | F | F | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | F | T | T | T | T |
2.22
Búðu til sannleikstöflu fyrir tvískilyrðingu þar sem fyrri yrðingin er forliður og sú síðari bakliður.
Ef síðasti dálkur sannleikstöflunnar er sannur í hverri röð eru yrðingarnar rökfræðilega jafngildar. Þar sem yrðingarnar eru tvær þarf fjórar raðir mögulegra sanngilda.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | |||
| T | T | ||||
| T | F | ||||
| F | T | ||||
| F | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn. Annars er hún sönn. Skrifaðu Ó þegar 𝑝 p er sönn og 𝑞 q ósönn. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | |||
| T | T | T | |||
| T | F | F | |||
| F | T | T | |||
| F | F | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑝 p.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | |||
| T | T | T | F | ||
| T | F | F | F | ||
| F | T | T | T | ||
| F | F | T | T |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn. Annars er hún sönn. Skrifaðu Ó þegar 𝑞 q er sönn og ∼ 𝑝 ∼ p ósönn. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | |||
| T | T | T | F | T | |
| T | F | F | F | F | |
| F | T | T | T | T | |
| F | F | T | T | T |
Tvískilyrðing er aðeins sönn þegar báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Annars er hún ósönn. Skrifaðu S ef 𝑝 → 𝑞 p → q og 𝑞 → ∼ 𝑝 q → ∼ p hafa sama sanngildi. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | |||
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Yrðingarnar eru jafngildar því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
𝑝
→
𝑞
p
→
q
er rökfræðilega jafngild
~
𝑞
→
~
𝑝
.
~
q
→
~
p
.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ~ p | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | T | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
Búðu til sannleikstöflu fyrir tvískilyrðingu þar sem fyrri yrðingin er forliður og sú síðari bakliður.
Ef síðasti dálkur sannleikstöflunnar er sannur í hverri röð eru yrðingarnar rökfræðilega jafngildar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 p ∨ ∼ q | ||
| T | T | ||||
| T | F | ||||
| F | T | ||||
| F | F |
Skilyrðing er aðeins ósönn þegar forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn. Annars er hún sönn. Skrifaðu Ó þegar 𝑝 p er sönn og 𝑞 q ósönn. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 p ∨ ∼ q | ||
| T | T | T | |||
| T | F | F | |||
| F | T | T | |||
| F | F | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑞 q.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 p ∨ ∼ q | ||
| T | T | T | F | ||
| T | F | F | T | ||
| F | T | T | F | ||
| F | F | T | T |
Mistenging er aðeins ósönn þegar báðar yrðingarnar eru ósannar. Annars er hún sönn. Skrifaðu Ó ef bæði 𝑝 p og ∼ 𝑞 ∼ q eru ósannar. Annars skrifarðu S. Dálkarnir eru feitletraðir til að auðvelda samanburð.
| 𝑞 q | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 p ∨ ∼ q | |||
| T | T | T | F | T | |
| T | F | F | T | T | |
| F | T | T | F | F | |
| F | F | T | T | T |
Tvískilyrðing er aðeins sönn ef báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Annars er hún ósönn. Skrifaðu S ef bæði 𝑝 → 𝑞 p → q og 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 p ∨ ∼ q eru sannar. Ef þær eru ólíkar skrifarðu Ó. Dálkarnir eru feitletraðir til að auðvelda samanburð.
| 𝑞 q | ∼ 𝑞 ∼ q | 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 p ∨ ∼ q | |||
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Yrðingarnar eru ekki jafngildar því síðasti dálkurinn er ekki alltaf sannur.
𝑝
→
𝑞
p
→
q
er ekki rökfræðilega jafngild
𝑝
∨
~
𝑞
.
p
∨
~
q
.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ~ 𝑞 ~ q | 𝑝 ∨ ~ q p ∨ ~ q | ||
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
2.23
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Elvis Presley klæddist skikkjum.
𝑞 q: Sumar ofurhetjur klæðast skikkjum.
Táknið er skilyrðingartengið og er þýtt „ef … þá“ eða „leiðir af sér“.
| 𝑝 p | → → | 𝑞 q | |
| Ef | Elvis Presley klæddist skikkjum, | þá | klæðast sumar ofurhetjur skikkjum. |
Ef Elvis Presley klæddist skikkjum, þá klæðast sumar ofurhetjur skikkjum.
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Elvis Presley klæddist skikkjum.
𝑞 q: Sumar ofurhetjur klæðast skikkjum.
Umhverfa 𝑝 → 𝑞 p → q er 𝑞 → 𝑝 q → p.
Táknið er skilyrðingartengið og er þýtt „ef … þá“ eða „leiðir af sér“.
| 𝑞 q | → → | 𝑝 p | |
| Ef | sumar ofurhetjur klæðast skikkjum, | þá | Elvis Presley klæddist skikkjum. |
Ef sumar ofurhetjur klæðast skikkjum, þá klæddist Elvis Presley skikkjum.
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Elvis Presley klæddist skikkjum.
𝑞 q: Sumar ofurhetjur klæðast skikkjum.
Andhverfa 𝑝 → 𝑞 p → q er ∼ 𝑝 → ∼ 𝑞 ∼ p → ∼ q.
Táknið er skilyrðingartengið og er þýtt „ef … þá“ eða „leiðir af sér“.
Neitunartáknið ( ∼ ) ( ∼ ) er þýtt „ekki“.
Yrðingu á forminu „Sum …“ er neitað með „Engin …“
| ∼ 𝑝 ∼ p | → → | ∼ 𝑞 ∼ q | |
| Ef | Elvis Presley klæddist ekki skikkjum, | þá | engar ofurhetjur klæðast skikkjum. |
Ef Elvis Presley klæddist ekki skikkjum, þá klæðast engar ofurhetjur skikkjum.
Gefnar yrðingar:
𝑝 p: Elvis Presley klæddist skikkjum.
𝑞 q: Sumar ofurhetjur klæðast skikkjum.
Gagnumhverfa 𝑝 → 𝑞 p → q er ∼ 𝑞 → ∼ 𝑝 ∼ q → ∼ p.
Táknið er skilyrðingartengið og er þýtt „ef … þá“ eða „leiðir af sér“.
Neitunartáknið ( ∼ ) ( ∼ ) er þýtt „ekki“.
Yrðingu á forminu „Sum …“ er neitað með „Engin …“
| – 𝑞 – q | → → | – 𝑝 – p | |
| Ef | engar ofurhetjur klæðast skikkjum, | þá | Elvis Presley klæddist ekki skikkjum. |
Ef engar ofurhetjur klæðast skikkjum, þá klæddist Elvis Presley ekki skikkjum.
2.24
𝑝
p
: Dora er landkönnuður.
𝑞
q
: Boots er api.
Upphaflega yrðingin:
Ef Dora er landkönnuður, þá er Boots api.
𝑝 p: Dora er landkönnuður.
𝑞 q: Boots er api.
Táknrænt er upphaflega yrðingin 𝑝 → 𝑞 p → q.
Nýja yrðingin:
Ef Dora er ekki landkönnuður, þá er Boots ekki api.
Táknrænt er nýja yrðingin ∼ 𝑝 → ∼ 𝑞 ∼ p → ∼ q.
Þetta er andhverfa upphaflegu yrðingarinnar. Andhverfan neitar hvorri yrðingu en breytir ekki röðinni.
Andhverfa
Upphaflega yrðingin:
Ef Dora er landkönnuður, þá er Boots api.
𝑝 p: Dora er landkönnuður.
𝑞 q: Boots er api.
Táknrænt er upphaflega yrðingin 𝑝 → 𝑞 p → q.
Nýja yrðingin:
Ef Boots er api, þá er Dora landkönnuður.
Táknrænt er nýja yrðingin 𝑞 → 𝑝 q → p.
Þetta er umhverfa upphaflegu yrðingarinnar. Umhverfa snýr röð upphaflegu yrðingarinnar við.
Umhverfa
Andhverfan og umhverfan eru jafngildar. Til að sýna að tvær yrðingar séu rökfræðilega jafngildar er búin til sannleikstafla fyrir tvískilyrðingu þar sem fyrri yrðingin er forliður (andhverfan, ∼ 𝑝 → ∼ 𝑞 ) ∼ p → ∼ q ) og sú síðari bakliður (umhverfan, 𝑞 → 𝑝 q → p ). Ef síðasti dálkurinn er alltaf sannur eru yrðingarnar jafngildar.
| 𝑝 p | 𝑞 q | ∼ 𝑝 ∼ p | ∼ 𝑞 ∼ q | |||
| T | T | F | F | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | F | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
Andhverfan og umhverfan eru jafngildar því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
Umhverfa
2.25
Umhverfa 𝑝 → 𝑞 p → q er 𝑞 → 𝑝 q → p.
Upphaflega yrðingin er: „Ef vinur minn býr í San Francisco, þá býr vinur minn ekki í Kaliforníu.“
Umhverfan víxlar röðinni.
Umhverfa með orðum: Ef vinur minn býr ekki í Kaliforníu, þá býr vinur minn í San Francisco.
Skilyrðing er aðeins ósönn ef forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn.
Til að upphaflega skilyrðingin 𝑝 → 𝑞 p → q sé ósönn þarf 𝑝 p að vera sönn og 𝑞 q ósönn.
Skoðaðu nú umhverfuna, 𝑞 → 𝑝 q → p. Forsendan, 𝑞 q, er ósönn og því er umhverfan sönn.
Ef vinur minn býr ekki í Kaliforníu, þá býr vinur minn í San Francisco. Satt.
Andhverfa 𝑝 → 𝑞 p → q er ∼ 𝑝 → ∼ 𝑞 ∼ p → ∼ q.
Upphaflega yrðingin er: „Ef vinur minn býr í San Francisco, þá býr vinur minn ekki í Kaliforníu.“
Andhverfan neitar hvorum hluta án þess að breyta röðinni.
Andhverfa með orðum: Ef vinur minn býr ekki í San Francisco, þá býr vinur minn í Kaliforníu.
Skilyrðing er aðeins ósönn ef forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn.
Til að upphaflega skilyrðingin 𝑝 → 𝑞 p → q sé ósönn þarf 𝑝 p að vera sönn og 𝑞 q ósönn.
Skoðaðu nú andhverfuna, ∼ 𝑝 → ∼ 𝑞 ∼ p → ∼ q. Forsendan, ∼ 𝑝 ∼ p, er ósönn og því er andhverfan sönn.
Ef vinur minn býr ekki í San Francisco, þá býr vinur minn í Kaliforníu. Satt.
Gagnumhverfa 𝑝 → 𝑞 p → q er ∼ 𝑞 → ∼ 𝑝 ∼ q → ∼ p.
Upphaflega yrðingin er: „Ef vinur minn býr í San Francisco, þá býr vinur minn ekki í Kaliforníu.“
Gagnumhverfan víxlar röðinni og neitar hvorum hluta.
Gagnumhverfa með orðum: Ef vinur minn býr í Kaliforníu, þá býr vinur minn ekki í San Francisco.
Skilyrðing er aðeins ósönn ef forsendan er sönn og niðurstaðan ósönn.
Til að upphaflega skilyrðingin 𝑝 → 𝑞 p → q sé ósönn þarf 𝑝 p að vera sönn og 𝑞 q ósönn.
Skoðaðu nú gagnumhverfuna, ∼ 𝑞 → ∼ 𝑝 ∼ q → ∼ p. Forsendan, ∼ 𝑞 ∼ q, er sönn en niðurstaðan, ∼ 𝑝 ∼ p, ósönn. Því er gagnumhverfan ósönn.
Ef vinur minn býr í Kaliforníu, þá býr vinur minn ekki í San Francisco. Ósatt.
2.26
𝑝 ∨ 𝑞 ≡ p ∨ q ≡ Jackie lék mjúkbolta eða hljóp á hlaupabraut
𝑝: p: Jackie lék mjúkbolta.
𝑞: q: Jackie hljóp á hlaupabraut.
Neitanir:
~ 𝑝: ~ p: Jackie lék ekki mjúkbolta.
~ 𝑞: ~ q: Jackie hljóp ekki á hlaupabraut.
Notaðu reglu De Morgans:
Neitunin ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) er jafngild ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q.
Jackie lék ekki mjúkbolta og hljóp ekki á hlaupabraut.
Jackie lék ekki mjúkbolta og hljóp ekki á hlaupabraut.
𝑝 ∧ 𝑞 = p ∧ q = Brandon lærði fyrir vottunarprófið sitt og stóðst prófið.
𝑝: p: Brandon lærði fyrir vottunarprófið sitt.
𝑞: q: Brandon stóðst prófið.
Neitanir:
~ 𝑝: ~ p: Brandon lærði ekki fyrir vottunarprófið sitt.
~ 𝑞: ~ q: Brandon stóðst ekki prófið.
Notaðu reglu De Morgans:
Brandon lærði ekki fyrir vottunarprófið sitt eða stóðst ekki prófið.
Brandon lærði ekki fyrir vottunarprófið sitt eða stóðst ekki prófið.
2.27
𝑝 → 𝑞: p → q: Ef Edna Mode býr til nýjan ofurhetjubúning, þá verður hann ekki með skikkju.
𝑝: p: Edna Mode býr til nýjan ofurhetjubúning.
𝑞: q: Búningurinn er ekki með skikkju.
Neitun:
~ 𝑞: ~ q: Búningurinn er með skikkju.
Neitun skilyrðingar er samtenging 𝑝 p og ekki 𝑞 q.
Edna Mode býr til nýjan ofurhetjubúning og búningurinn er með skikkju.
Edna Mode bjó til nýjan ofurhetjubúning sem er með skikkju.
𝑝 → 𝑞: p → q: Ef ég borðaði pönnukökur í morgunmat, þá notaði ég hlynsíróp.
𝑝: p: Ég borðaði pönnukökur í morgunmat.
𝑞: q: Ég notaði hlynsíróp.
Neitun:
~ 𝑞: ~ q: Ég notaði ekki hlynsíróp.
Neitun skilyrðingar er samtenging 𝑝 p og ekki 𝑞 q.
Ég borðaði pönnukökur í morgunmat og notaði ekki hlynsíróp.
Ég borðaði pönnukökur í morgunmat og notaði ekki hlynsíróp.
2.28
𝑝 → 𝑞: p → q: Ef sumum líkar ís, þá hagnast ísframleiðendur.
𝑝: p: Sumum líkar ís.
𝑞: q: Ísframleiðendur hagnast.
Neitun:
~ 𝑞: ~ q: Ísframleiðendur hagnast ekki.
Neitun skilyrðingar er samtenging 𝑝 p og ekki 𝑞 q.
Sumum líkar ís og ísframleiðendur hagnast ekki.
Sumum líkar ís en ísframleiðendur hagnast ekki.
𝑝 → 𝑞: p → q: Ef Racquel getur ekki spilað tölvuleiki, þá spilar enginn tölvuleiki.
𝑝: p: Racquel getur ekki spilað tölvuleiki.
𝑞: q: Enginn spilar tölvuleiki.
Neitun:
Neitun yrðingar á forminu „Enginn …“ er yrðing á forminu „Einhver …“
~ 𝑞: ~ q: Einhver spilar tölvuleiki.
Neitun skilyrðingar er samtenging 𝑝 p og ekki 𝑞 q.
Racquel getur ekki spilað tölvuleiki en einhver spilar tölvuleiki.
Raquel getur ekki spilað tölvuleiki en einhver spilar tölvuleiki.
2.29
Eric þarf að skipta um ljósaperu, Marcos lét ljósaperuna ekki loga alla nóttina og Dan braut hana ekki.
𝑝 → 𝑞: p → q: Ef Eric þarf að skipta um ljósaperu, þá lét Marcus ljósið loga alla nóttina eða Dan braut peruna.
𝑝: p: Eric þarf að skipta um ljósaperu.
𝑞: q: Marcus lét ljósið loga alla nóttina eða Dan braut peruna.
Neitun:
Notaðu reglu De Morgans til að rita neitun 𝑞: ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ≡ ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 q: ~ ( p ∨ q ) ≡ ~ p ∧ ~ q
~ 𝑞: ~ q: Marcus lét ljósið ekki loga alla nóttina og Dan braut ekki peruna.
Neitun skilyrðingar er samtenging 𝑝 p og ekki 𝑞 q.
Eric þarf að skipta um ljósaperu en Marcus lét ljósið ekki loga alla nóttina og Dan braut ekki peruna.
Trenton fór í skólann, Regina fór í vinnuna og Merika þreif ekki húsið.
𝑝 → 𝑞: p → q: Ef Trenton fór í skólann og Regina fór í vinnuna, þá þreif Merika húsið.
𝑝: p: Trenton fór í skólann og Regina fór í vinnuna.
𝑞: q: Merika þreif húsið.
Neitun:
~ 𝑞: ~ q: Merika þreif ekki húsið.
Upphaflega setningin er skilyrðing.
Neitun skilyrðingar er samtenging 𝑝 p og ekki 𝑞 q.
Ekki þarf að nota reglu De Morgans því 𝑝 p er ekki neitað.
Trenton fór í skólann og Regina fór í vinnuna, en Merika þreif ekki húsið.
2.30
Jafngildið er gilt ef síðasti dálkurinn er allur sannur.
Yrðingarnar eru tvær og því þarf fjórar raðir mögulegra sanngilda.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | ||||||
| T | F | ||||||
| F | T | ||||||
| F | F |
Dálkarnir eru feitletraðir til að auðvelda samanburð.
Mistenging er aðeins ósönn ef báðar yrðingarnar eru ósannar. Skrifaðu Ó ef bæði 𝑝 p og 𝑞 q eru ósannar. Annars skrifarðu S.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | T | |||||
| T | F | T | |||||
| F | T | T | |||||
| F | F | F |
Skrifaðu andstæðu fyrri dálksins.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | T | F | ||||
| T | F | T | F | ||||
| F | T | T | F | ||||
| F | F | F | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑝 p.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | |||
| T | F | T | F | F | |||
| F | T | T | F | T | |||
| F | F | F | T | T |
Skrifaðu andstæðu 𝑞 q.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | F | ||
| T | F | T | F | F | T | ||
| F | T | T | F | T | F | ||
| F | F | F | T | T | T |
Samtenging er aðeins sönn ef báðar yrðingarnar eru sannar. Skrifaðu S ef bæði ~ 𝑝 ~ p og ~ 𝑞 ~ q eru sannar. Annars skrifarðu Ó.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | F | F | |
| T | F | T | F | F | T | F | |
| F | T | T | F | T | F | F | |
| F | F | F | T | T | T | T |
Tvískilyrðing er sönn þegar báðar yrðingarnar hafa sama sanngildi. Skrifaðu S ef ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) og ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ( ~ p ∧ ~ q ) hafa sama sanngildi, en Ó ef sanngildin eru ólík.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
| T | T | T | F | F | F | F | T |
| T | F | T | F | F | T | F | T |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
Yrðingarnar eru jafngildar því síðasti dálkurinn er alltaf sannur.
| 𝑝 p | 𝑞 q | 𝑝 ∨ 𝑞 p ∨ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) | ~ 𝑝 ~ p | ~ 𝑞 ~ q | ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ~ p ∧ ~ q | ~ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ( ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ) ~ ( p ∨ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F | T |
| T | F | T | F | F | T | F | T |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
2.31
| Aðgreiningarreglan | ||
| Forsenda: | Ef bekkjarfélögum mínum líkar sagnfræði, þá líkar einhverjum sagnfræði. | |
| Forsenda: | 𝑝 p | Bekkjarfélögum mínum líkar sagnfræði. |
| Niðurstaða: | ∴ 𝑞 ∴ q | Einhverjum líkar sagnfræði. |
Einhverjum líkar sagnfræði.
| Aðgreiningarreglan | ||
| Forsenda: | Ef þér líkar ekki að lesa, þá líkar sumum ekki lestur. | |
| Forsenda: | 𝑝 p | Þér líkar ekki að lesa. |
| Niðurstaða: | ∴ 𝑞 ∴ q | Sumum líkar ekki lestur. |
Sumum líkar ekki lestur.
| Aðgreiningarreglan | ||
| Forsenda: | Ef marghyrningurinn hefur fimm hliðar, þá er hann ekki átthyrningur. | |
| Forsenda: | 𝑝 p | Marghyrningurinn hefur fimm hliðar. |
| Niðurstaða: | ∴ 𝑞 ∴ q | Hann er ekki átthyrningur. |
Marghyrningurinn er ekki átthyrningur.
2.32
Neitun yrðingar á forminu „Sum …“ er yrðing á forminu „Engin …“
| Reglan um neitun bakliðar | ||
| Forsenda: | Ef bekkjarfélaga mínum líkar sagnfræði, þá líkar einhverjum sagnfræði. | |
| Forsenda: | ~ 𝑞 ~ q | Engum líkar sagnfræði. |
| Niðurstaða: | ∴ ~ 𝑝 ∴ ~ p | Bekkjarfélaga mínum líkar ekki sagnfræði. |
Bekkjarfélaga mínum líkar ekki sagnfræði.
Neitun yrðingar á forminu „Allir …“ er yrðing á forminu „Sumir … ekki …“
| Reglan um neitun bakliðar | ||
| Forsenda: | Ef Homer líkar ekki að lesa, þá líkar sumum ekki lestur. | |
| Forsenda: | ~ 𝑞 ~ q | Öllum líkar lestur. |
| Niðurstaða: | ∴ ~ 𝑝 ∴ ~ p | Homer líkar að lesa. |
Homer líkar lestur.
| Reglan um neitun bakliðar | ||
| Forsenda: | Ef marghyrningurinn hefur fimm hliðar, þá er hann ekki átthyrningur. | |
| Forsenda: | ~ 𝑞 ~ q | Marghyrningurinn er átthyrningur. |
| Niðurstaða: | ∴ ~ 𝑝 ∴ ~ p | Marghyrningurinn hefur ekki fimm hliðar. |
Marghyrningurinn hefur ekki fimm hliðar.
2.33
| Keðjuregla skilyrðinga | ||
| Forsenda: | Ef herbergisfélagi minn fer ekki í vinnuna, þá fær hann ekki greitt. | |
| Forsenda: | Ef herbergisfélagi minn fær ekki greitt, þá getur hann ekki greitt reikningana sína. | |
| Niðurstaða: | Ef herbergisfélagi minn fer ekki í vinnuna, þá getur hann ekki greitt reikningana sína. |
Ef herbergisfélagi minn fer ekki í vinnuna, þá getur hann ekki greitt reikningana sína.
| Keðjuregla skilyrðinga | ||
| Forsenda: | Ef mörgæsir geta ekki flogið, þá geta sumir fuglar ekki flogið. | |
| Forsenda: | Ef sumir fuglar geta ekki flogið, þá horfum við á fréttirnar. | |
| Niðurstaða: | Ef mörgæsir geta ekki flogið, þá horfum við á fréttirnar. |
Ef mörgæsir geta ekki flogið, þá horfum við á fréttirnar.
| Keðjuregla skilyrðinga | ||
| Forsenda: | Ef Marcy fer í bíó, þá kaupir hún popp. | |
| Forsenda: | Ef Marcy kaupir popp, þá kaupir hún vatn. | |
| Niðurstaða: | Ef Marcy fer í bíó, þá kaupir hún vatn. |
Ef Marcy fer í bíó, þá kaupir hún vatn.
Athugaðu skilning þinn
Rökfræðileg yrðing er heil setning sem setur fram fullyrðingu sem getur verið annaðhvort sönn eða ósönn. Spurningar og skipanir geta ekki verið rökfræðilegar yrðingar. Skoðanir eru ekki rökfræðilegar yrðingar.
rökfræðileg yrðing
Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi. Ef upphaflega yrðingin er sönn er neitunin ósönn. Ef upphaflega yrðingin er ósönn er neitunin sönn.
neitun
~
𝑝
~
p
Neitun neitunar er upphaflega yrðingin.
Rökfræðileg yrðing sem styður niðurstöðu rökfærslu kallast forsenda. Forsendur geta verið margar.
forsendur
Tilleiðslurökfærsla leitast við að draga almenna niðurstöðu af sértækum forsendum. Hún getur verið sterk eða veik eftir því hversu vel forsendurnar eiga við.
Tilleiðsla
magnarar
Sumir gíraffar eru ekki hávaxnir.
samsett yrðing
setningatengi
tvískilyrðing, ↔ ↔
Svigar, ( ) ( )
Samtenging, ∧ ∧; mistenging, ∨ ∨ (í hvorri röð sem er)
Rökfræðileg rökfærsla er gild ef niðurstaðan leiðir af forsendunum. Gildið ræðst ekki af því hvort forsendurnar eru sannar eða ósannar.
gild
satt
sannleikstafla
Sannleikstafla tveggja yrðinga hefur fjórar raðir sanngilda.
Almenna reglan er að fyrir n yrðingar eru 2 𝑛 2 n raðir í sannleikstöflunni.
fjórar
Sannleikstafla einnar yrðingar hefur tvær raðir sanngilda.
Almenna reglan er að fyrir n yrðingar eru 2 𝑛 2 n raðir í sannleikstöflunni.
tvær
einhliða samningur
niðurstaða
Ef forliður skilyrðingar er ósannur er skilyrðingin sönn. Ósannur forliður getur haft annaðhvort sannan eða ósannan baklið. Í báðum tilvikum er skilyrðingin sönn.
forliður
tvískilyrðing
tvískilyrðing
satt
alltaf sönn, gild eða sísanna.
skilyrðing
rökfræðilega jafngild
andhverfa
umhverfa, andhverfa
~
𝑝
∨
~
𝑞
~
p
∨
~
q
~
𝑝
∧
~
𝑞
~
p
∧
~
q
𝑝
∧
~
𝑞
p
∧
~
q
Reglur De Morgans
forsenda
Rökfærsla er gild ef niðurstaðan leiðir af forsendunum. Gildið ræðst ekki af því hvort forsendurnar eru sannar.
gild
tilleiðsla
afleiðsla
rökvilla
traust