2.2 Finna gildi stæða, einfalda þær og þýða orðalag yfir á stæður – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
22 Tungumál algebrunnar
2.2 Finna gildi stæða, einfalda þær og þýða orðalag yfir á stæður
2.2 Finna gildi stæða, einfalda þær og þýða orðalag yfir á stæður
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Fundið gildi algebrustæða
Borið kennsl á liði, stuðla og samkynja liði
Einfaldað stæður með því að sameina samkynja liði
Þýtt orðalag yfir á algebrustæður
Finna gildi algebrustæða
Í síðasta kafla einfölduðum við stæður með því að fylgja forgangsröð reikniaðgerða. Í þessum kafla finnum við gildi stæða og fylgjum aftur forgangsröð reikniaðgerða.
Að finna gildi algebrustæðu merkir að finna gildi stæðunnar þegar breytunni er skipt út fyrir tiltekna tölu. Til að finna gildi stæðu setjum við tilteknu töluna inn fyrir breytuna og einföldum síðan stæðuna samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða.
Dæmi 2.13
Finnið gildi þegar
ⓐ
𝑥 =3
ⓑ
𝑥 =12
Lausn
ⓐ Til að finna gildið setjum við inn fyrir í stæðuna og einföldum síðan.
Setjið inn.
Leggið saman.
Þegar hefur stæðan gildið
ⓑ Til að finna gildið setjum við inn fyrir í stæðuna og einföldum síðan.
Setjið inn.
Leggið saman.
Þegar hefur stæðan gildið
Takið eftir að við fengum ólíkar niðurstöður í liðum ⓐ og ⓑ þótt við byrjuðum með sömu stæðuna. Ástæðan er sú að við notuðum ólík gildi fyrir voru ólík. Þegar við finnum gildi stæðu fer niðurstaðan eftir gildinu sem sett er inn fyrir breytuna.
Dæmi 2.14
Finnið gildi
ⓐ 𝑥 =5
ⓑ
𝑥 =1
Lausn
Munið að merkir sinnum svo merkir sinnum
ⓐ Til að finna gildi stæðunnar þegar setjum við inn fyrir og einföldum síðan.
Margfaldið.
Dragið frá.
ⓑ Til að finna gildi stæðunnar þegar setjum við inn fyrir og einföldum síðan.
Margfaldið.
Dragið frá.
Takið eftir að í lið ⓐ skrifuðum við en í lið ⓑ skrifuðum við Bæði margföldunarpunkturinn og svigarnir gefa til kynna margföldun.
Dæmi 2.15
Finnið gildi þegar
Lausn
Við setjum inn fyrir og einföldum síðan stæðuna.
Notið skilgreiningu veldisvísis.
Margfaldið.
Þegar hefur stæðan gildið
Dæmi 2.16
Finnið gildið2𝑥þegar𝑥=5.
Lausn
Í þessari stæðu er breytan veldisvísir.
Notið skilgreiningu veldisvísis.
Margfaldið.
Þegar hefur stæðan gildið
Dæmi 2.17
Finnið gildið3𝑥+4𝑦−6þegar𝑥=10og 𝑦=2.
Lausn
Þessi stæða inniheldur tvær breytur og því þurfum við að setja inn tvö gildi.
Margfaldið.
Leggið saman og dragið frá frá vinstri til hægri.
Þegar og hefur stæðan gildið
Dæmi 2.18
Finnið gildið2𝑥2+3𝑥+8þegar𝑥=4.
Lausn
Við verðum að fara varlega þegar breyta með veldisvísi kemur fyrir í stæðu. Í þessari stæðu merkir það sama og og er því ólíkt stæðunni sem merkir
Einfaldið 4 2 .
Margfaldið.
Leggið saman.
Bera kennsl á liði, stuðla og samkynja liði
Algebrustæður eru settar saman úr liðum. Liður er fasti eða margfeldi fasta og einnar eða fleiri breyta. Dæmi um liði eru
Fastinn sem margfaldar breytuna eða breyturnar í lið nefnist stuðull. Líta má á stuðulinn sem töluna framan við breytuna. Stuðull liðarins er Þegar við skrifum er stuðullinn því að Tafla 2.5 sýnir stuðul hvers liðar í vinstri dálkinum.
Liður
Stuðull
9 𝑎 9 a
9 9
𝑦 y
1 1
5 𝑥 2 5 x 2
5 5
Algebrustæða getur verið mynduð úr einum eða fleiri liðum sem eru lagðir saman eða dregnir frá. Í þessum kafla vinnum við aðeins með liði sem eru lagðir saman. Tafla 2.6 sýnir dæmi um algebrustæður með mismörgum liðum. Takið eftir að reikniaðgerðin á undan lið telst með honum.
Stæða
Liðir
7 7
7 7
𝑦 y
𝑦 y
𝑥 + 7 x + 7
𝑥 , 7 x , 7
2 𝑥 + 7 𝑦 + 4 2 x + 7 y + 4
2 𝑥 , 7 𝑦 , 4 2 x , 7 y , 4
3 𝑥 2 + 4 𝑥 2 + 5 𝑦 + 3 3 x 2 + 4 x 2 + 5 y + 3
3 𝑥 2 , 4 𝑥 2 , 5 𝑦 , 3 3 x 2 , 4 x 2 , 5 y , 3
Dæmi 2.19
Tilgreinið hvern lið í stæðunni Tilgreinið síðan stuðul hvers liðar.
Lausn
Stæðan hefur fjóra liði. Þeir eru og
Stuðull liðarins er
Stuðull liðarins er
Munið að ef engin tala er skrifuð framan við breytu er stuðullinn Stuðull er því
Stuðull fasts liðar er fastinn sjálfur og því er stuðull talan
Sumir liðir eiga sameiginleg einkenni. Skoðið eftirfarandi liði. Hverjir þeirra virðast eiga eitthvað sameiginlegt?
Hverjir þessara liða eru samkynja?
Liðirnir og eru báðir fastir liðir.
Liðirnir og innihalda báðir
Liðirnir og innihalda báðir
Liðir kallast samkynja ef þeir hafa sömu breytur og sömu veldisvísa. Allir fastir liðir eru einnig samkynja. Meðal liðanna
Dæmi 2.20
Finnið samkynja liðina:
ⓐ 𝑦3,7𝑥2,14,23,4𝑦3,9𝑥,5𝑥2
ⓑ 4𝑥2 +2𝑥 +5𝑥2 +6𝑥 +40𝑥 +8𝑥𝑦
Lausn
ⓐ 𝑦3,7𝑥2,14,23,4𝑦3,9𝑥,5𝑥2
Skoðið breyturnar og veldisvísana. Stæðan inniheldur og fasta.
Liðirnir og eru samkynja því að báðir innihalda
Liðirnir og eru samkynja því að báðir innihalda
Liðirnir og eru samkynja því að báðir eru fastir.
Liðurinn á sér engan samkynja lið í þessum lista því að enginn annar liður inniheldur breytuna í fyrsta veldi.
ⓑ 4𝑥2 +2𝑥 +5𝑥2 +6𝑥 +40𝑥 +8𝑥𝑦
Skoðið breyturnar og veldisvísana. Stæðan inniheldur liðina
Liðirnir og eru samkynja því að báðir innihalda
Liðirnir eru samkynja því að þeir innihalda allir
Liðurinn á sér engan samkynja lið í stæðunni því að enginn annar liður inniheldur breyturnar tvær
Einfalda stæður með því að sameina samkynja liði
Við getum einfaldað stæðu með því að sameina samkynja liði. Hvað haldið þið að einfaldist í? Ef þið hugsuðuð höfðuð þið rétt fyrir ykkur!
Við sjáum hvers vegna þetta virkar með því að skrifa báða liðina sem samlagningardæmi.
Leggið stuðlana saman og haldið sömu breytu. Gildi skiptir engu máli. Ef þið hafið af einhverju og bætið við til viðbótar af sama tagi færið samtals. Til dæmis eru appelsínur plús appelsínur samtals appelsínur. Síðar fjöllum við um stærðfræðireglurnar að baki þessu.
Stæðan hefur aðeins tvo liði. Þegar stæða inniheldur fleiri liði getur verið gagnlegt að endurraða þeim þannig að samkynja liðir standi saman. Víxlregla samlagningar segir að við megum breyta röð samlagningarliða án þess að summan breytist. Því gætum við endurraðað eftirfarandi stæðu áður en samkynja liðir eru sameinaðir.
Nú er auðveldara að sjá hvaða samkynja liði á að sameina.
Dæmi 2.21
Einfaldið stæðuna:
Lausn
Finnið samkynja liðina.
Endurröðið stæðunni þannig að samkynja liðir standi saman.
Leggið saman stuðla samkynja liðanna.
Upprunalega stæðan einfaldast í...
Þegar einhverjir liðir hafa neikvæða stuðla er aðferðin sú sama, nema þá þarf að draga frá í stað þess að leggja saman þegar samkynja liðir eru sameinaðir.
Dæmi 2.22
Einfaldið stæðuna:
Lausn
Finnið samkynja liðina.
Endurraðið stæðunni þannig að samkynja liðir standi saman.
Leggið saman stuðla samkynja liðanna.
Þessir liðir eru ekki samkynja og ekki er hægt að sameina þá. Stæðan er því á einfaldasta formi.
Þýða orðalag yfir á algebrustæður
Í síðasta kafla töldum við upp mörg reikniaðgerðatákn sem notuð eru í algebru og þýddum síðan stæður og jöfnur yfir á orðalag og setningar. Nú snúum við ferlinu við og þýðum orðalag yfir á algebrustæður. Táknin og breyturnar sem við höfum fjallað um hjálpa okkur við það. Tafla 2.7 dregur þau saman.
Reikniaðgerð
Orðalag
Stæða
Samlagning
a plús b summa a og b a aukið um b b meira en a samtala a og b b bætt við a
𝑎 + 𝑏 a + b
Frádráttur
a mínus b mismunur a og b b dregið frá a a minnkað um b b minna en a
𝑎 − 𝑏 a − b
Margföldun
a sinnum b margfeldi a og b
𝑎 ⋅ 𝑏 a ⋅ b , 𝑎 𝑏 a b , 𝑎 ( 𝑏 ) a ( b ) , ( 𝑎 ) ( 𝑏 ) ( a ) ( b )
Deiling
a deilt með b kvóti a og b hlutfall a og b b gengur upp í a
𝑎 ÷ 𝑏 a ÷ b , 𝑎 / 𝑏 a / b , 𝑎 𝑏 a/b , 𝑏 𝑎 b a
Skoðið vel eftirfarandi orðalag fyrir reikniaðgerðirnar fjórar:
summa stærðannaog
mismunur stærðannaog
margfeldi stærðannaog
kvóti stærðannaog
Hvert orðalag segir ykkur að beita reikniaðgerð á tvær stærðir. Skoðið heiti reikniaðgerðarinnar og orðið „og“ til að finna stærðirnar.
Dæmi 2.23
Þýðið hvert orðalag yfir á algebrustæðu:
ⓐ mismunur og
ⓑ kvóti og
Lausn
ⓐ Lykilorðið er mismunur og segir okkur að reikniaðgerðin sé frádráttur. Skoðið heiti reikniaðgerðarinnar og orðið „og“ til að finna stærðirnar sem á að draga frá hvor annarri.
mismunur stærðanna20𝑎𝑛𝑑420mínus420−4
ⓑ Lykilorðið er kvóti og segir okkur að reikniaðgerðin sé deiling.
kvóti 10𝑥og 3deilið10𝑥með310𝑥÷3
Þetta má einnig skrifa sem
Hver verður aldur ykkar eftir átta ár? Hvaða tala er átta hærri en aldur ykkar núna? Bættuð þið við núverandi aldur ykkar? „Átta meira en “ merkir að átta sé bætt við núverandi aldur.
Hver var aldur ykkar fyrir sjö árum? Sá aldur er sjö lægri en aldur ykkar núna. Þið dragið frá núverandi aldri ykkar. „Sjö minna en “ merkir að sjö sé dregið frá núverandi aldri.
Dæmi 2.24
Þýðið hvert orðalag yfir á algebrustæðu:
ⓐ Átta meira en
ⓑ Sjö minna en
Lausn
ⓐ Lykilorðin eru meira en. Þau segja okkur að reikniaðgerðin sé samlagning. Meira en merkir „bætt við“.
Átta meira en 𝑦Átta bætt við 𝑦𝑦+8
ⓑ Lykilorðin eru minna en. Þau segja okkur að reikniaðgerðin sé frádráttur. Minna en merkir „dregið frá“.
Sjö minna en 9𝑧Sjö dregið frá 9𝑧9𝑧−7
Dæmi 2.25
Þýðið hvert orðalag yfir á algebrustæðu:
ⓐ fimm sinnum summan af og
ⓑ summan af fimm sinnum og
Lausn
ⓐ Hér eru tvö reikniaðgerðaorð: sinnum segir okkur að margfalda og summa segir okkur að leggja saman. Þar sem við margföldum sinnum summuna þurfum við að setja sviga utan um summu og
fimm sinnum summan af og
ⓑ Til að mynda summu skoðum við heiti reikniaðgerðarinnar og orðið „og“ til að sjá hverju á að leggja saman. Hér leggjum við saman fyrri liðinn, fimm sinnum og
summan af fimm sinnum og
Takið eftir hvernig svigarnir breyta niðurstöðunni. Í lið ⓐ leggjum við fyrst saman en í lið ⓑ margföldum við fyrst.
Síðar í námskeiðinu beitum við algebrukunnáttu okkar við að leysa jöfnur. Yfirleitt byrjum við á því að þýða orðalag yfir á algebrustæðu. Við þurfum að taka skýrt fram hvað stæðan á að tákna. Næstu tvö dæmi sýna hvernig það er gert.
Dæmi 2.26
Hæð rétthyrnds glugga er tommum minni en breiddin. Látum tákna breidd gluggans. Skrifið stæðu fyrir hæð gluggans.
Lausn
Skrifið orðalag um hæðina.
6 minna en breiddin
Setjið w í stað breiddarinnar.
6 minna en w
Umorðið „minna en“ sem „dregið frá“.
6 dregið frá w
Þýðið orðalagið yfir á algebrustæðu.
𝑤 − 6 w − 6
Dæmi 2.27
Blanca er með tíu senta og 25 senta myntir í veskinu. Tíu senta myntirnar eru færri en sinnum fjöldi 25 senta myntanna. Látum tákna fjölda 25 senta mynta. Skrifið stæðu fyrir fjölda tíu senta mynta.
Lausn
Skrifið orðalag um fjölda tíusenta mynta.
tveimur minna en fimmfaldur fjöldi 25 senta mynta
Setjið q í stað fjölda 25 senta mynta.
2 minna en fimm sinnum q
Þýðið 5 sinnum q .
2 minna en 5 q
Þýðið orðalagið yfir á algebrustæðu.
5 𝑞 − 2 5 q − 2
Æfingar úr kafla 2.2
Æfingin skapar meistarann
Finna gildi algebrustæða
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna gildi stæðunnar fyrir gefið gildi.
69.
7𝑥+8þegar𝑥=2
70.
9𝑥+7þegar𝑥=3
71.
5𝑥−4þegar𝑥=6
72.
8𝑥−6þegar𝑥=7
73.
𝑥2þegar𝑥=12
74.
𝑥3þegar𝑥=5
75.
𝑥5þegar𝑥=2
76.
𝑥4þegar𝑥=3
77.
3𝑥þegar𝑥=3
78.
4𝑥þegar𝑥=2
79.
𝑥2+3𝑥−7þegar𝑥=4
80.
𝑥2+5𝑥−8þegar𝑥=6
81.
2𝑥+4𝑦−5þegar𝑥=7,𝑦=8
82.
6𝑥+3𝑦−9þegar𝑥=6,𝑦=9
83.
(𝑥−𝑦)2þegar𝑥=10,𝑦=7
84.
(𝑥+𝑦)2þegar𝑥=6,𝑦=9
85.
𝑎2+𝑏2þegar𝑎=3,𝑏=8
86.
𝑟2−𝑠2þegar𝑟=12,𝑠=5
87.
2𝑙+2𝑤þegar𝑙=15,𝑤=12
88.
2𝑙+2𝑤þegar𝑙=18,𝑤=14
Bera kennsl á liði, stuðla og samkynja liði
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið telja upp liðina í gefinni stæðu.
89.
15𝑥2+6𝑥+2
90.
11𝑥2+8𝑥+5
91.
10𝑦3+𝑦+2
92.
9𝑦3+𝑦+5
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið tilgreina stuðul gefins liðar.
93.
8𝑎
94.
13𝑚
95.
5𝑟2
96.
6𝑥3
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið tilgreina alla hópa samkynja liða.
97.
𝑥3,8𝑥,14,8𝑦,5,8𝑥3
98.
6𝑧,3𝑤2,1,6𝑧2,4𝑧,𝑤2
99.
9𝑎,𝑎2,16𝑎𝑏,16𝑏2,4𝑎𝑏,9𝑏2
100.
3,25𝑟2,10𝑠,10𝑟,4𝑟2,3𝑠
Einfalda stæður með því að sameina samkynja liði
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið einfalda gefna stæðu með því að sameina samkynja liði.
101.
10𝑥+3𝑥
102.
15𝑥+4𝑥
103.
17𝑎+9𝑎
104.
18𝑧+9𝑧
105.
4𝑐+2𝑐+𝑐
106.
6𝑦+4𝑦+𝑦
107.
9𝑥+3𝑥+8
108.
8𝑎+5𝑎+9
109.
7𝑢+2+3𝑢+1
110.
8𝑑+6+2𝑑+5
111.
7𝑝+6+5𝑝+4
112.
8𝑥+7+4𝑥−5
113.
10𝑎+7+5𝑎−2+7𝑎−4
114.
7𝑐+4+6𝑐−3+9𝑐−1
115.
3𝑥2+12𝑥+11+14𝑥2+8𝑥+5
116.
5𝑏2+9𝑏+10+2𝑏2+3𝑏−4
Þýða orðalag yfir á algebrustæður
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða gefið orðalag yfir á algebrustæðu.
117.
Summa 8 og 12
118.
Summa 9 og 1
119.
Mismunur 14 og 9
120.
8 minna en 19
121.
Margfeldi 9 og 7
122.
Margfeldi 8 og 7
123.
Kvóti 36 og 9
124.
Kvóti 42 og 7
125.
Mismunur og
126.
minna en
127.
Margfeldi og
128.
Margfeldi og
129.
Summa og
130.
Summa og
131.
Kvóti og
132.
Kvóti og
133.
Átta sinnum mismunurinn á og níu
134.
Sjö sinnum mismunurinn á og einum
135.
Fimm sinnum summan af og
136.
Níu sinnum mismunurinn á tvöföldu gildi 𝑥 x og fimm
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skrifa algebrustæðu.
137.
Adele keypti pils og blússu. Pilsið kostaði meira en blússan. Látum tákna verð blússunnar. Skrifið stæðu fyrir verð pilsins.
138.
Eric er með rokktónlistar- og klassíska geisladiska í bílnum sínum. Rokktónlistardiskarnir eru fleiri en klassísku diskarnir. Látum tákna fjölda klassísku diskanna. Skrifið stæðu fyrir fjölda rokktónlistardiskanna.
139.
Stelpurnar í bekk á öðru skólaári eru færri en strákarnir. Látum tákna fjölda strákanna. Skrifið stæðu fyrir fjölda stelpnanna.
140.
Marcella á færri frændur en frænkur. Látum tákna fjölda frænkna hennar. Skrifið stæðu fyrir fjölda frændanna.
141.
Greg er með fimm senta og eins senta myntir í vasanum. Eins senta myntirnar eru sjö færri en tvöfaldur fjöldi fimm senta myntanna. Látum tákna fjölda fimm senta mynta. Skrifið stæðu fyrir fjölda eins senta mynta.
142.
Jeannette er með og seðla í veskinu. Fimm dollara seðlarnir eru þremur fleiri en sexfaldur fjöldi tíu dollara seðlanna. Látum tákna fjölda tíu dollara seðlanna. Skrifið stæðu fyrir fjölda fimm dollara seðlanna.
Stærðfræði daglegs lífs
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota algebrustæður til að leysa dæmið.
143.
Bílatrygging: Bílatrygging Justins er með sjálfsábyrgð fyrir hvert tjón. Það merkir að hann greiðir og tryggingafélagið greiðir allan kostnað umfram Ef Justin leggur fram tjónskröfu að fjárhæð hversu mikið greiðir hann og hversu mikið greiðir tryggingafélagið?
144.
Heimilistrygging: Heimilistrygging Pam og Armando er með sjálfsábyrgð fyrir hvert tjón. Það merkir að þau greiða og tryggingafélagið greiðir allan kostnað umfram Ef Pam og Armando leggja fram tjónskröfu að fjárhæð hversu mikið greiða þau og hversu mikið greiðir tryggingafélagið?
Ritunaræfingar
145.
Útskýrið hvers vegna „summa x og y“ er sú sama og „summa y og x“ en „mismunur x og y“ er ekki sá sami og „mismunur y og x“. Prófið að setja tvær handahófskenndar tölur inn fyrir og til að styðja skýringuna.
146.
Útskýrið muninn á sinnum summunni af og og „summunni af sinnum og
