Mynd 8.30. Dreifnimælingar hjálpa okkur að skilja prófniðurstöður betur. (mynd: „Standardized test exams form with answers bubbled“ eftir Marco Verch Professional Photographer/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
reiknað spönn gagnasafns,
reiknað staðalfrávik gagnasafns.
Lýsistærðir fyrir miðju, svo sem meðaltal, sýna aðeins hluta þeirrar myndar sem gagnasafn dregur upp. Segjum til dæmis að þú fáir 138 stig á stöðluðu prófi en meðaleinkunnin sé 120. Einkunnin þín er þá yfir meðallagi. En hversu góð er hún í raun? Ef allar einkunnirnar liggja á bilinu 100 til 140 hlýtur hún að vera meðal þeirra hæstu. Ef þær liggja hins vegar á bilinu 0 til 200 er einkunnin 138 kannski góð en ekki framúrskarandi, þótt hún sé enn yfir meðallagi. Upplýsingar um dreifingu gagnanna hjálpa okkur að setja einstakt gagnagildi í betra samhengi. Hér skoðum við tvær stærðir sem lýsa dreifingunni: spönn og staðalfrávik. Þær nefnast dreifnimælingar.
Spönn
Fyrsta dreifnimælingin er spönn, það er mismunurinn á hæsta og lægsta gildi safnsins. Þetta er mælingin sem við notuðum í dæminu um staðlaða prófið.
Skoðum nokkur dæmi.
Dæmi 8.24
Spönn fundin
Þú spyrð nokkra vini hve margar klukkustundir þeir vinni á viku. Svörin eru 5, 20, 8, 10, 35 og 12. Hver er spönnin?
Lausn
Hæsta gildið í safninu er 35 og það lægsta er 5. Spönnin er því .
Í stórum gagnasöfnum getur verið erfitt að finna hæsta og lægsta gildið. Í töflureikni má gera það á tvo vegu. Annars vegar má raða gögnunum frá minnsta til stærsta og lesa fyrsta og síðasta gildið í röðuðum listanum. Hins vegar má nota innbyggð föll til að finna lágmark og hámark.
Þegar hámark og lágmark hafa verið fundin er mismunurinn reiknaður til að fá spönnina.
Dæmi 8.25
Spönn fundin með Google Sheets
Gagnasafnið „AvgSAT“ inniheldur meðaleinkunnir SAT-prófs nemenda við allar bandarískar háskólastofnanir sem gögn liggja fyrir um. Hver er spönn þessara meðaleinkunna?
Lausn
Skref 1: Til að finna hæsta gildið skaltu velja tóman reit í töflureikninum, skrifa „=MAX(“ og smella síðan á bókstafinn efst í dálkinum sem geymir AvgSAT-gögnin. Þá er dálktilvísun sett inn í fallið. Lokaðu sviganum og ýttu á færslulykil. Hæsta gildið, 1566, birtist í reitnum. Skref 2: Með sömu aðferð, en „MIN“ í stað „MAX“, fæst lægsta gildið 785. Skref 3: Spönnin er því .
Auðvelt er að reikna spönn en hún ræðst aðeins af tveimur gildum í öllu gagnasafninu. Eitt óvenjuhátt eða óvenjulágt gildi getur því gefið skakka mynd af dreifingunni. Næsta mæling tekur tillit til allra gagnagilda og er þar af leiðandi áreiðanlegri.
Staðalfrávik
Staðalfrávik er dreifnimæling sem túlka má sem nálgun á meðalfjarlægð gagnagildanna frá meðaltalinu. Fjarlægðin frá meðaltalinu er það frávik sem vísað er til í heitinu staðalfrávik.
Staðalfrávik er reiknað með formúlunni í eftirfarandi skrefum:
Reiknaðu meðaltal allra gagnagildanna.
Dragðu meðaltalið frá hverju gagnagildi.
Settu mismunina í annað veldi.
Leggðu saman niðurstöðurnar úr skrefi 3.
Deildu niðurstöðunni úr skrefi 4 með
Taktu kvaðratrót niðurstöðunnar úr skrefi 5.
Skoðum þetta ferli í verki.
Dæmi 8.26
Staðalfrávik reiknað
Þú spurðir nokkra vini hve margar klukkustundir þeir ynnu á viku. Svörin voru 5, 20, 8, 10, 35 og 12. Hvert er staðalfrávikið?
Lausn
Fylgjum skrefunum sex hér að framan til að reikna staðalfrávikið.
Skref 1: Finndu meðaltalið: .
Skref 2: Dragðu meðaltalið frá hverju gagnagildi. Til að halda utan um útreikninginn skulum við setja hann í töflu. Í fyrstu röð skráum við öll gagnagildin og auðkennum röðina með . Í annarri röð drögum við frá hverju gagnagildi.
𝑥 x
5
20
8
10
35
12
𝑥 − ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥 x − x ¯
−10
5
–7
–5
20
–3
Skref 3: Settu mismunina í annað veldi. Bætum röð fyrir þessi gildi við töfluna:
𝑥 x
5
20
8
10
35
12
𝑥 − ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥 x − x ¯
−10
5
–7
–5
20
–3
( 𝑥 − ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥 ) 2 ( x − x ¯ ) 2
100
25
49
25
400
9
Skref 4: Leggðu kvaðrötin saman: .
Skref 5: Deildu summunni með . Þar sem gagnagildin eru sex fæst .
Skref 6: Taktu kvaðratrót niðurstöðunnar: .
Staðalfrávikið er því .
Útreikningur staðalfráviks er flókinn jafnvel fyrir lítið gagnasafn. Fyrir stórt gagnasafn væri óheppilegt að reikna það án aðstoðar tækni. Sem betur fer auðveldar tæknin útreikninginn.
Dæmi 8.27
Staðalfrávik fundið með Google Sheets
Gagnasafnið „AvgSAT“ inniheldur meðaleinkunnir SAT-prófs nemenda við allar bandarískar háskólastofnanir sem gögn liggja fyrir um. Hvert er staðalfrávik þessara meðaleinkunna?
Lausn
Til að finna staðalfrávikið skaltu velja tóman reit í töflureikninum og skrifa „=STDEV(“. Smelltu síðan á bókstafinn efst í dálkinum sem geymir gögnin; þá er dálktilvísun sett inn í formúluna. Lokaðu sviganum og ýttu á færslulykil. Niðurstaðan, 125,517, birtist í reitnum.
Prófaðu skilning þinn
Finndu spönn gagnanna 1, 4, 5, 5 og 10.
Finndu staðalfrávik gagnanna 1, 4, 5, 5 og 10 með ferlinu í skilgreiningunni.
Starfsfólk þjónustuborðs háskóla skráir fjölda þeirra sem leita aðstoðar í hverri viku, eins og sýnt er hér:
142
153
158
156
141
143
139
158
156
146
137
153
136
127
157
148
132
139
155
167
143
168
133
157
138
156
164
130
148
136
Reiknaðu spönnina.
Reiknaðu staðalfrávikið.
Eftirfarandi gögn sýna inntökuhlutfall einstakra háskólasvæða Kaliforníuháskóla ásamt skólagjöldum og öðrum gjöldum nemenda utan ríkisins.
Háskólasvæði
Inntökuhlutfall
Kostnaður ($)
Berkeley
0.1484
43,176
Davis
0.4107
43,394
Irvine
0.2876
42,692
Los Angeles
0.1404
42,218
Merced
0.6617
42,530
Riverside
0.5057
42,819
San Diego
0.3006
43,159
Santa Barbara
0.322
43,383
Santa Cruz
0.4737
42,952
Reiknaðu spönn inntökuhlutfallsins.
Reiknaðu staðalfrávik inntökuhlutfallsins.
Notaðu gögnin í töflu 8.21 og finndu:
spönn kostnaðarins.
staðalfrávik kostnaðarins.
Æfingar úr hluta 8.4
Gefin eru gögnin 81, 84, 89, 85, 86 og 84:
1.
Reiknaðu spönnina.
2.
Reiknaðu staðalfrávikið með formúlunni.
Gefin eru gögnin 127, 167, 156, 158, 156 og 157:
3.
Reiknaðu spönnina.
4.
Reiknaðu staðalfrávikið með formúlunni.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota gögnin í „TNSchools“, sem innihalda upplýsingar um margar háskólastofnanir í Tennessee. Dálkarnir tákna eftirfarandi:
Dálkheiti
Lýsing
AdmRate
Hlutfall umsækjenda sem fá inngöngu
UGEnr
Fjöldi grunnnema
PTUG
Hlutfall grunnnema í hlutanámi
InState
Skólagjöld nemenda með búsetu í ríkinu
OutState
Skólagjöld nemenda utan ríkisins
FacSal
Meðaltal mánaðarlauna kennara
Pell
Hlutfall nemenda sem fá Pell-styrk
MedDebt
Miðgildi námslánaskulda við námslok
StartAge
Meðalaldur við upphaf náms
Female
Hlutfall nemenda sem skilgreina sig sem konur
5.
Finndu spönn inntökuhlutfalla.
6.
Finndu staðalfrávik inntökuhlutfalla.
7.
Finndu spönn fjölda grunnnema.
8.
Finndu staðalfrávik fjölda grunnnema.
9.
Finndu spönn hlutfalls grunnnema í hlutanámi.
10.
Finndu staðalfrávik hlutfalls grunnnema í hlutanámi.
11.
Finndu spönn skólagjalda nemenda með búsetu í ríkinu.
12.
Finndu staðalfrávik skólagjalda nemenda með búsetu í ríkinu.
13.
Finndu spönn miðgildis námslánaskulda.
14.
Finndu staðalfrávik miðgildis námslánaskulda.
Í eftirfarandi æfingum skaltu nota töfluna sem sýnir lokastöðu bandarísku atvinnudeildar kvenna í knattspyrnu árið 2021. Dálkarnir sýna stig (PTS; lið fær þrjú stig fyrir sigur og eitt fyrir jafntefli), sigra (W), töp (L), jafntefli (T), skoruð mörk (GF) og mörk fengin á sig (GA).
Lið
PTS
W
L
T
GF
GA
Portland Thorns FC
44
13
6
5
33
17
OL Reign
42
13
8
3
37
24
Washington Spirit
39
11
7
6
29
26
Chicago Red Stars
38
11
8
5
28
28
NJ/NY Gotham FC
35
8
5
11
29
21
North Carolina Courage
33
9
9
6
28
23
Houston Dash
32
9
10
5
31
31
Orlando Pride
28
7
10
7
27
32
Racing Louisville FC
22
5
12
7
21
40
Kansas City Current
16
3
14
7
15
36
15.
Reiknaðu staðalfrávik og spönn stiga.
16.
Reiknaðu staðalfrávik og spönn sigra.
17.
Reiknaðu staðalfrávik og spönn tapa.
18.
Reiknaðu staðalfrávik og spönn jafntefla.
19.
Reiknaðu staðalfrávik og spönn skoraðra marka (GF).
20.
Reiknaðu staðalfrávik og spönn marka fenginna á sig (GA).
