4.1 Brot sýnd myndrænt
4.1 Brot sýnd myndrænt
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
- Skilið merkingu brota
- Sýnt óeiginleg brot og blandaðar tölur með líkönum
- Breytt óeiginlegum brotum í blandaðar tölur og öfugt
- Sýnt jafngild brot með líkönum
- Fundið jafngild brot
- Staðsett brot og blandaðar tölur á talnalínu
- Raðað brotum og blönduðum tölum eftir stærð
Skiljum merkingu brota
Andy og Bobby elska pítsur. Á mánudagskvöld deila þeir pítsu jafnt á milli sín. Hve stóran hluta pítsunnar fær hvor þeirra? Haldið þið að hvor drengur fái hálfa pítsuna? Það er rétt. Einni heilli pítsu er skipt jafnt í tvo hluta og hvor drengur fær því annan tveggja jafnstórra hluta.
Í stærðfræði ritum við þegar átt er við einn af tveimur jafnstórum hlutum.
Á þriðjudag deila Andy og Bobby pítsu með foreldrum sínum, Fred og Christy, þannig að hvert þeirra fær jafn stóran hluta af pítsunni. Hve stóran hluta fær hvert þeirra? Einni heilli pítsu er skipt jafnt í fjóra jafnstóra hluta. Hvert þeirra fær einn af hlutunum fjórum, það er af pítsunni.
Á miðvikudag býður fjölskyldan nokkrum vinum í pítsukvöld. Alls eru manns viðstaddir. Ef þeir skipta pítsunni jafnt fær hver þeirra af henni.
Brot er leið til að tákna hluta af heild. Nefnarinn segir í hve marga jafnstóra hluta heildinni hefur verið skipt og teljarinn segir hve margir þeirra eru teknir með. Nefnarinn, má ekki vera núll, því deiling með núlli er óskilgreind.
Á mynd 4.2 hefur hringnum verið skipt í þrjá jafnstóra hluta. Hver hluti táknar af hringnum. Líkan af þessu tagi kallast brotahringur. Einnig má nota önnur form, svo sem rétthyrninga, til að sýna brot með líkönum.
Hvað táknar brotið ? Brotið merkir tvo af þremur jafnstórum hlutum.
Dæmi 4.1
Nefnið brotið sem skyggði hluti formsins táknar á hvorri mynd.
Lausn
Dæmi 4.2
Skyggið af hringnum.
Lausn
Nefnarinn er og því skiptum við hringnum í fjóra jafnstóra hluta ⓐ.
Teljarinn er og því skyggjum við þrjá af hlutunum fjórum ⓑ.
af hringnum er skyggt.
Í sýnidæmi 4.1 og sýnidæmi 4.2 notuðum við hringi og rétthyrninga til að sýna brot með líkönum. Einnig má nota áþreifanleg hjálpargögn sem kallast brotarenningar, eins og sýnt er á mynd 4.3. Heildin er þá sýnd sem einn langur, óskiptur rétthyrndur renningur. Fyrir neðan hann eru jafnlangir renningar sem skipt er í mismarga jafnstóra hluta.
Við notum brotarenninga til að uppgötva nokkrar grunnstaðreyndir um brot. Notið mynd 4.3 til að svara eftirfarandi spurningum:
| Hve marga 1/2 -renninga þarf til að mynda einn heilan renning? | Tvo helminga þarf til að mynda eina heild og því er 2/2 = 1 . |
| Hve marga 1/3 -renninga þarf til að mynda einn heilan renning? | Þrjá þriðjunga þarf og því er 3/3 = 1 . |
| Hve marga 1/4 -renninga þarf til að mynda einn heilan renning? | Fjóra fjórðunga þarf og því er 4/4 = 1 . |
| Hve marga 1/6 -renninga þarf til að mynda einn heilan renning? | Sex sjöttunga þarf og því er 6/6 = 1 . |
| Hvað ef heildinni væri skipt í 24 jafnstóra hluta? (Brotarenningar fyrir þessa skiptingu eru ekki sýndir, en reynið að sjá þá fyrir ykkur.) Hve marga 1/24 -renninga þarf til að mynda einn heilan renning? | Það þarf 24 tuttugustu og fjórðu hluta og því er 24/24 = 1 . |
Það þarf tuttugustu og fjórðu hluta og því er
Þetta leiðir okkur að reglunni um einn.
Dæmi 4.3
Lausn
Hvað gerist ef við höfum fleiri brotahluta en þarf til að mynda heild? Það skoðum við í næsta sýnidæmi.
Dæmi 4.4
Lausn
ⓐ helmingar mynda heild og helmingur verður afgangs.
ⓑ fimmtungar mynda heild og fimmtungar verða afgangs.
ⓒ þriðjungar mynda heildir og þriðjungur verður afgangs.
Óeiginleg brot og blandaðar tölur sýnd með líkönum
Í sýnidæmi 4.4 (b) höfðuð þið átta jafnstóra fimmtungshluta. Þið notuðuð fimm þeirra til að mynda eina heild og þrír fimmtungar urðu afgangs. Sýnum þetta með brotarithætti. Þið höfðuð átta hluta sem hver um sig var einn fimmtungur, og alls því átta fimmtunga, sem má rita Brotið er ein heild, að viðbættum þremur fimmtungum, eða sem lesið er einn og þrír fimmtungar.
Talan kallast blönduð tala. Blönduð tala er samsett úr heilli tölu og broti.
Brot á borð við og kallast óeiginleg brot. Í óeiginlegu broti er teljarinn stærri en nefnarinn eða jafn honum og gildi brotsins því stærra en einn eða jafnt einum. Ef teljari brots er minni en nefnarinn kallast það eiginlegt brot og gildi þess er minna en einn. Brot á borð við og eru eiginleg brot.
Dæmi 4.5
Nefnið óeiginlega brotið sem líkanið sýnir. Ritið það síðan sem blandaða tölu.
Lausn
Dæmi 4.6
Lausn
Nefnari óeiginlega brotsins er Teiknið hring, skiptið honum í átta hluta og skyggið þá alla. Þar með höfum við sýnt átta áttunduhluta, en við þurfum . Því þarf að skyggja þrjá af átta hlutum annars hrings.
Því er
Dæmi 4.7
Lausn
Við byrjum með sjöttu hluta, Við vitum að sex sjöttu hlutar mynda eina heild.
Þá verða fimm sjöttu hlutar eftir, það er 5/6 (11 sjöttu hlutar að frádregnum 6 sjöttu hlutum eru 5 sjöttu hlutar).
Því er
Dæmi 4.8
Lausn
Blandaða talan merkir eina heild að viðbættum fjórum fimmtungum. Nefnarinn er og því er heildin Fimm fimmtungar að viðbættum fjórum fimmtungum eru samtals níu fimmtungar.
Því er
Breyta óeiginlegum brotum í blandaðar tölur og öfugt
Í sýnidæmi 4.7 breyttum við óeiginlega brotinu í blönduðu töluna með brotahringjum. Við lögðum sex sjöttu hluta saman í eina heild og athuguðum síðan hve margir af hlutunum voru eftir. Við sáum að myndaði eina heila einingu úr sex sjöttu hlutum og fimm sjöttu hluta til viðbótar, svo
Deilingarstæðan , sem einnig má rita , segir okkur að finna hve oft gengur upp í Til að breyta óeiginlegu broti í blandaða tölu án brotahringja deilum við.
Dæmi 4.9
Lausn
Dæmi 4.10
Lausn
Í sýnidæmi 4.8 breyttum við í óeiginlegt brot með því að sjá fyrst að heildin samsvarar fimm fimmtungum. Við höfðum því fimm fimmtunga og fjóra fimmtunga til viðbótar.
Hvaðan komu níu fimmtungarnir? Þeir eru ein heild, það er fimm fimmtungar, að viðbættum fjórum fimmtungum. Notum þessa hugmynd til að sjá hvernig breyta má blandaðri tölu í óeiginlegt brot.
Dæmi 4.11
Lausn
Dæmi 4.12
Lausn
Jafngild brot sýnd með líkönum
Hugsum aftur um Andy og Bobby og uppáhaldsmatinn þeirra. Ef Andy borðar af pítsu en Bobby af pítsunni, hafa þeir þá borðað jafnmikið? Með öðrum orðum: Er Við getum notað brotarenninga til að kanna hvort Andy og Bobby hafi borðað jafngilda hluta pítsunnar.
Brotarenningar eru gagnleg líkön af jafngildum brotum. Þið getið notað brotarenninga í eftirfarandi verkefni. Einnig má afrita mynd 4.3 og bæta við áttundu hlutum, tíundu hlutum og tólftu hlutum.
Byrjið með -renning. Hve margir fjórðu hlutar jafngilda einum helmingi? Hve margir -renningar þekja -renninginn nákvæmlega?
Þar sem tveir -renningar þekja -renninginn sjáum við að hefur sama gildi og það er
Hve margir -renningar þekja -renninginn?
Þar sem þrír -renningar þekja -renninginn sjáum við að hefur sama gildi og
Því er Brotin eru jafngild brot.
Dæmi 4.13
Lausn
ⓐ Fjóra -renninga þarf til að þekja -renninginn nákvæmlega og því er
ⓑ Fimm -renninga þarf til að þekja -renninginn nákvæmlega og því er
ⓒ Sex -renninga þarf til að þekja -renninginn nákvæmlega og því er
Gerum ráð fyrir að þið hafið renninga merkta Hve marga þeirra þyrfti til að jafngilda Haldið þið að svarið sé tíu? Það er rétt, því
Við höfum sýnt að og eru öll jafngild brot.
Finna jafngild brot
Við notuðum brotarenninga til að sýna að mörg brot jafngilda Til dæmis jafngilda og öll Þegar við lögðum brotarenningana hlið við hlið þurfti fjóra -renninga til að ná sömu lengd og einn -renningur. Þetta sýndi að Sjá sýnidæmi 4.13.
Einnig má sýna þetta með pítsum. Mynd 4.4(a) sýnir eina pítsu sem skipt er í tvo jafnstóra hluta og hennar skyggðan. Mynd 4.4(b) sýnir aðra jafnstóra pítsu sem skipt er í átta hluta og hennar skyggða.
Þetta er önnur leið til að sýna að jafngildir
Hvernig getum við breytt í með reikningi? Hvernig mætti taka pítsu sem er skipt í tvo hluta og skipta henni í átta hluta? Við gætum skipt hvorum stærri hlutanum í fjóra minni hluta. Þá væri pítsunni allri skipt í átta hluta í stað tveggja. Þessu má lýsa með eftirfarandi reikningi:
Þessi líkön leiða til reglunnar um jafngild brot. Hún segir að ef teljari og nefnari brots eru margfaldaðir með sömu tölu breytist gildi brotsins ekki.
Þegar unnið er með brot þarf oft að setja sama brotið fram á ólíkan hátt. Nota má regluna um jafngild brot til að finna jafngildar framsetningar brots. Skoðum til dæmis brotið einn helming.
Því segjum við að og séu jafngild brot.
Dæmi 4.14
Lausn
Til að finna brot sem jafngildir margföldum við teljarann og nefnarann með sömu tölu, þó ekki núlli. Margföldum með og
Því jafngilda og brotinu
Dæmi 4.15
Lausn
Til að finna jafngild brot margföldum við teljarann og nefnarann með sömu tölu. Hér þurfum við að margfalda nefnarann með tölu þannig að útkoman verði
Þar sem · = finnum við jafngilda brotið með því að margfalda bæði teljarann og nefnarann með
Staðsetjið brot og blandaðar tölur á talnalínunni
Nú erum við tilbúin að merkja brot á talnalínu. Það hjálpar okkur að sjá brotin fyrir okkur og skilja gildi þeirra.
Staðsetjum og á talnalínunni.
Við byrjum á heilu tölunum og því auðveldast er að merkja þær inn.
Eiginlegu brotin á listanum eru og Við vitum að eiginleg brot eru minni en einn, þannig að og liggja á milli heilu talnanna og Nefnarinn, er sá sami í báðum brotunum og því þurfum við að skipta bilinu á talnalínunni frá til í fimm jafna hluta. Það gerum við með því að setja fjögur merki með jöfnu millibili á talnalínuna og merkja þau og
Merkið nú punkta við og
Eina blandaða talan sem á að merkja inn er Milli hvaða tveggja heilu talna liggur Munið að blönduð tala er heil tala að viðbættu eiginlegu broti, þannig að Þar sem talan er stærri en en munurinn er minni en ein heil eining, liggur á milli og Við þurfum að skipta bilinu á talnalínunni frá til í þrjá jafna hluta (þriðjunga) og merkja við fyrsta merkið.
Skoðum að lokum óeiginlegu brotin og Auðveldara er að staðsetja þessa punkta ef hverju broti er fyrst breytt í blandaða tölu.
Hér er talnalínan með öllum punktunum merktum inn.
Dæmi 4.16
Lausn
Byrjið á að staðsetja eiginlega brotið Það liggur á milli og Skiptið bilinu frá til í fjóra jafna hluta og merkið síðan
Staðsetjið næst blönduðu töluna Hún liggur á milli og á talnalínunni. Skiptið bilinu frá til í fimm jafna hluta og merkið síðan við fyrsta fimmtung bilsins frá til .
Staðsetjið nú óeiginlegu brotin og .
Auðveldara er að merkja þau inn ef þeim er fyrst breytt í blandaðar tölur.
Skiptið bilinu frá til í þriðjunga.
Merkjum næst Við skrifum brotið sem blandaða tölu: . Merkið það á milli og
Talnalínan sýnir allar tölurnar á réttum stöðum.
Í kaflanum Kynningu á heilum tölum skilgreindum við andstæðu tölu. Hún er jafnlangt frá núlli á talnalínunni og talan sjálf en hinum megin við núll. Við sáum til dæmis að andstæða er og andstæða er
Brot eiga sér líka andstæður. Andstæða er Hún er jafnlangt frá á talnalínunni og 3/4 en hinum megin við
Ef við lítum á neikvæð brot sem andstæður jákvæðra brota verður auðveldara að staðsetja þau á talnalínunni. Til að staðsetja skulum við fyrst finna hvar liggur. Það er óeiginlegt brot og því breytum við því fyrst í blönduðu töluna . Hún liggur á milli og á talnalínunni. Andstæða hennar, liggur því á milli og á talnalínunni.
Dæmi 4.17
Lausn
Teiknið talnalínu. Merkið fyrir miðju og síðan nokkrar einingar til vinstri og hægri.
Til að staðsetja skuluð þið skipta bilinu frá til í fjóra jafna hluta. Hver hluti er fjórðungur af bilinu. Merkið því við fyrsta strikið.
Til að staðsetja skuluð þið skipta bilinu frá til í fjóra jafna hluta. Merkið við fyrsta strikið vinstra megin við
Þar sem liggur á milli og skuluð þið skipta bilinu frá til í þrjá jafna hluta. Merkið við fyrsta strikið hægra megin við Þar sem er andstæða liggur hún á milli og Skiptið bilinu frá til í þrjá jafna hluta og merkið við fyrsta strikið vinstra megin við
Til að staðsetja og getur verið gagnlegt að skrifa þau sem blönduðu tölurnar og
Þar sem liggur á milli og skuluð þið skipta bilinu frá til í tvo jafna hluta og merkja við strikið. Þar sem liggur á milli og skuluð þið skipta bilinu frá til í tvo jafna hluta og merkja við strikið.
Raðið brotum og blönduðum tölum
Við getum notað ójöfnumerki til að raða brotum. Munið að merkir ð a er hægra megin við á talnalínunni. Gildin stækka þegar við færum okkur frá vinstri til hægri eftir talnalínunni.
Dæmi 4.18
Lausn
ⓐ −23 >−1
ⓑ −312 <−3
ⓒ −37 < −38
ⓓ −2 <−169
Æfingar úr kafla 4.1
Æfingin skapar meistarann
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nefna brotið sem skyggði hluti hverrar myndar táknar.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.
ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:
… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.
…með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á verða að hindrunum á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggist hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir kostir. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?
…nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax aðstoðar, annars gæti efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og hægt er. Saman getið þið gert áætlun um þá hjálp sem þið þurfið.