77 Eiginleikar rauntalna

7.2 Víxlreglur og tengireglur

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

Notað víxlreglu og tengireglu
Reikna gildi stæða með víxlreglum og tengireglum
Einfalda stæður með víxlreglum og tengireglum

Í næstu köflum skoðum við eiginleika rauntalna. Margir þeirra lýsa atriðum sem þið þekkið þegar, en gagnlegt er að gefa eiginleikunum heiti og skilgreina þá formlega. Þá getum við vísað til þeirra og notað þá þegar við leysum jöfnur í næsta kafla.

Notið víxlreglu og tengireglu

Hugsið um samlagningu tveggja talna, til dæmis $5$ og $3 .$

\begin{matrix} 5 + 3 & 3 + 5 \\ 8 & 8 \end{matrix}

Niðurstaðan er sú sama. $5 + 3 = 3 + 5$

Takið eftir að röð talnanna skiptir ekki máli við samlagningu. Hið sama gildir um margfeldi talnanna $5$ og $3 .$

\begin{matrix} 5 \cdot 3 & 3 \cdot 5 \\ 15 & 15 \end{matrix}

Aftur er niðurstaðan sú sama! $5 \cdot 3 = 3 \cdot 5 .$ Röð talnanna skiptir ekki máli við margföldun.

Þessi dæmi sýna víxlreglur samlagningar og margföldunar.

Víxlreglur snúast um röð. Ef röð talnanna er breytt við samlagningu eða margföldun verður niðurstaðan sú sama.

Dæmi 7.5

Notið víxlreglurnar til að umrita eftirfarandi stæður:

ⓐ −1 +3 = _____ $−1 + 3 =_____$
ⓑ 4·9=_____ $4 \cdot 9 =_____$

Lausn

ⓐ
	− 1 + 3 = _ _ _ _ _ −1 + 3 = _____
Notið víxlreglu samlagningar til að breyta röðinni.	− 1 + 3 = 3 + ( − 1 ) −1 + 3 = 3 + ( −1 )

ⓑ
	4 · 9 = _ _ _ _ _ 4 · 9 = _____
Notið víxlreglu margföldunar til að breyta röðinni.	4 · 9 = 9 · 4

En hvað um frádrátt? Skiptir röðin máli þegar tölur eru dregnar frá? Gefur $7 - 3$ sömu niðurstöðu og $3 - 7 ?$

\begin{matrix} 7 - 3 & 3 - 7 \\ 4 & - 4 \\ 4 \neq −4 \end{matrix}

Niðurstöðurnar eru ekki þær sömu. 7 - 3 \neq 3 - 7

Þar sem breytt röð við frádrátt gaf ekki sömu niðurstöðu uppfyllir frádráttur ekki víxlreglu.

Skoðum hvað gerist þegar tveimur tölum er deilt. Er deiling víxlanleg?

\begin{matrix} 12 \div 4 & 4 \div 12 \\ \frac{12}{4} & \frac{4}{12} \\ 3 & \frac{1}{3} \\ 3 \neq \frac{1}{3} \end{matrix}

Niðurstöðurnar eru ekki þær sömu. Því 12 \div 4 \neq 4 \div 12

Þar sem breytt röð við deilingu gaf ekki sömu niðurstöðu uppfyllir deiling ekki víxlreglu.

Samlagning og margföldun uppfylla víxlreglu. Frádráttur og deiling gera það ekki.

Gerum ráð fyrir að þið eigið að einfalda þessa stæðu.

7 + 8 + 2

Hvernig mynduð þið fara að og hvert yrði svarið?

Sumir myndu hugsa að $7 + 8 er 15$ og síðan að $15 + 2 er 17 .$ Aðrir gætu byrjað á að $8 + 2 verður 10$ og síðan að $7 + 10 verður 17 .$

Báðar leiðir gefa sömu niðurstöðu eins og sýnt er á mynd 7.3 . (Munið að svigar eru flokkunartákn sem sýna hvaða reikniaðgerðir á að framkvæma fyrst.)

Myndin sýnir jöfnu. Vinstra megin er summan af stærðinni 7 plús 8 innan sviga og 2. Hægra megin er 7 plús stærðin 8 plús 2. Hvor hlið jöfnunnar er afmörkuð í rauðum ramma. Ör vísar frá hvorum ramma að tölunni 17 fyrir neðan.

Þegar þremur tölum er lagt saman breytist niðurstaðan ekki þótt flokkun talnanna breytist. Þetta nefnist tengiregla samlagningar.

Sama lögmál gildir einnig um margföldun. Gerum ráð fyrir að við viljum reikna gildi eftirfarandi stæðu:

5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3

Breytt flokkun talnanna gefur sömu niðurstöðu eins og sýnt er á mynd 7.4 .

Myndin sýnir jöfnu. Vinstra megin er margfeldi stærðarinnar 5 sinnum einn þriðji innan sviga og 3. Hægra megin er 5 sinnum stærðin einn þriðji sinnum 3. Hvor hlið jöfnunnar er afmörkuð í rauðum ramma. Ör vísar frá hvorum ramma að tölunni 5 fyrir neðan.

Þegar þrjár tölur eru margfaldaðar breytist niðurstaðan ekki þótt flokkun talnanna breytist. Þetta nefnist tengiregla margföldunar.

Ef við margföldum þrjár tölur hefur breytt flokkun ekki áhrif á margfeldið.

Þið vitið þetta líklega nú þegar, en hugtökin kunna að vera ný. Þessi dæmi sýna tengireglurnar.

Dæmi 7.6

Notið tengireglurnar til að umrita eftirfarandi:

ⓐ (3+0.6)+0.4=__________ $(3 + 0.6) + 0.4 =__________$
ⓑ (−4·25)·15=__________ $(−4 \cdot \frac{2}{5}) \cdot 15 =__________$

Lausn

ⓐ
	( 3 + 0 . 6 ) + 0 . 4 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 3 + 0.6 ) + 0.4 = __________
Breytið flokkuninni.	( 3 + 0 . 6 ) + 0 . 4 = 3 + ( 0 . 6 + 0 . 4 ) ( 3 + 0.6 ) + 0.4 = 3 + ( 0.6 + 0.4 )

Takið eftir að $0.6 + 0.4$ er $1,$ svo samlagningin verður auðveldari ef við flokkum eins og sýnt er hægra megin.

ⓑ
	( − 4 · 2 5 ) · 1 5 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( −4 · $\frac{2}{5}$ ) · 15 = __________
Breytið flokkuninni.	( − 4 · 2 5 ) · 1 5 = − 4 · ( 2 5 · 1 5 ) ( −4 · $\frac{2}{5}$ ) · 15 = −4 · ( $\frac{2}{5}$ · 15 )

Takið eftir að $\frac{2}{5} \cdot 15$ er $6 .$ Margföldunin verður auðveldari ef við flokkum eins og sýnt er hægra megin.

Auk þess að nota tengireglurnar til að auðvelda útreikninga notum við þær oft til að einfalda stæður með breytum.

Dæmi 7.7

Notið tengireglu margföldunar til að einfalda: $6 (3 x) .$

Lausn

	6 ⁢ ( 3 ⁢ 𝑥 ) 6 ⁢ ( 3 ⁢ x )
Breytið flokkuninni.	( 6 · 3 ) ⁢ 𝑥 ( 6 · 3 ) ⁢ x
Margfaldið innan sviganna.	1 8 ⁢ 𝑥 18 ⁢ x

Takið eftir að við getum margfaldað $6 \cdot 3,$ en gætum ekki margfaldað $3 \cdot x$ án þess að þekkja gildi $x .$

Reikna gildi stæða með víxlreglum og tengireglum

Víxlreglur og tengireglur geta auðveldað útreikning á gildi sumra algebrustæða. Þar sem röðin skiptir ekki máli þegar þrír eða fleiri liðir eru lagðir saman eða margfaldaðir getum við endurraðað og endurflokkað liðum til að auðvelda vinnuna, eins og næstu dæmi sýna.

Dæmi 7.8

Reiknið gildi hvorrar stæðu þegar $x = \frac{7}{8} .$

ⓐ 𝑥+0.37+(−𝑥) $x + 0.37 + (- x)$
ⓑ 𝑥+(−𝑥)+0.37 $x + (- x) + 0.37$

Lausn

ⓐ

Setjið $\frac{7}{8}$ í stað x .
Breytið almennum brotum í tugabrot.
Leggið saman frá vinstri til hægri.
Dragið frá.

ⓑ

Setjið $\frac{7}{8}$ í stað x.
Leggið samlagningarandhverfurnar saman fyrst.

Hver var munurinn á a-lið og b-lið? Aðeins röðin breyttist. Samkvæmt víxlreglu samlagningar er $x + 0.37 + (- x) = x + (- x) + 0.37 .$ En var b-liður ekki miklu auðveldari?

Skoðum eitt dæmi í viðbót, nú með margföldun.

Dæmi 7.9

Reiknið gildi hvorrar stæðu þegar $n = 17 .$

ⓐ 43⁢(34⁢𝑛) $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} n)$
ⓑ (43·34)⁢𝑛 $(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}) n$

Lausn

ⓐ

Setjið 17 í stað n.
Margfaldið fyrst innan sviganna.
Margfaldið aftur.

ⓑ

Setjið 17 í stað n.
Margfaldið. Margfeldi margföldunarandhverfa er 1.
Margfaldið aftur.

Hver var munurinn á a-lið og b-lið hér? Aðeins flokkunin breyttist. Samkvæmt tengireglu margföldunar er $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} n) = (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}) n .$ Með því að velja flokkun þáttanna af kostgæfni getum við auðveldað útreikninginn.

Einfalda stæður með víxlreglum og tengireglum

Þegar við einföldum algebrustæður getum við oft auðveldað vinnuna með því að beita fyrst víxlreglu eða tengireglu í stað þess að fylgja forgangsröð reikniaðgerða sjálfkrafa. Takið eftir að í dæmi 7.8 var b-liður auðveldari en a-liður vegna þess að samlagningarandhverfurnar voru hlið við hlið og summa þeirra er $0 .$ Á sama hátt var b-liður í dæmi 7.9 auðveldari vegna þess að margföldunarandhverfurnar voru flokkaðar saman og margfeldi þeirra er $1 .$ Í næstu dæmum notum við talnaskilning okkar til að finna leiðir til að beita þessum reglum og auðvelda vinnuna.

Dæmi 7.10

Simplify: −84⁢𝑛+(−73⁢𝑛)+84⁢𝑛. $−84 n + (−73 n) + 84 n .$

Lausn

Takið eftir að fyrsti og þriðji liðurinn eru samlagningarandhverfur. Við getum því notað víxlreglu samlagningar til að endurraða liðunum.

	− 8 4 ⁢ 𝑛 + ( − 7 3 ⁢ 𝑛 ) + 8 4 ⁢ 𝑛 −84 ⁢ n + ( −73 ⁢ n ) + 84 ⁢ n
Endurraðið liðunum.	− 8 4 ⁢ 𝑛 + 8 4 ⁢ 𝑛 + ( − 7 3 ⁢ 𝑛 ) −84 ⁢ n + 84 ⁢ n + ( −73 ⁢ n )
Leggið saman frá vinstri til hægri.	0 + ( − 7 3 ⁢ 𝑛 ) 0 + ( −73 ⁢ n )
Leggið saman.	− 7 3 ⁢ 𝑛 −73 ⁢ n

Nú sjáum við hvernig það hjálpar að þekkja margföldunarandhverfur. Áður en margfaldað er frá vinstri til hægri skulið þið leita að margföldunarandhverfum, því margfeldi þeirra er $1 .$

Dæmi 7.11

Simplify: 715·823·157. $\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7} .$

Lausn

Takið eftir að fyrsti og þriðji þátturinn eru margföldunarandhverfur. Við getum því notað víxlreglu margföldunar til að endurraða þáttunum.

	7 1 5 · 8 2 3 · 1 5 7 $\frac{7}{15}$ · $\frac{8}{23}$ · $\frac{15}{7}$
Endurraðið liðunum.	7 1 5 · 1 5 7 · 8 2 3 $\frac{7}{15}$ · $\frac{15}{7}$ · $\frac{8}{23}$
Margfaldið frá vinstri til hægri.	1 · 8 2 3 1 · $\frac{8}{23}$
Margfaldið.	8 2 3 $\frac{8}{23}$

Í stæðum þar sem leggja þarf saman eða draga frá þrjú eða fleiri brot skulið þið byrja á að sameina þau sem hafa samnefnara.

Dæmi 7.12

Simplify: (513+34)+14. $(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4} .$

Lausn

Takið eftir að annar og þriðji liðurinn hafa samnefnara. Útreikningurinn verður því auðveldari ef flokkuninni er breytt.

	( 5 1 3 + 3 4 ) + 1 4 ( $\frac{5}{13}$ + $\frac{3}{4}$ ) + $\frac{1}{4}$
Flokkið saman liðina sem hafa samnefnara.	5 1 3 + ( 3 4 + 1 4 ) $\frac{5}{13}$ + ( $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ )
Leggið fyrst saman innan sviganna.	5 1 3 + ( 4 4 ) $\frac{5}{13}$ + ( $\frac{4}{4}$ )
Styttið brotið.	5 1 3 + 1 $\frac{5}{13}$ + 1
Leggið saman.	1 5 1 3 1 $\frac{5}{13}$
Breytið í óeiginlegt brot.	1 8 1 3 $\frac{18}{13}$

Þegar þrír eða fleiri liðir með tugabrotum eru lagðir saman eða dregnir frá skulið þið leita að liðum sem saman gefa heilar tölur.

Dæmi 7.13

Simplify: (6.47⁢𝑞+9.99⁢𝑞)+1.01⁢𝑞. $(6.47 q + 9.99 q) + 1.01 q .$

Lausn

Takið eftir að summa annars og þriðja stuðulsins er heil tala.

	( 6 . 4 7 ⁢ 𝑞 + 9 . 9 9 ⁢ 𝑞 ) + 1 . 0 1 ⁢ 𝑞 ( 6.47 ⁢ q + 9.99 ⁢ q ) + 1.01 ⁢ q
Breytið flokkuninni.	6 . 4 7 ⁢ 𝑞 + ( 9 . 9 9 ⁢ 𝑞 + 1 . 0 1 ⁢ 𝑞 ) 6.47 ⁢ q + ( 9.99 ⁢ q + 1.01 ⁢ q )
Leggið fyrst saman innan sviganna.	6 . 4 7 ⁢ 𝑞 + ( 1 1 . 0 0 ⁢ 𝑞 ) 6.47 ⁢ q + ( 11.00 ⁢ q )
Leggið saman.	1 7 . 4 7 ⁢ 𝑞 17.47 ⁢ q

Margir hafa góðan talnaskilning þegar þeir fást við peninga. Hugsið um að leggja saman $99$ sent og $1$ sent. Sjáið þið hvernig þetta tengist samlagningunni $9.99 + 1.01 ?$

Hvað sem þið eruð að gera er alltaf gott að hugsa fram í tímann. Þegar þið einfaldið stæðu skulið þið íhuga hver skrefin verða. Næsta dæmi sýnir hvernig tengiregla margföldunar getur auðveldað vinnuna ef þið skipuleggið hana fyrir fram.

Dæmi 7.14

Einfaldið stæðuna: $[1.67 (8)] (0.25) .$

Lausn

Takið eftir að auðveldara er að margfalda $(8) (0.25)$ en $1.67 (8)$ vegna þess að útkoman er heil tala. (Hugsið ykkur $8$ fjórðungsdollara, sem eru $$2.)$

	[ 1 . 6 7 ⁢ ( 8 ) ] ⁢ ( 0 . 2 5 ) [ 1.67 ⁢ ( 8 ) ] ⁢ ( 0.25 )
Endurflokkið.	1 . 6 7 ⁢ [ ( 8 ) ⁢ ( 0 . 2 5 ) ] 1.67 ⁢ [ ( 8 ) ⁢ ( 0.25 ) ]
Margfaldið fyrst innan hornklofanna.	1 . 6 7 ⁢ [ 2 ] 1.67 ⁢ [ 2 ]
Margfaldið.	3 . 3 4 3.34

Þegar við einföldum stæður sem innihalda breytur getum við notað víxlreglur og tengireglur til að endurraða eða endurflokka liðum, eins og næstu tvö dæmi sýna.

Dæmi 7.15

Einfaldið: $6 (9 x) .$

Lausn

	6 ⁢ ( 9 ⁢ 𝑥 ) 6 ⁢ ( 9 ⁢ x )
Notið tengireglu margföldunar til að endurflokka.	( 6 · 9 ) ⁢ 𝑥 ( 6 · 9 ) ⁢ x
Margfaldið innan sviganna.	5 4 ⁢ 𝑥 54 ⁢ x

Í kaflanum Tungumál algebrunnar lærðum við að sameina samkynja liði með því að endurraða stæðu þannig að samkynja liðir væru saman. Við einfölduðum stæðuna $3 x + 7 + 4 x + 5$ með því að umrita hana sem $3 x + 4 x + 7 + 5$ og einfölduðum hana síðan í $7 x + 12 .$ Þar beittum við víxlreglu samlagningar.

Dæmi 7.16

Simplify: 18⁢𝑝+6⁢𝑞+(−15⁢𝑝)+5⁢𝑞. $18 p + 6 q + (−15 p) + 5 q .$

Lausn

Notið víxlreglu samlagningar til að endurraða þannig að samkynja liðir séu saman.

	1 8 ⁢ 𝑝 + 6 ⁢ 𝑞 + ( − 1 5 ⁢ 𝑝 ) + 5 ⁢ 𝑞 18 ⁢ p + 6 ⁢ q + ( −15 ⁢ p ) + 5 ⁢ q
Endurraðið liðunum.	1 8 ⁢ 𝑝 + ( − 1 5 ⁢ 𝑝 ) + 6 ⁢ 𝑞 + 5 ⁢ 𝑞 18 ⁢ p + ( −15 ⁢ p ) + 6 ⁢ q + 5 ⁢ q
Sameinið samkynja liði.	3 ⁢ 𝑝 + 1 1 ⁢ 𝑞 3 ⁢ p + 11 ⁢ q

Æfingar úr kafla 7.2

Æfingin skapar meistarann

Notið víxlreglu og tengireglu

Í eftirfarandi æfingum skulið þið nota víxlreglurnar til að umrita gefna stæðu.

20.

8+9=___ $8 + 9 =___$

21.

7+6=___ $7 + 6 =___$

22.

8⁢(−12)=___ $8 (−12) =___$

23.

7⁢(−13)=___ $7 (−13) =___$

24.

(−19)⁢(−14)=___ $(−19) (−14) =___$

25.

(−12)⁢(−18)=___ $(−12) (−18) =___$

26.

−11+8=___ $−11 + 8 =___$

27.

−15+7=___ $−15 + 7 =___$

28.

𝑥+4=___ $x + 4 =___$

29.

𝑦+1=___ $y + 1 =___$

30.

−2⁢𝑎=___ $−2 a =___$

31.

−3⁢𝑚=___ $−3 m =___$

Í eftirfarandi æfingum skulið þið nota tengireglurnar til að umrita gefna stæðu.

32.

(11+9)+14=___ $(11 + 9) + 14 =___$

33.

(21+14)+9=___ $(21 + 14) + 9 =___$

34.

(12·5)·7=___ $(12 \cdot 5) \cdot 7 =___$

35.

(14·6)·9=___ $(14 \cdot 6) \cdot 9 =___$

36.

(−7+9)+8=___ $(−7 + 9) + 8 =___$

37.

(−2+6)+7=___ $(−2 + 6) + 7 =___$

38.

(16·45)·15=___ $(16 \cdot \frac{4}{5}) \cdot 15 =___$

39.

(13·23)·18=___ $(13 \cdot \frac{2}{3}) \cdot 18 =___$

40.

3⁢(4⁢𝑥)=___ $3 (4 x) =___$

41.

4⁢(7⁢𝑥)=___ $4 (7 x) =___$

42.

(12+𝑥)+28=___ $(12 + x) + 28 =___$

43.

(17+𝑦)+33=___ $(17 + y) + 33 =___$

Reikna gildi stæða með víxlreglum og tengireglum

Í eftirfarandi æfingum skulið þið reikna gildi hverrar stæðu fyrir gefið gildi.

44.

Ef $y = \frac{5}{8},$ reiknið þá gildið:

ⓐ 𝑦 +0.49 +(−𝑦) $y + 0.49 + (- y)$
ⓑ 𝑦 +(−𝑦) +0.49 $y + (- y) + 0.49$

45.

Ef $z = \frac{7}{8},$ reiknið þá gildið:

ⓐ 𝑧 +0.97 +(−𝑧) $z + 0.97 + (- z)$
ⓑ 𝑧 +(−𝑧) +0.97 $z + (- z) + 0.97$

46.

Ef $c = - \frac{11}{4},$ reiknið þá gildið:

ⓐ 𝑐 +3.125 +(−𝑐) $c + 3.125 + (- c)$
ⓑ 𝑐 +(−𝑐) +3.125 $c + (- c) + 3.125$

47.

Ef $d = - \frac{9}{4},$ reiknið þá gildið:

ⓐ 𝑑 +2.375 +(−𝑑) $d + 2.375 + (- d)$
ⓑ 𝑑 +(−𝑑) +2.375 $d + (- d) + 2.375$

48.

Ef $j = 11,$ reiknið þá gildið:

ⓐ 56⁢(65⁢𝑗) $\frac{5}{6} (\frac{6}{5} j)$
ⓑ (56·65)⁢𝑗 $(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}) j$

49.

Ef $k = 21,$ reiknið þá gildið:

ⓐ 413⁢(134⁢𝑘) $\frac{4}{13} (\frac{13}{4} k)$
ⓑ (413·134)⁢𝑘 $(\frac{4}{13} \cdot \frac{13}{4}) k$

50.

Ef $m = −25,$ reiknið þá gildið:

ⓐ −37⁢(73⁢𝑚) $- \frac{3}{7} (\frac{7}{3} m)$
ⓑ (−37·73)⁢𝑚 $(- \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}) m$

51.

Ef $n = −8,$ reiknið þá gildið:

ⓐ −521⁢(215⁢𝑛) $- \frac{5}{21} (\frac{21}{5} n)$
ⓑ (−521·215)⁢𝑛 $(- \frac{5}{21} \cdot \frac{21}{5}) n$

Einfalda stæður með víxlreglum og tengireglum

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

52.

−45⁢𝑎+15+45⁢𝑎 $−45 a + 15 + 45 a$

53.

9⁢𝑦+23+(−9⁢𝑦) $9 y + 23 + (−9 y)$

54.

12+78+(−12) $\frac{1}{2} + \frac{7}{8} + (- \frac{1}{2})$

55.

25+512+(−25) $\frac{2}{5} + \frac{5}{12} + (- \frac{2}{5})$

56.

320·4911·203 $\frac{3}{20} \cdot \frac{49}{11} \cdot \frac{20}{3}$

57.

1318·257·1813 $\frac{13}{18} \cdot \frac{25}{7} \cdot \frac{18}{13}$

58.

712·917·247 $\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{24}{7}$

59.

310·1323·503 $\frac{3}{10} \cdot \frac{13}{23} \cdot \frac{50}{3}$

60.

−24·7·38 $−24 \cdot 7 \cdot \frac{3}{8}$

61.

−36·11·49 $−36 \cdot 11 \cdot \frac{4}{9}$

62.

(56+815)+715 $(\frac{5}{6} + \frac{8}{15}) + \frac{7}{15}$

63.

(112+49)+59 $(\frac{1}{12} + \frac{4}{9}) + \frac{5}{9}$

64.

513+34+14 $\frac{5}{13} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

65.

815+57+27 $\frac{8}{15} + \frac{5}{7} + \frac{2}{7}$

66.

(4.33⁢𝑝+1.09⁢𝑝)+3.91⁢𝑝 $(4.33 p + 1.09 p) + 3.91 p$

67.

(5.89⁢𝑑+2.75⁢𝑑)+1.25⁢𝑑 $(5.89 d + 2.75 d) + 1.25 d$

68.

17⁢(0.25)⁢(4) $17 (0.25) (4)$

69.

36⁢(0.2)⁢(5) $36 (0.2) (5)$

70.

[2.48⁢(12)]⁢(0.5) $[2.48 (12)] (0.5)$

71.

[9.731⁢(4)]⁢(0.75) $[9.731 (4)] (0.75)$

72.

7⁢(4⁢𝑎) $7 (4 a)$

73.

9⁢(8⁢𝑤) $9 (8 w)$

74.

−15⁢(5⁢𝑚) $−15 (5 m)$

75.

−23⁢(2⁢𝑛) $−23 (2 n)$

76.

12⁢(56⁢𝑝) $12 (\frac{5}{6} p)$

77.

20⁢(35⁢𝑞) $20 (\frac{3}{5} q)$

78.

14⁢𝑥+19⁢𝑦+25⁢𝑥+3⁢𝑦 $14 x + 19 y + 25 x + 3 y$

79.

15⁢𝑢+11⁢𝑣+27⁢𝑢+19⁢𝑣 $15 u + 11 v + 27 u + 19 v$

80.

43⁢𝑚+(−12⁢𝑛)+⁢(−16⁢𝑚)+(−9⁢𝑛) $43 m + (−12 n) + (−16 m) + (−9 n)$

81.

−22⁢𝑝+17⁢𝑞+(−35⁢𝑝)+(−27⁢𝑞) $−22 p + 17 q + (−35 p) + (−27 q)$

82.

38⁢𝑔+112⁢ℎ+78⁢𝑔+512⁢ℎ $\frac{3}{8} g + \frac{1}{12} h + \frac{7}{8} g + \frac{5}{12} h$

83.

56⁢𝑎+310⁢𝑏+16⁢𝑎+910⁢𝑏 $\frac{5}{6} a + \frac{3}{10} b + \frac{1}{6} a + \frac{9}{10} b$

84.

6.8⁢𝑝+9.14⁢𝑞+(−4.37⁢𝑝)+(−0.88⁢𝑞) $6.8 p + 9.14 q + (−4.37 p) + (−0.88 q)$

85.

9.6⁢𝑚+7.22⁢𝑛+(−2.19⁢𝑚)+(−0.65⁢𝑛) $9.6 m + 7.22 n + (−2.19 m) + (−0.65 n)$

Stærðfræði daglegs lífs

86.

Frímerki Allie og Loren þurfa að kaupa frímerki. Allie þarf fjögur $$0.49$ frímerki og níu $$0.02$ frímerki. Loren þarf átta $$0.49$ frímerki og þrjú $$0.02$ frímerki.

ⓐ Hvað kosta frímerki Allie?
ⓑ Hvað kosta frímerki Loren?
ⓓ Hversu mörg $$0.49$ frímerki þurfa stúlkurnar samtals? Hvað kosta þau?
ⓔ Hversu mörg $$0.02$ frímerki þurfa stúlkurnar samtals? Hvað kosta þau?

87.

Talning reiðufjár. Grant er að telja saman reiðufé frá fjáröflunarkvöldverði. Í einu umslagi eru tuttugu og þrír $$5$ seðlar, átján $$10$ seðlar og þrjátíu og fjórir $$20$ seðlar. Í öðru umslagi eru fjórtán $$5$ seðlar, níu $$10$ seðlar og tuttugu og sjö $$20$ seðlar.

ⓐ Hversu mikið fé er í fyrra umslaginu?
ⓑ Hversu mikið fé er í seinna umslaginu?
ⓓ Hvert er heildarverðmæti allra $$5$ seðlanna?
ⓔ Hvert er heildarverðmæti allra $$10$ seðlanna?
ⓕ Hvert er heildarverðmæti allra $$20$ seðlanna?

Ritunarverkefni

88.

Lýsið víxlreglu samlagningar með eigin orðum og útskýrið hvers vegna hún er gagnleg.

89.

Lýsið tengireglu margföldunar með eigin orðum og útskýrið hvers vegna hún er gagnleg.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið við verkefnin skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir að hafa farið yfir gátlistann til að öðlast öryggi í öllum markmiðunum?