44 Brot

4.4 Samlagning og frádráttur samnefndra brota

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Sýnt samlagningu brota með líkani
Lagt saman samnefnd brot
Sýnt frádrátt brota með líkani
Dregið samnefnd brot frá

Samlagning brota sýnd með líkani

Hversu margir fjórðungsdollarar eru á myndinni? Einn fjórðungsdollari og $2$ fjórðungsdollarar eru samtals $3$ fjórðungsdollarar.

Þrír bandarískir fjórðungsdollarar eru sýndir. Einn er vinstra megin og tveir hægra megin.

Munið að hver fjórðungsdollari jafngildir fjórðungi úr dollara. Enska orðið quarter merkir einnig „fjórðungur“. Myndin af myntunum sýnir því að

\begin{matrix} \frac{1}{4} & \frac{2}{4} & \frac{3}{4} \\ einn fjórði & + & tveir fjórðu & = & þrír fjórðu \end{matrix}

Notum brotahringi til að sýna sama dæmi með líkani, $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} .$

Byrjið með eitt 1/4 -stykki.
Bætið við tveimur 1/4-stykkjum.
Niðurstaðan er 3/4 .

Við sjáum því aftur að

\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}

Dæmi 4.52

Notið líkan til að finna summuna $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} .$

Lausn

Byrjið með þrjú $\frac{1}{8}$ -stykki.
Bætið við tveimur $\frac{1}{8}$ -stykkjum.
Hversu mörg $\frac{1}{8}$ -stykki eru þá komin?

Þau eru fimm $\frac{1}{8}$ -stykki, eða fimm áttunduhlutar. Líkanið sýnir að $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} .$

Samlagning samnefndra brota

Sýnidæmi 4.52 sýnir að þegar jafn stórir hlutar eru lagðir saman — það er að segja þegar brotin hafa sama nefnara — leggjum við einfaldlega saman fjölda hlutanna.

Dæmi 4.53

Finnið summuna: $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} .$

Lausn

	3 5 + 1 5 $\frac{3}{5}$ + $\frac{1}{5}$
Leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	3 + 1 5 3 + $\frac{1}{5}$
Einfaldið.	4 5 $\frac{4}{5}$

Dæmi 4.54

Finnið summuna: $\frac{x}{3} + \frac{2}{3} .$

Lausn

	𝑥 3 + 2 3 x/3 + $\frac{2}{3}$
Leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	𝑥 + 2 3 x + $\frac{2}{3}$

Takið eftir að ekki er hægt að einfalda brotið frekar. Þar sem $x$ og $2$ eru ekki samkynja liðir er ekki hægt að sameina þá.

Dæmi 4.55

Finnið summuna: $- \frac{9}{d} + \frac{3}{d} .$

Lausn

Við byrjum á að endurrita fyrra brotið þannig að mínusmerkið sé í teljaranum.

−𝑎𝑏=−𝑎𝑏 $- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b}$

	− 9 𝑑 + 3 𝑑 − 9/d + 3/d
Endurritið fyrra brotið þannig að mínusmerkið sé í teljaranum.	− 9 𝑑 + 3 𝑑 −9/d + 3/d
Leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	− 9 + 3 𝑑 −9 + 3/d
Einfaldið teljarann.	− 6 𝑑 −6/d
Endurritið þannig að mínusmerkið standi framan við brotið.	− 6 𝑑 − 6/d

Dæmi 4.56

Finnið summuna: $\frac{2 n}{11} + \frac{5 n}{11} .$

Lausn

	2 ⁢ 𝑛 1 1 + 5 ⁢ 𝑛 1 1 2 ⁢ n/11 + 5 ⁢ n/11
Leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	2 ⁢ 𝑛 + 5 ⁢ 𝑛 1 1 2 ⁢ n + 5 ⁢ n/11
Sameinið samkynja liði.	7 ⁢ 𝑛 1 1 7 ⁢ n/11

Dæmi 4.57

Finnið summuna: $- \frac{3}{12} + (- \frac{5}{12}) .$

Lausn

	− 3 1 2 + ( − 5 1 2 ) − $\frac{3}{12}$ + ( − $\frac{5}{12}$ )
Leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	− 3 + ( − 5 ) 1 2 −3 + ( −5 )/12
Leggið saman.	− 8 1 2 − $\frac{8}{12}$
Styttið brotið.	− 2 3 − $\frac{2}{3}$

Frádráttur brota sýndur með líkani

Frádráttur tveggja samnefndra brota líkist mjög samlagningu brota. Hugsið ykkur pítsu sem skorin var í $12$ sneiðar. Segjum að fimm sneiðar séu borðaðar í kvöldmat. Eftir matinn eru þá sjö sneiðar, eða $\frac{7}{12}$ af pítsunni, eftir í kassanum. Ef Leonardo borðar $2$ af þessum sneiðum, eða $\frac{2}{12}$ af pítsunni, hversu mikið er þá eftir? Eftir yrðu $5$ sneiðar, eða $\frac{5}{12}$ af pítsunni.

\frac{7}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Notum brotahringi til að sýna sama dæmi með líkani, $\frac{7}{12} - \frac{2}{12} .$

Byrjið með sjö $\frac{1}{12}$ -stykki. Takið tvö $\frac{1}{12}$ -stykki frá. Hversu margir tólftu hlutar eru eftir?

Neðst stendur: sjö tólftuhlutar mínus tveir tólftuhlutar eru fimm tólftuhlutar. Fyrir ofan sjö tólftuhluta er hringnum skipt í 12 jafna hluta og 7 þeirra eru appelsínugulir. Fyrir ofan tvo tólftuhluta sést sami hringur, en 2 af 7 lituðu hlutunum eru gráir. Fyrir ofan fimm tólftuhluta eru gráu hlutarnir tveir ekki lengur litaðir; þar sést hringur sem skipt er í 12 hluta og 5 þeirra eru appelsínugulir.

Við fáum aftur fimm tólftuhluta, $\frac{5}{12} .$

Dæmi 4.58

Notið brotahringi til að finna mismuninn: $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} .$

Lausn

Byrjið með fjögur $\frac{1}{5}$ -stykki. Takið eitt $\frac{1}{5}$ -stykki frá. Teljið hversu margir fimmtu hlutar eru eftir. Eftir eru þrjú $\frac{1}{5}$ -stykki.

Neðst stendur: fjórir fimmtungar mínus einn fimmtungur eru þrír fimmtungar. Fyrir ofan fjóra fimmtunga er hringnum skipt í 5 jafna hluta og 4 þeirra eru appelsínugulir. Fyrir ofan einn fimmtung sést sami hringur, en 1 af 4 lituðu hlutunum er grár. Fyrir ofan þrjá fimmtunga er grái hlutinn ekki lengur litaður; þar sést hringur sem skipt er í 5 hluta og 3 þeirra eru appelsínugulir.

Frádráttur samnefndra brota

Samnefnd brot, það er brot með sameiginlegan nefnara, eru dregin frá á svipaðan hátt og þau eru lögð saman.

Dæmi 4.59

Finnið mismuninn: $\frac{23}{24} - \frac{14}{24} .$

Lausn

	2 3 2 4 − 1 4 2 4 $\frac{23}{24}$ − $\frac{14}{24}$
Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri og setjið mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.	2 3 − 1 4 2 4 23 − $\frac{14}{24}$
Einfaldið teljarann.	9 2 4 $\frac{9}{24}$
Einfaldið brotið með því að stytta út sameiginlega þætti.	3 8 $\frac{3}{8}$

Dæmi 4.60

Finnið mismuninn: $\frac{y}{6} - \frac{1}{6} .$

Lausn

	𝑦 6 − 1 6 y/6 − $\frac{1}{6}$
Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri og setjið mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.	𝑦 − 1 6 y − $\frac{1}{6}$

Brotið hefur verið einfaldað eins langt og hægt er því ekki er hægt að sameina liðina í teljaranum.

Dæmi 4.61

Finnið mismuninn: $- \frac{10}{x} - \frac{4}{x} .$

Lausn

Munið að rita má brotið $- \frac{10}{x}$ sem $\frac{−10}{x} .$

	− 1 0 𝑥 − 4 𝑥 − 10/x − 4/x
Dragið síðari teljarann frá þeim fyrri.	− 1 0 − 4 𝑥 −10 − 4/x
Einfaldið.	− 1 4 𝑥 −14/x
Endurritið þannig að mínusmerkið standi framan við brotið.	− 1 4 𝑥 − 14/x

Skoðum nú dæmi þar sem bæði er lagt saman og dregið frá.

Dæmi 4.62

Simplify: 38+(−58)−18. $\frac{3}{8} + (- \frac{5}{8}) - \frac{1}{8} .$

Lausn

	3 8 + ( − 5 8 ) − 1 8 $\frac{3}{8}$ + ( − $\frac{5}{8}$ ) − $\frac{1}{8}$
Sameinið teljarana yfir sameiginlega nefnaranum.	3 + ( − 5 ) − 1 8 3 + ( −5 ) − $\frac{1}{8}$
Einfaldið teljarann frá vinstri til hægri.	− 2 − 1 8 −2 − $\frac{1}{8}$
Dragið liðina í teljaranum frá.	− 3 8 − $\frac{3}{8}$
Endurritið þannig að mínusmerkið standi framan við brotið.	− 3 8 − $\frac{3}{8}$

Verkefni úr hluta 4.4

Æfingin skapar meistarann

Samlagning brota sýnd með líkani

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota líkan til að leggja brotin saman. Teiknið mynd sem sýnir líkanið ykkar.

254.

25+15 $\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$

255.

310+410 $\frac{3}{10} + \frac{4}{10}$

256.

16+36 $\frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

257.

38+38 $\frac{3}{8} + \frac{3}{8}$

Samlagning samnefndra brota

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna hverja summu.

258.

49+19 $\frac{4}{9} + \frac{1}{9}$

259.

29+59 $\frac{2}{9} + \frac{5}{9}$

260.

613+713 $\frac{6}{13} + \frac{7}{13}$

261.

915+715 $\frac{9}{15} + \frac{7}{15}$

262.

𝑥4+34 $\frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

263.

𝑦3+23 $\frac{y}{3} + \frac{2}{3}$

264.

7𝑝+9𝑝 $\frac{7}{p} + \frac{9}{p}$

265.

8𝑞+6𝑞 $\frac{8}{q} + \frac{6}{q}$

266.

8⁢𝑏9+3⁢𝑏9 $\frac{8 b}{9} + \frac{3 b}{9}$

267.

5⁢𝑎7+4⁢𝑎7 $\frac{5 a}{7} + \frac{4 a}{7}$

268.

−12⁢𝑦8+3⁢𝑦8 $\frac{−12 y}{8} + \frac{3 y}{8}$

269.

−11⁢𝑥5+7⁢𝑥5 $\frac{−11 x}{5} + \frac{7 x}{5}$

270.

−18+(−38) $- \frac{1}{8} + (- \frac{3}{8})$

271.

−18+(−58) $- \frac{1}{8} + (- \frac{5}{8})$

272.

−316+(−716) $- \frac{3}{16} + (- \frac{7}{16})$

273.

−516+(−916) $- \frac{5}{16} + (- \frac{9}{16})$

274.

−817+1517 $- \frac{8}{17} + \frac{15}{17}$

275.

−919+1719 $- \frac{9}{19} + \frac{17}{19}$

276.

613+(−1013)+(−1213) $\frac{6}{13} + (- \frac{10}{13}) + (- \frac{12}{13})$

277.

512+(−712)+(−1112) $\frac{5}{12} + (- \frac{7}{12}) + (- \frac{11}{12})$

Frádráttur brota sýndur með líkani

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota líkan til að draga brotin frá. Teiknið mynd sem sýnir líkanið ykkar.

278.

58−28 $\frac{5}{8} - \frac{2}{8}$

279.

56−26 $\frac{5}{6} - \frac{2}{6}$

Frádráttur samnefndra brota

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna mismuninn.

280.

45−15 $\frac{4}{5} - \frac{1}{5}$

281.

45−35 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5}$

282.

1115−715 $\frac{11}{15} - \frac{7}{15}$

283.

913−413 $\frac{9}{13} - \frac{4}{13}$

284.

1112−512 $\frac{11}{12} - \frac{5}{12}$

285.

712−512 $\frac{7}{12} - \frac{5}{12}$

286.

421−1921 $\frac{4}{21} - \frac{19}{21}$

287.

−89−169 $- \frac{8}{9} - \frac{16}{9}$

288.

𝑦17−917 $\frac{y}{17} - \frac{9}{17}$

289.

𝑥19−819 $\frac{x}{19} - \frac{8}{19}$

290.

5⁢𝑦8−78 $\frac{5 y}{8} - \frac{7}{8}$

291.

11⁢𝑧13−813 $\frac{11 z}{13} - \frac{8}{13}$

292.

−8𝑑−3𝑑 $- \frac{8}{d} - \frac{3}{d}$

293.

−7𝑐−7𝑐 $- \frac{7}{c} - \frac{7}{c}$

294.

−23𝑢−15𝑢 $- \frac{23}{u} - \frac{15}{u}$

295.

−29𝑣−26𝑣 $- \frac{29}{v} - \frac{26}{v}$

296.

6⁢𝑐7−5⁢𝑐7 $\frac{6 c}{7} - \frac{5 c}{7}$

297.

12⁢𝑑11−9⁢𝑑11 $\frac{12 d}{11} - \frac{9 d}{11}$

298.

−4⁢𝑟13−5⁢𝑟13 $\frac{−4 r}{13} - \frac{5 r}{13}$

299.

−7⁢𝑠3−7⁢𝑠3 $\frac{−7 s}{3} - \frac{7 s}{3}$

300.

−35−(−45) $- \frac{3}{5} - (- \frac{4}{5})$

301.

−37−(−57) $- \frac{3}{7} - (- \frac{5}{7})$

302.

−79−(−59) $- \frac{7}{9} - (- \frac{5}{9})$

303.

−811−(−511) $- \frac{8}{11} - (- \frac{5}{11})$

Blönduð verkefni

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið framkvæma tilgreinda reikniaðgerð og rita svörin fullstytt.

304.

−518·910 $- \frac{5}{18} \cdot \frac{9}{10}$

305.

−314·712 $- \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12}$

306.

𝑛5−45 $\frac{n}{5} - \frac{4}{5}$

307.

611−𝑠11 $\frac{6}{11} - \frac{s}{11}$

308.

−724+224 $- \frac{7}{24} + \frac{2}{24}$

309.

−518+118 $- \frac{5}{18} + \frac{1}{18}$

310.

815÷125 $\frac{8}{15} \div \frac{12}{5}$

311.

712÷928 $\frac{7}{12} \div \frac{9}{28}$

Stærðfræði daglegs lífs

312.

Hnetu- og rúsínublanda Jacob blandar saman hnetum og rúsínum. Hann er með $\frac{6}{10}$ úr pundi af hnetum og $\frac{3}{10}$ úr pundi af rúsínum. Hversu mikla blöndu getur hann búið til?

313.

Bakstur Janet þarf $\frac{5}{8}$ úr bolla af hveiti í uppskrift. Hún á aðeins $\frac{3}{8}$ úr bolla af hveiti og ætlar að fá það sem upp á vantar lánað hjá nágranna sínum. Hversu mikið hveiti þarf hún að fá lánað?

Ritunarverkefni

314.

Greg missti borasettið sitt og þrír borar duttu úr því. Í kassanum eru hólf fyrir borana, röðuð frá þeim minnsta til hins stærsta. Greg þarf að setja borana þrjá aftur í auðu hólfin. Hvar eiga þeir að vera? Útskýrið hvernig þið vitið það.
Borar í kassanum: $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{8}$ , ___, ___, $\frac{5}{16}$ , $\frac{3}{8}$ , ___, $\frac{1}{2}$ , $\frac{9}{16}$ , $\frac{5}{8}$ .
Borar sem duttu úr: $\frac{7}{16}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{1}{4}$ .

315.

Eftir veislu á Lupe eftir $\frac{5}{12}$ af ostapítsu, $\frac{4}{12}$ af pepperónípítsu og $\frac{4}{12}$ af grænmetispítsu. Komast allar sneiðarnar í $1$ pítsukassa? Útskýrið röksemdafærslu ykkar.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.

ⓑ Hvernig mynduð þið meta tök ykkar á efni þessa hluta á kvarðanum 1–10 með hliðsjón af svörum ykkar við gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?