Munið þið söguna í síðasta hluta um litla barnið og smákökurnar? Börn læra að draga tölur frá af reynslu sinni úr daglegu lífi. Aðstæður úr raunveruleikanum nýtast sem líkön fyrir frádrátt jákvæðra talna og stundum, til dæmis þegar fjallað er um hitastig, fyrir samlagningu bæði neikvæðra og jákvæðra talna. Erfiðara er hins vegar að tengja frádrátt neikvæðra talna við algengar aðstæður úr daglegu lífi. Flestir hafa ekki innsæi í frádrátt þegar neikvæðar tölur koma við sögu. Stærðfræðikennarar nota því ýmis líkön til að útskýra frádrátt neikvæðra talna.
Við höldum áfram að nota talningarskífur til að sýna frádrátt með líkani. Munið að bláu talningarskífurnar tákna jákvæðar tölur og þær rauðu neikvæðar tölur.
Þegar þið voruð yngri lásuð þið ef til vill sem fimm mínus þrír. Þegar við notum talningarskífur getum við hugsað um frádrátt á sama hátt.
Við sýnum fjögur frádráttardæmi með tölunum og
Dæmi 3.30
Sýnið með líkani:
Lausn
Túlkið stæðuna.
5 − 3 merkir 5 mínus 3.
Sýnið fyrri töluna. Byrjið með 5 jákvæðar talningarskífur.
Dragið seinni töluna frá. Fjarlægið því 3 jákvæðar talningarskífur.
Finnið talningarskífurnar sem eru eftir.
5 − 3 = 2. Mismunur 5 og 3 er 2.
Dæmi 3.31
Sýnið með líkani:
Lausn
Túlkið stæðuna.
−5 − ( −3 ) merkir −5 mínus −3.
Sýnið fyrri töluna. Byrjið með 5 neikvæðar talningarskífur.
Dragið seinni töluna frá. Fjarlægið því 3 neikvæðar talningarskífur.
Fyrst drógum við jákvæðar talningarskífur frá jákvæðum talningarskífum og fengum jákvæðar talningarskífur.
Síðan drógum við neikvæðar talningarskífur frá neikvæðum talningarskífum og fengum neikvæðar talningarskífur.
Í hvoru dæmi voru aðeins notaðar talningarskífur í einum lit og auðvelt var að beita frádráttarlíkaninu þar sem talningarskífur eru fjarlægðar.
Skoðum nú hvað gerist þegar við drögum aðra tölu með jákvæðu formerki en hina með neikvæðu formerki. Við þurfum þá að nota bæði jákvæðar og neikvæðar talningarskífur og stundum einnig núllpör. Gildið breytist ekki þegar núllpari er bætt við.
Dæmi 3.32
Sýnið með líkani:
Lausn
Túlkið stæðuna.
−5 − 3 merkir −5 mínus 3.
Sýnið fyrri töluna. Byrjið með 5 neikvæðar talningarskífur.
Dragið seinni töluna frá. Fjarlægið því 3 jákvæðar talningarskífur.
En engar jákvæðar talningarskífur eru til að fjarlægja. Bætið við núllpörum þar til þið hafið 3 jákvæðar talningarskífur.
Fjarlægið nú 3 jákvæðar talningarskífur.
Teljið talningarskífurnar sem eru eftir.
−5 − 3 = −8. Mismunur −5 og 3 er −8.
Dæmi 3.33
Sýnið með líkani:
Lausn
Túlkið stæðuna.
5 − ( −3 ) merkir 5 mínus −3.
Sýnið fyrri töluna. Byrjið með 5 jákvæðar talningarskífur.
Dragið seinni töluna frá. Fjarlægið því 3 neikvæðar talningarskífur.
En engar neikvæðar talningarskífur eru til að fjarlægja. Bætið við núllpörum þar til þið hafið 3 neikvæðar talningarskífur.
Fjarlægið síðan 3 neikvæðar talningarskífur.
Teljið talningarskífurnar sem eru eftir.
Mismunur 5 og −3 er 8. 5 − ( −3 ) = 8
Dæmi 3.34
Sýnið hvert frádráttardæmi með líkani.
ⓐ 8 − 2
ⓑ −5 − 4
ⓒ 6 − (−6)
ⓓ −8 − (−3)
Lausn
ⓐ
8 − 2 merkir 8 mínus 2.
Byrjið með 8 jákvæðar talningarskífur.
Fjarlægið 2 jákvæðar talningarskífur.
Hve margar eru eftir?
6 6
8 − 2 = 6
ⓑ
−5 − 4 merkir −5 mínus 4.
Byrjið með 5 neikvæðar talningarskífur.
Þið þurfið að fjarlægja 4 jákvæðar talningarskífur. Bætið við 4 núllpörum til að fá 4 jákvæðar talningarskífur.
Fjarlægið 4 jákvæðar talningarskífur.
Hve margar eru eftir?
− 9 −9
− 5 − 4 = − 9 −5 − 4 = −9
ⓒ
6 − ( −6 ) merkir 6 mínus −6.
Byrjið með 6 jákvæðar talningarskífur.
Bætið við 6 núllpörum til að fá 6 neikvæðar talningarskífur sem hægt er að fjarlægja.
Fjarlægið 6 neikvæðar talningarskífur.
Hve margar eru eftir?
1 2 12
6 − ( − 6 ) = 1 2 6 − ( −6 ) = 12
ⓓ
−8 − ( −3 ) merkir −8 mínus −3.
Byrjið með 8 neikvæðar talningarskífur.
Fjarlægið 3 neikvæðar talningarskífur.
Hve margar eru eftir?
− 5 −5
− 8 − ( − 3 ) = − 5 −8 − ( −3 ) = −5
Dæmi 3.35
Sýnið hvert frádráttardæmi með líkani:
ⓐ 2 −8
ⓑ −3 −(−8)
Lausn
ⓐ Við byrjum með 2 jákvæðar talningarskífur.
Við þurfum að fjarlægja 8 jákvæðar talningarskífur en höfum aðeins 2.
Bætið við núllpörum þar til hægt er að fjarlægja 8 jákvæðar talningarskífur.
Fjarlægið síðan átta jákvæðar talningarskífur.
Finnið fjölda talningarskífanna sem eru eftir. Eftir eru 6 neikvæðar talningarskífur.
2 − 8 = − 6 2 − 8 = −6
ⓑ Við byrjum með 3 neikvæðar talningarskífur.
Við þurfum að fjarlægja 8 neikvæðar talningarskífur en höfum aðeins 3.
Bætið við núllpörum þar til hægt er að fjarlægja 8 neikvæðar talningarskífur.
Fjarlægið síðan 8 neikvæðu talningarskífurnar.
Finnið fjölda talningarskífanna sem eru eftir. Eftir eru 5 jákvæðar talningarskífur.
− 3 − ( − 8 ) = 5 −3 − ( −8 ) = 5
Einföldum stæður með heiltölum
Sjáið þið eitthvert mynstur? Getið þið nú dregið heiltölur frá án talningarskífa? Reiknum tvö frádráttardæmi í viðbót. Við hugsum um hvernig við myndum sýna þau með talningarskífum en notum skífurnar ekki í raun.
Reiknið
Hugsið svona: Við byrjum með neikvæðar talningarskífur.
Við þurfum að fjarlægja jákvæðar talningarskífur en höfum engar slíkar.
Því bætum við við núllpörum til að fá jákvæðar talningarskífur. Nú fjarlægjum við þessar jákvæðu talningarskífur.
Hvað er þá eftir? Við höfum upphaflegu neikvæðu talningarskífurnar og neikvæðar talningarskífur til viðbótar úr núllpörunum. Niðurstaðan er neikvæðar talningarskífur.
Takið eftir að til að draga frá lögðum við neikvæðar talningarskífur við.
Reiknið
Hugsið svona: Við byrjum með jákvæðar talningarskífur.
Við þurfum að fjarlægja neikvæðar talningarskífur en höfum engar slíkar.
Því bætum við núllpörum við þessar jákvæðu talningarskífur. Nú fjarlægjum við neikvæðu talningarskífurnar.
Hvað er þá eftir? Við höfum upphaflegu jákvæðu talningarskífurnar og jákvæðar talningarskífur til viðbótar úr núllpörunum. Niðurstaðan er jákvæðar talningarskífur.
Takið eftir: Frádrátturinn, jafngilti því að leggja við töluna
Þótt við notum talningarskífurnar ekki alltaf, einkum þegar við vinnum með stórar tölur, gaf æfingin með þeim okkur áþreifanlega leið til að beita hugtakinu. Þannig getum við séð fyrir okkur og munað hvernig draga má frá án talningarskífa.
Tókuð þið eftir að hægt er að draga tölur með formerki frá með því að leggja samlagningarandhverfuna við? Þessi hugmynd kallast frádráttarregla og er oft skrifuð svona:
Skoðið þessi tvö dæmi.
Við sjáum að gefur sama svar og
Þegar frádráttardæmi inniheldur aðeins jákvæðar tölur, eins og fyrra dæmið, drögum við að sjálfsögðu einfaldlega frá. Við lærðum fyrir löngu að reikna . En vitneskjan um að gefur sama svar og hjálpar okkur þegar við drögum neikvæðar tölur frá.
Dæmi 3.36
Einfaldið:
ⓐ 13 −8 og 13 +(−8)
ⓑ −17 −9 og −17 +(−9)
Lausn
ⓐ
1 3 − 8 13 − 8 and 1 3 + ( − 8 ) 13 + ( −8 )
Dragið frá til að einfalda.
1 3 − 8 = 5 13 − 8 = 5
Leggið saman til að einfalda.
1 3 + ( − 8 ) = 5 13 + ( −8 ) = 5
Að draga 8 frá 13 jafngildir því að leggja −8 við 13.
Þegar nógu margar talningarskífur í viðeigandi lit eru til að fjarlægja má draga frá.
– 5 – 3 –5 – 3
5 – ( – 3 ) 5 – ( –3 )
– 8 –8
8 8
5 neikvæðar talningarskífur en fjarlægja þarf 3 jákvæðar talningarskífur
5 jákvæðar talningarskífur en fjarlægja þarf 3 neikvæðar talningarskífur
núllpör nauðsynleg
núllpör nauðsynleg
Þegar ekki eru nógu margar talningarskífur til að fjarlægja þarf að bæta við núllpörum.
Dæmi 3.38
Einfaldið:
Lausn
Við fjarlægjum 58 neikvæðar talningarskífur úr 74 neikvæðum talningarskífum.
− 7 4 − ( − 5 8 ) −74 − ( −58 )
Dragið frá.
− 1 6 −16
Dæmi 3.39
Einfaldið:
Lausn
Við notum forgangsröð reikniaðgerða til að einfalda stæðuna og reiknum fyrst innan sviganna. Síðan framkvæmum við frádráttinn frá vinstri til hægri.
Einfaldið fyrst innan svigans.
Framkvæmið frádráttinn frá vinstri til hægri.
Dragið frá.
Dæmi 3.40
Einfaldið:
Lausn
Við notum forgangsröð reikniaðgerða til að einfalda stæðuna. Fyrst margföldum við og framkvæmum síðan frádráttinn frá vinstri til hægri.
Margfaldið fyrst.
Framkvæmið frádráttinn frá vinstri til hægri.
Dragið frá.
Finnum gildi stæða með breytum og heiltölum
Nú æfum við okkur að finna gildi stæða sem fela bæði í sér frádrátt neikvæðra talna og frádrátt jákvæðra talna.
Dæmi 3.41
Finnið gildi 𝑥 − 4 þegar
ⓐ 𝑥 =3
ⓑ 𝑥 =−6.
Lausn
ⓐ Til að finna gildi þegar setjið þið í stað í stæðunni.
Dragið frá.
ⓑ Til að finna gildi þegar setjið þið í stað í stæðunni.
Dragið frá.
Dæmi 3.42
Finnið gildi 2 0 − 𝑧 þegar
ⓐ 𝑧 =12
ⓑ 𝑧 =−12
Lausn
ⓐ Til að finna gildi setjið þið í stað í stæðunni.
Dragið frá.
ⓑ Til að finna gildi
Dragið frá.
Þýðum orðalag yfir á algebrustæður
Þegar tákn reikniaðgerðanna voru fyrst kynnt sáum við að lesa má stæðuna á nokkra vegu eins og sýnt er hér fyrir neðan.
Gætið þess að hafa og í réttri röð!
Dæmi 3.43
Þýðið og einfaldið síðan:
ⓐ mismun og
ⓑ dragið frá
Lausn
ⓐMismunur gefur til kynna frádrátt. Dragið tölurnar frá í þeirri röð sem þær eru gefnar.
Þýðið.
Einfaldið.
ⓑAð draga frá merkir að er tekið frá
Þýðið.
Einfaldið.
Drögum heiltölur frá í hagnýtum dæmum
Erfitt er að finna eitthvað ef við vitum ekki að hverju við leitum eða hvað það heitir. Þegar við leysum hagnýtt verkefni þurfum við því fyrst að ákveða hvað beðið er um að finna. Síðan getum við skrifað orðalag sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna það. Við þýðum orðalagið yfir á stæðu og einföldum hana til að fá svarið. Að lokum tökum við svarið saman í setningu til að ganga úr skugga um að það sé rökrétt.
Dæmi 3.44
Um morguninn var hitastigið í Urbana í Illinois gráður á Fahrenheit-kvarða. Um miðbik síðdegis hafði hitastigið lækkað í gráður á Fahrenheit-kvarða. Hver var munurinn á hitastiginu um morguninn og síðdegis?
Lausn
Skref 1. Finnið hvað beðið er um að finna.
muninn á hitastiginu um morguninn og síðdegis
Skref 2. Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.
mismun 11 og −9
Skref 3. Þýðið orðalagið yfir á stæðu. Orðið mismunur gefur til kynna frádrátt.
1 1 − ( − 9 ) 11 − ( −9 )
Skref 4. Einfaldið stæðuna.
2 0 20
Skref 5. Skrifið heila setningu sem svarar spurningunni.
Hitastigsmunurinn var 20 gráður á Fahrenheit-kvarða.
Landafræði gefur okkur annað dæmi um notkun neikvæðra talna, en það er hæð staða sem liggja undir sjávarmáli.
Dæmi 3.45
Dinesh gekk frá Whitneyfjalli, hæsta stað Kaliforníu, til Death Valley, lægsta stað fylkisins. Whitneyfjall er í feta hæð yfir sjávarmáli og Death Valley er fetum undir sjávarmáli. Hver er hæðarmunurinn á Whitneyfjalli og Death Valley?
Lausn
Skref 1. Hvað eigum við að finna?
hæðarmuninn á Whitneyfjalli og Death Valley
Skref 2. Skrifið orðalag.
hæð Whitneyfjalls − hæð Death Valley
Skref 3. Þýðið.
1 4 , 4 9 7 − ( − 2 8 2 ) 14,497 − ( −282 )
Skref 4. Einfaldið.
1 4 , 7 7 9 14,779
Skref 5. Skrifið heila setningu sem svarar spurningunni.
Hæðarmunurinn er 14,779 fet.
Þegar þið haldið utan um fjármálin geta bæði jákvæðar og neikvæðar tölur komið við sögu. Þið gætuð verið með yfirdráttarheimild á tékkareikningnum ykkar. Það merkir að bankinn leyfir ykkur að skrifa ávísanir fyrir hærri fjárhæð en þið eigið inni á reikningnum, svo lengi sem hann veit að þið getið endurgreitt hana.
Dæmi 3.46
Leslie á inni á tékkareikningnum sínum og skrifar ávísun að upphæð
ⓐ Hver er staðan eftir að hún skrifar ávísunina?
ⓑ Hún skrifar aðra ávísun að upphæð Hver er nýja staðan eftir þessa ávísun?
ⓒ Vinkona Leslie sagðist hafa týnt ávísun að upphæð sem Leslie hafði gefið henni með afmæliskorti. Hver er staðan á tékkareikningi Leslie núna?
Lausn
ⓐ
Hvað eigum við að finna?
stöðu reikningsins
Ritið orðasamband.
$ 2 5 $25 minus $ 8 $8
Setjið verkefnið fram
Einfaldið.
Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Staðan er $ 17 .
ⓑ
Hvað eigum við að finna?
nýju stöðuna
Ritið orðasamband.
$ 1 7 $17 minus $ 2 0 $20
Setjið verkefnið fram
Einfaldið.
Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Reikningurinn er yfirdreginn um $ 3 .
ⓒ
Hvað eigum við að finna?
nýju stöðuna
Ritið orðasamband.
$ 1 0 $10 more than − $ 3 − $3
Setjið verkefnið fram
Einfaldið.
Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Staðan er nú $ 7 .
Æfingar hluta 3.3
Æfingin skapar meistarann
Sýnum frádrátt heiltalna með líkani
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið sýna hverja stæðu með líkani og einfalda hana.
127.
8−2
128.
9−3
129.
−5−(−1)
130.
−6−(−4)
131.
−5−4
132.
−7−2
133.
8−(−4)
134.
7−(−3)
Einföldun stæðna með heiltölum
Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.
135.
ⓐ 15 −6
ⓑ 15 +(−6)
136.
ⓐ 12 −9
ⓑ 12 +(−9)
137.
ⓐ 44 −28
ⓑ 44 +(−28)
138.
ⓐ 35 −16
ⓑ 35 +(−16)
139.
ⓐ 8 −(−9)
ⓑ 8 +9
140.
ⓐ 4 −(−4)
ⓑ 4 +4
141.
ⓐ 27 −(−18)
ⓑ 27 +18
142.
ⓐ 46 −(−37)
ⓑ 46 +37
Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.
143.
15−(−12)
144.
14−(−11)
145.
10−(−19)
146.
11−(−18)
147.
48−87
148.
45−69
149.
31−79
150.
39−81
151.
−31−11
152.
−32−18
153.
−17−42
154.
−19−46
155.
−103−(−52)
156.
−105−(−68)
157.
−45−(−54)
158.
−58−(−67)
159.
8−3−7
160.
9−6−5
161.
−5−4+7
162.
−3−8+4
163.
−14−(−27)+9
164.
−15−(−28)+5
165.
71+(−10)−8
166.
64+(−17)−9
167.
−16−(−4+1)−7
168.
−15−(−6+4)−3
169.
(2−7)−(3−8)
170.
(1−8)−(2−9)
171.
−(6−8)−(2−4)
172.
−(4−5)−(7−8)
173.
25−[10−(3−12)]
174.
32−[5−(15−20)]
175.
6⋅3−4⋅3−7⋅2
176.
5⋅7−8⋅2−4⋅9
177.
52−62
178.
62−72
Gildi breytustæða með heiltölum
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna gildi hverrar stæðu fyrir gefin gildi.
179.
𝑥 −6 þegar
ⓐ 𝑥 =3
ⓑ 𝑥 =−3
180.
𝑥 −4 þegar
ⓐ 𝑥 =5
ⓑ 𝑥 =−5
181.
5 −𝑦 þegar
ⓐ 𝑦 =2
ⓑ 𝑦 =−2
182.
8 −𝑦 þegar
ⓐ 𝑦 =3
ⓑ 𝑦 =−3
183.
4𝑥2−15𝑥+1þegar𝑥=3
184.
5𝑥2−14𝑥+7þegar𝑥=2
185.
−12−5𝑥2þegar𝑥=6
186.
−19−4𝑥2þegar𝑥=5
Þýðing orðasambanda yfir á algebrustæður
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið þýða hvert orðalag yfir á algebrustæðu og einfalda hana síðan.
187.
ⓐ Mismunurinn á og
ⓑ Dragið frá
188.
ⓐ Mismunurinn á og
ⓑ Dragið frá
189.
ⓐ Mismunurinn á og
ⓑ Dragið frá
190.
ⓐ Mismunurinn á og
ⓑ Dragið frá
191.
ⓐ minna en
ⓑ mínus
192.
ⓐ minna en
ⓑ mínus
193.
ⓐ minna en
ⓑ dregið frá
194.
ⓐ minna en
ⓑ dregið frá
Frádráttur heiltalna í hagnýtum dæmum
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið leysa hagnýtu dæmin.
195.
Hitastig Morgun einn var hitastigið í Urbana í Illinois Um kvöldið hafði hitastigið lækkað um Hvert var hitastigið um kvöldið?
196.
Hitastig Á fimmtudegi var hitastigið við Spincich-vatn í Michigan Á föstudegi hafði hitastigið lækkað um Hvert var hitastigið á föstudeginum?
197.
Hitastig Hæsti hiti dagsins 15. janúar í Anaheim í Kaliforníu var Sama dag var hæsti hitinn í Embarrass í Minnesota Hver var munurinn á hitastiginu í Anaheim og Embarrass?
198.
Hitastig Hæsti hiti dagsins 21. janúar í Palm Springs í Kaliforníu var og hæsti hitinn í Whitefield í New Hampshire var Hver var munurinn á hitastiginu í Palm Springs og Whitefield?
199.
Amerískur fótbolti Í fyrsta leiknum fékk Warriors-liðið boltann á eigin Í næstu þremur leikjum vann liðið tapaði og tapaði Á hvaða jardalínu var boltinn eftir þriðja leikinn?
200.
Amerískur fótbolti Í fyrsta leiknum fékk Barons-liðið boltann á eigin Í næstu þremur leikjum tapaði liðið vann og tapaði Á hvaða jardalínu var boltinn eftir þriðja leikinn?
201.
Tékkareikningur John á inni á tékkareikningnum sínum. Hann skrifar ávísun að upphæð Hver er nýja staðan á reikningnum?
202.
Tékkareikningur Ellie á inni á tékkareikningnum sínum. Hún skrifar ávísun að upphæð Hver er nýja staðan á reikningnum?
203.
Tékkareikningur Gina á inni á tékkareikningnum sínum. Hún skrifar ávísun að upphæð Hver er nýja staðan á reikningnum?
204.
Tékkareikningur Frank á inni á tékkareikningnum sínum. Hann skrifar ávísun að upphæð Hver er nýja staðan á reikningnum?
205.
Tékkareikningur Staðan á tékkareikningi Bills er . Hann leggur inn á reikninginn. Hver er nýja staðan?
206.
Tékkareikningur Staðan á tékkareikningi Patty er . Hún leggur inn á reikninginn. Hver er nýja staðan?
Stærðfræði í daglegu lífi
207.
Fjallganga Rene er í fjallgöngu í Ölpunum. Hitastigið er Þægindamörk svefnpokans sem Rene notar eru Hversu mikið getur hitastigið lækkað áður en verður of kalt fyrir svefnpokann?
208.
Köfun Samkvæmt ábyrgð er köfunarúrið sem Shelly notar vatnsþétt niður á Hún kafar í við vegg neðansjávargljúfurs. Hversu mikið getur hún aukið dýpið áður en farið er út fyrir ábyrgðarmörk úrsins?
Ritunaræfingar
209.
Útskýrið hvers vegna mismunurinn á og er
210.
Hvers vegna fæst sama niðurstaða þegar er reiknað og þegar
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve góðum tökum þið hafið náð á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?
