Breytt tugabrotum í almenn brot eða blandaðar tölur
Staðsett tugabrot á talnalínu
Raðað tugabrotum eftir stærð
Námundað tugabrot
Lesa tugabrot
Þið vitið líklega nú þegar töluvert um tugabrot vegna reynslu ykkar af peningum. Segjum að þið kaupið samloku og vatnsflösku í hádegismat. Ef samlokan kostar , vatnsflaskan kostar og heildarsöluskatturinn er , hvert er þá heildarverð hádegismatarins?
Heildarverðið samsvarar Segjum að þið greiðið með dollaraseðli og sentum. Ættuð þið að bíða eftir afgangi? Nei, og sent jafngilda
Þar sem er hvert sent virði úr dollara. Við ritum gildi eins sents sem enda
Þegar tala er rituð með tugabrotskommu kallast það tugabrotsritháttur. Þannig má sýna hluta af heild þegar heildin er veldi af tíu. Tugabrot eru með öðrum orðum önnur leið til að rita almenn brot sem hafa veldi af tíu í nefnara. Rétt eins og talningartölurnar byggjast á veldum af tíu byggjast tugabrotin á veldum af tíu. Tafla 5.1 sýnir talningartölurnar.
Hvernig tengjast tugabrot almennum brotum? Tafla 5.2 sýnir tengslin.
Tugabrot
Almennt brot
Heiti
0 . 1 0.1
1 1 0 1/10
Einn tíunduhluti
0 . 0 1 0.01
1 1 0 0 1/100
Einn hundraðshluti
0 . 0 0 1 0.001
1 1 , 0 0 0 1/1,000
Einn þúsundasti hluti
0 . 0 0 0 1 0.0001
1 1 0 , 0 0 0 1/10,000
Einn tíuþúsundasti hluti
Þegar við lesum tölu úr mengi núlls og jákvæðra heiltalna samsvarar heitið sætisgildi sem byggist á veldum af tíu. Í kaflanum Núll og jákvæðar heiltölur lærðum við að lesa sem tíu þúsund . Heiti tugabrotasætanna samsvara á sama hátt brotagildum þeirra. Takið eftir hvernig heiti sætisgildanna á mynd 5.2 tengjast heitum brotanna í töflu 5.2 .
Mynd 5.2. Myndin sýnir sætisgildi vinstra og hægra megin við tugabrotskommuna.
Takið eftir tveimur mikilvægum atriðum á mynd 5.2 .
Ending raðtöluheitisins „-asti“ sýnir að talan er brot. „Eitt þúsund“ er tala stærri en einn en „einn þúsundasti hluti“ er tala minni en einn.
Tíunduhlutasætið er fyrsta sætið hægra megin við tugabrotskommuna en tugasætið er annað sætið vinstra megin við hana.
Munið eftir hádegisverðinum upp á . Við lesum sem fimm dollarar og þrjú sent. Tugabrot sem tákna ekki peninga eru nefnd á svipaðan hátt. Við lesum töluna sem fimm og þrír hundraðshlutar.
Stundum þurfum við að færa tölu af tugabrotsrithætti yfir í orð. Eins og sést á mynd 5.3 ritum við upphæð á ávísun bæði með orðum og tölustöfum.
Mynd 5.3. Þegar við skrifum ávísun ritum við upphæðina bæði sem tugabrot og með orðum. Bankinn athugar hvort upphæðirnar tvær séu þær sömu. Það hjálpar til við að koma í veg fyrir villur.
Prófum að lesa tugabrot, til dæmis 15.68.
Við byrjum á að lesa töluna vinstra megin við tugabrotskommuna.
fimmtán______
Við notum orðið „og“ til að tákna tugabrotskommuna.
fimmtán og_____
Síðan lesum við töluna hægra megin við tugabrotskommuna eins og hún væri heil tala.
fimmtán og sextíu og átta_____
Að lokum nefnum við tugabrotasæti síðasta tölustafsins.
fimmtán og sextíu og átta hundraðshlutar
Talan er lesin sem fimmtán og sextíu og átta hundraðshlutar .
Dæmi 5.1
Lesið hvert tugabrot: ⓐⓑⓒⓓ
Lausn
ⓐ
4.3
Lesið töluna vinstra megin við tugabrotskommuna.
fjórir_____
Ritið „og“ fyrir tugabrotskommuna.
fjórir og_____
Lesið töluna hægra megin við tugabrotskommuna eins og hún væri heil tala.
fjórir og þrír_____
Nefnið tugabrotasæti síðasta tölustafsins.
fjórir og þrír tíunduhlutar
ⓑ
2.45
Lesið töluna vinstra megin við tugabrotskommuna.
tveir_____
Ritið „og“ fyrir tugabrotskommuna.
tveir og_____
Lesið töluna hægra megin við tugabrotskommuna eins og hún væri heil tala.
tveir og fjörutíu og fimm_____
Nefnið tugabrotasæti síðasta tölustafsins.
tveir og fjörutíu og fimm hundraðshlutar
ⓒ
0.009
Lesið töluna vinstra megin við tugabrotskommuna.
Núll er vinstra megin við tugabrotskommuna og er ekki tekið með þegar talan er lesin.
Lesið töluna hægra megin við tugabrotskommuna eins og hún væri heil tala.
níu_____
Nefnið tugabrotasæti síðasta tölustafsins.
níu þúsundustu hlutar
ⓓ
− 1 5 . 5 7 1 − 15.571
Lesið töluna vinstra megin við tugabrotskommuna.
mínus fimmtán
Ritið „og“ fyrir tugabrotskommuna.
mínus fimmtán og_____
Lesið töluna hægra megin við tugabrotskommuna eins og hún væri heil tala.
mínus fimmtán og fimm hundruð sjötíu og einn_____
Nefnið tugabrotasæti síðasta tölustafsins.
mínus fimmtán og fimm hundruð sjötíu og einn þúsundasti hluti
Rita tugabrot
Nú færum við heiti tugabrots yfir á tugabrotsrithátt. Við snúum við ferlinu sem við notuðum rétt áðan.
Byrjum á að rita töluna sex og sautján hundraðshlutar:
sex og sautján hundraðshlutar
Orðið „og“ segir okkur hvar setja á tugabrotskommu.
___.___
Orðið á undan „og“ táknar heilu töluna. Ritið hana vinstra megin við tugabrotskommuna.
6._____
Tugabrotshlutinn er sautján hundraðshlutar. Merkið við tvö sæti fyrir hundraðshluta hægra megin við tugabrotskommuna.
6._ _
Ritið tölustafina sem mynda sautján í merkið sætin.
6.17
Dæmi 5.2
Ritið „fjórtán og þrjátíu og sjö hundraðshlutar“ sem tugabrot.
Lausn
fjórtán og þrjátíu og sjö hundraðshlutar
Setjið tugabrotskommu undir orðið „og“.
______. _________
Breytið orðunum á undan „og“ í heila tölu og setjið hana vinstra megin við tugabrotskommuna.
14. _________
Merkið tvö sæti fyrir hundraðshluta hægra megin við tugabrotskommuna.
14.__ __
Breytið orðunum á eftir „og“ í tölustafi og ritið töluna hægra megin við tugabrotskommuna.
14.37
Fjórtán og þrjátíu og sjö hundraðshlutar er ritað 14.37.
Annað atriðið í skrefi 2 er nauðsynlegt fyrir tugabrot sem hafa engan heiltöluhluta, svo sem „níu þúsundustu hlutar“. Við þekkjum þau á orðunum sem gefa til kynna sætisgildið hægra megin við tugabrotskommuna, til dæmis „tíunduhlutar“ eða „hundraðshlutar“. Þar sem enginn heiltöluhluti er til staðar kemur orðið „og“ ekki fyrir. Við byrjum á að setja núll vinstra megin við tugabrotskommuna og fyllum síðan inn tölustafina hægra megin eins og við gerðum hér að framan.
Dæmi 5.3
Ritið „tuttugu og fjórir þúsundustu hlutar“ sem tugabrot.
Lausn
tuttugu og fjórir þúsundustu hlutar
Leitið að orðinu „og“.
Orðið „og“ kemur ekki fyrir og því byrjum við á 0 0.
Hægra megin við tugabrotskommuna skuluð þið merkja þrjú tugabrotasæti fyrir þúsundustu hluta.
Ritið töluna 24 þannig að 4 sé í þúsundustuhlutasætinu.
Setjið núll í þau tugabrotasæti sem eftir eru.
0.024
Tuttugu og fjórir þúsundustu hlutar eru því ritaðir 0.024
Áður en við snúum okkur að næsta námsmarkmiði skulum við hugsa aftur um peninga. Við vitum að jafngildir Hvernig við ritum fer eftir samhenginu. Á sama hátt má rita heiltölur sem tugabrot með eins mörgum núllum hægra megin við tugabrotskommuna og þörf er á.
Breyta tugabrotum í almenn brot eða blandaðar tölur
Oft þurfum við að umrita tugabrot sem almenn brot eða blandaðar tölur. Snúum aftur að hádegisverðinum til að sjá hvernig tugabrotum er breytt í almenn brot. Við vitum að merkir dollara og sent. Þar sem sent eru í einum dollara jafngilda sent úr dollara og því er
Við breytum tugabroti í almennt brot með því að finna sætisgildi tölustafsins lengst til hægri. Í tugabrotinu er í hundraðshlutasætinu og því er nefnari almenna brotsins sem er jafngilt
Hádegisverðinn sem kostar má rita með því að breyta tugabrotinu í blandaða tölu.
Takið eftir að þegar talan vinstra megin við tugabrotskommuna er núll fæst eiginlegt brot. Þegar hún er ekki núll fæst blönduð tala.
Dæmi 5.4
Ritið hvert eftirfarandi tugabrot sem almennt brot eða blandaða tölu:
ⓐ 4.09ⓑ 3.7ⓒ −0.286
Lausn
ⓐ
4.09
Talan 4 er vinstra megin við tugabrotskommuna. Ritið „4“ sem heiltöluhluta blönduðu tölunnar.
Ákvarðið sætisgildi síðasta tölustafsins.
Ritið brotið. Ritið 9 í teljarann þar sem það er talan hægra megin við tugabrotskommuna.
Ritið 100 í nefnarann þar sem sætisgildi síðasta tölustafsins, 9, er hundraðshlutasæti.
Brotið er fullstytt.
Tókuð þið eftir að fjöldi núlla í nefnaranum er sá sami og fjöldi tugabrotasæta?
ⓑ
3.7
Talan 3 er vinstra megin við tugabrotskommuna. Ritið „3“ sem heiltöluhluta blönduðu tölunnar.
Ákvarðið sætisgildi síðasta tölustafsins.
Ritið brotið. Ritið 7 í teljarann þar sem það er talan hægra megin við tugabrotskommuna.
Ritið 10 í nefnarann þar sem sætisgildi síðasta tölustafsins, 7, er tíunduhlutasæti.
Brotið er fullstytt.
ⓒ
−0.286
Talan 0 er vinstra megin við tugabrotskommuna. Setjið mínusmerki fyrir framan brotið.
Finnið sætisgildi síðasta tölustafsins og ritið það í nefnarann.
Ritið brotið. Ritið 286 í teljarann þar sem það er talan hægra megin við tugabrotskommuna. Ritið 1,000 í nefnarann þar sem sætisgildi síðasta tölustafsins, 6, er þúsundustuhlutasæti.
Við deilum út sameiginlega þættinum 2 til að stytta brotið.
Staðsetja tugabrot á talnalínu
Þar sem tugabrot eru önnur framsetning almennra brota er svipað að staðsetja tugabrot og almenn brot á talnalínu.
Dæmi 5.5
Staðsetjið á talnalínu.
Lausn
Tugabrotið er jafngilt og því liggur milli og Skiptið bilinu milli og í jafna hluta á talnalínunni og merkið skilin milli hlutanna.
Merkið strikin Við ritum sem og sem svo að allar tölurnar séu ritaðar í tíunduhlutum. Merkið að lokum á talnalínuna.
Dæmi 5.6
Staðsetjið á talnalínu.
Lausn
Tugabrotið er jafngilt og liggur því milli og Merkið og tölusettu margfeldi af á bilinu milli og á talnalínu ( , og svo framvegis) og merkið milli og aðeins nær .
Raða tugabrotum eftir stærð
Hvor talan er stærri, eða
Ef þið hugsið um tölurnar sem peningaupphæðir vitið þið að (fjörutíu sent) er stærri en (fjögur sent). Því er
Í fyrri köflum notuðum við talnalínuna til að raða tölum eftir stærð.
Hvar eru og staðsett á talnalínunni?
Við sjáum að er hægra megin við Því vitum við að
Hvernig ber saman við Ekki er auðvelt að túlka samanburðinn sem peningaupphæðir. En ef við breytum og í almenn brot getum við séð hvor talan er stærri.
0 . 3 1 0.31
0 . 3 0 8 0.308
Breytið í almenn brot.
3 1 1 0 0 31/100
3 0 8 1 0 0 0 308/1000
Við þurfum samnefnara til að bera brotin saman.
3 0 8 1 0 0 0 308/1000
3 1 0 1 0 0 0 310/1000
3 0 8 1 0 0 0 308/1000
Þar sem vitum við að Því er
Takið eftir hvað við gerðum þegar við breyttum í almennt brot. Við byrjuðum með brotið og fengum jafngilda brotið Þegar er breytt aftur í tugabrot fæst Því er jafngilt Gildi tugabrots breytist ekki þegar núllum er bætt við enda þess.
Tvö tugabrot sem hafa sama gildi kallast jafngild tugabrot.
Við segjum að og séu jafngild tugabrot.
Munið að gildi tugabrots breytist ekki þegar núllum er bætt við enda þess.
Dæmi 5.7
Raðið eftirfarandi tugabrotum eftir stærð með using
ⓐ 0.64__0.6
ⓑ 0.83__0.803
Lausn
ⓐ
0 . 6 4 _ _ 0 . 6 0.64 __ 0.6
Athugið hvort báðar tölurnar hafi jafn mörg tugabrotasæti. Svo er ekki og því skuluð þið bæta einu núlli við hægri enda 0.6.
0 . 6 4 _ _ 0 . 6 0 0.64 __ 0.60
Berið saman tölurnar hægra megin við tugabrotskommuna eins og þær væru heilar tölur.
Þegar við röðum neikvæðum tugabrotum eftir stærð er mikilvægt að muna hvernig neikvæðum heiltölum er raðað. Munið að stærri tölur eru hægra megin á talnalínunni. Til dæmis liggur hægra megin við á talnalínunni og því vitum við að Á sama hátt eru minni tölur vinstra megin á talnalínunni. Til dæmis liggur vinstra megin við á talnalínunni og því vitum við að
Ef við stækkuðum bilið milli og sæjum við á sama hátt að
Dæmi 5.8
Notið < eða > til að raða. −0.1__−0.8.
Lausn
− 0 . 1 _ _ − 0 . 8 −0.1 __ −0.8
Ritið tölurnar hverja undir annarri þannig að tugabrotskommurnar standist á.
− 0 . 1 −0.1 − 0 . 8 −0.8
Þær hafa jafnmarga tölustafi.
Þar sem − 1 > − 8 , er − 1 −1 > −8 , −1 tíunduhluti stærri en −8 tíunduhlutar.
− 0 . 1 > − 0 . 8 −0.1 > −0.8
Námundið tugabrot
Í Bandaríkjunum er bensínverð yfirleitt ritað þannig að tugabrotshlutinn sýni þúsundustu hluta úr dollara. Til dæmis gæti bensínstöð auglýst verð á blýlausu bensíni sem á galloni. En ef þið keyptuð nákvæmlega eitt gallon á þessu verði mynduð þið greiða , því lokaverðið yrði námundað að næsta senti. Í kaflanum Núll og jákvæðar heiltölur sáum við að tölur eru námundaðar til að fá nálgun þegar nákvæmt gildi er ekki nauðsynlegt. Segjum að við viljum námunda að næsta dollara. Er talan nær eða Hvað ef við vildum námunda að næstu tíu sentum? Er hún nær eða Talnalínurnar á mynd 5.4 hjálpa okkur að svara þessum spurningum.
Mynd 5.4. ⓐ Við sjáum að 2 7 . 2 2.72 er nær 3 3 en 2 2 .. Því er 2 7 . 2 2.72 námundað að næstu heilu tölu 3 3 .. ⓑ Við sjáum að 2 7 . 2 2.72 er nær 2 7 . 0 2.70 en 2 8 . 0 2.80 .. Því segjum við að 2 7 . 2 2.72 námundað að næsta tíunduhluta sé 2 7 2.7 ..
Getum við námundað tugabrot án talnalína? Já. Við notum aðferð sem byggist á aðferðinni sem við notuðum til að námunda núll og jákvæðar heiltölur.
Dæmi 5.9
Námundið að næsta hundraðshluta.
Lausn
Finnið hundraðshlutasætið og merkið það með ör.
Strikið undir tölustafinn hægra megin við 7.
Þar sem 9 er stærri en eða jafn 5 skuluð þið bæta 1 við 7.
Endurritið töluna og sleppið öllum tölustöfum hægra megin við hundraðshlutasætið.
Talan 18.38 fæst þegar 18.379 er námunduð að næsta hundraðshluta.
Dæmi 5.10
Námundið að næsta ⓐ tíunduhluta ⓑ heilu tölu.
Lausn
ⓐ Námundið 18.379 að næsta tíunduhluta.
Finnið tíunduhlutasætið og merkið það með ör.
Strikið undir tölustafinn hægra megin við tölustafinn í tíunduhlutasætinu.
Þar sem 7 er stærra en eða jafnt 5 leggjum við 1 við 3.
Endurritið töluna og sleppið öllum tölustöfum hægra megin við tíunduhlutasætið.
Því er 18.379 námundað að næsta tíunduhluta 18.4.
ⓑ Námundið 18.379 að næstu heilu tölu.
Finnið einingasætið og merkið það með ör.
Strikið undir tölustafinn hægra megin við einingasætið.
Þar sem 3 er ekki stærra en eða jafnt 5 leggjum við ekki 1 við 8.
Endurritið töluna og sleppið öllum tölustöfum hægra megin við einingasætið.
Því er 18.379 námundað að næstu heilu tölu 18.
Æfingar úr kafla 5.1
Æfingin skapar meistarann
Nefna tugabrot
Lesið hvert tugabrot í eftirfarandi æfingum.
1.
5.5
2.
7.8
3.
5.01
4.
14.02
5.
8.71
6.
2.64
7.
0.002
8.
0.005
9.
0.381
10.
0.479
11.
−17.9
12.
−31.4
Rita tugabrot
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið breyta orðalýsingunni í tugabrot.
13.
Átta og þrír hundraðshlutar
14.
Níu og sjö hundraðshlutar
15.
Tuttugu og níu og áttatíu og einn hundraðshluti
16.
Sextíu og einn og sjötíu og fjórir hundraðshlutar
17.
Sjö tíunduhlutar
18.
Sex tíunduhlutar
19.
Einn þúsundasti hluti
20.
Níu þúsundustu hlutar
21.
Tuttugu og níu þúsundustu hlutar
22.
Þrjátíu og fimm þúsundustu hlutar
23.
Mínus ellefu og níu tíuþúsundustu hlutar
24.
Mínus fimmtíu og níu og tveir tíuþúsundustu hlutar
25.
Þrettán og þrjú hundruð níutíu og fimm tíuþúsundustu hlutar
26.
Þrjátíu og tvö hundruð sjötíu og níu þúsundustu hlutar
Breyta tugabrotum í almenn brot eða blandaðar tölur
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið breyta hverju tugabroti í almennt brot eða blandaða tölu.
27.
1.99
28.
5.83
29.
15.7
30.
18.1
31.
0.239
32.
0.373
33.
0.13
34.
0.19
35.
0.011
36.
0.049
37.
−0.00007
38.
−0.00003
39.
6.4
40.
5.2
41.
7.05
42.
9.04
43.
4.006
44.
2.008
45.
10.25
46.
12.75
47.
1.324
48.
2.482
49.
14.125
50.
20.375
Staðsetja tugabrot á talnalínu
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið staðsetja hverja tölu á talnalínu.
51.
0.8
52.
0.3
53.
−0.2
54.
−0.9
55.
3.1
56.
2.7
57.
−2.5
58.
−1.6
Raða tugabrotum eftir stærð
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið raða tölunum í hverju pari með using
59.
0.9 __0.6
60.
0.7 __0.8
61.
0.37 __0.63
62.
0.86 __0.69
63.
0.6 __0.59
64.
0.27 __0.3
65.
0.91 __0.901
66.
0.415 __0.41
67.
−0.5__−0.3
68.
−0.1_−0.4
69.
−0.62_−0.619
70.
−7.31_−7.3
Námundið tugabrot
Námundið hverja tölu að næsta tíunduhluta í eftirfarandi æfingum.
71.
0.67
72.
0.49
73.
2.84
74.
4.63
Námundið hverja tölu að næsta hundraðshluta í eftirfarandi æfingum.
75.
0.845
76.
0.761
77.
5.7932
78.
3.6284
79.
0.299
80.
0.697
81.
4.098
82.
7.096
Námundið hverja tölu í eftirfarandi æfingum: ⓐ að næsta hundraðshluta ⓑ að næsta tíunduhluta ⓒ að næstu heilu tölu.
83.
5.781
84.
1.638
85.
63.479
86.
84.281
Stærðfræði daglegs lífs
87.
Launahækkun Danny fékk launahækkun og þénar nú 5 8 , 9 6 5 . 9 5 á ári. Námundið þessa tölu eins og hér segir:
ⓐ að næsta dollara
ⓑ að næsta þúsundi dollara
ⓒ að næstu tíu þúsundum dollara.
88.
Ný bílakaup Nýi bíllinn hennar Selenu kostaði 2 3 , 7 9 5 . 9 5 . Námundið þessa tölu eins og hér segir:
ⓐ að næsta dollara
ⓑ að næsta þúsundi dollara
ⓒ að næstu tíu þúsundum dollara.
89.
Söluskattur Hyo Jin býr í San Diego. Hún keypti ísskáp á og þegar afgreiðslumaðurinn reiknaði söluskattinn reyndist hann vera nákvæmlega Námundið söluskattinn að næsta ⓐ senti ⓑ dollara.
90.
Söluskattur Jennifer keypti borðstofusett fyrir heimili sitt í Cincinnati. Söluskatturinn reyndist vera nákvæmlega Námundið söluskattinn að næsta ⓐ senti ⓑ dollara.
Ritunarverkefni
91.
Hvernig hjálpar þekking ykkar á peningum ykkur að læra um tugabrot?
92.
Útskýrið hvernig „þrír og níu hundraðshlutar“ eru ritaðir sem tugabrot.
93.
Jim hljóp hlaup á Tim hljóp sama hlaup á Hvor þeirra hljóp á skemmri tíma, Jim eða Tim? Hvernig vitið þið það?
94.
Gerry sá skilti þar sem póstkort voru auglýst á verðinu Hvað er athugavert við auglýsta verðið?
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið við æfingarnar skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.
ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:
… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.
…með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á verða að hindrunum á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggist hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir kostir. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?
…nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax aðstoðar, annars gæti efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og hægt er. Saman getið þið gert áætlun um þá hjálp sem þið þurfið.
