55 Tugabrot

5.4 Jöfnur með tugabrotum leystar

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Finnið hvort tugabrot sé lausn jöfnu
Leysið jöfnur með tugabrotum
Þýtt yfir á jöfnu og leyst hana

Finnið hvort tugabrot sé lausn jöfnu

Mikilvægt er að kunna að leysa jöfnur með tugabrotum í daglegu lífi þar sem fjárhæðir eru yfirleitt ritaðar sem tugabrot. Þegar verkefne fjalla um peninga, svo sem eigin innkaup, gerð fjárhagsáætlunar fjölskyldunnar eða framtíðaráætlanir fyrirtækis, þurfið þið að leysa jöfnur með tugabrotum.

Nú þegar við höfum unnið með tugabrot erum við tilbúin að finna lausnir jafna sem innihalda tugabrot. Skrefin til að kanna hvort tala sé lausn jöfnu eru þau sömu hvort sem lausnin er tala sem er núll eða jákvæð heiltala, heiltala, almennt brot eða tugabrot. Hér eru skrefin talin upp aftur til hægðarauka.

Dæmi 5.40

Finnið hvort hvert eftirfarandi gildi sé lausn jöfnunnar $x - 0.7 = 1.5 :$

ⓐ 𝑥 =1 $x = 1$ ⓑ 𝑥 =−0.8 $x = −0.8$ ⓒ 𝑥 =2.2 $x = 2.2$

Lausn

ⓐ


Dragið frá.

Þar sem $x = 1$ gefur ekki sanna jöfnu er $1$ ekki lausn jöfnunnar.

ⓑ


Dragið frá.

Þar sem $x = −0.8$ gefur ekki sanna jöfnu er $−0.8$ ekki lausn jöfnunnar.

ⓒ


Dragið frá.

Þar sem $x = 2.2$ gefur sanna jöfnu er $2.2$ lausn jöfnunnar.

Jöfnur með tugabrotum leystar

Í fyrri köflum leystum við jöfnur með reglum jafnaðar. Við notum sömu reglur til að leysa jöfnur með tugabrotum.

Reglur jafnaðar

Frádráttarregla jafnaðar Fyrir hvaða tölur sem er 𝑎 , 𝑏 , o g 𝑐 , a , b , og c , Ef 𝑎 = 𝑏 , a = b , þá er 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐 . a − a , b , og c ,c = a = b ,b − c . a − c = b − c .	Samlagningarregla jafnaðar Fyrir hvaða tölur sem er 𝑎 , 𝑏 , o g 𝑐 , a , b , og c , Ef 𝑎 = 𝑏 , a = b , þá er 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 . a + a , b , og c ,c = a = b ,b + c . a + c = b + c .
Deilingarregla jafnaðar Fyrir hvaða tölur sem er 𝑎 , 𝑏 , o g 𝑐 , o g 𝑐 ≠ 0 a , b , og c , þar sem c ≠ 0 Ef 𝑎 = 𝑏 , a = b , þá er 𝑎 𝑐 a , b , og c , og c ≠ 0= 𝑏 a = b ,𝑐 a/c = b/c a/c = b/c	Margföldunarregla jafnaðar Fyrir hvaða tölur sem er 𝑎 , 𝑏 , o g 𝑐 , a , b , og c , Ef 𝑎 = 𝑏 , a = b , þá er 𝑎 ⁢ 𝑐 = 𝑏 ⁢ 𝑐 a ⁢ a , b , og c ,c = a = b ,b ⁢ c a ⁢ c = b ⁢ c

Jafnaðurinn helst óbreyttur þegar sama stærð er lögð við báðar hliðar jöfnu eða dregin frá þeim, þegar báðar hliðar eru margfaldaðar með sömu stærð eða þegar báðum hliðum er deilt með henni.

Dæmi 5.41

Leysið: $y + 2.3 = −4.7 .$

Lausn

Við notum frádráttarreglu jafnaðar til að einangra breytuna.



Einfaldið.
Sannprófun:

Einfaldið.

Þar sem $y = −7$ gerir $y + 2.3 = −4.7$ að sannri staðhæfingu vitum við að lausn jöfnunnar er fundin.

Dæmi 5.42

Leysið: $a - 4.75 = −1.39 .$

Lausn

Við notum samlagningarreglu jafnaðar.


Leggið 4.75 við báðar hliðar til að eyða áhrifum frádráttarins.
Einfaldið.
Sannprófun:

Þar sem niðurstaðan er sönn staðhæfing er $a = 3.36$ lausn jöfnunnar.

Dæmi 5.43

Leysið: $−4.8 = 0.8 n .$

Lausn

Við notum deilingarreglu jafnaðar.

Notið reglur jafnaðar til að finna gildi $n .$


Við verðum að deila báðum hliðum með 0.8 til að einangra n .
Einfaldið.
Sannprófun:

Þar sem $n = −6$ gerir $−4.8 = 0.8 n$ að sannri staðhæfingu vitum við að lausn er fundin.

Dæmi 5.44

Leysið: $\frac{p}{- 1.8} = −6.5 .$

Lausn

Við notum margföldunarreglu jafnaðar .


Hér er p deilt með −1.8. Við verðum að margfalda með −1.8 til að einangra p
Margfaldið.
Sannprófun:

Lausn jöfnunnar $\frac{p}{−1.8} = −6.5$ er $p = 11.7 .$

Þýða yfir á jöfnu og leysa hana

Nú þegar við höfum leyst jöfnur með tugabrotum erum við tilbúin að setja orðaðar setningar fram sem jöfnur og leysa þær. Munið að leita að orðum og orðasamböndum sem gefa til kynna hvaða reikniaðgerðir eigi að nota.

Dæmi 5.45

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Mismunur $n$ og $4.3$ er $2.1 .$

Lausn

Þýðið.
Leggið 4.3 við báðar hliðar jöfnunnar.
Einfaldið.
Sannprófun:	Er mismunur n og 4.3 jafn 2.1?
Látum n = 6.4 :	Er mismunur 6.4 og 4.3 jafn 2.1?
Þýðið.
Einfaldið.

Dæmi 5.46

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Margfeldi $−3.1$ og $x$ er $5.27 .$

Lausn

Þýðið.
Deilið báðum hliðum með −3.1 .
Einfaldið.
Sannprófun:	Er margfeldi −3.1 og x jafnt 5.27 ?
Látum x = −1.7 :	Er margfeldi −3.1 og −1.7 jafnt 5.27 ?
Þýðið.
Einfaldið.

Dæmi 5.47

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Kvóti $p$ og $−2.4$ er $6.5 .$

Lausn

Þýðið.
Margfaldið báðar hliðar með −2.4 .
Einfaldið.
Sannprófun:	Er kvóti p og −2.4 jafn 6.5 ?
Látum p = −15.6 :	Er kvóti −15.6 og −2.4 jafn 6.5 ?
Þýðið.
Einfaldið.

Dæmi 5.48

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Summa $n$ og $2.9$ er $1.7 .$

Lausn

Þýðið.
Dragið 2.9 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Sannprófun:	Er summa n og 2.9 jöfn 1.7 ?
Látum n = −1.2 :	Er summa −1.2 og 2.9 jöfn 1.7 ?
Þýðið.
Einfaldið.

Æfingar úr kafla 5.4

Æfingin skapar meistarann

Finnið hvort tugabrot sé lausn jöfnu

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna hvort hver tala sé lausn gefnu jöfnunnar.

285.

𝑥−0.8=2.3 $x - 0.8 = 2.3$
ⓐ 𝑥 =2 $x = 2$ ⓑ 𝑥 =−1.5 $x = −1.5$ ⓒ 𝑥 =3.1 $x = 3.1$

286.

𝑦+0.6=−3.4 $y + 0.6 = −3.4$
ⓐ 𝑦 =−4 $y = −4$ ⓑ 𝑦 =−2.8 $y = −2.8$ ⓒ 𝑦 =2.6 $y = 2.6$

287.

ℎ1.5=−4.3 $\frac{h}{1.5} = −4.3$
ⓐ ℎ =6.45 $h = 6.45$ ⓑ ℎ =−6.45 $h = −6.45$ ⓒ ℎ =−2.1 $h = −2.1$

288.

0.75⁢𝑘=−3.6 $0.75 k = −3.6$
ⓐ 𝑘 =−0.48 $k = −0.48$ ⓑ 𝑘 =−4.8 $k = −4.8$ ⓒ 𝑘 =−2.7 $k = −2.7$

Jöfnur með tugabrotum leystar

Leysið jöfnuna í eftirfarandi æfingum.

289.

𝑦+2.9=5.7 $y + 2.9 = 5.7$

290.

𝑚+4.6=6.5 $m + 4.6 = 6.5$

291.

𝑓+3.45=2.6 $f + 3.45 = 2.6$

292.

ℎ+4.37=3.5 $h + 4.37 = 3.5$

293.

𝑎+6.2=−1.7 $a + 6.2 = −1.7$

294.

𝑏+5.8=−2.3 $b + 5.8 = −2.3$

295.

𝑐+1.15=−3.5 $c + 1.15 = −3.5$

296.

𝑑+2.35=−4.8 $d + 2.35 = −4.8$

297.

𝑛−2.6=1.8 $n - 2.6 = 1.8$

298.

𝑝−3.6=1.7 $p - 3.6 = 1.7$

299.

𝑥−0.4=−3.9 $x - 0.4 = −3.9$

300.

𝑦−0.6=−4.5 $y - 0.6 = −4.5$

301.

𝑗−1.82=−6.5 $j - 1.82 = −6.5$

302.

𝑘−3.19=−4.6 $k - 3.19 = −4.6$

303.

𝑚−0.25=−1.67 $m - 0.25 = −1.67$

304.

𝑞−0.47=−1.53 $q - 0.47 = −1.53$

305.

0.5⁢𝑥=3.5 $0.5 x = 3.5$

306.

0.4⁢𝑝=9.2 $0.4 p = 9.2$

307.

−1.7⁢𝑐=8.5 $−1.7 c = 8.5$

308.

−2.9⁢𝑥=5.8 $−2.9 x = 5.8$

309.

−1.4⁢𝑝=−4.2 $−1.4 p = −4.2$

310.

−2.8⁢𝑚=−8.4 $−2.8 m = −8.4$

311.

−120=1.5⁢𝑞 $−120 = 1.5 q$

312.

−75=1.5⁢𝑦 $−75 = 1.5 y$

313.

0.24⁢𝑥=4.8 $0.24 x = 4.8$

314.

0.18⁢𝑛=5.4 $0.18 n = 5.4$

315.

−3.4⁢𝑧=−9.18 $−3.4 z = −9.18$

316.

−2.7⁢𝑢=−9.72 $−2.7 u = −9.72$

317.

𝑎0.4=−20 $\frac{a}{0.4} = −20$

318.

𝑏0.3=−9 $\frac{b}{0.3} = −9$

319.

𝑥0.7=−0.4 $\frac{x}{0.7} = −0.4$

320.

𝑦0.8=−0.7 $\frac{y}{0.8} = −0.7$

321.

𝑝−5=−1.65 $\frac{p}{- 5} = −1.65$

322.

𝑞−4=−5.92 $\frac{q}{- 4} = −5.92$

323.

𝑟−1.2=−6 $\frac{r}{- 1.2} = −6$

324.

𝑠−1.5=−3 $\frac{s}{- 1.5} = −3$

Blandaðar æfingar

Leysið jöfnuna í eftirfarandi æfingum. Sannreynið síðan lausnina.

325.

𝑥−5=−11 $x - 5 = −11$

326.

−25=𝑥+34 $- \frac{2}{5} = x + \frac{3}{4}$

327.

𝑝+8=−2 $p + 8 = −2$

328.

𝑝+23=112 $p + \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$

329.

−4.2⁢𝑚=−33.6 $−4.2 m = −33.6$

330.

𝑞+9.5=−14 $q + 9.5 = −14$

331.

𝑞+56=112 $q + \frac{5}{6} = \frac{1}{12}$

332.

8.615=−𝑑 $\frac{8.6}{15} = - d$

333.

78⁢𝑚=110 $\frac{7}{8} m = \frac{1}{10}$

334.

𝑗−6.2=−3 $\frac{j}{- 6.2} = −3$

335.

−23=𝑦+38 $- \frac{2}{3} = y + \frac{3}{8}$

336.

𝑠−1.75=−3.2 $s - 1.75 = −3.2$

337.

1120=−𝑓 $\frac{11}{20} = - f$

338.

−3.6⁢𝑏=2.52 $−3.6 b = 2.52$

339.

−4.2⁢𝑎=3.36 $−4.2 a = 3.36$

340.

−9.1⁢𝑛=−63.7 $−9.1 n = −63.7$

341.

𝑟−1.25=−2.7 $r - 1.25 = −2.7$

342.

14⁢𝑛=710 $\frac{1}{4} n = \frac{7}{10}$

343.

ℎ−3=−8 $\frac{h}{- 3} = −8$

344.

𝑦−7.82=−16 $y - 7.82 = −16$

Þýða yfir á jöfnu og leysa hana

Setjið fram sem jöfnu og leysið í eftirfarandi æfingum.

345.

Mismunur $n$ og $1.9$ er $3.4 .$

346.

Mismunur $n$ og $1.5$ er $0.8 .$

347.

Margfeldi $−6.2$ og $x$ er $−4.96 .$

348.

Margfeldi $−4.6$ og $x$ er $−3.22 .$

349.

Kvóti $y$ og $−1.7$ er $−5 .$

350.

Kvóti $z$ og $−3.6$ er $3 .$

351.

Summa $n$ og $−7.3$ er $2.4.$

352.

Summa $n$ og $−5.1$ er $3.8 .$

Stærðfræði daglegs lífs

353.

Shawn keypti skó á útsölu fyrir $$78$ . Leysið jöfnuna $0.75 p = 78$ til að finna upphaflegt verð skónna, $p .$

354.

Mary keypti nýjan ísskáp. Heildarverðið með söluskatti var $$1,350 .$ Finnið smásöluverð ísskápsins fyrir skatt, $r,$ með því að leysa jöfnuna $1.08 r = 1,350 .$

Ritunarverkefni

355.

Hugsið um hvernig þið mynduð leysa jöfnuna $1.2 y = 60,$ en leysið hana ekki strax. Teljið þið að lausnin eigi að vera stærri en $60$ eða minni en $60 ?$ Rökstyðjið svarið. Leysið síðan jöfnuna til að athuga hvort þið höfðuð rétt fyrir ykkur.

356.

Hugsið um hvernig þið mynduð leysa jöfnuna $0.8 x = 200,$ en leysið hana ekki strax. Teljið þið að lausnin eigi að vera stærri en $200$ eða minni en $200 ?$ Rökstyðjið svarið. Leysið síðan jöfnuna til að athuga hvort þið höfðuð rétt fyrir ykkur.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig metið þið færni ykkar í efni þessa hluta með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?