Mynd 8.32. Samhverfar, bjöllulaga dreifingar koma af sjálfu sér fyrir við margvíslegar aðstæður, meðal annars í myntköstum.
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
lýst einkennum normaldreifingar.
beitt 68–95–99,7-reglunni á normaldreifð gagnasöfn.
notað normaldreifingu til að reikna -gildi.
fundið og túlkað prósentu- og fjórðungamörk.
Mörg gagnasöfn sem verða til vegna náttúrufyrirbæra hafa samhverf og bjöllulaga stuðlarit. Ímyndaðu þér að þú hafir nægan tíma en ekkert þér til afþreyingar nema mynt, blýant og blað. Þú kastar myntinni 100 sinnum og skráir fjölda skjaldamerkja. Þar sem þú hefur ekkert annað að gera endurtekurðu tilraunina þar til loturnar eru orðnar tíu. Tölvuhermun þessara tilrauna gefur til dæmis eftirfarandi fjölda skjaldamerkja í hverri lotu:
54, 51, 40, 42, 53, 50, 52, 52, 47, 54
Eðlilegt er að búast við um 50 skjaldamerkjum í 100 teningum en ekki nákvæmlega 50 í hvert sinn. Niðurstöðurnar eru einmitt yfirleitt nálægt 50 án þess að vera alltaf 50.
Stefnt að normaldreifingu
Skoðum stuðlarit gagnasafnsins í upphafi hlutans:
Þetta er áhugavert en gögnin eru fremur strjál. Engin lota gaf til dæmis 43 til 47 skjaldamerki. Slíkar niðurstöður eru ekki ómögulegar; loturnar voru einfaldlega of fáar til að þær kæmu fram. Endurtökum því tilraunina 100 sinnum og köstum myntinni 100 sinnum í hverri lotu. Í stað þess að skoða allar 100 niðurstöðurnar, sem gæti orðið yfirþyrmandi, birtum við þær í stuðlariti.
Stuðlaritið sýnir að flestar lotur gáfu um 44 til 56 skjaldamerki. Sumar niðurstöður voru óvenjulegri: ein lota gaf 70 skjaldamerki, sem virðist mjög ólíklegt þótt það sé mögulegt. Nú sést dreifingin betur en fleiri gögn myndu hjálpa. Hermum 900 lotur til viðbótar og bætum þeim við stuðlaritið.
Niðurstaðan 70 er enn mjög óvenjuleg, þótt önnur lota hafi nálgast hana með 68 skjaldamerkjum. Dreifingin verður skýrari og virðist samhverf og bjöllulaga. Rekum nú hugsunartilraunina til hins ýtrasta með 10.000 lotum.
Dreifingin er nú skýr. Samhverfar, bjöllulaga dreifingar koma víða fyrir í náttúrunni, til dæmis í hæð fólks í þýði, ummáli eggja tiltekinnar fuglategundar og fjölda laufa á fullvöxnum trjám tiltekinnar tegundar. Niðurstöður margra endurtekinna tilrauna fylgja einnig þessu mynstri, eins og myntkastatilraunin sýndi. Sú staðreynd er undirstaða mikils hluta tölfræðinnar og nefnist höfuðsetning tölfræðinnar.
Normaldreifing
Í myntkastadæminu var dreifing fjölda skjaldamerkja í 10.000 lotum nær fullkomlega samhverf og bjöllulaga:
Dreifingar af þessari lögun koma svo oft fyrir að þær hafa sérstakt heiti: normaldreifingar. Þeim má lýsa að fullu með tveimur stærðum sem við þekkjum, meðaltali og staðalfráviki gagnanna. Meðaltal er lýsistærð fyrir miðju og segir nákvæmlega hvar miðja normaldreifingar liggur. Hæsti punktur dreifingarinnar er við meðaltalið og vegna samhverfunnar er miðgildið þar einnig. Staðalfrávik er dreifnimæling og segir hve dreift stuðlaritið er. Skoðum dæmi.
Dæmi 8.31
Meðaltal normaldreifingar fundið
Grafið sýnir þrjár normaldreifingar. Hver eru meðaltöl þeirra?
Mynd 8.38. Mynd 8.38
Lausn
Skref 1: Skoðaðu ferlana þrjá. Meðaltal normaldreifingar er við hæsta punktinn og því leitum við að hæsta punkti hvers ferils. Drögum línu frá hverjum hæsta punkti niður að ásnum til að sjá staðsetninguna:
Mynd 8.39. Mynd 8.39
Skref 2: Hæsti punktur rauðu dreifingarinnar lengst til vinstri er yfir tölunni 1 á lárétta ásnum. Meðaltal hennar er því 1. Á sama hátt er meðaltal bláu dreifingarinnar í miðjunni 2 og gulu dreifingarinnar lengst til hægri 3.
Dæmi 8.32
Staðalfrávik normaldreifingar fundið
Grafið sýnir þrjár dreifingar sem allar hafa meðaltalið 2. Hver eru staðalfrávik þeirra?
Mynd 8.40. Mynd 8.40
Lausn
Skref 1: Það getur verið nokkuð vandasamt að lesa staðalfrávik af grafi. Einbeitum okkur að gula ferlinum, sem hefur lægsta toppinn:
Mynd 8.41. Mynd 8.41
Skref 2: Ferillinn er kúptur niður á miðjunni en kúptur upp til endanna. Rauði hlutinn er kúptur niður og sá græni upp:
Mynd 8.42. Mynd 8.42
Skref 3: Staðirnir þar sem ferillinn breytist úr því að vera kúptur upp í að vera kúptur niður, eða öfugt, nefnast vendipunktar. Drögum línu beint niður frá hverjum þeirra til að finna staðsetninguna:
Mynd 8.43. Mynd 8.43
Skref 4: Vendipunktarnir virðast vera við og en meðaltalið við , eins og strikalínan í miðjunni sýnir. Fjarlægðin frá meðaltalinu að hvorum vendipunkti er staðalfrávikið. Þar sem er staðalfrávik gulu dreifingarinnar 3.
Skref 5: Finndu fyrst vendipunkta hinna ferlanna tveggja:
Mynd 8.44. Mynd 8.44
Skref 6: Rauða dreifingin með hæsta toppinn hefur vendipunkta við 1 og 3 og meðaltalið 2. Staðalfrávik hennar er því . Bláa dreifingin með lægri topp hefur vendipunkta við 0 og 4 og meðaltalið 2. Staðalfrávik hennar er því 2.
Nýtum nú allt þetta til að greina óþekkta normaldreifingu.
Dæmi 8.33
Meðaltal og staðalfrávik normaldreifingar fundin
Finndu meðaltal og staðalfrávik normaldreifingarinnar út frá grafinu.
Mynd 8.45. Mynd 8.45
Lausn
Skref 1: Merktu hæsta punktinn og vendipunktana á grafið og dragðu línur frá þeim beint niður að ásnum:
Mynd 8.46. Mynd 8.46
Skref 2: Rauða línan í miðjunni sýnir að meðaltal dreifingarinnar er 55. Bláu ystu línurnar eru hvor um sig 3 einingum frá meðaltalinu, við 52 og 58, og staðalfrávikið er því 3.
Eiginleikar normaldreifingar: 68–95–99,7-reglan
Mikilvægasti eiginleiki normaldreifingar tengist staðalfrávikinu. Í fullkomlega normaldreifðu gagnasafni liggja 68% gagnagildanna innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu. Gerum til dæmis ráð fyrir normaldreifingu með meðaltalið 400 og staðalfrávikið 100. Þá liggja 68% gagnanna á milli 300, einu staðalfráviki neðan meðaltalsins: , og 500, einu staðalfráviki ofan meðaltalsins: . Skyggða svæðið á stuðlaritinu er 68% af flatarmálinu milli ferilsins og ássins:
Þar sem 68% flatarmálsins eru á skyggða svæðinu eru á óskyggðu svæðunum. Dreifingin er samhverf og því skiptast þessi 32% jafnt milli halanna tveggja, 16% í hvorn hala.
Raungögn eru að sjálfsögðu aldrei fullkomin. Þegar raunveruleg gögn virðast hafa samhverfa, bjöllulaga dreifingu segjum við því að um það bil 68% þeirra liggi innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu.
Regluna fyrir eitt staðalfrávik má útvíkka yfir í tvö. Um það bil 95% normaldreifðs gagnasafns liggja innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Ef meðaltalið er 400 og staðalfrávikið 100 liggja 95% gagnanna á milli 200, tveimur staðalfrávikum neðan meðaltalsins: , og 600, tveimur staðalfrávikum ofan meðaltalsins: . Þetta má sýna með eftirfarandi stuðlariti:
Þar sem 95% gagnanna eru á skyggða svæðinu eru 5% eftir í óskyggðu hölunum. Vegna samhverfunnar er helmingur þeirra, 2,5%, í hvorum hala.
Ganga má skrefi lengra: 99,7% normaldreifðra gagna liggja innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Í dæminu liggja 99,7% gagnanna á milli 100, reiknað sem , og 700, reiknað sem . Þetta sést á stuðlaritinu, þótt óskyggðu halarnir séu vart sjáanlegir.
Þessi niðurstaða nefnist 68–95–99,7-reglan.
Dæmi 8.34
Prósentuhlutföll fundin með 68–95–99,7-reglunni
Ef gögn eru normaldreifð með meðaltalið 8 og staðalfrávikið 2, hve mörg prósent gagnanna liggja á milli 4 og 12?
Ef gögn eru normaldreifð með meðaltalið 25 og staðalfrávikið 5, hve mörg prósent gagnanna liggja á milli 20 og 30?
Ef gögn eru normaldreifð með meðaltalið 200 og staðalfrávikið 15, hve mörg prósent gagnanna liggja á milli 155 og 245?
Lausn
Skoðum töflu með gagnagildum í heilum margfeldum staðalfráviks (SF) ofan og neðan meðaltalsins. Þar sem
4
og 12 eru tveimur staðalfrávikum neðan og ofan meðaltalsins liggja 95% gagnanna á milli þeirra.
Setjum upp aðra töflu.
Gildin
20
og 30 eru einu staðalfráviki neðan og ofan meðaltalsins og því liggja 68% gagnanna á því bili.
Setjum upp þriðju
töfluna.
Þar
sem
155 og 245 eru þremur staðalfrávikum neðan og ofan meðaltalsins liggja 99,7% gagnanna á milli þeirra.
Dæmi 8.35
Gagnagildi fundin með 68–95–99,7-reglunni
Ef gögn eru normaldreifð með meðaltalið 100 og staðalfrávikið 20, á milli hvaða gilda liggja 68% gagnanna?
Ef gögn eru normaldreifð með meðaltalið 0 og staðalfrávikið 15, á milli hvaða gilda liggja 95% gagnanna?
Ef gögn eru normaldreifð með meðaltalið 14 og staðalfrávikið 2, á milli hvaða gilda liggja 99,7% gagnanna?
Lausn
Samkvæmt 68–95–99,7-reglunni liggja 68% gagnanna innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu. Leggjum því eitt staðalfrávik við meðaltalið og drögum það frá: og . Því liggja 68% gagnanna á milli 80 og 120.
Samkvæmt reglunni liggja 95% gagnanna innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Leggjum því tvö staðalfrávik við meðaltalið og drögum þau frá: og . Því liggja 95% gagnanna á milli −30 og 30.
Samkvæmt reglunni liggja 99,7% gagnanna innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Leggjum því þrjú staðalfrávik við meðaltalið og drögum þau frá: og . Því liggja 99,7% gagnanna á milli 8 og 20.
Fleiri verkefni má leysa með 68–95–99,7-reglunni en fyrst þarf að skilja afleiðingar hennar. Samkvæmt reglunni liggja 68% gagnanna innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu. Normaldreifð gögn með meðaltalið 100 og staðalfrávikið 10 hafa því eftirfarandi dreifingu:
Þar sem 68% gagnanna liggja innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu hljóta 32% þeirra að liggja meira en einu staðalfráviki frá því. Vegna samhverfu stuðlaritsins liggur helmingur þessara 32%, eða 16%, meira en einu staðalfráviki fyrir ofan meðaltalið og hinn helmingurinn meira en einu staðalfráviki fyrir neðan það:
Miðju 68% má skipta í tvennt við toppinn, þannig að 34% liggja hvorum megin:
Sá hluti 68–95–99,7-reglunnar sem lýtur að 68% gefur okkur því fjögur önnur hlutföll til viðbótar við 68% reglunnar. Hlutarnir sem lúta að 95% og 99,7% gefa hvor um sig fjögur hlutföll til viðbótar:
Sameina má hlutföllin. Milli 100 og 120 eru 47,5% en milli 100 og 110 eru 34%. Mismunurinn sýnir að milli 110 og 120 eru 13,5%:
Dæmi 8.36
Önnur hlutföll fundin með 68–95–99,7-reglunni
Gerum ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 80 og staðalfrávikið 3.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er hærra en 86?
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 74 og 77?
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 74 og 83?
Lausn
Merkjum fyrst bil sem eru heil margfeldi staðalfráviks frá meðaltalinu:
Mynd 8.56. Mynd 8.56
Skyggjum svæðið yfir 86, meira en tveimur staðalfrávikum ofan meðaltalsins. Mynd 8.47 sýnir
einu en minna en tveimur staðalfrávikum neðan meðaltalsins. Með
frádrætti
fæst hlutfallið 13,5%.
Skyggjum svæðið milli 74 og
83
og skiptum
því
við meðaltalið. Hlutarnir eru 47,5% og 34%, samtals 81,5%.
Stöðluð gildi
Til að beita 68–95–99,7-reglunni þurfum við fyrst að finna hversu mörgum staðalfrávikum fyrir ofan eða neðan meðaltalið gagnagildin liggja. Þessi algengi útreikningur nefnist staðlað gildi. Gildi fyrir ofan meðaltalið hafa jákvæð stöðluð gildi en gildi fyrir neðan það neikvæð. Þar sem bókstafurinn táknar oft staðlað gildi er það einnig nefnt -gildi.
Hingað til höfum við einkum skoðað -gildi sem eru heilar tölur en þau geta almennt verið hvaða tölur sem er. Gerum til dæmis ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 80 og staðalfrávikið 6. Gildið 85 er fimm einingum fyrir ofan meðaltalið, sem er minna en eitt staðalfrávik. Þegar deilt er með staðalfrávikinu fæst . Þar sem 85 liggur úr staðalfráviki fyrir ofan meðaltalið er staðlaða gildi þess . Það er jákvætt þar sem . Þannig eru stöðluð gildi reiknuð.
Dæmi 8.37
Gögn stöðluð
Gerum ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 50 og staðalfrávikið 6. Reiknaðu stöðluð gildi eftirfarandi gagnagilda og námundaðu að þremur aukastöfum:
52
40
68
Lausn
Settu hvert gefið gildi inn í formúluna. Mundu að meðaltalið er og staðalfrávikið :
𝑧=𝑥−µ𝜎=52−506=0.333
𝑧=𝑥−µ𝜎=40−506=−1.667
𝑧=𝑥−µ𝜎=68−506=3
Dæmi 8.38
Stöðluðum gildum breytt í upprunaleg gildi
Gerum ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 10 og staðalfrávikið 2. Breyttu eftirfarandi stöðluðum gildum í gagnagildi.
1.4
−0.9
3.5
Lausn
Notum formúluna hér að framan til að breyta -gildum í -gildi. Hér er meðaltalið og staðalfrávikið :
𝑥=µ+𝑧𝜎=10+1.42=12.8
𝑥=µ+𝑧𝜎=10+(−0.9)2=8.2
𝑥=µ+𝑧𝜎=10+3.52=17
Prósentumörk normaldreifingar fundin í Google Sheets
68–95–99,7-reglan hentar vel þegar -gildi eru heilar tölur. Ef -gildið er ekki heil tala gagnast reglan hins vegar ekki. Sem betur fer má nota tæknina. Hér verður fjallað um innbyggð föll í Google Sheets en önnur verkfæri virka með svipuðum hætti.
Gerum ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 40 og staðalfrávikið 7 og finnum prósentumark gagnagildisins 50, það er hlutfall gagna sem eru lægri en 50. Stuðlarit með línum við heil margfeldi staðalfráviks sýnir hvers vegna reglan nægir ekki:
Gildið 50 fellur ekki á neina línuna. Af myndum 8.47 og 8.48 má aðeins ráða að það liggi milli 84. og 99,5. prósentumarksins. Fallið NORM.DIST í Google Sheets gefur nákvæmara svar:
Veldu tóman reit í töflureikninum.
Skrifaðu „=NORM.DIST(“.
Innan sviganna seturðu fjögur viðföng í þessari röð, aðgreind með kommum: gagnagildi, meðaltal, staðalfrávik og orðið „TRUE“.
Lokaðu sviganum og ýttu á færslulykil. Breyttu niðurstöðunni í prósentu til að fá prósentumarkið.
Í dæminu skrifum við „=NORM.DIST(50, 40, 7, TRUE)“ í tóman reit og ýtum á færslulykil. Niðurstaðan er 0,9234362745. Þegar henni er breytt í prósentu og hún námunduð sést að 50 er við 92. prósentumarkið. Skoðum fleiri dæmi.
Dæmi 8.39
Prósentumörk fundin í Google Sheets
Gerum ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 28 og staðalfrávikið 4. Við hvaða prósentumark liggur hvert eftirfarandi gagnagildi?
30
23
35
Lausn
Formúlan „=NORM.DIST(30, 28, 4, TRUE)“ sýnir að 30 er við 69. prósentumarkið.
Formúlan „=NORM.DIST(23, 28, 4, TRUE)“ sýnir að 23 er við 11. prósentumarkið.
Formúlan „=NORM.DIST(35, 28, 4, TRUE)“ sýnir að 35 er við 96. prósentumarkið.
Google Sheets getur einnig fundið gagnagildi út frá prósentumarki með fallinu NORM.INV. Fyrir normaldreifð gögn með meðaltalið 150 og staðalfrávikið 25 finnum við gagnagildið við 30. prósentumarkið þannig:
Veldu tóman reit í töflureikninum.
Skrifaðu „=NORM.INV(“.
Innan sviganna seturðu þrjár tölur í þessari röð, aðgreindar með kommum: prósentumarkið sem tugabrot, meðaltalið og staðalfrávikið.
Lokaðu sviganum og ýttu á færslulykil. Gagnagildið birtist í reitnum.
Þar sem 30% eru 0,3 skrifum við „=NORM.INV(0.3, 150, 25)“. Niðurstaðan er 136,8899872, sem námundast í 137.
Dæmi 8.40
Gagnagildi við tiltekið prósentumark fundið í Google Sheets
Gerum ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 47 og staðalfrávikið 9. Finndu gagnagildin við eftirfarandi prósentumörk og námundaðu að einum aukastaf:
75. prósentumarkið (þriðja fjórðungamarkið)
12th
90th
Lausn
Formúlan „=NORM.INV(0.75, 47, 9)“ sýnir að 53,1 er við 75. prósentumarkið.
Formúlan „=NORM.INV(0.12, 47, 9)“ sýnir að 36,4 er við 12. prósentumarkið.
Formúlan „=NORM.INV(0.9, 47, 9)“ sýnir að 58,5 er við 90. prósentumarkið.
Prófaðu skilning þinn
Í öllum eftirfarandi verkefnum eru gögnin normaldreifð með meðaltalið 100 og staðalfrávikið 12.
Hve mörg prósent gagnanna liggja á milli 76 og 124? Notaðu 68–95–99,7-regluna.
Hve mörg prósent gagnanna liggja á milli 100 og 112? Notaðu 68–95–99,7-regluna.
Við hvaða prósentumark er 112? Notaðu 68–95–99,7-regluna.
Hvert er -gildi gagnagildisins 107? Námundaðu að þremur aukastöfum.
Hvaða gagnagildi hefur -gildið −2,4?
Við hvaða prósentumark er 107? Notaðu Google Sheets eða aðra tækni.
Hvaða gagnagildi er við 90. prósentumarkið? Notaðu Google Sheets eða aðra tækni og námundaðu að tveimur aukastöfum.
Æfingar úr hluta 8.6
Í eftirfarandi æfingum skaltu útskýra hvernig sjá má að stuðlaritið sýnir ekki normaldreifð gögn.
1.
2.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota 68–95–99,7-regluna fyrir normaldreifð gögn með meðaltalið 100 og staðalfrávikið 5.
3.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 95 og 105?
4.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 90 og 110?
5.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 85 og 100?
6.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 110 og 120?
7.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er lægra en 90?
8.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er hærra en 105?
9.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 90 og 105?
10.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 95 og 115?
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota 68–95–99,7-regluna fyrir normaldreifð gögn með meðaltalið 9 og staðalfrávikið 1.
11.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er lægra en 7?
12.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er hærra en 12?
13.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 6 og 12?
14.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 8 og 9?
15.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 6 og 8?
16.
Hve stórt hlutfall gagnanna liggur á milli 8 og 11?
17.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er lægra en 10?
18.
Hve stórt hlutfall gagnagildanna er hærra en 6?
Í eftirfarandi æfingum skaltu breyta gagnagildunum í stöðluð gildi. Gerðu ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 15 og staðalfrávikið 3 og námundaðu að tveimur aukastöfum.
19.
𝑥 =17
20.
𝑥 =11
21.
𝑥 =10
22.
𝑥 =21
23.
𝑥 =16
24.
𝑥 =24
25.
𝑥 =8
26.
𝑥 =7.2
Í eftirfarandi æfingum skaltu breyta gefnum
𝑧
z
-gildum í gagnagildi. Gerðu ráð fyrir normaldreifðum gögnum með meðaltalið 15 og staðalfrávikið 3.
27.
𝑧 =1.2
28.
𝑧 =−0.4
29.
𝑧 =3.6
30.
𝑧 =2.1
31.
𝑧 =−2.8
32.
𝑧 =4
33.
𝑧 =−0.4
34.
𝑧 =−3.4
Í eftirfarandi æfingum eru gögnin normaldreifð með meðaltalið 200 og staðalfrávikið 20. Námundaðu prósentumörk að næstu heiltölu og gagnagildi að einum aukastaf.
