22 Tungumál algebrunnar

2.5 Frumþáttun og minnsta sameiginlega margfeldi

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Fundið frumþáttun samsettrar tölu
Fundið minnsta sameiginlega margfeldi tveggja talna

Finna frumþáttun samsettrar tölu

Í síðasta kafla fundum við þætti tölu. Frumtölur hafa aðeins tvo þætti, töluna $1$ og frumtöluna sjálfa. Samsettar tölur hafa fleiri en tvo þætti og sérhverja samsetta tölu má rita á ótvíræðan hátt sem margfeldi frumtalna. Það nefnist frumþáttun tölu. Þegar við ritum frumþáttun tölu erum við að endurrita hana sem margfeldi frumtalna. Síðar í námskeiðinu kemur sér vel að kunna að frumþátta samsetta tölu.

Þegar þið vinnið þennan kafla getur verið gagnlegt að styðjast við eftirfarandi lista yfir frumtölur minni en $50$ .

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Frumþáttun með þáttatré

Ein leið til að finna frumþáttun tölu er að teikna þáttatré. Fyrst ritum við töluna og síðan sem margfeldi tveggja þátta. Við ritum þættina fyrir neðan töluna og tengjum þá við hana með stuttum strikum, „greinum“ þáttatrésins.

Ef þáttur er frumtala drögum við hring um hann, líkt og brum á tré, og þáttum þá grein ekki frekar. Ef þátturinn er ekki frumtala endurtökum við ferlið, ritum hann sem margfeldi tveggja þátta og bætum nýjum greinum við tréð.

Við höldum áfram þar til allar greinarnar enda á frumtölu. Þegar þáttatréð er fullgert mynda frumtölurnar sem hringur hefur verið dreginn um frumþáttunina.

Finnum til dæmis frumþáttun $36 .$ Við getum byrjað á hvaða þáttapari sem er, til dæmis $3$ og $12 .$ Við ritum $3$ og $12$ fyrir neðan $36$ og tengjum tölurnar með greinum.

Myndin sýnir þáttatré með töluna 36 efst. Tvær greinar liggja niður frá 36. Á enda hægri greinarinnar er talan 3 innan hrings og á enda vinstri greinarinnar er talan 12.

Þátturinn $3$ er frumtala og því drögum við hring um hann. Þátturinn $12$ er samsett tala og því þurfum við að finna þætti hans. Notum $3$ og $4 .$ Ritum þá undir $12 .$

Myndin sýnir þáttatré með töluna 36 efst. Tvær greinar liggja niður frá 36; á enda hægri greinarinnar er 3 innan hrings og á enda vinstri greinarinnar er 12. Tvær greinar liggja niður frá 12; á enda hægri greinarinnar er 4 og á enda þeirrar vinstri er 3.

Þátturinn $3$ er frumtala og því drögum við hring um hann. Þátturinn $4$ er samsett tala og þáttast sem $2 \cdot 2 .$ Við ritum þessa þætti undir $4 .$ Þar sem $2$ er frumtala drögum við hring um þessa $2 tvista .$

Myndin sýnir fullgert þáttatré tölunnar 36. Talan 36 greinist í 3 innan hrings og 12. Talan 12 greinist í 3 innan hrings og 4. Talan 4 greinist í tvo tvista og er hringur dreginn um þá báða.

Frumþáttunin er margfeldi frumtalnanna sem hringur hefur verið dreginn um. Venjulega ritum við frumþættina í röð frá þeim minnsta til þess stærsta.

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Þegar sumir frumþættirnir eru endurteknir, eins og hér, getum við ritað frumþáttunina með veldisrithætti.

\begin{matrix} 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ 2^{2} \cdot 3^{2} \end{matrix}

Við hefðum getað byrjað þáttatréð á hvaða þáttapari tölunnar $36 .$ sem er. Við völdum $12$ og $3,$ en sama niðurstaða hefði fengist með $2$ og $18, 4$ og $9, eða 6 og 6 .$

Dæmi 2.48

Finnið frumþáttun $48$ með þáttatré.

Lausn

Við getum byrjað tréð með hvaða þáttapari 48 sem er. Notum 2 og 24.Við drögum hring um 2 þar sem hún er frumtala og greinin því fullgerð.
Nú þáttum við 24. Notum 4 og 6.
Hvorugur þátturinn er frumtala og því drögum við ekki hring um þá.Við þáttum 4 sem 2 og 2.Við þáttum 6 sem 2 og 3.Við drögum hring um tvistana og 3 þar sem þetta eru frumtölur. Nú enda allar greinarnar á frumtölu.
Ritið margfeldi talnanna sem hringur hefur verið dreginn um.	2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Ritið með veldisrithætti.	2 4 ⋅ 3

Sannreynið þetta með því að margfalda alla þættina saman. Niðurstaðan á að vera $48 .$

Dæmi 2.49

Finnið frumþáttun 84 með þáttatré.

Lausn

Við byrjum á þáttaparinu 4 og 21.Hvorug talan er frumtala og því þáttum við þær frekar.
Nú eru allir þættirnir frumtölur og því drögum við hring um þá.
Síðan ritum við 84 sem margfeldi allra frumtalnanna sem hringur hefur verið dreginn um.	2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Teiknið þáttatré tölunnar $84 .$

Frumþáttun með stigaaðferð

Með stigaaðferð er einnig hægt að finna frumþætti samsettrar tölu. Hún gefur sömu niðurstöðu og þáttatré. Sumum finnst stigaaðferðin þægilegri en þáttatréð en öðrum öfugt.

Til að hefja „stigann“ deilum við gefnu tölunni með minnsta frumþætti hennar. Til að byrja stigann fyrir $36,$ deilum við $36$ með $2,$ minnsta frumþætti $36 .$

Til að bæta „þrepi“ við stigann höldum við áfram að deila með sömu frumtölu þar til hún gengur ekki lengur upp í kvótanum.

Síðan deilum við með næstu frumtölu, þannig að við deilum $9$ með $3 .$

Við höldum áfram að deila upp stigann þar til kvótinn er frumtala. Þar sem kvótinn, $3,$ er frumtala hættum við hér.

Sjáið þið hvers vegna stigaaðferðin er stundum kölluð uppsett deiling?

Frumþáttunin er margfeldi allra frumtalnanna á hliðum og efsta þrepi stigans.

\begin{matrix} 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \\ 2^{2} \cdot 3^{2} \end{matrix}

Takið eftir að niðurstaðan er sú sama og fékkst með þáttatrénu.

Dæmi 2.50

Finnið frumþáttun $120$ með stigaaðferð.

Lausn

Deilið tölunni með minnstu frumtölunni, 2.
Haldið áfram að deila með 2 þar til hún gengur ekki lengur upp.
Deilið með næstu frumtölu, 3.
Kvótinn 5 er frumtala og því er stiginn fullgerður. Ritið frumþáttun 120.	2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Sannreynið þetta með því að margfalda þættina. Niðurstaðan á að vera $120 .$

Dæmi 2.51

Finnið frumþáttun $48$ með stigaaðferð.

Lausn

Deilið tölunni með minnstu frumtölunni, 2.
Haldið áfram að deila með 2 þar til hún gengur ekki lengur upp.
Kvótinn 3 er frumtala og því er stiginn fullgerður. Ritið frumþáttun 48.	2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2 4 ⋅ 3

Finna minnsta sameiginlega margfeldi tveggja talna

Ein ástæða þess að við skoðum margfeldi og frumtölur er að aðferðirnar nýtast til að finna minnsta sameiginlega margfeldi tveggja talna. Það kemur að gagni þegar við leggjum saman og drögum frá brot með ólíkum nefnurum.

Aðferð með upptalningu margfelda

Sameiginlegt margfeldi tveggja talna er tala sem er margfeldi af báðum tölunum. Hugsum okkur að við viljum finna sameiginleg margfeldi $10$ og $25 .$ Við getum skráð nokkur fyrstu margfeldi hvorrar tölu og síðan leitað að tölum sem koma fyrir í báðum listum. Þær eru sameiginlegu margfeldin.

\begin{matrix} 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, … \\ 25 : 25, 50, 75, 100, 125, … \end{matrix}

Við sjáum að $50$ og $100$ koma fyrir í báðum listum. Þær eru sameiginleg margfeldi $10$ og $25 .$ Ef við héldum áfram að skrá margfeldi hvorrar tölu fyndum við fleiri sameiginleg margfeldi.

Minnsta talan sem er margfeldi tveggja talna nefnist minnsta sameiginlega margfeldi, skammstafað MSM. Minnsta sameiginlega margfeldi $10$ og $25$ er því $50 .$

Dæmi 2.52

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi $15$ og $20$ með því að skrá margfeldi.

Lausn

Skráið nokkur fyrstu margfeldi $15$ og $20 .$ Finnið fyrsta sameiginlega margfeldið.

15:15,30,45,60,75,90,105,12020:20,40,60,80,100,120,140,160 $\begin{array}{l} 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 \\ 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 \end{array}$

Þar sem minnsta talan sem kemur fyrir í báðum listum er $60,$ er $60$ minnsta sameiginlega margfeldi $15$ og $20 .$

Takið eftir að $120$ kemur einnig fyrir í báðum listum. Talan er sameiginlegt margfeldi en ekki það minnsta.

Aðferð með frumþáttum

Önnur leið til að finna minnsta sameiginlega margfeldi tveggja talna er að nota frumþætti þeirra. Við notum þessa aðferð til að finna minnsta sameiginlega margfeldi $12$ og $18 .$

Fyrst finnum við frumþáttun hvorrar tölu.

12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3

Síðan ritum við hvora tölu sem margfeldi frumtalna og röðum samsvarandi frumtölum lóðrétt hverri undir aðra þegar það er hægt.

\begin{array}{l} 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{array}

Nú færum við niður frumtölurnar í hverjum dálki. Minnsta sameiginlega margfeldið er margfeldi þessara þátta.

Myndin sýnir frumþáttun 12 sem 12 = 2 · 2 · 3 og frumþáttun 18 fyrir neðan sem 18 = 2 · 3 · 3. Jafnaðarmerkin og samsvarandi frumþættir eru í lóðréttum dálkum. Lárétt strik er undir frumþáttun 18 og þar fyrir neðan stendur MSM = 2 · 2 · 3 · 3. Örvar sýna hvernig einn fulltrúi hvers samsvarandi frumþáttar og allir óparaðir frumþættir færast niður í margfeldið.

Takið eftir að frumþættir $12$ og frumþættir $18$ eru allir í minnsta sameiginlega margfeldinu. Með því að raða sameiginlegum frumþáttum saman er hver þeirra aðeins notaður einu sinni. Þannig tryggjum við að $36$ sé minnsta sameiginlega margfeldið.

Dæmi 2.53

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi $15$ og $18$ með frumþáttum.

Lausn

Ritið hvora tölu sem margfeldi frumtalna.
Ritið hvora tölu sem margfeldi frumtalna og raðið samsvarandi frumtölum lóðrétt hverri undir aðra þegar það er hægt.
Færið niður frumtölurnar í hverjum dálki.
Margfaldið þættina til að fá minnsta sameiginlega margfeldið.	MSM = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 MSM = 2 · 3 · 3 · 5. Minnsta sameiginlega margfeldi 15 og 18 er 90.

Dæmi 2.54

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi $50$ og $100$ með frumþáttum.

Lausn

Ritið frumþáttun hvorrar tölu.
Ritið hvora tölu sem margfeldi frumtalna og raðið samsvarandi frumtölum lóðrétt hverri undir aðra þegar það er hægt.
Færið niður frumtölurnar í hverjum dálki.
Margfaldið þættina til að fá minnsta sameiginlega margfeldið.	MSM = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 MSM = 2 · 2 · 5 · 5. Minnsta sameiginlega margfeldi 50 og 100 er 100.

Æfingar úr kafla 2.5

Æfingin skapar meistarann

Finna frumþáttun samsettrar tölu

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna frumþáttun hverrar tölu með þáttatré.

267.

86 $86$

268.

78 $78$

269.

132 $132$

270.

455 $455$

271.

693 $693$

272.

420 $420$

273.

115 $115$

274.

225 $225$

275.

2475 $2475$

276.

1560

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna frumþáttun hverrar tölu með stigaaðferð.

277.

56 $56$

278.

72 $72$

279.

168 $168$

280.

252 $252$

281.

391 $391$

282.

400 $400$

283.

432 $432$

284.

627 $627$

285.

2160 $2160$

286.

2520 $2520$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna frumþáttun hverrar tölu með hvaða aðferð sem er.

287.

150 $150$

288.

180 $180$

289.

525 $525$

290.

444 $444$

291.

36 $36$

292.

50 $50$

293.

350 $350$

294.

144 $144$

Finna minnsta sameiginlega margfeldi tveggja talna

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna minnsta sameiginlega margfeldið með því að skrá margfeldi.

295.

8,12 $8, 12$

296.

4,3 $4, 3$

297.

6,15 $6, 15$

298.

12,16 $12, 16$

299.

30,40 $30, 40$

300.

20,30 $20, 30$

301.

60,75 $60, 75$

302.

44,55 $44, 55$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna minnsta sameiginlega margfeldið með frumþáttum.

303.

8,12 $8, 12$

304.

12,16 $12, 16$

305.

24,30 $24, 30$

306.

28,40 $28, 40$

307.

70,84 $70, 84$

308.

84,90 $84, 90$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna minnsta sameiginlega margfeldið með hvaða aðferð sem er.

309.

6,21 $6, 21$

310.

9,15 $9, 15$

311.

24,30 $24, 30$

312.

32,40 $32, 40$

Stærðfræði í daglegu lífi

313.

Innkaup Pylsur eru seldar í tíu stykkja pakkningum en pylsubrauð í átta stykkja pakkningum. Hver er minnsti fjöldi pylsa og pylsubrauða sem hægt er að kaupa þannig að jafnmargar pylsur og pylsubrauð fáist? Vísbending: Finnið minnsta sameiginlega margfeldið.

314.

Innkaup Pappadiskar eru seldir í $12$ stykkja pakkningum og í hverri glasapakkningu eru $8 .$ Hver er minnsti fjöldi diska og glasa sem hægt er að kaupa þannig að jafnmargir hlutir fáist af hvoru? Vísbending: Finnið minnsta sameiginlega margfeldið.

Ritunarverkefni

315.

Hvora aðferðina kjósið þið til að finna frumþáttun samsettrar tölu, þáttatré eða stigaaðferð? Hvers vegna?

316.

Hvora aðferðina kjósið þið til að finna minnsta sameiginlega margfeldið, að skrá margfeldi eða nota frumþætti? Hvers vegna?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

ⓑ Þegar þið lítið á gátlistann í heild, teljið þið að undirbúningur ykkar fyrir næsta kafla sé góður? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?