77 Eiginleikar rauntalna

7.4 Eiginleikar hlutleysa, andhverfa og núlls

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

Þekkja hlutleysureglur samlagningar og margföldunar
Nota andhverfureglur samlagningar og margföldunar
Notað reglur um núll
Einfalda stæður með reglum um hlutleysur, andhverfur og núll

Þekkja hlutleysureglur samlagningar og margföldunar

Hvað gerist þegar núll er lagt við tölu? Gildið breytist ekki. Þess vegna köllum við $0$ samlagningarhlutleysu.

Til dæmis

\begin{matrix} 13 + 0 & −14 + 0 & 0 + (−3 x) \\ 13 & −14 & −3 x \end{matrix}

Hvað gerist þegar tala er margfölduð með einum? Gildið breytist ekki. Þess vegna köllum við $1$ margföldunarhlutleysu.

Til dæmis

\begin{matrix} 43 \cdot 1 & −27 \cdot 1 & 1 \cdot \frac{6 y}{5} \\ 43 & −27 & \frac{6 y}{5} \end{matrix}

Dæmi 7.33

Ákvarðið hvort hver jafna sýni hlutleysureglu samlagningar eða margföldunar.

ⓐ 7 +0 =7 $7 + 0 = 7$
ⓑ −16⁢(1)=−16 $−16 (1) = −16$

Lausn

ⓐ
	7 + 0 = 7
Við leggjum 0 við.	Við notum hlutleysureglu samlagningar.

ⓑ
	− 1 6 ⁢ ( 1 ) = − 1 6 −16 ⁢ ( 1 ) = −16
Við margföldum með 1.	Við notum hlutleysureglu margföldunar.

Nota andhverfureglur samlagningar og margföldunar

Hvaða tala lögð við 5 gefur samlagningarhlutleysuna 0?
5 + _ _ _ _ _ = 0 5 + _____ = 0
Hvaða tala lögð við −6 gefur samlagningarhlutleysuna 0?
− 6 + _ _ _ _ _ = 0 −6 + _____ = 0

Takið eftir að í báðum tilvikum var talan sem vantaði samlagningarandhverfa gefnu tölunnar.

Við köllum $- a$ samlagningarandhverfu $a .$ Tala með gagnstæðu formerki er samlagningarandhverfa gefnu tölunnar. Summa tölu og samlagningarandhverfu hennar er $0,$ sem er samlagningarhlutleysan.

Hvaða tala margfölduð með $\frac{2}{3}$ gefur margföldunarhlutleysuna $1 ?$ Með öðrum orðum, hvað þarf að margfalda tvo þriðju með til að fá $1 ?$

2 3 · _ _ _ = 1 2/3 · ___ = 1

Hvaða tala margfölduð með $2$ gefur margföldunarhlutleysuna $1 ?$ Með öðrum orðum, hvað þarf að margfalda tvo með til að fá $1 ?$

2 · _ _ _ = 1 2 · ___ = 1

Takið eftir að í báðum tilvikum var talan sem vantaði margföldunarandhverfa gefnu tölunnar.

Við köllum $\frac{1}{a}$ margföldunarandhverfu $a (a \neq 0) .$ Margföldunarandhverfa tölu er gagnhverfa hennar. Margfeldi tölu og margföldunarandhverfu hennar er $1,$ sem er margföldunarhlutleysan.

Hér setjum við andhverfureglurnar fram formlega:

Dæmi 7.34

Finnið samlagningarandhverfu hverrar stæðu: ⓐ $13$ ⓑ $- \frac{5}{8}$ ⓒ $0.6$ .

Lausn

Til að finna samlagningarandhverfuna finnum við töluna með gagnstæðu formerki.

ⓐ Samlagningarandhverfa $13$ er talan með gagnstæðu formerki, $−13 .$
ⓑ Samlagningarandhverfa $- \frac{5}{8}$ er talan með gagnstæðu formerki, $\frac{5}{8} .$
ⓒ Samlagningarandhverfa $0.6$ er talan með gagnstæðu formerki, $−0.6 .$

Dæmi 7.35

Finnið margföldunarandhverfuna: ⓐ $9$ ⓑ $- \frac{1}{9}$ ⓒ $0.9$ .

Lausn

Til að finna margföldunarandhverfuna snúum við teljara og nefnara við.

ⓐ Margföldunarandhverfa $9$ er gagnhverfan $\frac{1}{9} .$
ⓑ Margföldunarandhverfa $- \frac{1}{9}$ er gagnhverfan $−9 .$
ⓒ Til að finna margföldunarandhverfu $0.9,$ breytum við fyrst $0.9$ í brotið $\frac{9}{10} .$ Síðan finnum við gagnhverfuna $\frac{10}{9} .$

Notið reglur um núll

Við höfum þegar lært að núll er samlagningarhlutleysa, þar sem leggja má það við hvaða tölu sem er án þess að gildi tölunnar breytist. Núll hefur einnig sérstaka eiginleika í margföldun og deilingu.

Margföldun með núlli

Hvað gerist þegar tala er margfölduð með $0 ?$ Margföldun með $0$ gefur margfeldið núll. Margfeldi sérhverrar rauntölu og $0$ er $0 .$

Dæmi 7.36

Simplify: ⓐ −8 ·0 $−8 \cdot 0$ ⓑ 512 ·0 $\frac{5}{12} \cdot 0$ ⓒ 0⁢(2.94) $0 (2.94)$ .

Lausn

ⓐ
	− 8 ⋅ 0 −8 ⋅ 0
Margfeldi sérhverrar rauntölu og 0 er 0.	0 0

ⓑ
	5 1 2 · 0 $\frac{5}{12}$ · 0
Margfeldi sérhverrar rauntölu og 0 er 0.	0 0

ⓒ
	0 ⁢ ( 2 . 9 4 ) 0 ⁢ ( 2.94 )
Margfeldi sérhverrar rauntölu og 0 er 0.	0 0

Deiling með núlli

En hvað um deilingu með $0 ?$ Hugsið um raunverulegt dæmi: Ef engar smákökur eru í krukku og þrír einstaklingar vilja skipta þeim á milli sín, hversu margar smákökur fær hver? Það eru $0$ smákökur til skiptanna og því fær hver einstaklingur $0$ smákökur.

0 \div 3 = 0

Munið að við getum alltaf sannreynt deilingu með tilheyrandi margföldunardæmi. Við vitum því að

03 = 0 vegna ess a 03 = 0

Núll deilt með sérhverri rauntölu annarri en núlli er núll.

Dæmi 7.37

Einfaldið: ⓐ $0 \div 5$ ⓑ $\frac{0}{−2}$ ⓒ $0 \div \frac{7}{8}$ .

Lausn

ⓐ
	0 ÷ 5 0 ÷ 5
Núll deilt með sérhverri rauntölu annarri en núlli er núll.	0 0

ⓑ
	0 − 2 0/−2
Núll deilt með sérhverri rauntölu annarri en núlli er núll.	0 0

ⓒ
	0 ÷ 7 8 0 ÷ $\frac{7}{8}$
Núll deilt með sérhverri rauntölu annarri en núlli er núll.	0 0

Hugsum nú um að deila tölu með núlli. Hver er niðurstaðan þegar $4$ er deilt með $0 ?$ Skoðið tilheyrandi margföldunardæmi. Er til tala sem margfölduð með $0$ gefur $4 ?$

40 = ir 0 = 4

Þar sem sérhver rauntala margfölduð með $0$ er $0,$ er engin rauntala sem má margfalda með $0$ og fá $4 .$ Þar sem ekkert svar er við $4 \div 0,$ segjum við að deiling með núlli sé óskilgreind.

Deiling með núlli er óskilgreind.

Dæmi 7.38

Einfaldið: ⓐ $7.5 \div 0$ ⓑ $\frac{−32}{0}$ ⓒ $\frac{4}{9} \div 0$ .

Lausn

ⓐ
	7 . 5 ÷ 0 7.5 ÷ 0
Deiling með núlli er óskilgreind.	óskilgreint

ⓑ
	− 3 2 0 − $\frac{32}{0}$
Deiling með núlli er óskilgreind.	óskilgreint

ⓒ
	4 9 ÷ 0 $\frac{4}{9}$ ÷ 0
Deiling með núlli er óskilgreind.	óskilgreint

Við tökum saman eiginleika núlls.

Einfalda stæður með reglum um hlutleysur, andhverfur og núll

Nú æfum við okkur í að nota hlutleysureglur, andhverfureglur og reglur um núll til að einfalda stæður.

Dæmi 7.39

Einfaldið: $3 x + 15 - 3 x .$

Lausn

	3 ⁢ 𝑥 + 1 5 − 3 ⁢ 𝑥 3 ⁢ x + 15 − 3 ⁢ x
Takið eftir samlagningarandhverfunum 3 ⁢ x og −3 ⁢ x .	0 + 1 5 0 + 15
Leggið saman.	1 5 15

Dæmi 7.40

Einfaldið: $4 (0.25 q) .$

Lausn

	4 ⁢ ( 0 . 2 5 ⁢ 𝑞 ) 4 ⁢ ( 0.25 ⁢ q )
Endurflokkið með tengireglu.	[ 4 ⁢ ( 0 . 2 5 ) ] ⁢ 𝑞 [ 4 ⁢ ( 0.25 ) ] ⁢ q
Margfaldið.	1 . 0 0 ⁢ 𝑞 1.00 ⁢ q
Einfaldið; 1 er margföldunarhlutleysan.	𝑞 q

Dæmi 7.41

Einfaldið: $\frac{0}{n + 5}$ , þar sem $n \neq −5$ .

Lausn

	0 𝑛 + 5 0/n + 5
Núll deilt með sérhverri rauntölu annarri en núlli er núll.	0 0

Dæmi 7.42

Einfaldið: $\frac{10 - 3 p}{0} .$

Lausn

	1 0 − 3 ⁢ 𝑝 0 10 − 3 ⁢ p/0
Deiling með núlli er óskilgreind.	óskilgreint

Dæmi 7.43

Simplify: 34·43⁢(6⁢𝑥+12). $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12) .$

Lausn

Við getum ekki sameinað liðina innan sviganna og margföldum því brotin tvö fyrst.

	3 4 · 4 3 ⁢ ( 6 ⁢ 𝑥 + 1 2 ) $\frac{3}{4}$ · $\frac{4}{3}$ ⁢ ( 6 ⁢ x + 12 )
Margfaldið; margfeldi margföldunarandhverfa er 1.	1 ⁢ ( 6 ⁢ 𝑥 + 1 2 ) 1 ⁢ ( 6 ⁢ x + 12 )
Einfaldið með því að þekkja margföldunarhlutleysuna.	6 ⁢ 𝑥 + 1 2 6 ⁢ x + 12

Allar reglur um rauntölur sem við höfum notað í þessum kafla eru teknar saman í töflu 7.1 .

Regla	Um samlagningu	Um margföldun
Víxlregla
Ef a og b eru rauntölur, þá …	𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 a + b = b + a	𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎 a · b = b · a
Tengiregla
Ef a , b og c eru rauntölur, þá …	( 𝑎 + 𝑏 ) + 𝑐 = 𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c )	( 𝑎 · 𝑏 ) · 𝑐 = 𝑎 · ( 𝑏 · 𝑐 ) ( a · b ) · c = a · ( b · c )
Hlutleysuregla	0 er samlagningarhlutleysan	1 er margföldunarhlutleysan
Fyrir sérhverja rauntölu a ,	𝑎 + 0 = 𝑎 0 + 𝑎 = 𝑎 a + 0 = a 0 + a = a	𝑎 · 1 = 𝑎 1 · 𝑎 = 𝑎 a · 1 = a 1 · a = a
Andhverfuregla	− a er samlagningarandhverfa tölunnar a	a , a ≠ 01 / a er margföldunarandhverfa tölunnar a
Fyrir sérhverja rauntölu a ,	𝑎 + ( − 𝑎 ) = 0 a + ( − a ) = 0	𝑎 · 1 𝑎 = 1 a · 1/a = 1
Dreifiregla: Ef a , b , c eru rauntölur, þá a ⁢ ( b + c ) = a ⁢ b + a ⁢ c
Reglur um núll
Fyrir sérhverja rauntölu a ,	𝑎 ⋅ 0 = 0 0 ⋅ 𝑎 = 0 a ⋅ 0 = 0 0 ⋅ a = 0
Fyrir sérhverja rauntölu a , a ≠ 0	$\frac{0}{a} = \frac{0a}{0 er óskilgreint}$

Æfingar úr kafla 7.4

Æfingin skapar meistarann

Þekkja hlutleysureglur samlagningar og margföldunar

Í eftirfarandi æfingum skulið þið ákvarða hvort hvert dæmi noti hlutleysureglu samlagningar eða margföldunar.

158.

101+0=101 $101 + 0 = 101$

159.

35⁢(1)=35 $\frac{3}{5} (1) = \frac{3}{5}$

160.

−9·1=−9 $−9 \cdot 1 = −9$

161.

0+64=64 $0 + 64 = 64$

Nota andhverfureglur samlagningar og margföldunar

Finnið margföldunarandhverfuna í eftirfarandi æfingum.

162.

8 $8$

163.

14 $14$

164.

−17 $−17$

165.

−19 $−19$

166.

712 $\frac{7}{12}$

167.

813 $\frac{8}{13}$

168.

−310 $- \frac{3}{10}$

169.

−512 $- \frac{5}{12}$

170.

0.8 $0.8$

171.

0.4 $0.4$

172.

−0.2 $−0.2$

173.

−0.5 $−0.5$

Notið reglur um núll

Einfaldið með reglum um núll í eftirfarandi æfingum.

174.

48·0 $48 \cdot 0$

175.

06 $\frac{0}{6}$

176.

30 $\frac{3}{0}$

177.

22·0 $22 \cdot 0$

178.

0÷1112 $0 \div \frac{11}{12}$

179.

60 $\frac{6}{0}$

180.

03 $\frac{0}{3}$

181.

0÷715 $0 \div \frac{7}{15}$

182.

0·815 $0 \cdot \frac{8}{15}$

183.

(−3.14)⁢(0) $(−3.14) (0)$

184.

5.72÷0 $5.72 \div 0$

185.

1100 $\frac{\frac{1}{10}}{0}$

Einfalda stæður með reglum um hlutleysur, andhverfur og núll

Einfaldið með reglum um hlutleysur, andhverfur og núll í eftirfarandi æfingum.

186.

19⁢𝑎+44−19⁢𝑎 $19 a + 44 - 19 a$

187.

27⁢𝑐+16−27⁢𝑐 $27 c + 16 - 27 c$

188.

38+11⁢𝑟−38 $38 + 11 r - 38$

189.

92+31⁢𝑠−92 $92 + 31 s - 92$

190.

10⁢(0.1⁢𝑑) $10 (0.1 d)$

191.

100⁢(0.01⁢𝑝) $100 (0.01 p)$

192.

5⁢(0.6⁢𝑞) $5 (0.6 q)$

193.

40⁢(0.05⁢𝑛) $40 (0.05 n)$

194.

$\frac{0}{r + 20}$ , þar sem $r \neq −20$

195.

$\frac{0}{s + 13}$ , þar sem $s \neq −13$

196.

$\frac{0}{u - 4.99}$ , þar sem $u \neq 4.99$

197.

$\frac{0}{v - 65.1}$ , þar sem $v \neq 65.1$

198.

0 ÷(𝑥−12) $0 \div (x - \frac{1}{2})$ , þar sem 𝑥 ≠12 $x \neq \frac{1}{2}$

199.

0 ÷(𝑦−16) $0 \div (y - \frac{1}{6})$ , þar sem 𝑦 ≠16 $y \neq \frac{1}{6}$

200.

$\frac{32 - 5 a}{0}$ , þar sem $32 - 5 a \neq 0$

201.

$\frac{28 - 9 b}{0}$ , þar sem $28 - 9 b \neq 0$

202.

$\frac{2.1 + 0.4 c}{0}$ , þar sem $2.1 + 0.4 c \neq 0$

203.

$\frac{1.75 + 9 f}{0}$ , þar sem $1.75 + 9 f \neq 0$

204.

(34+910⁢𝑚) ÷0 $(\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m) \div 0$ , þar sem 34 +910⁢𝑚 ≠0 $\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m \neq 0$

205.

(516⁢𝑛−37)÷0 $(\frac{5}{16} n - \frac{3}{7}) \div 0$ , þar sem 516⁢𝑛−37≠0 $\frac{5}{16} n - \frac{3}{7} \neq 0$

206.

910·109⁢(18⁢𝑝−21) $\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9} (18 p - 21)$

207.

57·75⁢(20⁢𝑞−35) $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} (20 q - 35)$

208.

15·35⁢(4⁢𝑑+10) $15 \cdot \frac{3}{5} (4 d + 10)$

209.

18·56⁢(15⁢ℎ+24) $18 \cdot \frac{5}{6} (15 h + 24)$

Stærðfræði daglegs lífs

210.

Þátttaka sjúklings í tannviðgerð. Carrie þurfti að láta gera við $5$ tennur. Hver viðgerð kostaði $$80 .$ Tanntryggingin krafðist þess að hún greiddi $20 %$ kostnaðarins. Reiknið kostnað Carrie

ⓐ með því að finna greiðslu hennar fyrir hverja viðgerð og síðan heildarkostnað hennar fyrir $5$ viðgerðir og
ⓑ með því að margfalda $5 (0.20) (80) .$

211.

Eldunartími Helen keypti $24 punda$ kalkún fyrir þakkargjörðarkvöldverð fjölskyldunnar og vill vita hvenær hún á að setja hann í ofninn. Hún ætlar að reikna með $20$ mínútna eldunartíma á hvert pund.

ⓐ Reiknið tímann sem þarf til að steikja kalkúninn með því að margfalda $24 \cdot 20$ til að finna mínútufjöldann og margfalda síðan margfeldið með $\frac{1}{60}$ til að breyta mínútum í klukkustundir.
ⓑ Multiply 24⁢(20·160). $24 (20 \cdot \frac{1}{60}) .$

Ritunarverkefni

212.

Lýsið með eigin orðum muninum á samlagningarandhverfu og margföldunarandhverfu tölu.

213.

Hvernig getur notkun reglna um rauntölur auðveldað einföldun stæða?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið við verkefnin skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Hvernig metið þið tök ykkar á þessum kafla á kvarðanum 1–10 með hliðsjón af svörunum við gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?