Helstu atriði

Helstu atriði

4.1 Brot sýnd myndrænt

• Reglan um einn Þegar
  tölu annarri en núlli er deilt með sjálfri sér er útkoman einn.
  $\frac{a}{a}=1$ , þar sem $a\ne 0$ .
  • Þegar tölu annarri en núlli er deilt með sjálfri sér er útkoman einn.
    a/a = 1 , þar sem a ≠ 0 .
• Blandaðar tölur
  Blönduð tala er samsett úr heilli tölu $a$ og broti $\frac{b}{c}$ þar sem $c\ne 0$ . Hún er rituð á eftirfarandi hátt: $a\frac{b}{c}c\ne 0$
  • Blönduð tala er samsett úr heilli tölu $a$ og broti $\frac{b}{c}$ þar sem $c\ne 0$ .
  • Hún er rituð á eftirfarandi hátt: $a\frac{b}{c}c\ne 0$
• Eiginleg og óeiginleg brot
  Brotið $\frac{a}{b}$ er eiginlegt brot ef $a<b$ og óeiginlegt brot ef $a\ge b$ .
  • Brotið a/b er eiginlegt brot ef a < b og óeiginlegt brot ef a ≥ b .
• Breyta óeiginlegu broti í blandaða tölu. Skref 1. Deilið
  teljaranum með nefnaranum. Skref 2. Finnið kvótann, afganginn og deilinn. Skref 3. Ritið blönduðu töluna sem kvóta og brot með afgang sem teljara og deili sem nefnara $\frac{\text{afgangur}}{\text{deilir}}$ .
  1. Skref 1. Deilið teljaranum með nefnaranum.
  2. Skref 2. Finnið kvótann, afganginn og deilinn.
  3. Skref 3. Ritið blönduðu töluna á forminu kvóti og $\frac{\text{afgangur}}{\text{deilir}}$.
• Breyta blandaðri tölu í óeiginlegt brot.
  Skref 1. Margfaldið heilu töluna með nefnaranum. Skref 2. Leggið teljarann við margfeldið úr skrefi 1. Skref 3. Ritið lokasummuna yfir upphaflega nefnaranum.
  1. Skref 1. Margfaldið heilu töluna með nefnaranum.
  2. Skref 2. Leggið teljarann við margfeldið úr skrefi 1.
  3. Skref 3. Ritið lokasummuna yfir upphaflega nefnaranum.
• Reglan um jafngild brot Ef
  $\mathrm{a,\; b,}$ og $c$ eru tölur þar sem $b\ne 0$ og $c\ne 0$ , þá er $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ .
  • Ef a, b, og c eru tölur þar sem b ≠ 0 og c ≠ 0 , þá er a/b = a ⋅ c/b ⋅ c .

4.2 Margföldun og deiling brota

• Reglan um jafngild brot Ef 𝑎 , 𝑏 og
  𝑐 $a,b,c$ eru tölur þar sem $b\ne 0$ og $c\ne 0$ , þá er $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ og $\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}$ .
  • Ef 𝑎 , 𝑏 og 𝑐 a , b , c eru tölur þar sem b ≠ 0 og c ≠ 0 , þá er a/b = a ⋅ c/b ⋅ c og a ⋅ c/b ⋅ c = a/b .
• Að stytta brot.
  Skref 1. Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegir þættir sjáist. Frumþáttið teljarann og nefnarann ef þess þarf. Skref 2. Styttið brotið með reglunni um jafngild brot með því að deila út sameiginlegum þáttum. Skref 3. Margfaldið saman þá þætti sem eftir eru.
  1. Skref 1. Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegir þættir sjáist. Frumþáttið teljarann og nefnarann ef þess þarf.
  2. Skref 2. Styttið brotið með reglunni um jafngild brot með því að deila út sameiginlegum þáttum.
  3. Skref 3. Margfaldið saman þá þætti sem eftir eru.
• Margföldun brota Ef
  $a,b,c,$ og $d$ eru tölur þar sem $b\ne 0$ og $d\ne 0$ , þá er $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ .
  • Ef a , b , c , og d eru tölur þar sem b ≠ 0 og d ≠ 0 , þá er a/b ⋅ c/d = a ⁢ c/b ⁢ d .
• Margföldunarandhverfa Margfeldi
  tölu og margföldunarandhverfu hennar er 1 1 . 𝑎 𝑏 ⋅ $1$$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$

  𝑏 𝑎	= 1 a/b	⋅ b/a =
  1 Samlagningarandhverfa Tölugildi Margföldunarandhverfa	hefur gagnstætt formerki er	aldrei neikvætt hefur sama formerki og brotinu

  er snúið við Tafla 4.4
  • Margfeldi tölu og margföldunarandhverfu hennar er $1$ . $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$

  • Samlagningarandhverfa	Tölugildi Margföldunarandhverfa hefur	gagnstætt
    formerki er aldrei	neikvætt hefur sama	formerki og brotinu er snúið

    við Tafla 4.4

    Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
    hefur gagnstætt formerki	er aldrei neikvætt	hefur sama formerki og brotinu er snúið við

• Deiling brota Ef
  $a,b,c,$ og $d$ eru tölur þar sem $b\ne 0$ , $c\ne 0$ og $d\ne 0$ , þá er
  
  $$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$
  4.1
  Til að deila brotum margföldum við fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.
  • Ef $a,b,c,$ og $d$ eru tölur þar sem $b\ne 0$ , $c\ne 0$ og $d\ne 0$ , þá er
    
    $$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$

    4.1
    $$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$

    4.1
  • Til að deila brotum margföldum við fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.

4.3 Margföldun og deiling blandaðra talna og flókinna brota

• Að margfalda eða deila blönduðum
  tölum. Skref 1. Breytið blönduðu tölunum í óeiginleg brot. Skref 2. Fylgið reglunum um margföldun eða deilingu brota. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
  1. Skref 1. Breytið blönduðu tölunum í óeiginleg brot.
  2. Skref 2. Fylgið reglunum um margföldun eða deilingu brota.
  3. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
• Að einfalda flókið brot.
  Skref 1. Endurritið flókna brotið sem deilingardæmi. Skref 2. Fylgið reglunum um deilingu brota. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
  1. Skref 1. Endurritið flókna brotið sem deilingardæmi.
  2. Skref 2. Fylgið reglunum um deilingu brota.
  3. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
• Staðsetning mínusmerkis í broti. Fyrir
  allar jákvæðar tölur $a$ og $b$ gildir að $\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$ .
  • Fyrir allar jákvæðar tölur a og b gildir að - a/b = a/- b = - a/b .
• Að einfalda stæðu með brotastriki.
  Skref 1. Einfaldið teljarann. Skref 2. Einfaldið nefnarann. Skref 3. Einfaldið brotið.
  1. Skref 1. Einfaldið teljarann.
  2. Skref 2. Einfaldið nefnarann.
  3. Skref 3. Einfaldið brotið.

4.4 Samlagning og frádráttur samnefndra brota

• Samlagning brota Ef
  $a,b,$ og $c$ eru tölur þar sem $c\ne 0$ , þá er $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$. Til að leggja saman brot leggjum við saman teljarana og ritum summuna yfir sameiginlega nefnaranum.
  • Ef $a,b,$ og $c$ eru tölur þar sem $c\ne 0$ , þá er $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ .
  • Til að leggja saman brot leggjum við saman teljarana og ritum summuna yfir sameiginlega nefnaranum.
• Frádráttur brota Ef
  $a,b,$ og $c$ eru tölur þar sem $c\ne 0$ , þá er $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$. Til að draga brot frá öðru broti drögum við síðari teljarann frá þeim fyrri og ritum mismuninn yfir sameiginlega nefnaranum.
  • Ef $a,b,$ og $c$ eru tölur þar sem $c\ne 0$ , þá er $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$ .
  • Til að draga brot frá öðru broti drögum við síðari teljarann frá þeim fyrri og ritum mismuninn yfir sameiginlega nefnaranum.

4.5 Samlagning og frádráttur brota með ólíkum nefnurum

• Finna minnsta samnefnara (MSN) tveggja brota. Skref 1. Frumþáttu
  hvorn nefnara. Skref 2. Skrifið frumþættina þannig að sömu frumþættir standi í sömu dálkum þegar það er hægt. Skref 3. Færið niður frumtölurnar í hverjum dálki. Skref 4. Margfaldið þættina. Margfeldið er minnsta sameiginlega margfeldi (MSM) nefnaranna. Skref 5. MSM nefnaranna er MSN brotanna.
  1. Skref 1. Frumþáttu hvorn nefnara.
  2. Skref 2. Skrifið frumþættina þannig að sömu frumþættir standi í sömu dálkum þegar það er hægt.
  3. Skref 3. Færið niður frumtölurnar í hverjum dálki.
  4. Skref 4. Margfaldið þættina. Margfeldið er MSM nefnaranna.
  5. Skref 5. MSM nefnaranna er MSN brotanna.
• Reglan um jafngild brot Ef
  $a,b$ og $c$ eru úr mengi núlls og jákvæðra heiltalna, þar sem $b\ne 0$ og $c\ne 0$ , þá er
  $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ og $\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}$
  • Ef a , b og c eru úr mengi núlls og jákvæðra heiltalna, þar sem b ≠ 0 og c ≠ 0 , þá er
    a/b = a ⋅ c/b ⋅ c og a ⋅ c/b ⋅ c = a/b
• Breyta tveimur brotum í jafngild brot með MSN þeirra sem sameiginlegan nefnara. Skref 1.
  Finnið MSN. Skref 2. Finnið fyrir hvort brot þá tölu sem margfalda þarf nefnarann með til að fá MSN. Skref 3. Notið regluna um jafngild brot til að margfalda teljarann og nefnarann með tölunni úr skrefi 2. Skref 4. Einfaldið teljarann og nefnarann.
  1. Skref 1. Finnið MSN.
  2. Skref 2. Finnið fyrir hvort brot þá tölu sem margfalda þarf nefnarann með til að fá MSN.
  3. Skref 3. Notið regluna um jafngild brot til að margfalda teljarann og nefnarann með tölunni úr skrefi 2.
  4. Skref 4. Einfaldið teljarann og nefnarann.
• Leggja saman eða draga frá brot með ólíkum nefnurum.
  Skref 1. Finnið MSN. Skref 2. Breytið hvoru broti í jafngilt brot með MSN sem nefnara. Skref 3. Leggið brotin saman eða dragið þau frá. Skref 4. Skrifið niðurstöðuna á einfölduðu formi.
  1. Skref 1. Finnið MSN.
  2. Skref 2. Breytið hvoru broti í jafngilt brot með MSN sem nefnara.
  3. Skref 3. Leggið brotin saman eða dragið þau frá.
  4. Skref 4. Skrifið niðurstöðuna á einfölduðu formi.
• Yfirlit yfir reikniaðgerðir með
  brotum Margföldun brota: Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.
  $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
  4.2
  Deiling brota: Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.
  $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$
  4.3
  Samlagning brota: Leggið teljarana saman og ritið summuna yfir sameiginlega nefnaranum. Ef brotin hafa ólíka nefnara skuluð þið fyrst breyta þeim í jafngild brot með MSN.
  $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$
  4.4
  Frádráttur brota: Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri og ritið mismuninn yfir sameiginlega nefnaranum. Ef brotin hafa ólíka nefnara skuluð þið fyrst breyta þeim í jafngild brot með MSN.
  $$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$
  4.5
  • Margföldun brota: Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.
    $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$

    4.2
    $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$

    4.2
  • Deiling brota: Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.
    $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$

    4.3
    $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$

    4.3
  • Samlagning brota: Leggið teljarana saman og ritið summuna yfir sameiginlega nefnaranum. Ef brotin hafa ólíka nefnara skuluð þið fyrst breyta þeim í jafngild brot með MSN.
    $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$

    4.4
    $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$

    4.4
  • Frádráttur brota: Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri og ritið mismuninn yfir sameiginlega nefnaranum. Ef brotin hafa ólíka nefnara skuluð þið fyrst breyta þeim í jafngild brot með MSN.
    $$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$

    4.5
    $$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$

    4.5
• Einfalda flókin brot. Skref
  1. Einfaldið teljarann. Skref 2. Einfaldið nefnarann. Skref 3. Deilið teljaranum með nefnaranum. Skref 4. Einfaldið ef hægt er.
  1. Skref 1. Einfaldið teljarann.
  2. Skref 2. Einfaldið nefnarann.
  3. Skref 3. Deilið teljaranum með nefnaranum.
  4. Skref 4. Einfaldið ef hægt er.

4.6 Samlagning og frádráttur blandaðra talna

• Leggja saman blandaðar tölur með sama nefnara. Skref
  1. Leggið saman heilu tölurnar. Skref 2. Leggið saman brotin. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
  1. Skref 1. Leggið saman heilu tölurnar.
  2. Skref 2. Leggið saman brotin.
  3. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
• Draga frá blandaðar tölur með sama nefnara. Skref
  1. Setjið dæmið upp lóðrétt. Skref 2. Berið brotin saman. Ef efra brotið er
  stærra en neðra brotið skuluð þið fara í skref 3. Annars skuluð
  þið taka eina heild úr efri blönduðu tölunni og leggja hana við brothlutann þannig að blönduð tala með óeiginlegu broti myndist. Skref 3. Dragið brotin frá. Skref 4. Dragið heilu tölurnar frá. Skref 5. Einfaldið ef hægt er.
  1. Skref 1. Setjið dæmið upp lóðrétt.
  2. Skref 2. Berið brotin saman.
     Ef efra brotið er stærra en neðra brotið skuluð þið fara í skref 3.
     Annars skuluð þið taka eina heild úr efri blönduðu tölunni og leggja hana við brothlutann þannig að blönduð tala með óeiginlegu broti myndist.
  3. Skref 3. Dragið brotin frá.
  4. Skref 4. Dragið heilu tölurnar frá.
  5. Skref 5. Einfaldið ef hægt er.
• Draga frá blandaðar tölur með sama nefnara með því að nota óeiginleg
  brot. Skref 1. Endurritið blönduðu tölurnar sem óeiginleg brot. Skref 2. Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri. Skref 3. Skrifið svarið sem blandaða tölu og einfaldið brothlutann ef hægt er.
  1. Skref 1. Endurritið blönduðu tölurnar sem óeiginleg brot.
  2. Skref 2. Dragið teljarana frá.
  3. Skref 3. Skrifið svarið sem blandaða tölu og einfaldið brothlutann ef hægt er.

4.7 Leysa jöfnur með brotum

• Ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu. Skref 1.
  Setjið töluna inn fyrir breytuna í jöfnunni. Skref 2. Einfaldið stæðurnar beggja vegna jafnaðarmerkisins. Skref 3. Ákvarðið hvort jafnan sem fæst sé sönn. Ef hún er sönn er talan lausn. Ef hún er ekki sönn er talan ekki lausn.
  1. Skref 1. Setjið töluna inn fyrir breytuna í jöfnunni.
  2. Skref 2. Einfaldið stæðurnar beggja vegna jafnaðarmerkisins.
  3. Skref 3. Ákvarðið hvort jafnan sem fæst sé sönn. Ef hún er sönn er talan lausn. Ef hún er ekki sönn er talan ekki lausn.
• Samlagningar-, frádráttar- og deilingarreglur jafnaðar Fyrir hvaða tölur a, b og
  c sem er gildir að ef
  $a=b$ , þá er $a+c=b+c$. Samlagningarregla jafnaðar Ef $a=b$ , þá er $a-c=b-c$. Frádráttarregla jafnaðar Ef $a=b$ , þá er $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ , þar sem $c\ne 0$ . Deilingarregla jafnaðar
  • Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er gildir að
    ef $a=b$ , þá er $a+c=b+c$ . Samlagningarregla jafnaðar
  • Ef $a=b$ , þá er $a-c=b-c$ . Frádráttarregla jafnaðar
  • Ef $a=b$ , þá er $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ , þar sem $c\ne 0$ . Deilingarregla jafnaðar
• Reglan um að margfalda báðar hliðar jöfnu með sömu
  tölu Fyrir hvaða tölur $ab$ og 𝑐 sem er gildir að ef 𝑎 = 𝑏 $c,a=b$ , þá er $ac=bc$ . Ef báðar hliðar jöfnu eru margfaldaðar með sömu stærð eru þær áfram jafnar.
  • Fyrir hvaða tölur $ab$ og 𝑐 sem er gildir að ef 𝑎 = 𝑏 $c,a=b$ , þá er $ac=bc$ .
  • Ef báðar hliðar jöfnu eru margfaldaðar með sömu stærð eru þær áfram jafnar.