44 Brot

4.5 Samlagning og frádráttur brota með ólíkum nefnurum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Fundið minnsta samnefnarann (MSN)
Breytt brotum í jafngild brot með MSN
Lagt saman og dregið frá brot með ólíkum nefnurum
Borið kennsl á og notað reikniaðgerðir með brotum
Notað röð reikniaðgerða til að einfalda flókin brot
Fundið gildi breytustæða með brotum

Minnsti samnefnari fundinn

Í síðasta hluta útskýrðum við hvernig brot með sama nefnara eru lögð saman og dregin frá. En hvernig leggjum við saman og drögum frá brot með ólíkum nefnurum?

Hugsum aftur um mynt. Getið þið lagt saman einn fjórðungsdollara og einn tíu senta pening? Þið gætuð sagt að þetta væru tveir peningar, en það segir okkur ekki mikið. Til að finna heildarverðmæti eins fjórðungsdollara og eins tíu senta penings breytið þið þeim í sömu einingu — sent. Einn fjórðungsdollari jafngildir $25$ sentum og einn tíu senta peningur jafngildir $10$ sentum, svo summan er $35$ sent. Sjá mynd 4.7.

Fjórðungsdollari og tíu senta peningur eru sýndir. Fyrir neðan þá stendur 25 sent plús 10 sent og þar fyrir neðan stendur 35 sent. — **Mynd 4.7.** Saman eru fjórðungsdollari og tíu senta peningur $35$ senta virði, eða $\frac{35}{100}$ úr dollara.

Á sama hátt verðum við að breyta brotum með ólíkum nefnurum í jafngild brot með sameiginlegum nefnara áður en við leggjum þau saman. Þegar myntinni er breytt í sent er nefnarinn $100 .$ Þar sem $100$ sent eru í einum dollara jafngilda $25$ sent $\frac{25}{100}$ og $10$ sent jafngilda $\frac{10}{100} .$ Við leggjum því saman $\frac{25}{100} + \frac{10}{100}$ og fáum $\frac{35}{100},$ sem eru $35$ sent.

Þið hafið æft ykkur í að leggja saman og draga frá samnefnd brot. Skoðum nú hvað þarf að gera þegar brotin hafa ólíka nefnara.

Fyrst notum við brotarenninga til að sýna hvernig sameiginlegur nefnari $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3} .$

Við byrjum með einn $\frac{1}{2}$ -renning og einn $\frac{1}{3}$ -renning. Við viljum finna brotarenning af sömu stærð sem má nota til að þekja bæði $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3}$ nákvæmlega.

Ef við prófum $\frac{1}{4}$ -renningana þekja $2$ þeirra $\frac{1}{2}$ -renninginn nákvæmlega, en þeir þekja $\frac{1}{3}$ -renninginn ekki nákvæmlega.

Tveir rétthyrningar eru sýndir hlið við hlið. Sá fyrri er merktur einum helmingi. Sá síðari er styttri og merktur einum þriðja. Undir fyrri rétthyrningnum er jafnstór rétthyrningur sem er skipt lóðrétt í tvo hluta, hvorn merktan einum fjórða. Undir síðari rétthyrningnum eru tveir hlutar, hvor merktur einum fjórða. Saman eru þessir rétthyrningar lengri en rétthyrningurinn sem er merktur einum þriðja.

Ef við prófum $\frac{1}{5}$ -renningana þekja þeir hvorki $\frac{1}{2}$ -renninginn né $\frac{1}{3}$ -renninginn nákvæmlega.

Ef við prófum $\frac{1}{6}$ -renningana sjáum við að nákvæmlega $3$ þeirra þekja $\frac{1}{2}$ -renninginn og nákvæmlega $2$ þeirra þekja $\frac{1}{3}$ -renninginn.

Ef við prófuðum $\frac{1}{12}$ -renningana myndu þeir einnig passa.

Enn minni renningar, svo sem $\frac{1}{24}$ og $\frac{1}{48},$ myndu einnig þekja bæði $\frac{1}{2}$ -renninginn og $\frac{1}{3}$ -renninginn nákvæmlega.

Nefnari stærsta renningsins sem þekur bæði brotin er minnsti samnefnari (MSN) þeirra. Minnsti samnefnari $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3}$ er því $6 .$

Takið eftir að allir renningarnir sem þekja $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3}$ eiga eitt sameiginlegt: Nefnarar þeirra eru sameiginleg margfeldi talnanna $2$ og $3,$ sem eru nefnarar $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3} .$ Minnsta sameiginlega margfeldi (MSM) nefnaranna er $6,$ og því segjum við að $6$ sé minnsti samnefnari (MSN) brotanna $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3} .$

Til að finna MSN tveggja brota finnum við MSM nefnara þeirra. Við fylgjum sömu aðferð og við notuðum áður til að finna MSM tveggja talna. Þegar MSN er fundinn notum við aðeins nefnara brotanna, ekki teljarana.

Dæmi 4.63

Finnið MSN brotanna $\frac{7}{12}$ og $\frac{5}{18} .$

Lausn

Frumþáttu hvorn nefnara.
Skrifið frumþætti 12 og 18 þannig að sömu frumþættir standi í sömu dálkum þegar það er hægt.
Færið tölurnar niður úr hverjum dálki.
Margfaldið þættina. Margfeldið er MSM.	MSM = 3 6 = 36
MSM 12 og 18 er 36, svo MSN brotanna $\frac{7}{12}$ og $\frac{5}{18}$ er 36.	MSN $\frac{7}{12}$ og $\frac{5}{18}$ er 36.

Til að finna MSN tveggja brota finnið þið MSM nefnara þeirra. Takið eftir að skrefin hér á eftir líkjast skrefunum sem við notuðum til að finna MSM.

Dæmi 4.64

Finnið minnsta samnefnara brotanna $\frac{8}{15}$ og $\frac{11}{24} .$

Lausn

Til að finna MSN finnum við MSM nefnaranna.

Finnið MSM $15$ og $24 .$

Efsta línan sýnir að 15 er jafnt og 3 sinnum 5. Næsta lína sýnir að 24 er jafnt og 2 sinnum 2 sinnum 2 sinnum 3. Þristarnir standa hvor undir öðrum. Næsta lína sýnir að MSM er jafnt og 2 sinnum 2 sinnum 2 sinnum 3 sinnum 5. Síðasta línan sýnir að MSM er jafnt og 120.

MSM $15$ og $24$ er $120 .$ MSN $\frac{8}{15}$ og $\frac{11}{24}$ er því $120 .$

Brotum breytt í jafngild brot með MSN

Áður notuðum við brotarenninga til að sjá að MSN $\frac{1}{4}$ og $\frac{1}{6}$ er $12 .$ Við sáum að þrír $\frac{1}{12}$ -renningar þöktu $\frac{1}{4}$ nákvæmlega og tveir $\frac{1}{12}$ -renningar þöktu $\frac{1}{6},$ nákvæmlega, svo

\frac{1}{4} = \frac{3}{12} og \frac{1}{6} = \frac{2}{12} .

Vinstra megin er rétthyrningur merktur einum fjórða. Undir honum er eins rétthyrningur sem er skipt lóðrétt í 3 jafna hluta, hvern merktan einum tólfta. Hægra megin er rétthyrningur merktur einum sjötta. Undir honum er eins rétthyrningur sem er skipt lóðrétt í 2 jafna hluta, hvorn merktan einum tólfta.

Við segjum að $\frac{1}{4}$ og $\frac{3}{12}$ séu jafngild brot og einnig að $\frac{1}{6}$ og $\frac{2}{12}$ séu jafngild brot.

Við getum notað regluna um jafngild brot til að breyta broti með algebru í jafngilt brot. Munið að tvö brot eru jafngild ef þau hafa sama gildi. Reglan um jafngild brot er endurtekin hér til upprifjunar.

Til að leggja saman eða draga frá brot með ólíkum nefnurum verðum við fyrst að breyta hverju broti í jafngilt brot með MSN. Skoðum hvernig $\frac{1}{4}$ og $\frac{1}{6}$ er breytt í jafngild brot með nefnarann $12$ án þess að nota líkön.

Dæmi 4.65

Breytið $\frac{1}{4}$ og $\frac{1}{6}$ í jafngild brot með nefnarann $12,$ sem er MSN þeirra.

Lausn

Finnið MSN.	MSN $\frac{1}{4}$ og $\frac{1}{6}$ er 12.
Finnið töluna sem margfalda þarf 4 með til að fá 12.
Finnið töluna sem margfalda þarf 6 með til að fá 12.
Notið regluna um jafngild brot til að breyta hvoru broti í jafngilt brot með MSN með því að margfalda bæði teljara og nefnara hvors brots með sömu tölu.
Einfaldið teljarana og nefnarana.

Við styttum ekki brotin sem fást. Ef við gerðum það fengjum við upphaflegu brotin aftur og sameiginlegi nefnarinn hyrfi.

Dæmi 4.66

Breytið $\frac{8}{15}$ og $\frac{11}{24}$ í jafngild brot með nefnarann $120,$ sem er MSN þeirra.

Lausn

	MSN er 120. Við byrjum á skrefi 2.
Finnið töluna sem margfalda þarf 15 með til að fá 120.
Finnið töluna sem margfalda þarf 24 með til að fá 120.
Notið regluna um jafngild brot.
Einfaldið teljarana og nefnarana.

Samlagning og frádráttur brota með ólíkum nefnurum

Þegar við höfum breytt tveimur brotum í jafngild brot með sameiginlegum nefnara getum við lagt þau saman eða dregið þau frá með því að leggja saman eða draga frá teljarana.

Dæmi 4.67

Leggið saman: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} .$

Lausn

	1 2 + 1 3 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$
Finnið MSN 2 og 3.
Breytið í jafngild brot með MSN 6.
Einfaldið teljarana og nefnarana.	3 6 + 2 6 $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$
Leggið saman.	5 6 $\frac{5}{6}$

Munið að athuga alltaf hvort hægt sé að einfalda svarið. Þar sem $5$ og $6$ eiga enga sameiginlega þætti er ekki hægt að stytta brotið $\frac{5}{6}$ .

Dæmi 4.68

Dragið frá: $\frac{1}{2} - (- \frac{1}{4}) .$

Lausn

	1 2 − ( − 1 4 ) $\frac{1}{2}$ − ( − $\frac{1}{4}$ )
Finnið MSN 2 og 4.
Endurritið sem jafngild brot með MSN 4.
Einfaldið fyrra brotið.	2 4 − ( − 1 4 ) $\frac{2}{4}$ − ( − $\frac{1}{4}$ )
Dragið frá.	2 − ( − 1 ) 4 2 − ( −1 )/4
Einfaldið.	3 4 $\frac{3}{4}$

Annað brotið hafði þegar minnsta samnefnarann og því þurftum við aðeins að breyta hinu brotinu.

Dæmi 4.69

Leggið saman: $\frac{7}{12} + \frac{5}{18} .$

Lausn

	7 1 2 + 5 1 8 $\frac{7}{12}$ + $\frac{5}{18}$
Finnið MSN 12 og 18.
Endurritið sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum.
Einfaldið teljarana og nefnarana.	2 1 3 6 + 1 0 3 6 $\frac{21}{36}$ + $\frac{10}{36}$
Leggið saman.	3 1 3 6 $\frac{31}{36}$

Þar sem $31$ er frumtala á hún enga þætti sameiginlega með $36 .$ Svarið er því á einfölduðu formi.

Þegar við notum regluna um jafngild brot er til fljótleg leið til að finna töluna sem þarf að margfalda með til að fá MSN. Skrifið þætti nefnaranna og MSN á sama hátt og þegar þið funduð MSN. Þættina sem „vantar“ í hvorn nefnara þarf að margfalda með.

Fyrsta línan sýnir að 12 er jafnt og 2 sinnum 2 sinnum 3. Autt bil er við hliðina á 3. Næsta lína sýnir að 18 er jafnt og 2 sinnum 3 sinnum 3. Autt bil er á milli 2 og fyrri 3. Rauðar línur liggja frá auðu bilunum og textinn „þætti vantar“ stendur við þær. Þar fyrir neðan er lárétt lína. Undir línunni stendur að MSN sé jafnt og 2 sinnum 2 sinnum 3 sinnum 3. Þar fyrir neðan stendur að MSN sé jafnt og 36.

Í MSN, $36,$ koma $2$ þættir sem eru $2$ og $2$ þættir sem eru $3 .$

Í frumþáttun 12 koma tveir þættir sem eru $2,$ en aðeins einn sem er $3$ — því „vantar“ einn $3 .$ Við margfölduðum teljara og nefnara $\frac{7}{12}$ með $3$ til að fá jafngilt brot með nefnarann $36 .$

Í frumþáttun 18 „vantar“ einn þátt sem er $2$ — því margfaldið þið teljara og nefnara $\frac{5}{18}$ með $2$ til að fá jafngilt brot með nefnarann $36 .$ Við notum þessa aðferð þegar við drögum brotin frá í næsta sýnidæmi.

Dæmi 4.70

Dragið frá: $\frac{7}{15} - \frac{19}{24} .$

Lausn

	7 1 5 − 1 9 2 4 $\frac{7}{15}$ − $\frac{19}{24}$
Finnið MSN.Í frumþáttun 15 „vantar“ þrjá þætti sem eru 2.Í frumþáttun 24 „vantar“ þáttinn 5.
Endurritið sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum.
Einfaldið hvorn teljara og nefnara.	5 6 1 2 0 − 9 5 1 2 0 $\frac{56}{120}$ − $\frac{95}{120}$
Dragið frá.	− 3 9 1 2 0 − $\frac{39}{120}$
Endurritið þannig að sameiginlegi þátturinn 3 sjáist.	− 1 3 · 3 4 0 · 3 − 13 · $\frac{3}{40}$ · 3
Fjarlægið sameiginlega þáttinn til að einfalda.	− 1 3 4 0 − $\frac{13}{40}$

Dæmi 4.71

Leggið saman: $- \frac{11}{30} + \frac{23}{42} .$

Lausn

	− 1 1 3 0 + 2 3 4 2 − $\frac{11}{30}$ + $\frac{23}{42}$
Finnið MSN.
Endurritið sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum.
Einfaldið hvorn teljara og nefnara.	− 7 7 2 1 0 + 1 1 5 2 1 0 − $\frac{77}{210}$ + $\frac{115}{210}$
Leggið saman.	3 8 2 1 0 $\frac{38}{210}$
Endurritið þannig að sameiginlegi þátturinn 2 sjáist.	1 9 · 2 1 0 5 · 2 19 · $\frac{2}{105}$ · 2
Fjarlægið sameiginlega þáttinn til að einfalda.	1 9 1 0 5 $\frac{19}{105}$

Í næsta sýnidæmi er breyta í teljara annars brotsins. Við fylgjum sömu skrefum og þegar báðir teljararnir eru tölur.

Dæmi 4.72

Leggið saman: $\frac{3}{5} + \frac{x}{8} .$

Lausn

Brotin hafa ólíka nefnara.

	3 5 + 𝑥 8 $\frac{3}{5}$ + x/8
Finnið MSN.
Endurritið sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum.
Einfaldið teljarana og nefnarana.	2 4 4 0 + 5 ⁢ 𝑥 4 0 $\frac{24}{40}$ + 5 ⁢ x/40
Leggið saman.	2 4 + 5 ⁢ 𝑥 4 0 24 + 5 ⁢ x/40

Við getum ekki lagt saman $24$ og $5 x$ þar sem þau eru ekki samkynja liðir. Því er ekki hægt að einfalda segðina frekar.

Reikniaðgerðir með brotum bornar kennsl á og notaðar

Nú hafið þið æft ykkur í að margfalda, deila, leggja saman og draga frá brot í þessum kafla. Eftirfarandi tafla tekur saman þessar fjórar reikniaðgerðir með brotum. Munið: Þið þurfið sameiginlegan nefnara til að leggja saman eða draga frá brot, en ekki til að margfalda eða deila brotum.

Dæmi 4.73

Einfaldið:

ⓐ −14 +16 $- \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
ⓑ −14 ÷16 $- \frac{1}{4} \div \frac{1}{6}$

Lausn

Fyrst spyrjum við okkur: „Hvaða reikniaðgerð á að nota?“

ⓐ Reikniaðgerðin er samlagning.

Hafa brotin sameiginlegan nefnara? Nei.

	− 1 4 + 1 6 − $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{6}$
Finnið MSN.
Ritið hvert brot sem jafngilt brot með MSN.
Einfaldið teljarana og nefnarana.	− 3 1 2 + 2 1 2 − $\frac{3}{12}$ + $\frac{2}{12}$
Leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	− 1 1 2 − $\frac{1}{12}$
Athugið hvort hægt sé að einfalda svarið. Það er ekki hægt.

ⓑ Reikniaðgerðin er deiling. Við þurfum ekki sameiginlegan nefnara.

	− 1 4 ÷ 1 6 − $\frac{1}{4}$ ÷ $\frac{1}{6}$
Til að deila brotum margföldum við fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	− 1 4 · 6 1 − $\frac{1}{4}$ · $\frac{6}{1}$
Margfaldið.	− 6 4 − $\frac{6}{4}$
Einfaldið.	− 3 2 − $\frac{3}{2}$

Dæmi 4.74

Einfaldið:

ⓐ 5⁢𝑥6 −310 $\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}$
ⓑ 5⁢𝑥6 ·310 $\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}$

Lausn

ⓐ Reikniaðgerðin er frádráttur. Brotin hafa ekki sameiginlegan nefnara.

	5 ⁢ 𝑥 6 − 3 1 0 5 ⁢ x/6 − $\frac{3}{10}$
Endurritið hvort brot sem jafngilt brot með MSN 30.	5 ⁢ 𝑥 · 5 6 · 5 − 3 · 3 1 0 · 3 5 ⁢ x · $\frac{5}{6}$ · 5 − 3 · $\frac{3}{10}$ · 3
	2 5 ⁢ 𝑥 3 0 − 9 3 0 25 ⁢ x/30 − $\frac{9}{30}$
Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri og setjið mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.	2 5 ⁢ 𝑥 − 9 3 0 25 ⁢ x − $\frac{9}{30}$

ⓑ Reikniaðgerðin er margföldun; ekki þarf sameiginlegan nefnara.

	5 ⁢ 𝑥 6 · 3 1 0 5 ⁢ x/6 · $\frac{3}{10}$
Til að margfalda brot skal margfalda teljarana saman og nefnarana saman.	5 ⁢ 𝑥 · 3 6 · 1 0 5 ⁢ x · $\frac{3}{6}$ · 10
Endurritið þannig að sameiginlegir þættir sjáist.	5 · 𝑥 · 3 2 · 3 · 2 · 5 5 · x · $\frac{3}{2}$ · 3 · 2 · 5
Fjarlægið sameiginlega þætti til að einfalda.	𝑥 4 x/4

Röð reikniaðgerða notuð til að einfalda flókin brot

Í Margföldun og deiling blandaðra talna og flókinna brotasáum við að flókið brot er brot þar sem teljarinn eða nefnarinn inniheldur brot. Við einfölduðum flókin brot með því að endurrita þau sem deilingardæmi. Til dæmis

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} \div \frac{5}{8}

Nú skoðum við flókin brot þar sem hægt er að einfalda teljarann eða nefnarann. Til að fylgja röð reikniaðgerða einföldum við fyrst teljarann og nefnarann hvorn fyrir sig. Síðan deilum við teljaranum með nefnaranum.

Dæmi 4.75

Einfaldið: $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}} .$

Lausn

	( 1 2 ) 2 4 + 3 2 ( $\frac{1}{2}$ ) $\frac{2}{4}$ + 3 2
Einfaldið teljarann.	1 4 4 + 3 2 $\frac{1}{4}$ /4 + 3 2
Einfaldið liðinn með veldinu í nefnaranum.	1 4 4 + 9 $\frac{1}{4}$ /4 + 9
Leggið saman liðina í nefnaranum.	1 4 1 3 $\frac{1}{4}$ /13
Deilið teljaranum með nefnaranum.	1 4 ÷ 1 3 $\frac{1}{4}$ ÷ 13
Endurritið sem margföldun með umhverfu.	1 4 · 1 1 3 $\frac{1}{4}$ · $\frac{1}{13}$
Margfaldið.	1 5 2 $\frac{1}{52}$

Dæmi 4.76

Einfaldið: $\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}} .$

Lausn

	1 2 + 2 3 3 4 − 1 6 $\frac{1}{2}$ + $\frac{2}{3}$ / $\frac{3}{4}$ − $\frac{1}{6}$
Endurritið teljarann með MSN 6 og nefnarann með MSN 12.	3 6 + 4 6 9 1 2 − 2 1 2 $\frac{3}{6}$ + $\frac{4}{6}$ / $\frac{9}{12}$ − $\frac{2}{12}$
Leggið saman í teljaranum. Dragið frá í nefnaranum.	7 6 7 1 2 $\frac{7}{6}$ / $\frac{7}{12}$
Deilið teljaranum með nefnaranum.	7 6 ÷ 7 1 2 $\frac{7}{6}$ ÷ $\frac{7}{12}$
Endurritið sem margföldun með umhverfu.	7 6 · 1 2 7 $\frac{7}{6}$ · $\frac{12}{7}$
Endurritið þannig að sameiginlegir þættir sjáist.	7 · 6 · 2 6 · 7 · 1 7 · 6 · $\frac{2}{6}$ · 7 · 1
Einfaldið.	2

Gildi breytustæða með brotum fundið

Við höfum áður fundið gildi segða en nú getum við einnig fundið gildi segða með brotum. Munið að til að finna gildi segðar setjum við gildi breytunnar inn í segðina og einföldum síðan.

Dæmi 4.77

Finnið gildi $x + \frac{1}{3}$ þegar

ⓐ 𝑥 =−13 $x = - \frac{1}{3}$
ⓑ 𝑥 =−34. $x = - \frac{3}{4} .$

Lausn

ⓐ Til að finna gildi $x + \frac{1}{3}$ þegar $x = - \frac{1}{3},$ setjum við $- \frac{1}{3}$ í stað $x$ í segðinni.

	𝑥 + 1 3 x + $\frac{1}{3}$

Einfaldið.	0 0

ⓑ Til að finna gildi $x + \frac{1}{3}$ þegar $x = - \frac{3}{4},$ setjum við $- \frac{3}{4}$ í stað $x$ í segðinni.

	𝑥 + 1 3 x + $\frac{1}{3}$

Endurritið sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum, 12.	− 3 · 3 4 · 3 + 1 · 4 3 · 4 − 3 · $\frac{3}{4}$ · 3 + 1 · $\frac{4}{3}$ · 4
Einfaldið teljarana og nefnarana.	− 9 1 2 + 4 1 2 − $\frac{9}{12}$ + $\frac{4}{12}$
Leggið saman.	− 5 1 2 − $\frac{5}{12}$

Dæmi 4.78

Finnið gildi $y - \frac{5}{6}$ þegar $y = - \frac{2}{3} .$

Lausn

Við setjum $- \frac{2}{3}$ í stað $y$ í segðinni.

	𝑦 − 5 6 y − $\frac{5}{6}$

Endurritið sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum, 6.	− 4 6 − 5 6 − $\frac{4}{6}$ − $\frac{5}{6}$
Dragið frá.	− 9 6 − $\frac{9}{6}$
Einfaldið.	− 3 2 − $\frac{3}{2}$

Dæmi 4.79

Finnið gildi $2 x^{2} y$ þegar $x = \frac{1}{4}$ og $y = - \frac{2}{3} .$

Lausn

Setjið gildin inn í segðina. Í $2 x^{2} y,$ á veldisvísirinn aðeins við um $x .$



Reiknið veldin fyrst.
Margfaldið. Margfeldið verður neikvætt.
Einfaldið.
Fellið brott sameiginlegu þættina.
Einfaldið.

Dæmi 4.80

Finnið gildi $\frac{p + q}{r}$ þegar $p = −4, q = −2,$ og $r = 8 .$

Lausn

Við setjum gildin inn í segðina og einföldum.

	𝑝 + 𝑞 𝑟 p + q/r

Leggið fyrst saman í teljaranum.	− 6 8 − $\frac{6}{8}$
Einfaldið.	− 3 4 − $\frac{3}{4}$

Verkefni úr kafla 4.5

Æfingin skapar meistarann

Minnsti samnefnari (MSN) fundinn

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna minnsta samnefnara (MSN) hvers brotamengis.

316.

$\frac{2}{3}$ og $\frac{3}{4}$

317.

$\frac{3}{4}$ og $\frac{2}{5}$

318.

$\frac{7}{12}$ og $\frac{5}{8}$

319.

$\frac{9}{16}$ og $\frac{7}{12}$

320.

$\frac{13}{30}$ og $\frac{25}{42}$

321.

$\frac{23}{30}$ og $\frac{5}{48}$

322.

$\frac{21}{35}$ og $\frac{39}{56}$

323.

$\frac{18}{35}$ og $\frac{33}{49}$

324.

$\frac{2}{3}, \frac{1}{6},$ og $\frac{3}{4}$

325.

$\frac{2}{3}, \frac{1}{4},$ og $\frac{3}{5}$

Brotum breytt í jafngild brot með MSN

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið breyta brotunum í jafngild brot með MSN.

326.

$\frac{1}{3}$ og $\frac{1}{4},$ MSN $= 12$

327.

$\frac{1}{4}$ og $\frac{1}{5},$ MSN $= 20$

328.

$\frac{5}{12}$ og $\frac{7}{8},$ MSN $= 24$

329.

$\frac{7}{12}$ og $\frac{5}{8},$ MSN $= 24$

330.

$\frac{13}{16}$ og $- \frac{11}{12},$ MSN $= 48$

331.

$\frac{11}{16}$ og $- \frac{5}{12},$ MSN $= 48$

332.

$\frac{1}{3}, \frac{5}{6},$ og $\frac{3}{4},$ MSN $= 12$

333.

$\frac{1}{3}, \frac{3}{4},$ og $\frac{3}{5},$ MSN $= 60$

Samlagning og frádráttur brota með ólíkum nefnurum

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leggja saman eða draga frá. Skrifið niðurstöðuna á einfölduðu formi.

334.

13+15 $\frac{1}{3} + \frac{1}{5}$

335.

14+15 $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

336.

12+17 $\frac{1}{2} + \frac{1}{7}$

337.

13+18 $\frac{1}{3} + \frac{1}{8}$

338.

13−(−19) $\frac{1}{3} - (- \frac{1}{9})$

339.

14−(−18) $\frac{1}{4} - (- \frac{1}{8})$

340.

15−(−110) $\frac{1}{5} - (- \frac{1}{10})$

341.

12−(−16) $\frac{1}{2} - (- \frac{1}{6})$

342.

23+34 $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$

343.

34+25 $\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$

344.

712+58 $\frac{7}{12} + \frac{5}{8}$

345.

512+38 $\frac{5}{12} + \frac{3}{8}$

346.

712−916 $\frac{7}{12} - \frac{9}{16}$

347.

716−512 $\frac{7}{16} - \frac{5}{12}$

348.

1112−38 $\frac{11}{12} - \frac{3}{8}$

349.

58−712 $\frac{5}{8} - \frac{7}{12}$

350.

23−38 $\frac{2}{3} - \frac{3}{8}$

351.

56−34 $\frac{5}{6} - \frac{3}{4}$

352.

−1130+2740 $- \frac{11}{30} + \frac{27}{40}$

353.

−920+1730 $- \frac{9}{20} + \frac{17}{30}$

354.

−1330+2542 $- \frac{13}{30} + \frac{25}{42}$

355.

−2330+548 $- \frac{23}{30} + \frac{5}{48}$

356.

−3956−2235 $- \frac{39}{56} - \frac{22}{35}$

357.

−3349−1835 $- \frac{33}{49} - \frac{18}{35}$

358.

−23−(−34) $- \frac{2}{3} - (- \frac{3}{4})$

359.

−34−(−45) $- \frac{3}{4} - (- \frac{4}{5})$

360.

−916−(−45) $- \frac{9}{16} - (- \frac{4}{5})$

361.

−720−(−58) $- \frac{7}{20} - (- \frac{5}{8})$

362.

1+78 $1 + \frac{7}{8}$

363.

1+56 $1 + \frac{5}{6}$

364.

1−59 $1 - \frac{5}{9}$

365.

1−310 $1 - \frac{3}{10}$

366.

𝑥3+14 $\frac{x}{3} + \frac{1}{4}$

367.

𝑦2+23 $\frac{y}{2} + \frac{2}{3}$

368.

𝑦4−35 $\frac{y}{4} - \frac{3}{5}$

369.

𝑥5−14 $\frac{x}{5} - \frac{1}{4}$

Reikniaðgerðir með brotum bornar kennsl á og notaðar

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið framkvæma tilgreindar reikniaðgerðir. Skrifið svörin á einfölduðu formi.

370.

ⓐ 34 +16 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$
ⓑ 34 ÷16 $\frac{3}{4} \div \frac{1}{6}$

371.

ⓐ 23 +16 $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$
ⓑ 23 ÷16 $\frac{2}{3} \div \frac{1}{6}$

372.

ⓐ −25 −18 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{8}$
ⓑ −25 ·18 $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8}$

373.

ⓐ −45 −18 $- \frac{4}{5} - \frac{1}{8}$
ⓑ −45 ·18 $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{8}$

374.

ⓐ 5⁢𝑛6÷815 $\frac{5 n}{6} \div \frac{8}{15}$
ⓑ 5⁢𝑛6−815 $\frac{5 n}{6} - \frac{8}{15}$

375.

ⓐ 3⁢𝑎8÷712 $\frac{3 a}{8} \div \frac{7}{12}$
ⓑ 3⁢𝑎8−712 $\frac{3 a}{8} - \frac{7}{12}$

376.

ⓐ 910·(−11⁢𝑑12) $\frac{9}{10} \cdot (- \frac{11 d}{12})$
ⓑ 910+(−11⁢𝑑12) $\frac{9}{10} + (- \frac{11 d}{12})$

377.

ⓐ 415·(−5⁢𝑞9) $\frac{4}{15} \cdot (- \frac{5 q}{9})$
ⓑ 415+(−5⁢𝑞9) $\frac{4}{15} + (- \frac{5 q}{9})$

378.

−38÷(−310) $- \frac{3}{8} \div (- \frac{3}{10})$

379.

−512÷(−59) $- \frac{5}{12} \div (- \frac{5}{9})$

380.

−38+512 $- \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$

381.

−18+712 $- \frac{1}{8} + \frac{7}{12}$

382.

56−19 $\frac{5}{6} - \frac{1}{9}$

383.

59−16 $\frac{5}{9} - \frac{1}{6}$

384.

38·(−1021) $\frac{3}{8} \cdot (- \frac{10}{21})$

385.

712·(−835) $\frac{7}{12} \cdot (- \frac{8}{35})$

386.

−715−𝑦4 $- \frac{7}{15} - \frac{y}{4}$

387.

−38−𝑥11 $- \frac{3}{8} - \frac{x}{11}$

388.

1112⁢𝑎·9⁢𝑎16 $\frac{11}{12 a} \cdot \frac{9 a}{16}$

389.

10⁢𝑦13·815⁢𝑦 $\frac{10 y}{13} \cdot \frac{8}{15 y}$

Röð reikniaðgerða notuð til að einfalda flókin brot

Einfaldið í eftirfarandi dæmum.

390.

(15)₂₂+32 $\frac{{(\frac{1}{5})}^{2}}{2 + 3^{2}}$

391.

(13)₂₅+22 $\frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{5 + 2^{2}}$

392.

23+42(23)₂ $\frac{2^{3} + 4^{2}}{{(\frac{2}{3})}^{2}}$

393.

33−32(34)₂ $\frac{3^{3} - 3^{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

394.

(35)₂(37)₂ $\frac{{(\frac{3}{5})}^{2}}{{(\frac{3}{7})}^{2}}$

395.

(34)₂(58)₂ $\frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{{(\frac{5}{8})}^{2}}$

396.

213+15 $\frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}$

397.

514+13 $\frac{5}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}$

398.

23+1234−23 $\frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}}$

399.

34+1256−23 $\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{\frac{5}{6} - \frac{2}{3}}$

400.

78−2312+38 $\frac{\frac{7}{8} - \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{8}}$

401.

34−3514+25 $\frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{5}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{5}}$

Blönduð verkefni

Einfaldið í eftirfarandi dæmum.

402.

12+23·512 $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{12}$

403.

13+25·34 $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$

404.

1−35÷110 $1 - \frac{3}{5} \div \frac{1}{10}$

405.

1−56÷112 $1 - \frac{5}{6} \div \frac{1}{12}$

406.

23+16+34 $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{3}{4}$

407.

23+14+35 $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{5}$

408.

38−16+34 $\frac{3}{8} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}$

409.

25+58−34 $\frac{2}{5} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4}$

410.

12⁢(920−415) $12 (\frac{9}{20} - \frac{4}{15})$

411.

8⁢(1516−56) $8 (\frac{15}{16} - \frac{5}{6})$

412.

58+161924 $\frac{\frac{5}{8} + \frac{1}{6}}{\frac{19}{24}}$

413.

16+3101430 $\frac{\frac{1}{6} + \frac{3}{10}}{\frac{14}{30}}$

414.

(59+16)÷(23−12) $(\frac{5}{9} + \frac{1}{6}) \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})$

415.

(34+16)÷(58−13) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \div (\frac{5}{8} - \frac{1}{3})$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna gildi gefinnar segðar. Skrifið svörin á einfölduðu formi og notið óeiginleg brot ef þess þarf.

416.

$x + \frac{1}{2}$ þegar

ⓐ 𝑥 =−18 $x = - \frac{1}{8}$
ⓑ 𝑥 =−12 $x = - \frac{1}{2}$

417.

$x + \frac{2}{3}$ þegar

ⓐ 𝑥 =−16 $x = - \frac{1}{6}$
ⓑ 𝑥 =−53 $x = - \frac{5}{3}$

418.

$x + (- \frac{5}{6})$ þegar

ⓐ 𝑥 =13 $x = \frac{1}{3}$
ⓑ 𝑥 =−16 $x = - \frac{1}{6}$

419.

$x + (- \frac{11}{12})$ þegar

ⓐ 𝑥 =1112 $x = \frac{11}{12}$
ⓑ 𝑥 =34 $x = \frac{3}{4}$

420.

$x - \frac{2}{5}$ þegar

ⓐ 𝑥 =35 $x = \frac{3}{5}$
ⓑ 𝑥 =−35 $x = - \frac{3}{5}$

421.

$x - \frac{1}{3}$ þegar

ⓐ 𝑥 =23 $x = \frac{2}{3}$
ⓑ 𝑥 =−23 $x = - \frac{2}{3}$

422.

$\frac{7}{10} - w$ þegar

ⓐ 𝑤 =12 $w = \frac{1}{2}$
ⓑ 𝑤 =−12 $w = - \frac{1}{2}$

423.

$\frac{5}{12} - w$ þegar

ⓐ 𝑤 =14 $w = \frac{1}{4}$
ⓑ 𝑤 =−14 $w = - \frac{1}{4}$

424.

$4 p^{2} q$ þegar $p = - \frac{1}{2}$ og $q = \frac{5}{9}$

425.

$5 m^{2} n$ þegar $m = - \frac{2}{5}$ og $n = \frac{1}{3}$

426.

$2 x^{2} y^{3}$ þegar $x = - \frac{2}{3}$ og $y = - \frac{1}{2}$

427.

$8 u^{2} v^{3}$ þegar $u = - \frac{3}{4}$ og $v = - \frac{1}{2}$

428.

$\frac{u + v}{w}$ þegar $u = −4, v = −8, w = 2$

429.

$\frac{m + n}{p}$ þegar $m = −6, n = −2, p = 4$

430.

$\frac{a + b}{a - b}$ þegar $a = −3, b = 8$

431.

$\frac{r - s}{r + s}$ þegar $r = 10, s = −5$

Stærðfræði í daglegu lífi

432.

Skreytingar Laronda er að sauma ver á skrautpúðana í sófanum sínum. Í hvert púðaver þarf hún $\frac{3}{16}$ jarda af mynstruðu efni og $\frac{3}{8}$ jarda af einlitu efni. Hversu mikið efni þarf Laronda samtals í hvert púðaver?

433.

Bakstur Vanessa bakar súkkulaðibitakökur og hafrakökur. Hún þarf $1 \frac{1}{4}$ bolla af sykri í súkkulaðibitakökurnar og $1 \frac{1}{8}$ bolla í hafrakökurnar. Hversu mikinn sykur þarf hún samtals?

Ritunarverkefni

434.

Útskýrið hvers vegna brot þurfa að hafa sameiginlegan nefnara til að hægt sé að leggja þau saman eða draga þau frá.

435.

Útskýrið hvernig MSN tveggja brota er fundinn.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.

ⓑ Þegar þið hafið skoðað gátlistann, teljið þið að undirbúningur ykkar fyrir næsta hluta sé góður? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?