8.3 Meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
88 Tölfræði
8.3 Meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi
8.3 Meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi
Mynd 8.29. Hvað merkir að segja að einhver sé meðalhár? (mynd: aðlögun verksins „I’m the tallest“ eftir Jenn Durfey/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
reiknað tíðasta gildi gagnasafns,
reiknað miðgildi gagnasafns,
reiknað meðaltal gagnasafns,
borið saman lýsistærðir fyrir miðju og valið dæmigert meðalgildi,
leyst hagnýt verkefni með meðaltali, miðgildi og tíðasta gildi.
Hvað merkir nákvæmlega að eitthvað sé „í meðallagi“? Er meðalhæð sú hæð sem flestir hafa? Ef öllum í heiminum væri raðað frá lægsta til hæsta, væri hæð manneskjunnar í miðjunni meðalhæð? Eða er svarið flóknara?
Ímyndaðu þér leik þar sem þú og vinur þinn giskið hvort um sig á dæmigerða hæð. Síðan er hæð allra mæld, frávik hvorrar ágiskunar frá hverju raunverulegu gildi reiknað og sett í annað veldi. Þannig fást stig fyrir hvern einstakling. Sá vinnur sem fær lægri heildarstigatölu, því ágiskun hans var að jafnaði nær raunverulegu gildunum. Mætti skilgreina meðalhæð sem þá tölu sem gefur lægstu mögulegu stigatölu?
Allar þessar þrjár aðferðir við að ákvarða „meðalgildi“ eru algengar. Þær mæla allar miðju gagnanna. Lýsistærðir fyrir miðju geta gefið mismunandi niðurstöður og hver um sig gagnast við ólíkar aðstæður. Hér skoðum við allar þrjár.
Tíðasta gildi
Fyrsta mögulega skilgreiningin á meðalhæð var sú hæð sem flestir hafa. Það er tíðasta gildið, gildið sem kemur oftast fyrir. Ef tvö tíðustu gildi eru til er dreifingin tvítoppa.
Skoðum dæmi.
Dæmi 8.15
Tíðasta gildi fundið með laufriti
Í dæmi 8.9 skoðuðum við laufrit yfir söluverð tiltekins safnkorts í dollurum:
0
5 8 9
1
0 0 0 3 4 4 5 5 5 5 6 9 9
2
0 0 0 0 5 5 9 9
3
0 0 0 5 5
4
0 0 5
5
6
0
Hvert er tíðasta verðið?
Lausn
Tíðasta gildið er verðið sem kemur oftast fyrir. Bæði 15 og 20 koma fyrir fjórum sinnum, oftar en önnur gildi. Þau eru því bæði tíðust og gagnasafnið er tvítoppa.
Þegar fyrir liggur fullur gagnalisti eða laufrit er einfalt að finna tíðasta gildið: Leitað er að tölunni sem kemur oftast fyrir. Í tíðnidreifingu er þess í stað leitað að gildinu með hæstu tíðnina.
Dæmi 8.16
Tíðasta gildi fundið úr tíðnidreifingu
Í dæmi 8.3 bjuggum við til tíðnidreifingu fyrir fjölda systkina þátttakenda á námskeiði í ágreiningslausnum.
Fjöldi systkina
Tíðni
0
5
1
13
2
6
3
3
4
2
5
1
Hvert er tíðasta gildi fjölda systkina?
Lausn
Tíðasta gildið kemur oftast fyrir og hefur því hæstu tíðnina. Þrettán svarendur eiga eitt systkini, fleiri en nokkurn annan fjölda. Tíðasta gildið er því 1.
Hvað ef ekkert gildi kemur oftar en einu sinni fyrir? Samkvæmt skilgreiningunni væri sérhvert gildi þá tíðasta gildi, en samkvæmt öðrum skilgreiningum væri ekkert tíðasta gildi. Í reynd skiptir það litlu því tíðasta gildið er þá gagnslaust sem lýsistærð fyrir miðju.
Miðgildi
Snúum aftur að meðalhæð. Ef öllum væri raðað eftir hæð væri hæð manneskjunnar í miðjunni miðgildið, það er gildi sem í mesta lagi helmingur gagnagildanna er stærri en það og í mesta lagi helmingur þeirra er minni en það.
Skoðum einfalt dæmi: 11, 12, 13, 13, 14. Er 11 miðgildið? Engin gildi eru minni en 11, en fjögur, eða 80%, eru stærri. Þar sem meira en 50% gagnanna eru stærri uppfyllir 11 ekki skilgreininguna. Taflan sýnir öll gildin og rauð skygging sýnir hvar skilgreiningin er ekki uppfyllt:
Gagnagildi
Fjöldi gilda fyrir neðan
Hlutfall gilda fyrir neðan
Fjöldi gilda fyrir ofan
Hlutfall gilda fyrir ofan
11
0
0%
4
80%
12
1
20%
3
60%
13
2
40%
1
20%
14
4
80%
0
0%
Aðeins 13 uppfyllir skilyrðin og er því miðgildið. Í reynd er gildunum raðað frá minnsta til stærsta og miðjugildið valið. Í listanum 11, 12, 13, 13, 14 er fyrra gildið 13 í miðjunni, með tvö gildi hvorum megin. Ef ekkert eitt gildi er í miðjunni eru tvö miðlægustu gildin valin og talan mitt á milli þeirra tekin. Fyrir gögnin 41, 44, 46, 53 eru miðjugildin 44 og 46 og miðgildið því 45. Ólíkt tíðasta gildinu þarf miðgildið ekki að vera í upprunalega gagnasafninu.
Í litlum gagnasöfnum er auðvelt að finna miðjugildið en það getur verið erfiðara í stórum söfnum. Eftirfarandi formúlur hjálpa.
Notum formúlurnar í dæmi.
Dæmi 8.17
Miðgildi fundið með laufriti
Í dæmi 8.9 skoðuðum við laufrit með 33 söluverðum tiltekins safnkorts í dollurum:
0
5 8 9
1
0 0 0 3 4 4 5 5 5 5 6 9 9
2
0 0 0 0 5 5 9 9
3
0 0 0 5 5
4
0 0 5
5
6
0
Hvert er miðgildi verðsins?
Lausn
Skref 1: Þar sem 33 er oddatala er miðgildið í sæti (n+1)/2. Hér er n=33 og (33+1)/2=17. Við leitum því að 17. gildinu.
Skref 2: Teldu frá lægsta gildi að því sautjánda með hjálp laufritsins.
1 2 3
0
5 8 9
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1
0 0 0 3 4 4 5 5 5 5 6 9 9
17
2
0 0 0 0 5 5 9 9
3
0 0 0 5 5
4
0 0 5
5
6
0
Sautjánda gildið er 20 og miðgildið því 20.
Skoðum nú dæmi með sléttum fjölda gilda.
Dæmi 8.18
Miðgildi fundið
Í dæmi 8.10 skoðuðum við fjölda tísta ólíkra krybba á einni mínútu. Gögnin eru aftur sýnd hér:
89
97
82
102
84
99
115
105
89
109
107
89
101
109
116
103
100
91
93
103
120
91
85
104
104
82
106
92
104
106
Finndu miðgildið.
Lausn
Skref 1: Raðaðu gögnunum frá minnsta til stærsta.
82
82
84
85
89
89
89
91
91
92
93
97
99
100
101
102
103
103
104
104
104
105
106
106
107
109
109
115
116
120
Skref 2: Teldu gildin. Þau eru 30, sem er slétt tala.
Skref 3: Finndu gildin í sætum og . Þau eru 101 og 102.
Skref 4: Reiknaðu miðgildið: (101+102)/2=101,5.
Dæmi 8.19
Miðgildi fundið úr tíðnidreifingu
Í dæmi 8.3 bjuggum við til tíðnidreifingu fyrir fjölda systkina þátttakenda á námskeiði í ágreiningslausnum. Skoðum gögnin aftur:
Fjöldi systkina
Tíðni
0
5
1
13
2
6
3
3
4
2
5
1
Hvert er miðgildi fjölda systkina?
Lausn
Gagnagildin eru 30 og því liggur miðgildið milli 15. og 16. gildis í röðuðum lista. Samkvæmt tíðnidreifingunni eru fimm núll og þrettán ásar; gildin í sætum 1–5 eru því núll og gildin í sætum 6–18 ásar. Bæði 15. og 16. gildið eru 1 og miðgildið því 1.
Meðaltal
Rifjum upp síðustu og flóknustu aðferðina við að finna meðalhæð. Leikmaður giskar á hæð og reiknar frávik ágiskunarinnar frá hæð hvers einstaklings. Frávikin eru sett í annað veldi og lögð saman. Næsta lýsistærð fyrir miðju gefur lægstu mögulegu summuna; engin önnur ágiskun vinnur leikinn. Fyrir gagnasafn með n gildum er meðaltalið summa allra gildanna deilt með n.
Þú hefur líklega reiknað þetta áður. Í töflureiknum á borð við Microsoft Excel og Google Sheets nefnist talan oft „meðaltal“. Í tölfræði getur almenna orðið „meðalgildi“ haft fleiri en eina merkingu og því notum við nákvæma heitið „meðaltal“ um þessa stærð.
Dæmi 8.20
Meðaltal fundið
Reiknaðu meðaltal talnanna 12, 15, 17, 18, 18 og 19.
Lausn
Meðaltalið er summa gildanna deilt með fjölda þeirra:
Dæmi 8.21
Meðaltal fundið úr tíðnidreifingu
Skoðaðu aftur tíðnidreifingu fjölda systkina þátttakenda á námskeiði í ágreiningslausnum:
Fjöldi systkina
Tíðni
0
5
1
13
2
6
3
3
4
2
5
1
Hvert er meðaltal fjölda systkina?
Lausn
Skref 1: Leggðu saman öll gagnagildi og deildu með fjölda þeirra.
Skref 2: Summa tíðnitalnanna er gagnagildi.
Skref 3: Til að finna summu gagnagildanna mætti endurgera hrágögnin og leggja þau saman, en einfaldara er að nota margföldun. Þar sem talan 2 kemur sex sinnum fyrir í gögnunum er summa þessara gilda .
Skref 4: Bættu dálki með þessum margfeldum við dreifinguna:
Fjöldi systkina
Tíðni
(Fjöldi systkina) (Tíðni)
0
5
0
1
13
13
2
6
12
3
3
9
4
2
8
5
1
5
Skref 5: Summa allra gagnagilda er 0+13+12+9+8+5=47. Meðaltalið er 47/30≈1,567.
Eftir því sem gagnagildum fjölgar verður meðaltalsreikningurinn flóknari og því er tækni yfirleitt látin sjá um hann.
Nýleg uppfærsla Google Sheets bætti við fallinu MODE.MULT sem finnur öll tíðustu gildi, ekki aðeins það fyrsta.
Dæmi 8.22
Lýsistærðir fyrir miðju reiknaðar í Google Sheets
Gagnasafnið „InState“ inniheldur skólagjöld nemenda með búsetu í sama ríki við alla háskóla í Bandaríkjunum sem tilkynntu gögnin til menntamálaráðuneytisins. Finndu tíðasta gildi, miðgildi og meðaltal.
Lausn
Skref 1: Veldu tóman reit og skrifaðu „=MODE(“. Smelltu á dálkhausinn til að setja dálktilvísun í formúluna og lokaðu síðan sviganum. Þegar ýtt er á færslulykil birtist tíðasta gildið: 13.380 dollarar.
Skref 2: Finndu miðgildi og meðaltal á sama hátt með föllunum MEDIAN og AVERAGE í stað MODE. Miðgildið er 11.207 dollarar og meðaltalið 15.476,79 dollarar.
Hvort er betra: tíðasta gildi, miðgildi eða meðaltal?
Ef allar þrjár stærðirnar eiga að mæla miðju, hvers vegna þarf þær allar? Hver um sig hefur sína styrkleika og veikleika. Auðvelt er að reikna tíðasta gildið, en fleiri en eitt gildi geta verið jafntíð. Það er jafnframt gagnslaust ef ekkert gildi endurtekur sig. Meginmunur meðaltals og miðgildis er hvernig jaðargildi hafa áhrif á þessar stærðir.
Meðaltal og miðgildi talnanna 1, 2, 3, 4 og 5 eru bæði 3. Fyrir tölurnar 1, 2, 3, 4 og 10 er miðgildið enn 3 en meðaltalið 4. Meðaltal er því næmt fyrir jaðargildum en miðgildi ekki. Ef mjög há eða lág gildi eiga að koma fram í lýsistærðinni er meðaltalið heppilegra; annars er miðgildið heppilegra.
Val milli meðaltals og miðgildis skiptir einkum máli þegar dreifingin er skekkt. Í samhverfri dreifingu eru stærðirnar svipaðar. Í skekktri dreifingu færist meðaltalið í átt að hala dreifingarinnar: Þegar dreifingin er skekkt til hægri er meðaltalið stærra en miðgildið en þegar hún er skekkt til vinstri er það minna.
Dæmi 8.23
Lýsistærð fyrir miðju valin
Veldu heppilegustu lýsistærð eða lýsistærðir fyrir miðju í eftirfarandi tilvikum:
Þú finnur notaðan bíl og vilt vita hvort verðið sé hátt eða lágt. Dreifing söluverðs bíla sömu tegundar og gerðar er skekkt til hægri. Sum hæstu verðin nálgast upprunalegt nývirði bílanna, líklega vegna mjög lítils aksturs eða aukabúnaðar sem bíllinn þinn hefur ekki.
Þú greinir svör við spurningunni: „Hversu sammála ertu fullyrðingunni: Ég tel að kjörnir fulltrúar mínir hafi hagsmuni mína að leiðarljósi þegar þeir greiða atkvæði?“ Svörin eru á kvarðanum 1–5, þar sem 1 merkir „mjög ósammála“ og 5 „mjög sammála“.
Þú átt að finna „meðaltekjur“ heimila í póstnúmeri. Dreifingin er skekkt til hægri.
Þú vilt finna „meðalhæð“. Gögnin virðast samhverf.
Lausn
Háu gildin eru ekki sambærileg við bílinn og eiga ekki að hafa áhrif. Endurtekin verð eru sennilega fá og tíðasta gildið því lítt gagnlegt. Miðgildið hentar best.
Hér viljum við dæmigerða útkomu. Meðaltal er óheppilegt: tvö svör „mjög ósammála“ og tvö „mjög sammála“ gefa sömu summu og fjögur hlutlaus svör, þótt fyrra tilvikið sýni skautun og hið síðara afskiptaleysi. Tíðasta gildið er líklega best þar sem gögnin eru flokkuð, en miðgildi kemur einnig til greina.
Tíðasta gildið gagnast lítið því fá heimili hafa nákvæmlega sömu tekjur. Meðaltal og miðgildi verða ólík vegna þess að dreifingin er skekkt til hægri. Háu gildin skipta máli fyrir greininguna og eiga að koma fram, svo meðaltalið hentar best. Miðgildið er þó einnig gagnlegt og gerir kleift að segja að 50% heimila hafi tekjur yfir því.
Fáir hafa nákvæmlega sömu hæð og tíðasta gildið gagnast því lítið. Þar sem dreifingin er samhverf verða meðaltal og miðgildi svipuð og valið skiptir litlu.
Prófaðu skilning þinn
Notaðu laufritið til að finna tíðasta gildi, miðgildi og meðaltal: 8 8 9 9 0 0 7 10 2 5 6 7 8 11
1
2
2
2
4 5 7
9
9 12 0 0 3
5
7 13 0
1
1 4
Háskólanemar voru spurðir hve mörg námskeið þeir tækju. Niðurstöðurnar eru í tíðnidreifingunni:
Fjöldi námskeiða
Tíðni
1
1
2
3
3
16
4
8
5
4
Finndu tíðasta gildi fjölda námskeiða.
Finndu miðgildi fjölda námskeiða.
Finndu meðaltal fjölda námskeiða.
Starfsfólk þjónustuborðs háskóla skráir fjölda fólks sem biður um aðstoð í hverri viku:
142
153
158
156
141
143
155
167
143
168
139
158
156
146
137
153
138
156
164
130
136
127
157
148
132
139
133
157
148
136
Reiknaðu tíðasta gildið.
Reiknaðu miðgildið.
Reiknaðu meðaltalið.
Taflan sýnir inntökuhlutfall einstakra háskólasvæða Kaliforníuháskóla ásamt skólagjöldum nemenda utan ríkisins:
Háskólasvæði
Inntökuhlutfall
Kostnaður ($)
Berkeley
0.1484
43,176
Davis
0.4107
43,394
Irvine
0.2876
42,692
Los Angeles
0.1404
42,218
Merced
0.6617
42,530
Riverside
0.5057
42,819
San Diego
0.3006
43,159
Santa Barbara
0.322
43,383
Santa Cruz
0.4737
42,952
Reiknaðu tíðasta gildi, miðgildi og meðaltal inntökuhlutfalls.
Reiknaðu tíðasta gildi, miðgildi og meðaltal kostnaðar.
Skoðaðu gögnin í „InState“, sem sýna skólagjöld nemenda með búsetu í sama ríki við flestar bandarískar háskólastofnanir. Reiknaðu tíðasta gildi, miðgildi og meðaltal.
Starfsfólk fyrirtækis kvartar yfir lágum launum en stjórnendur telja þau nægilega há. Ef launadreifingin er skekkt til hægri, hvaða lýsistærð fyrir miðju velur starfsfólkið til að lýsa laununum og hvaða stærð velja stjórnendurnir?
Æfingar úr hluta 8.3
Notaðu laufritið til að svara spurningunum. Námundaðu öll svör að þremur aukastöfum.
0
1 1 1 2 6 6 7
1
0 0 0 0 2 5 5 9
2
0 0 5 9
3
0 5
4
0
1.
Finndu tíðasta gildið.
2.
Finndu miðgildið.
3.
Finndu meðaltalið.
Notaðu laufritið til að svara spurningunum. Námundaðu öll svör að þremur aukastöfum.
7
8
8
0 6
9
1 1 4 8
10
0 0 3 5 9
11
0 0 1 1 1 2 6 8
12
0 1 5
4.
Finndu tíðasta gildið.
5.
Finndu miðgildið.
6.
Finndu meðaltalið.
Taflan sýnir tíðnidreifingu fjölda landa sem nemendur hafa heimsótt. Svaraðu spurningunum og námundaðu að þremur aukastöfum.
Fjöldi landa
Tíðni
0
13
1
11
2
5
3
1
7.
Finndu tíðasta gildi fjölda heimsóttra landa.
8.
Finndu miðgildi fjölda heimsóttra landa.
9.
Finndu meðaltal fjölda heimsóttra landa.
Taflan sýnir tíðnidreifingu fjölda tapaðra bolta hjá völdum ruðningsleikmönnum. Svaraðu spurningunum og námundaðu að þremur aukastöfum.
Fjöldi tapaðra bolta
Tíðni
0
5
1
13
2
3
3
4
10.
Finndu tíðasta gildi fjölda tapaðra bolta.
11.
Finndu miðgildi fjölda tapaðra bolta.
12.
Finndu meðaltal fjölda tapaðra bolta.
Í skoðanakönnun um komandi kosningar voru svarendur spurðir hve margar stjórnmálaauglýsingar þeir minntust þess að hafa séð í sjónvarpi síðasta sólarhring. Notaðu gögnin til að svara spurningunum og námundaðu að þremur aukastöfum.
6
2
5
5
2
2
4
1
3
0
1
2
1
6
2
5
2
4
8
6
3
3
4
2
5
3
4
2
2
3
13.
Reiknaðu tíðasta gildið.
14.
Reiknaðu miðgildið.
15.
Reiknaðu meðaltalið.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota gögnin í
„TNSchools“
, sem innihalda upplýsingar um margar háskólastofnanir í Tennessee. Dálkarnir tákna eftirfarandi:
Dálkheiti
Lýsing
AdmRate
Hlutfall umsækjenda sem fá inngöngu
UGEnr
Fjöldi grunnnema
PTUG
Hlutfall grunnnema í hlutanámi
InState
Skólagjöld nemenda með búsetu í ríkinu
OutState
Skólagjöld nemenda utan ríkisins
FacSal
Meðaltal mánaðarlauna kennara
Pell
Hlutfall nemenda sem fá Pell-styrk
MedDebt
Miðgildi námslánaskulda við námslok
StartAge
Meðalaldur við upphaf náms
Female
Hlutfall nemenda sem skilgreina sig sem konur
16.
Hver er meðalfjöldi grunnnema við skólana?
17.
Hvert er miðgildi fjölda grunnnema við skólana?
18.
Búðu til stuðlarit yfir fjölda grunnnema og lýstu áhrifum dreifingarinnar á meðaltal og miðgildi sem lýsistærðir fyrir miðju.
19.
Hvert er meðalhlutfall grunnnema í hlutanámi?
20.
Hvert er miðgildi hlutfalls grunnnema í hlutanámi?
21.
Búðu til stuðlarit yfir hlutfall grunnnema í hlutanámi og lýstu áhrifum dreifingarinnar á meðaltal og miðgildi.
22.
Hvert er meðaltal mánaðarlauna kennara við skólana?
23.
Hvert er miðgildi mánaðarlauna kennara við skólana?
24.
Búðu til stuðlarit yfir mánaðarlaun kennara og lýstu áhrifum dreifingarinnar á meðaltal og miðgildi.
Gagnasafnið „AvgSAT“ sýnir meðaleinkunn SAT-prófs nýnema við allar bandarískar stofnanir sem tilkynntu gögnin. Hér merkir „meðaleinkunn“ reiknað meðaltal. Notaðu safnið til að svara spurningunum.
25.
Hvert er meðaltal meðaleinkunna SAT?
26.
Hvert er miðgildi meðaleinkunna SAT?
27.
Búðu til stuðlarit yfir meðaleinkunnir SAT og lýstu áhrifum dreifingarinnar á meðaltal og miðgildi.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota lokaniðurstöður bandarísku atvinnudeildar kvenna í knattspyrnu árið 2021. Dálkarnir sýna stig (PTS; þrjú fyrir sigur og eitt fyrir jafntefli), sigra (W), töp (L), jafntefli (T), skoruð mörk (GF) og mörk fengin á sig (GA).
Lið
Stig
W
L
T
Skoruð mörk
Mörk fengin á sig
Portland Thorns FC
44
13
6
5
33
17
OL Reign
42
13
8
3
37
24
Washington Spirit
39
11
7
6
29
26
Chicago Red Stars
38
11
8
5
28
28
NJ/NY Gotham FC
35
8
5
11
29
21
North Carolina Courage
33
9
9
6
28
23
Houston Dash
32
9
10
5
31
31
Orlando Pride
28
7
10
7
27
32
Racing Louisville FC
22
5
12
7
21
40
Kansas City Current
16
3
14
7
15
36
28.
Reiknaðu tíðasta gildið eða tíðustu gildin, miðgildi og meðaltal stiga.
29.
Reiknaðu tíðasta gildið eða tíðustu gildin, miðgildi og meðaltal sigra.
30.
Reiknaðu tíðasta gildið eða tíðustu gildin, miðgildi og meðaltal tapa.
31.
Reiknaðu tíðasta gildið eða tíðustu gildin, miðgildi og meðaltal jafntefla.
32.
Reiknaðu tíðasta gildið eða tíðustu gildin, miðgildi og meðaltal skoraðra marka (GF).
33.
Reiknaðu tíðasta gildið eða tíðustu gildin, miðgildi og meðaltal marka fenginna á sig (GA).
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota gögnin í
„CUNY“
frá data.ed.gov, sem sýna hlutfall prófgráða í ýmsum fræðigreinum, til að svara spurningunum:
34.
Reiknaðu miðgildi og meðaltal hlutfalls prófgráða í upplýsingafræði.
35.
Reiknaðu miðgildi og meðaltal hlutfalls prófgráða í menntunarfræði.
36.
Reiknaðu miðgildi og meðaltal hlutfalls prófgráða í hugvísindum.
37.
Reiknaðu miðgildi og meðaltal hlutfalls prófgráða í líffræði.
38.
Reiknaðu miðgildi og meðaltal hlutfalls prófgráða í raunvísindum.
39.
Reiknaðu miðgildi og meðaltal hlutfalls prófgráða í félagsvísindum.
