2.4 Finna margfeldi og þætti

Annie telur skóna í skápnum sínum. Skórnir eru í pörum og því þarf hún ekki að telja hvern skó. Hún telur á tveimur: $2,4,6,8,10,12.$ Hún á $12$ skó í skápnum.

Tölurnar $2,4,6,8,10,12$ nefnast margfeldi af $2.$ Margfeldi af $2$ má rita sem margfeldi talningartölu og $2.$ Fyrstu sex margfeldin af $2$ eru sýnd hér fyrir neðan.

Með margfeldi tölu er átt við margfeldi tölunnar og talningartölu. Margfeldi af $3$ er því margfeldi talningartölu og $3.$ Hér fyrir neðan eru fyrstu sex margfeldin af $3.$

Við getum fundið margfeldi hvaða tölu sem er með því að halda þessu ferli áfram. Tafla 2.8 sýnir margfeldi talnanna $2$ til $9$ fyrir fyrstu tólf talningartölurnar.

Það kemur ykkur að gagni síðar í námskeiðinu að þekkja mynstrin í margfeldum af $2,5,10,\text{og}3$.

Mynd 2.6 sýnir talningartölurnar frá $1$ til $50.$ Margfeldi af $2$ eru auðkennd. Sjáið þið eitthvert mynstur?

Síðasti tölustafur hverrar auðkenndrar tölu á mynd 2.6 er annaðhvort $0,2,4,6,\text{eða}8.$ Þetta gildir um margfeldi $2$ og sérhverrar talningartölu. Til að kanna hvort tala sé margfeldi af $2$ skuluð þið skoða síðasta tölustafinn. Ef hann er $0,2,4,6,\text{eða}8,$ er talan margfeldi af $2.$

Skoðum nú margfeldi af $5.$ Mynd 2.7 sýnir öll margfeldi af $5$ á bilinu $1$ til $50.$ Hvað takið þið eftir um margfeldi af $5?$

Öll margfeldi af $5$ enda annaðhvort á $5$ eða $0.$ Rétt eins og við berum kennsl á margfeldi af $2$ með því að skoða síðasta tölustafinn getum við borið kennsl á margfeldi af $5$ með sama hætti.

Mynd 2.8 sýnir margfeldi af $10$ á bilinu $1$ til $50.$ Öll margfeldi af $10$ enda á núlli.

Mynd 2.9 sýnir margfeldi af $3.$ Mynstrið í margfeldum af $3$ er ekki jafn augljóst og mynstrin í margfeldum af $2,5,\text{og}10.$

Ólíkt hinum mynstrunum sem við höfum skoðað hingað til byggist þetta mynstur ekki á síðasta tölustafnum. Mynstrið í margfeldum af $3$ byggist á summu tölustafanna. Ef summa tölustafa tölu er margfeldi af $3,$ er talan sjálf einnig margfeldi af $3.$ Sjá töflu 2.9.

Skoðum töluna $42.$ Tölustafirnir eru $4$ og $2,$ og summa þeirra er $4+2=6.$ Þar sem $6$ er margfeldi af $3,$ vitum við að $42$ er einnig margfeldi af $3.$

Skoðið aftur töflurnar þar sem margfeldi af $2,$, af $5,$ og af $10.$ voru auðkennd. Margfeldi af $10$ eru þær tölur sem eru bæði margfeldi af $2$ og $5.$ Það er vegna þess að $10=2\cdot 5.$ Á sama hátt, þar sem $6=2\cdot 3,$ eru margfeldi af $6$ þær tölur sem eru bæði margfeldi af $2$ og $3.$

Í stað þess að segja að $375$ sé margfeldi af $5$ má segja að $375$ sé deilanleg með $5.$ Reyndar er $375÷5$ jafnt og $75,$ og því er $375$ jafnt og $5\cdot 75.$ Takið eftir í dæmi 2.43 að $\mathrm{10,519}$ er ekki margfeldi af $3.$ Þegar við deildum $\mathrm{10,519}$ með $3$ fékkst ekki talningartala og því er $\mathrm{10,519}$ ekki deilanleg með $3.$

Þar sem margföldun og deiling eru andhverfar aðgerðir má nota mynstrin í margfeldunum sem deilanleikapróf. Tafla 2.10 dregur saman deilanleikapróf fyrir nokkrar talningartölur frá einum til tíu.

Oft má lýsa sömu hugmynd á fleiri en einn hátt. Við höfum séð að ef $m$ er margfeldi af $n,$ má segja að $m$ sé deilanleg með $n.$ Við vitum að $72$ er margfeldi $8$ og $9,$ og því má segja að $72$ sé margfeldi af $8$ og að $72$ sé margfeldi af $9.$ Einnig má segja að $72$ sé deilanleg með $8$ og $9.$ Enn önnur lýsing er að $8$ og $9$ séu þættir tölunnar $72.$ Þegar við ritum $72=8\cdot 9$ segjum við að við höfum þáttað $72.$

Hugsum okkur til dæmis að danshöfundur sé að skipuleggja dansatriði fyrir ballettsýningu. Dansararnir eru $24$ og í ákveðnu atriði vill danshöfundurinn raða þeim í jafnstóra hópa á sviðinu.

Á hve marga vegu má skipta dönsurunum í jafnstóra hópa? Að svara þeirri spurningu jafngildir því að finna þætti tölunnar $24.$ Tafla 2.13 tekur saman mismunandi skipanir sem danshöfundurinn getur notað.

Hvaða mynstur sjáið þið í töflu 2.13? Tókuð þið eftir að fjöldi hópa margfaldaður með fjölda dansara í hverjum hópi er alltaf $24?$ Það er eðlilegt þar sem dansararnir eru alltaf $24$.

Ef þið skoðið fyrstu tvo dálkana vandlega sjáið þið annað mynstur. Í þeim eru nákvæmlega sömu tölurnar, en í öfugri röð. Dálkarnir spegla hvor annan og báðir sýna raunar alla þætti tölunnar $24,$ sem eru:

Við getum fundið alla þætti sérhverrar talningartölu með því að deila henni skipulega með hverri talningartölu frá og með $1.$ Ef kvótinn er einnig talningartala eru deilirinn og kvótinn þættir tölunnar. Við getum hætt þegar kvótinn verður minni en deilirinn.

Sumar tölur, svo sem $72,$ hafa marga þætti. Aðrar tölur, til dæmis $7,$ hafa aðeins tvo þætti: $1$ og töluna sjálfa. Tala með nákvæmlega tvo þætti nefnist frumtala. Tala með fleiri en tvo þætti nefnist samsett tala. Talan $1$ er hvorki frumtala né samsett tala; hún hefur aðeins einn þátt, sjálfa sig.

Mynd 2.10 sýnir talningartölurnar frá $2$ til $20$ ásamt þáttum þeirra. Auðkenndu tölurnar eru frumtölur þar sem hver þeirra hefur aðeins tvo þætti.

Frumtölurnar minni en $20$ eru $2,3,5,7,11,13,17,\text{og}19.$ Til eru margar stærri frumtölur. Til að ákvarða hvort tala sé frumtala eða samsett tala þurfum við að kanna hvort hún hafi aðra þætti en $1$ og sjálfa sig. Við getum prófað minni frumtölurnar eina af annarri og athugað hvort þær séu þættir tölunnar. Ef engin þeirra er þáttur er talan einnig frumtala.

Bera kennsl á margfeldi talna

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skrá öll margfeldi sem eru minni en $50$ fyrir gefnu töluna.