8.8 Punktarit, fylgni og aðhvarfslínur

Með tölfræðilegri aðhvarfsgreiningu má finna þá formúlu sem spáir best fyrir um lokaprófseinkunn út frá miðannarprófseinkunn nemandans og jafnframt mæla hve traust spáin er. Í þessum hluta lærum við að nota aðhvarf til slíkra spáa. Fyrst þurfum við þó að leggja myndrænan grunn.

Áður en við metum tengsl tveggja gagnasafna þurfum við að ákveða hvort annað þeirra kunni að ráðast af hinu. Í prófadæminu er rétt að segja að lokaprófseinkunnin ráðist af miðannarprófseinkunninni en ekki öfugt: ef miðannareinkunnin réðist af lokaeinkunninni þyrftum við fyrst að vita lokaeinkunnina, sem gengur ekki upp.

Punktarit sýnir tengsl tveggja megindlegra gagnasafna. Gagnasöfnunum er breytt í röðuð pör: fyrra hnitið er gagnagildi úr safni skýribreytunnar og síðara hnitið samsvarandi gagnagildi úr safni svarbreytunnar. Röðuðu pörin eru síðan merkt í $\mathit{xy}$-hnitakerfi. Skoðum prófadæmið aftur og beitum þessu þar.

Punktarit veita upplýsingar um hvort tengsl séu milli tveggja gagnasafna og hve sterk þau eru. Til að greina þessar upplýsingar getum við spurt nokkurra spurninga. Fyrst spyrjum við: Er sveigt mynstur í gögnunum? Ef svarið er já getum við stöðvað; engin þeirra línulegu aðhvarfsaðferða sem fjallað er um hér til loka hlutans á við. Myndir 8.71 og 8.74 sýna nokkur punktarit sem hjálpa okkur að greina slík sveigð mynstur.

Þegar við höfum staðfest að ekkert sveigt mynstur sé í gögnunum getum við spurt næstu spurningar: Eru tengslin línuleg? Til að svara henni skoðum við mismunandi gildi skýribreytunnar og metum hvort samsvarandi gildi svarbreytunnar séu ólík að meðaltali. Mikilvægt er að skoða meðaltalið því punktaritið sýnir almennt fleiri en eitt gildi svarbreytunnar fyrir hvert gildi skýribreytunnar. Við leitum því að miðju punktanna. Skoðum mynd 8.74 aftur, veljum nokkur önnur gildi skýribreytunnar og auðkennum punkta með $x$-gildi nálægt 50 og 80:

Þegar við höfum staðfest að tengsl séu þess virði að kanna getum við farið að mæla þau. Tvö gagnasöfn hafa jákvæð línuleg tengsl ef gildi svarbreytunnar hækka að meðaltali þegar gildi skýribreytunnar hækka. Ef gildi svarbreytunnar lækka þegar gildi skýribreytunnar hækka eru línulegu tengsl gagnasafnanna neikvæð. Styrkur tengslanna ræðst af því hve vel punktaritið fylgir einni beinni línu: því nær sem punktarnir eru línunni, þeim mun sterkari eru tengslin. Punktaritin á myndum 8.74–8.80 sýna línuleg tengsl af mismunandi styrk og stefnu.

Styrk og stefnu, jákvæða eða neikvæða, línulegra tengsla má einnig mæla með stærð sem nefnist fylgnistuðull og er táknuð með $r$. Jákvæð gildi $r$ sýna jákvæð tengsl en neikvæð gildi $r$ neikvæð tengsl. Gildi $r$ nærri 0 sýna veik tengsl en gildi nærri $\pm 1$ mjög sterk tengsl. Á mynd 8.74 til myndar 8.80 eru fylgnistuðlarnir, í sömu röð, −1, −0,97, −0,55, −0,03, 0,61, 0,97 og 1.

Engin föst regla tilgreinir hvaða gildi $r$ skilur sterk tengsl frá veikum, en $\pm 0.7$ er oft notað sem viðmið. Tengslin eru þá sterk ef $r>0.7$ eða $r<-0.7$ en veik ef $-0.7<r<0.7$.

Formúlan til að reikna $r$ er mjög flókin og útreikningurinn er nær aldrei gerður án tækni. Fallið CORREL í Google Sheets reiknar fylgnistuðulinn. Ef gildi skýribreytunnar eru í reitum A2 til A50 og samsvarandi gildi svarbreytunnar í B2 til B50 fæst stuðullinn með „=CORREL(A2:A50, B2:B50)“. Röðin skiptir ekki máli fyrir fylgnistuðla; „=CORREL(B2:B50, A2:A50)“ gefur sömu niðurstöðu.

Lokaskrefið í greiningu okkar á tengslum tveggja gagnasafna er að finna og nota jöfnu aðhvarfslínunnar. Fyrir tiltekin skýri- og svargögn er aðhvarfslínan, einnig nefnd aðhvarfslína minnstu ferninga eða besta lína, sú lína sem nálgar gögnin best.

Hvað merkir að tiltekin lína nálgi gögnin „best“? Tæknileg skilgreining tölfræðinga á bestu línunni er þessi. Ímyndum okkur línu sem virðist nálga gögnin nokkuð vel. Flestir punktar punktaritsins liggja líklega ekki nákvæmlega á línunni; lóðrétt fjarlægð punkts ofan eða neðan hennar nefnist leif punktsins. Reikna má leifar allra punkta ritsins. Ef allar leifarnar eru settar í annað veldi og niðurstöðurnar lagðar saman fæst summa kvaðraðra skekkja línunnar. Heitið lýsir útreikningnum: um summu er að ræða vegna þess að lagt er saman, kvaðraða vegna þess að stærðirnar eru settar í annað veldi og skekkjur er annað heiti á leifum. Sú lína er valin best sem hefur minnstu mögulegu summu kvaðraðra skekkja. Lágmörkunin skýrir orðið „minnstu“ í heitinu aðhvarfslína minnstu ferninga og ferningsveldin skýra orðið „ferninga“. Þetta er mjög líkt leiknum sem kynnti meðaltalið. Bæði aðhvarfslínan og meðaltalið eru skilgreind þannig að þau lágmarki summu kvaðraðra skekkja. Þar með lýkur tæknilega hlutanum.

Aðhvarfslínan hefur tvo eiginleika sem nýtast til að finna jöfnu hennar. Í fyrsta lagi liggur hún alltaf um meðaltalspunktinn. Ef $\overline{x}$ og $\overline{y}$ eru meðaltöl skýri- og svargagnanna er meðaltalspunkturinn $(\overline{x},\overline{y})$. Við notum hann sem punktinn í punkthallaforminu. Í öðru lagi, ef $s_x$ og $s_y$ eru staðalfrávik skýri- og svargagnanna og $r$ er fylgnistuðullinn, er hallatalan $m=r\times \frac{s_y}{s_x}$. Þegar þetta er sett inn í punkthallaformið fæst eftirfarandi:

Við getum notað jöfnu aðhvarfslínunnar til að spá gildi svarbreytunnar $y$ fyrir tiltekið gildi skýribreytunnar $x$. Við setjum einfaldlega gildi skýribreytunnar inn í formúluna og athugum hvaða gildi svarbreytunnar fæst. Þetta nýtist á tvo vegu. Í fyrsta lagi má áætla óþekkt gagnagildi, til dæmis gildi sem hefur ekki enn verið mælt. Í öðru lagi má meta frammistöðu með því að spá niðurstöðu út frá tilteknum atburði. Í dæmi 8.45 gerðum við punktarit af lokaprófseinkunnum á móti miðannarprófseinkunnum með eftirfarandi gögnum:

Jafna aðhvarfslínunnar er $y=0.687x+27.4$, þar sem $y$ er lokaprófseinkunnin og $x$ miðannarprófseinkunnin. Ef Frank fékk 85 á miðannarprófinu er spáin fyrir lokaprófseinkunn hans $0.687\times 85+27.4=85.795$. Til að meta frammistöðu með aðhvarfslínunni notum við gagnagildi sem þegar hefur verið mælt. Allison fékk til dæmis 88 á miðannarprófinu. Línan spáir að nemandi með 88 þar fái $0.687\times 88+27.4=87.856$ á lokaprófinu. Allison fékk í raun 84 og var því nær fjórum stigum undir spá $(87.856-84)$.

Önnur notkun jöfnu aðhvarfslínunnar er að túlka hallatölu hennar til að lýsa tengslum skýri- og svargagnanna. Í prófadæminu hér á undan er hallatalan 0,687. Hallatölu línu má reikna með því að finna tvo punkta á línunni og deila mismun $y$-gilda þeirra með mismun $x$-gildanna. Hallatöluna má því túlka sem $0.687=\frac{\text{munur lokaprófseinkunna}}{\text{munur miðannarprófseinkunna}}$. Þegar báðar hliðar eru margfaldaðar með nefnaranum fæst $0.687\times \text{munur miðannarprófseinkunna}=\text{munur lokaprófseinkunna}$. Eins stigs hækkun á miðannarprófi samsvarar því spáðri hækkun um 0,687 stig á lokaprófi. Tíu stiga lækkun á miðannarprófi gefur spá um 6,87 stiga lækkun á lokaprófi. Almennt gefur hallatalan spáða breytingu svarbreytunnar sem samsvarar einnar einingar hækkun skýribreytunnar.

Ein algengasta rökvillan í tölfræði varðar tengsl tveggja gagnasafna. Í gagnasafninu „Public“ er fylgnistuðullinn milli 75. prósentumarks SAT-stærðfræðieinkunnar og 75. prósentumarks SAT-máleinkunnar 0,92, sem sýnir mjög sterk tengsl. Hallatala aðhvarfslínunnar sem spáir máleinkunn út frá stærðfræðieinkunn er 0,729. Hana mætti túlka þannig: Ef 75. prósentumark SAT-stærðfræðieinkunnar hækkar um 10 stig er spáð að samsvarandi SAT-máleinkunn hækki um rúmlega 7 stig.

Veldur hækkun stærðfræðieinkunnar hækkun máleinkunnar? Líklega ekki. Í raun hefur þriðja breyta áhrif á þær báðar: til að hækka SAT-stærðfræðieinkunnina um 10 stig ræður skóli inn nemendur sem standa sig almennt betur á SAT-prófinu og þeir hafa eðlilega einnig hærri SAT-máleinkunnir. Þriðja breytan nefnist stundum dulin breyta eða truflandi breyta. Ekki má álykta að eitt valdi öðru nema allar mögulegar duldar breytur hafi verið útilokaðar.