7.1 Ræðar og óræðar tölur
7.1 Ræðar og óræðar tölur
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
- Þekkja ræðar og óræðar tölur
- Flokka mismunandi gerðir rauntalna
Þekkja ræðar og óræðar tölur
Til hamingju! Þið hafið lokið fyrstu sex köflum bókarinnar. Nú er rétti tíminn til að líta yfir það sem þið hafið lært hingað til og huga að því sem fram undan er. Þið hafið lært samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu með núlli og jákvæðum heiltölum, brotum, heiltölum og tugabrotum. Þið þekkið tungumál og tákn algebrunnar og hafið einfaldað algebrustæður og reiknað gildi þeirra. Þið hafið leyst margs konar hagnýt verkefni og lagt traustan grunn að áframhaldandi námi í algebru.
Í þessum kafla treystum við þessa kunnáttu enn frekar. Við skoðum aftur talnategundirnar sem við höfum unnið með í fyrri köflum og kynnumst eiginleikum talna sem efla talnaskilning. Síðan æfum við okkur í að beita eiginleikunum á þann hátt sem nýtist við lausn jafna og önnur algebruverkefni.
Við höfum þegar lýst talningartölum, núlli og jákvæðum heiltölum og heiltölum. Munið þið muninn á þessum talnategundum?
| talningartölur | 1 , 2 , 3 , 4 … 1 , 2 , 3 , 4… |
| núll og jákvæðar heiltölur | 0 , 1 , 2 , 3 , 4 … 0 , 1 , 2 , 3 , 4… |
| heiltölur | … − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 … … −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4… |
Ræðar tölur
Hvaða talnategund fengist ef byrjað væri með allar heiltölurnar og öllum brotum síðan bætt við? Tölurnar sem þá fást mynda mengi ræðra talna. Ræð tala er tala sem má rita sem hlutfall tveggja heiltalna.
Öll brot, bæði jákvæð og neikvæð, eru ræðar tölur. Hér eru nokkur dæmi:
Sérhver teljari og sérhver nefnari er heiltala.
Við þurfum að skoða allar tölurnar sem við höfum notað hingað til og staðfesta að þær séu ræðar. Samkvæmt skilgreiningunni eru öll brot ræðar tölur. Nú skoðum við talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur, heiltölur og tugabrot til að ganga úr skugga um að þær séu ræðar.
Eru heiltölur ræðar tölur? Til að skera úr um það reynum við að rita heiltöluna sem hlutfall tveggja heiltalna. Einföld leið er að skrifa hana sem brot með nefnarann einn.
Þar sem sérhverja heiltölu má rita sem hlutfall tveggja heiltalna eru allar heiltölur ræðar. Munið að allar talningartölur og núll og jákvæðar heiltölur eru einnig heiltölur og því eru þær líka ræðar.
Hvað um tugabrot? Eru þau ræð? Skoðum nokkur og athugum hvort við getum ritað hvert þeirra sem hlutfall tveggja heiltalna. Við höfum þegar séð að heiltölur eru ræðar tölur. Heiltöluna má rita sem tugabrotið Sum tugabrot eru því augljóslega ræð.
Skoðum tugabrotið Getum við ritað það sem hlutfall tveggja heiltalna? Þar sem merkir getum við ritað það sem óeiginlega brotið Tugabrotið er því hlutfall heiltalnanna og Það er ræð tala.
Almennt er sérhvert tugabrot sem endar eftir tiltekinn fjölda tölustafa, til dæmis 7 . 3 7.3 eða − 1 . 2 6 8 4 , −1.2684 , ræð tala. Skrifið tugabrotið einfaldlega sem blandaða tölu.
Dæmi 7.1
Lausn
Skoðum tugabrotsform talnanna sem við vitum að eru ræðar. Við höfum séð að sérhver heiltala er ræð tala þar sem fyrir sérhverja heiltölu Einnig má breyta hvaða heiltölu sem er í tugabrot með því að bæta við tugabrotskommu og núlli.
Við höfum einnig séð að sérhvert brot er ræð tala. Skoðið tugabrotsform brotanna sem við vorum að fjalla um.
Hvað sýna þessi dæmi? Sérhverja ræða tölu má rita bæði sem hlutfall heiltalna og sem tugabrot sem annaðhvort endar eða er lotubundið. Taflan hér fyrir neðan sýnir tölurnar sem við skoðuðum, bæði sem hlutfall heiltalna og sem tugabrot.
| Ræðar tölur | ||
|---|---|---|
| Almenn brot | Heiltölur | |
| Tala | 4 5 , − 7 8 , 1 3 4 , − 2 0 3 4/5 , − 7/8 , 13/4 , −20/3 | − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 |
| Hlutfall heiltalna | 4 5 , − 7 8 , 1 3 4 , − 2 0 3 4/5 , −7/8 , 13/4 , −20/3 | − 2 1 , − 1 1 , 0 1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 −2/1 , −1/1 , 0/1 , 1/1 , 2/1 , 3/1 |
| Tugabrot | 0 . 8 , − 0 . 8 7 5 , 3 . 2 5 , − 6 . – 6 , 0.8 , −0.875 , 3.25 , −6 . 6 – , | − 2 . 0 , − 1 . 0 , 0 . 0 , 1 . 0 , 2 . 0 , 3 . 0 −2.0 , −1.0 , 0.0 , 1.0 , 2.0 , 3.0 |
Óræðar tölur
Eru til tugabrot sem hvorki enda né eru lotubundin? Já. Talan , gríski bókstafurinn pí, er mjög mikilvæg í útreikningum á hringjum. Tugabrotsframsetning hennar endar ekki og er ekki lotubundin.
Á sama hátt enda tugabrotsframsetningar ferningsróta talna úr mengi núlls og jákvæðra heiltalna sem eru ekki ferningstölur aldrei og eru aldrei lotubundnar. Til dæmis:
Tugabrot sem hvorki endar né er lotubundið má ekki rita sem hlutfall heiltalna. Slík tala kallast óræð tala.
Tökum saman aðferð sem nota má til að ákvarða hvort tala sé ræð eða óræð.
Ef tugabrotsframsetning tölu
Dæmi 7.2
Lausn
Skoðum nú ferningsrætur. Ferningsrætur ferningstalna eru alltaf núll eða jákvæðar heiltölur og því ræðar. Tugabrotsframsetningar ferningsróta talna sem eru ekki ferningstölur enda hins vegar aldrei og eru ekki lotubundnar. Þessar ferningsrætur eru því óræðar.
Dæmi 7.3
Lausn
Flokkun rauntalna
Við höfum séð að allar talningartölur eru í mengi núlls og jákvæðra heiltalna, allar tölur þess mengis eru heiltölur og allar heiltölur eru ræðar tölur. Óræðar tölur mynda sérstakan flokk. Þegar mengi ræðra og óræðra talna eru sameinuð fæst mengi rauntalna.
Mynd 7.2 sýnir tengsl talnamengjanna.
Finnst ykkur heitið „rauntölur“ undarlegt? Eru til tölur sem eru ekki „raunverulegar“ og ef svo er, hvaða tölur gætu það verið? Öldum saman þekkti fólk aðeins þær tölur sem við köllum nú rauntölur. Síðar uppgötvuðu stærðfræðingar mengi þvertalna. Þið kynnist ekki þvertölum í þessu námskeiði en rekist á þær síðar í algebrunámi.
Dæmi 7.4
Lausn
Æfingar úr kafla 7.1
Æfingin skapar meistarann
Ræðar tölur
Ritið sem hlutfall tveggja heiltalna í eftirfarandi æfingum.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Ef flest merkin ykkar voru við:
… „Örugglega“. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum kaflans. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið beitt þeim áfram. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum atriðum? Nefnið skýr dæmi.
… „Með nokkurri hjálp“. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á geta orðið hindranir á námsleiðinni. Í stærðfræði byggist hvert atriði á fyrri þekkingu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur ykkar og kennarinn geta aðstoðað. Eru stærðfræðileiðbeinendur tiltækir í skólanum? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?
… „Nei — ég skil þetta ekki!“ Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax hjálpar, annars getur efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið sem fyrst við kennarann um stöðuna. Saman getið þið gert áætlun um nauðsynlega aðstoð.