55 Tugabrot

5.7 Ferningsrætur einfaldaðar og notaðar

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

Einfaldað stæður með ferningsrótum
Áætlað ferningsrætur
Fundið nálgunargildi ferningsróta
Einfaldað breytustæður með ferningsrótum
Notað ferningsrætur í hagnýtum verkefnum

Einfaldið stæður með ferningsrótum

Í upphafi þessa kafla þurfum við að rifja upp nokkur mikilvæg hugtök og rithátt.

Munið að þegar tala $n$ er margfölduð með sjálfri sér getum við ritað það sem $n^{2},$ sem lesið er „n í öðru veldi“. $“ n í öðru veldi.“$ Til dæmis er $8^{2}$ lesið „átta í öðru veldi“. $“8 í öðru veldi.“$

Við köllum $64$ ferning $8$ því $8^{2} = 64 .$ Á sama hátt er $121$ ferningur $11,$ því $11^{2} = 121 .$

Ferningar sýndir með líkönum

Vitið þið hvers vegna orðið ferningur er notað? Ef við búum til ferning með þremur flísum á hverri hlið verða flísarnar alls níu.

Ferningur með 3 flísum á hverri hlið. Alls eru 9 flísar í ferningnum.

Þess vegna segjum við að ferningur þriggja sé níu.

3^{2} = 9

Talan $9$ kallast ferningstala því hún er ferningur heillar tölu.

Taflan sýnir ferninga náttúrlegu talnanna frá $1$ til $15 .$ Þið getið notað hana til að þekkja ferningstölurnar.

Hvað gerist þegar neikvæð tala er sett í annað veldi?

\begin{matrix} {(−8)}^{2} & = (−8) (−8) \\ = 64 \end{matrix}

Þegar við margföldum tvær neikvæðar tölur er margfeldið alltaf jákvætt. Ferningur neikvæðrar tölu er því alltaf jákvæður.

Taflan sýnir ferninga neikvæðu heiltalnanna frá $−1$ til $−15 .$

Tókuð þið eftir að þessir ferningar eru þeir sömu og ferningar jákvæðu talnanna?

Ferningsrætur

Stundum þurfum við að skoða samband talna og ferninga þeirra í öfuga átt. Þar sem $10^{2} = 100,$ segjum við að $100$ sé ferningur $10 .$ Við getum einnig sagt að $10$ sé ferningsrót $100 .$

Takið einnig eftir að ${(−10)}^{2} = 100$ og því er $−10$ einnig ferningsrót $100 .$ Bæði $10$ og $−10$ eru því ferningsrætur $100 .$

Sérhver jákvæð tala hefur því tvær ferningsrætur, aðra jákvæða og hina neikvæða.

En hvað ef við viljum aðeins jákvæðu ferningsrót jákvæðrar tölu? Rótarmerkið, $\sqrt{},$ táknar jákvæðu ferningsrótina. Hún er einnig kölluð jákvæða ferningsrótin.

Við getum einnig notað rótarmerkið fyrir ferningsrót núlls. Þar sem $0^{2} = 0, \sqrt{0} = 0 .$ Takið eftir að núll hefur aðeins eina ferningsrót.

Taflan sýnir ferningsrætur fyrstu $15$ ferningstalnanna.

Dæmi 5.69

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{25}$ ⓑ $\sqrt{121} .$

Lausn

ⓐ
	√ 2 5 25
Þar sem 5 2 = 25	5 5

ⓑ
	√ 1 2 1 121
Þar sem 11 2 = 121	1 1 11

Sérhver jákvæð tala hefur tvær ferningsrætur og rótarmerkið táknar þá jákvæðu. Við ritum $\sqrt{100} = 10 .$ Ef við viljum finna neikvæðu ferningsrót tölu setjum við mínusmerki fyrir framan rótarmerkið. Til dæmis $- \sqrt{100} = −10 .$

Dæmi 5.70

Einfaldið. ⓐ $- \sqrt{9}$ ⓑ $- \sqrt{144 .}$

Lausn

ⓐ
	− √ 9 − 9
Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.	− 3

ⓑ
	− √ 1 4 4 − 144
Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.	− 1 2 − 12

Ferningsrót neikvæðrar tölu

Getum við einfaldað $\sqrt{−25} ?$ Er til tala sem hefur ferninginn $−25 ?$

{()}^{2} = −25 ?

Engin þeirra talna sem við höfum unnið með hingað til hefur ferninginn $−25 .$ Hvers vegna? Önnur veldi jákvæðra talna eru jákvæð og önnur veldi neikvæðra talna eru einnig jákvæð. Í næsta kafla sjáum við að allar tölurnar sem við vinnum með kallast rauntölur. Því segjum við að engin rauntala sé jöfn $\sqrt{−25} .$ Ef beðið er um ferningsrót neikvæðrar tölu segjum við að lausnin sé ekki rauntala.

Dæmi 5.71

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{−169}$ ⓑ $- \sqrt{121} .$

Lausn

ⓐ Engin rauntala hefur ferninginn $−169 .$ Því er $\sqrt{−169}$ ekki rauntala.

ⓑ Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið og því finnum við samlagningarandhverfu ferningsrótar $121 .$

	− √ 1 2 1 − 121
Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.	− 1 1 − 11

Ferningsrætur og forgangsröð reikniaðgerða

Þegar stæða með ferningsrótum er einfölduð samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða er litið á rótarmerkið sem flokkunartákn. Fyrst einföldum við stæður undir rótarmerkinu og framkvæmum síðan aðrar reikniaðgerðir.

Dæmi 5.72

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{25} + \sqrt{144}$ ⓑ $\sqrt{25 + 144} .$

Lausn

ⓐ Notið forgangsröð reikniaðgerða.
	√ 2 5 + √ 1 4 4 25 + 144
Einfaldið hvora ferningsrót.	5 + 1 2 5 + 12
Leggið saman.	1 7 17

ⓑ Notið forgangsröð reikniaðgerða.
	√ 2 5 + 1 4 4 25 + 144
Leggið saman undir rótarmerkinu.	√ 1 6 9 169
Einfaldið.	1 3 13

Takið eftir að svörin í liðum ⓐ og ⓑ í dæmi 5.72 eru ólík. Mikilvægt er að fylgja forgangsröð reikniaðgerða rétt. Í ⓐ fundum við fyrst hvora ferningsrót og lögðum þær síðan saman. Í ⓑ lögðum við fyrst saman undir rótarmerkinu og fundum síðan ferningsrótina.

Áætlið ferningsrætur

Hingað til höfum við aðeins unnið með ferningsrætur ferningstalna. Ferningsrætur annarra talna eru ekki heilar tölur.

Tafla með 2 dálkum. Fyrri dálkurinn heitir „Tala“ og inniheldur gildin 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Seinni dálkurinn heitir „Ferningsrót“ og inniheldur gildin ferningsrótin af 4 er 2, ferningsrótin af 5, ferningsrótin af 6, ferningsrótin af 7, ferningsrótin af 8 og ferningsrótin af 9 er 3.

Við getum ályktað að ferningsrætur talna milli $4$ og $9$ liggi milli $2$ og $3,$ og séu ekki heilar tölur. Af mynstrinu í töflunni hér að ofan getum við sagt að $\sqrt{5}$ liggi milli $2$ og $3 .$ Með ójöfnumerkjum ritum við

2 < \sqrt{5} < 3

Dæmi 5.73

Áætlið $\sqrt{60}$ milli tveggja samliggjandi heilla talna.

Lausn

Finnið ferningstölurnar sem eru næst $60 .$ Gerið litla töflu yfir þessar ferningstölur og ferningsrætur þeirra.

Tafla með 2 dálkum. Fyrri dálkurinn heitir „Tala“ og inniheldur gildin 36, 49, 64 og 81. Talblaðra milli 49 og 64 sýnir 60. Seinni dálkurinn heitir „Ferningsrót“ og inniheldur gildin 6, 7, 8 og 9. Talblaðra milli 7 og 8 sýnir ferningsrótina af 60.

L o c a t e 6 0 b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e p e r f e c t s q u a r e s . Locate 60 between two consecutive perfect squares.	4 9 < 6 0 < 6 4 49 < 60 < 64
√ 6 0 i s b e t w e e n t h e i r s q u a r e r o o t s . 60 is between their square roots.	7 < √ 6 0 < 8 7 < 60 < 8

Nálgunargildi ferningsróta fundin með reiknivél

Til eru stærðfræðilegar aðferðir til að finna nálgunargildi ferningsróta en mun þægilegra er að nota reiknivél. Finnið $\sqrt{}$ eða $\sqrt{x}$ hnappinn á reiknivélinni. Þennan hnapp þurfið þið til að finna nálgunargildi ferningsróta. Þegar reiknivél er notuð til að finna ferningsrót tölu sem er ekki ferningstala er svarið á skjánum ekki nákvæmt gildi. Það er nálgunargildi með jafnmörgum tölustöfum og skjár reiknivélarinnar sýnir. Táknið fyrir nálgun er $\approx$ og það er lesið „um það bil“.

Gerum ráð fyrir að reiknivélin hafi skjá með 1 0 - d tölustöfum $10 tölustafa$ . Ef hún er notuð til að finna ferningsrót $5$ fæst $2.236067977 .$ Þetta er nálgunargildi ferningsrótar $5 .$ Þegar svarið er skráð eigum við að nota merkið „um það bil jafnt og“ í stað jafnaðarmerkis.

\sqrt{5} \approx 2.236067978

Í hagnýtum algebruverkefnum þurfið þið sjaldan svona marga tölustafi. Ef þið vilduð námunda $\sqrt{5}$ að tveimur aukastöfum mynduð þið rita

\sqrt{5} \approx 2.24

Hvernig vitum við að þessi gildi eru nálgunargildi en ekki nákvæm gildi? Skoðum hvað gerist þegar þau eru sett í annað veldi.

\begin{matrix} {2.236067978}^{2} & = & 5.000000002 \\ {2.24}^{2} & = & 5.0176 \end{matrix}

Ferningarnir eru nálægt 5 . 5 . en ekki nákvæmlega jafnir því gildi. $5 .$

Dæmi 5.74

Notið reiknivél til að námunda $\sqrt{17}$ að tveimur aukastöfum.

Lausn

	√ 1 7 17
Notið ferningsrótarhnapp reiknivélarinnar.	4 . 1 2 3 1 0 5 6 2 6 4.123105626
Námundið að tveimur aukastöfum.	4 . 1 2 4.12
	√ 1 7 ≈ 4 . 1 2 17 ≈ 4.12

Einfaldið breytustæður með ferningsrótum

Stæðurnar með ferningsrótum sem við höfum skoðað hingað til hafa ekki innihaldið breytur. Hvað gerist þegar við þurfum að finna ferningsrót breytustæðu?

Skoðum $\sqrt{9 x^{2}},$ þar sem $x \geq 0 .$ Getið þið fundið stæðu sem hefur ferninginn $9 x^{2} ?$

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2} því \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

Þegar við notum breytu í ferningsrótarstæðu gerum við í verkefnum okkar ráð fyrir að breytan tákni óneikvæða tölu. Í öllum dæmum og verkefnum hér á eftir er sérhver breyta í ferningsrótarstæðu stærri en eða jöfn núlli.

Dæmi 5.75

Einfaldið: $\sqrt{x^{2}} .$

Lausn

Hugsið um hvað þyrfti að setja í annað veldi til að fá $x^{2}$ . Á algebrumáli: ${(?)}^{2} = x^{2}$

	√ 𝑥 2 x 2
Þar sem ( x ) 2 = x²	𝑥 x

Dæmi 5.76

Einfaldið: $\sqrt{16 x^{2}} .$

Lausn

	√ 1 6 ⁢ 𝑥 2 16 ⁢ x 2
S i n c e ( 4 ⁢ 𝑥 ) 2 = 1 6 ⁢ 𝑥 2 Since ( 4 ⁢ x ) 2 = 16 ⁢ x²	4 ⁢ 𝑥 4 ⁢ x

Dæmi 5.77

Einfaldið: $- \sqrt{81 y^{2}} .$

Lausn

	− √ 8 1 ⁢ 𝑦 2 − 81 ⁢ y²
S i n c e ( 9 ⁢ 𝑦 ) 2 = 8 1 ⁢ 𝑦 2 Since ( 9 ⁢ y ) 2 = 81 ⁢ y²	− 9 ⁢ 𝑦 − 9 ⁢ y

Dæmi 5.78

Einfaldið: $\sqrt{36 x^{2} y^{2}} .$

Lausn

	√ 3 6 ⁢ 𝑥 2 ⁢ 𝑦 2 36 ⁢ x 2 ⁢ y 2
S i n c e ( 6 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑦 ) 2 = 3 6 ⁢ 𝑥 2 ⁢ 𝑦 2 Since ( 6 ⁢ x ⁢ y ) 2 = 36 ⁢ x 2 ⁢ y²	6 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑦 6 ⁢ x ⁢ y

Ferningsrætur notaðar í hagnýtum verkefnum

Eftir því sem lengra líður á háskólanámið munuð þið kynnast ýmiss konar notkun ferningsróta. Ef við notum aftur aðferðina okkar við hagnýt verkefni fáum við áætlun um hvernig svarið er fundið.

Ferningsrætur og flatarmál

Við höfum áður leyst hagnýt verkefni með flatarmáli. Ef hliðarlengd fernings er gefin getum við fundið flatarmálið með því að setja hliðarlengdina í annað veldi. Nú getum við fundið hliðarlengd fernings þegar flatarmálið er gefið með því að finna ferningsrót flatarmálsins.

Ef flatarmál fernings er $A$ ferningseiningar er hliðarlengdin $\sqrt{A}$ einingar. Sjá töflu 5.7 .

Flatarmál (ferningseiningar)	Hliðarlengd (einingar)
9 9	√ 9 = 3 9 = 3
1 4 4 144	√ 1 4 4 = 1 2 144 = 12
𝐴 A	√ 𝐴 A

Dæmi 5.79

Mike og Lychelle vilja útbúa ferningslaga verönd. Þau eiga næga steypu fyrir $200$ ferfeta flöt. Hve löng getur hlið verandarinnar verið, námundað að næsta tíunda hluta fets?

Lausn

Við vitum að flatarmál ferningsins er $200$ ferfet og viljum finna hliðarlengdina. Ef flatarmál fernings er $A$ ferningseiningar er hliðarlengdin $\sqrt{A}$ einingar.

Hvað er beðið um að finna?	Lengd hverrar hliðar ferningslaga veröndar
Skrifið setningu.	Hliðarlengd
Þýðið yfir á stæðu.	√ 𝐴 A
Reiknið gildi A þegar A = 200 .	√ 2 0 0 200
Notið reiknivél.	1 4 . 1 4 2 1 3 5 . . . 14.142135 ...
Námundið að einum aukastaf.	1 4 . 1 f e e t 14.1 feet
Skrifið setningu.	Hver hlið verandarinnar ætti að vera 14.1 fet.

Ferningsrætur og þyngdarafl

Önnur notkun ferningsróta tengist þyngdarafli. Ef hlut er sleppt úr $h$ feta hæð á jörðinni fæst tíminn í sekúndum þar til hann nær jörðu með því að reikna gildi stæðunnar $\frac{\sqrt{h}}{4} .$ Ef hlut er til dæmis sleppt úr $64$ feta hæð getum við fundið tímann þar til hann nær jörðu með því að reikna gildi $\frac{\sqrt{64}}{4} .$

	√ 6 4 4 64/4
Finnið ferningsrót 64.	8 4 8/4
Styttið brotið.	2 2

Hlutur sem $2$ væri sleppt úr 6 4 64 feta hæð næði $64$ jörðu eftir 2 2 sekúndur.

Dæmi 5.80

Christy missti sólgleraugun sín af brú sem er $400$ fetum yfir á. Hve margar sekúndur líða þar til sólgleraugun ná ánni?

Lausn

Hvað er beðið um að finna?	Fjölda sekúndna þar til sólgleraugun ná ánni
Skrifið setningu.	Tímann þar til sólgleraugun ná ánni
Þýðið yfir á stæðu.	√ ℎ 4 h/4
Reiknið gildi h/4 þegar h = 400 .	√ 4 0 0 4 $\frac{400}{4}$
Finnið ferningsrót 400.	2 0 4 $\frac{20}{4}$
Einfaldið.	5 5
Skrifið setningu.	Sólgleraugun ná ánni eftir 5 sekúndur.

Ferningsrætur og rannsókn umferðarslysa

Lögreglumenn sem rannsaka umferðarslys mæla lengd hemlafara á vegyfirborðinu. Síðan nota þeir ferningsrætur til að ákvarða hraða bifreiðar í mílum á klukkustund áður en hemlað var. Samkvæmt sumum formúlum má finna hraða bifreiðarinnar með því að reikna gildi √ 2 4 ⁢ 𝑑 . 24 $d$ ⁢ d . ef lengd hemlafaranna er 𝑑 d fet. $\sqrt{24 d} .$

Dæmi 5.81

Eftir umferðarslys mældust hemlaför einnar bifreiðar $190$ fet. Hver var hraði bifreiðarinnar í mílum á klukkustund áður en hemlað var, námundaður að næsta tíunda hluta?

Lausn

Hvað er beðið um að finna?	Hraða bifreiðarinnar áður en hemlað var
Skrifið setningu.	Hraða bifreiðarinnar
Þýðið yfir á stæðu.	√ 2 4 ⁢ 𝑑 24 ⁢ d
Reiknið gildi 24 ⁢ d þegar d = 190 .	√ 2 4 · 1 9 0 24 · 190
Margfaldið.	√ 4 , 5 6 0 4,560
Notið reiknivél.	6 7 . 5 2 7 7 7 2 . . . 67.527772 ...
Námundið að næsta tíunda hluta.	6 7 . 5 67.5
Skrifið setningu.	Hraði bifreiðarinnar var um það bil 67.5 mílur á klukkustund.

Æfingar í kafla 5.7

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með ferningsrótum

Einfaldið í eftirfarandi dæmum.

489.

√36 $\sqrt{36}$

490.

√4 $\sqrt{4}$

491.

√64 $\sqrt{64}$

492.

√144 $\sqrt{144}$

493.

−√4 $- \sqrt{4}$

494.

−√100 $- \sqrt{100}$

495.

−√1 $- \sqrt{1}$

496.

−√121 $- \sqrt{121}$

497.

√−121 $\sqrt{−121}$

498.

√−36 $\sqrt{−36}$

499.

√−9 $\sqrt{−9}$

500.

√−49 $\sqrt{−49}$

501.

√9+16 $\sqrt{9 + 16}$

502.

√25+144 $\sqrt{25 + 144}$

503.

√9+√16 $\sqrt{9} + \sqrt{16}$

504.

√25+√144 $\sqrt{25} + \sqrt{144}$

Áætlið ferningsrætur

Áætlið hverja ferningsrót milli tveggja samliggjandi heilla talna í eftirfarandi dæmum.

505.

√70 $\sqrt{70}$

506.

√55 $\sqrt{55}$

507.

√200 $\sqrt{200}$

508.

√172 $\sqrt{172}$

Nálgunargildi ferningsróta fundin með reiknivél

Notið reiknivél í eftirfarandi verkefnum til að finna nálgunargildi hverrar ferningsrótar og námundið að tveimur aukastöfum.

509.

√19 $\sqrt{19}$

510.

√21 $\sqrt{21}$

511.

√53 $\sqrt{53}$

512.

√47 $\sqrt{47}$

Einfaldið breytustæður með ferningsrótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum. Gerið ráð fyrir að allar breytur séu stærri en eða jafnar núlli.

513.

√𝑦2 $\sqrt{y^{2}}$

514.

√𝑏2 $\sqrt{b^{2}}$

515.

√49⁢𝑥2 $\sqrt{49 x^{2}}$

516.

√100⁢𝑦2 $\sqrt{100 y^{2}}$

517.

−√64⁢𝑎2 $- \sqrt{64 a^{2}}$

518.

−√25⁢𝑥2 $- \sqrt{25 x^{2}}$

519.

√144⁢𝑥2⁢𝑦2 $\sqrt{144 x^{2} y^{2}}$

520.

√196⁢𝑎2⁢𝑏2 $\sqrt{196 a^{2} b^{2}}$

Ferningsrætur notaðar í hagnýtum verkefnum

Leysið eftirfarandi verkefni. Námundið að einum aukastaf.

521.

Garðyrkja Reed vill hafa ferningslaga matjurtagarð í bakgarðinum. Hann á næga moltu til að þekja $75$ ferfeta flöt. Hve löng getur hlið garðsins verið?

522.

Garðyrkja Vince vill útbúa ferningslaga verönd í garðinum. Hann á næga steypu til að leggja yfir $130$ ferfeta flöt. Hve löng getur hlið verandarinnar verið?

523.

Þyngdarafl Flugvél sleppti blysi úr $1,024$ feta hæð yfir stöðuvatni. Hve margar sekúndur liðu þar til blysið náði vatninu?

524.

Þyngdarafl Svifdrekaflugmaður missti farsímann sinn úr $350$ feta hæð. Hve margar sekúndur liðu þar til síminn náði jörðu?

525.

Þyngdarafl Byggingarstarfsmaður missti hamar við byggingu útsýnispallsins yfir Miklagljúfur, $4,000$ fetum yfir Coloradoánni. Hve margar sekúndur liðu þar til hamarinn náði ánni?

526.

Rannsókn umferðarslyss Hemlaför bifreiðar sem lenti í slysi mældust $54$ fet. Hver var hraði bifreiðarinnar áður en hemlað var?

527.

Rannsókn umferðarslyss Hemlaför bifreiðar sem lenti í slysi mældust $216$ fet. Hver var hraði bifreiðarinnar áður en hemlað var?

528.

Rannsókn umferðarslyss Rannsakandi mældi hemlaför eins ökutækjanna sem lentu í slysi. Hemlaförin voru $175$ fet að lengd. Hver var hraði ökutækisins áður en hemlað var?

529.

Rannsókn umferðarslyss Rannsakandi mældi hemlaför eins ökutækjanna sem lentu í slysi. Hemlaförin voru $117$ fet að lengd. Hver var hraði ökutækisins áður en hemlað var?

Stærðfræði daglegs lífs

530.

Skreytingar Denise vill setja ferningslaga skrautflöt úr vönduðum flísum í nýju sturtuna sína. Hún hefur efni á að kaupa $625$ fersentímetra af flísunum. Hve löng getur hlið skrautflatarins verið?

531.

Skreytingar Morris vill fella ferningslaga mósaík í nýju veröndina sína. Fjárhagsáætlunin leyfir $2,025$ flísar. Hver flís er ferningslaga og ein fertomma að flatarmáli. Hve löng getur hlið mósaíksins verið?

Ritunarverkefni

532.

Hvers vegna er engin rauntala jöfn $\sqrt{−64} ?$

533.

Hver er munurinn á $9^{2}$ og $\sqrt{9} ?$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið dæmunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Teljið þið ykkur þegar á heildina er litið vel undirbúin fyrir næsta kafla eftir að hafa skoðað gátlistann? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?