33 Heiltölur

3.5 Jöfnur leystar með heiltölum; deilingarregla jafnaðar

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

Ákvarðað hvort heiltala sé lausn jöfnu
Leyst jöfnur með heiltölum með samlagningar- og frádráttarreglum jafnaðar
Sett fram líkan af deilingarreglu jafnaðar
Leyst jöfnur með deilingarreglu jafnaðar
Þýtt yfir á jöfnu og leyst hana

Ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu

Í Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar, sáum við að lausn jöfnu er gildi breytu sem gerir sanna staðhæfingu þegar það er sett inn í jöfnuna. Í þeim hluta fundum við lausnir sem voru núll eða jákvæðar heiltölur. Nú þegar við höfum unnið með heiltölur finnum við lausnir jafna sem eru heiltölur.

Skrefin við að ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu eru þau sömu hvort sem talan er núll, jákvæð heiltala eða neikvæð heiltala.

Dæmi 3.60

Ákvarðið hvort hvert eftirfarandi gildi sé lausn jöfnunnar $2 x - 5 = −13 :$

ⓐ 𝑥 =4 $x = 4$
ⓑ 𝑥 =−4 $x = −4$
ⓒ 𝑥 =−9. $x = −9 .$

Lausn

ⓐ Setjið 4 í stað x í jöfnunni til að ákvarða hvort hún sé sönn.


Margfaldið.
Dragið frá.

Þar sem $x = 4$ gefur ekki sanna jöfnu er $4$ ekki lausn jöfnunnar.

ⓑ Setjið −4 í stað x í jöfnunni til að ákvarða hvort hún sé sönn.

Margfaldið.
Dragið frá.

Þar sem $x = −4$ gefur sanna jöfnu er $−4$ lausn jöfnunnar.

ⓒ Setjið −9 í stað x í jöfnunni til að ákvarða hvort hún sé sönn.

Setjið −9 í stað x.
Margfaldið.
Dragið frá.

Þar sem $x = −9$ gefur ekki sanna jöfnu er $−9$ ekki lausn jöfnunnar.

Jöfnur með heiltölum leystar með samlagningar- og frádráttarreglum jafnaðar

Í Leysa jöfnur með frádráttar- og samlagningarreglu jafnaðar, leystum við jöfnur svipaðar þeim tveimur sem hér eru sýndar með frádráttar- og samlagningarreglum jafnaðar. Nú getum við notað þær aftur með heiltölum.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki er jafnan x plús 4 er jafnt og 12. Þar fyrir neðan stendur x plús 4 mínus 4 er jafnt og 12 mínus 4. Undir því stendur x er jafnt og 8. Í öðrum dálki er jafnan y mínus 5 er jafnt og 9. Þar fyrir neðan stendur y mínus 5 plús 5 er jafnt og 9 plús 5. Undir því stendur y er jafnt og 14.

Þegar sama stærð er lögð við eða dregin frá báðum hliðum jöfnu helst jafnaðarmerkið í gildi.

Reglur jafnaðar

Frádráttarregla jafnaðar	Samlagningarregla jafnaðar
F y r i r h v a ð a t ö l u r s e m e r 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , Fyrir hvaða tölur sem er a , b , c , e f 𝑎 = 𝑏 þ á 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐 . ef a = b þá a − c = b − c .	F y r i r h v a ð a t ö l u r s e m e r 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , Fyrir hvaða tölur sem er a , b , c , e f 𝑎 = 𝑏 þ á 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 . ef a = b þá a + c = b + c .

Dæmi 3.61

Leysið: $y + 9 = 5 .$

Lausn


Dragið 9 frá báðum hliðum til að upphefja samlagninguna.
Einfaldið.

Sannreynið niðurstöðuna með því að setja $−4$ inn í upphaflegu jöfnuna.

	𝑦 + 9 = 5 y + 9 = 5
Setjið −4 í stað y	− 4 + 9 ? = 5 −4 + 9 = ? 5
	5 = 5 ⁢ ✓

Þar sem $y = −4$ gerir $y + 9 = 5$ að sannri staðhæfingu höfum við fundið lausn jöfnunnar.

Dæmi 3.62

Leysið: $a - 6 = −8$

Lausn


Leggið 6 við báðar hliðar til að upphefja frádráttinn.
Einfaldið.
Sannreynið niðurstöðuna með því að setja −2 inn í upphaflegu jöfnuna:
Setjið −2 í stað a

Lausn jöfnunnar $a - 6 = −8$ er $−2 .$

Þar sem $a = −2$ gerir $a - 6 = −8$ að sannri staðhæfingu höfum við fundið lausn jöfnunnar.

Líkan af deilingarreglu jafnaðar

Allar jöfnurnar sem við höfum leyst hingað til hafa verið á forminu $x + a = b$ eða $x - a = b .$ Við gátum einangrað breytuna með því að leggja fasta liðinn við eða draga hann frá. Nú skoðum við hvernig leysa má jöfnur sem fela í sér deilingu.

Við setjum jöfnu fram með líkani sem notar umslög og talningarskífur á mynd 3.21.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki eru tvö eins umslög. Í öðrum dálki eru sex bláir hringir sem liggja á víð og dreif.

Hér eru tvö eins umslög sem innihalda jafn margar talningarskífur. Munið að vinstri hlið vinnusvæðisins verður að vera jöfn hægri hliðinni, en talningarskífurnar vinstra megin eru „faldar“ í umslögunum. Hversu margar talningarskífur eru þá í hverju umslagi?

Til að finna fjöldann skuluð þið skipta talningarskífunum hægra megin í $2$ jafn stóra hópa. Að skipta $6$ talningarskífum í $2$ hópa merkir því að $3$ talningarskífur eru í hverjum hópi (þar sem $6 \div 2 = 3) .$

Hvaða jafna lýsir aðstæðunum á mynd 3.22? Umslögin eru tvö og hvort þeirra inniheldur $x$ talningarskífur. Saman verða umslögin tvö að innihalda alls $6$ talningarskífur. Jafnan sem lýsir aðstæðunum er því $2 x = 6 .$

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki eru tvö eins umslög. Í öðrum dálki eru sex bláir hringir sem liggja á víð og dreif. Undir myndinni stendur 2 sinnum x er jafnt og 6.

Við getum deilt báðum hliðum jöfnunnar með $2$ eins og við gerðum með umslögin og talningarskífurnar.

Við komumst að því að hvert umslag inniheldur $3 talningarskífur.$ Stenst þetta? Við vitum að $2 \cdot 3 = 6,$ svo þetta gengur upp. Í hvoru umslagi eru þrjár talningarskífur og því eru þær samtals sex.

Mynd 3.23 sýnir annað dæmi.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki eru þrjú umslög. Í öðrum dálki eru fjórar raðir með þremur bláum hringjum í hverri. Undir myndinni er jafnan 3x er jafnt og 12.

Nú höfum við $3$ eins umslög og $12 talningarskífur.$ Hversu margar talningarskífur eru í hverju umslagi? Við þurfum að skipta $12 talningarskífur$ í $3 hópa.$ Þar sem $12 \div 3 = 4,$ hljóta $4 talningarskífur$ að vera í hverju umslagi. Sjá mynd 3.24.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki eru fjögur umslög. Í öðrum dálki eru tólf bláir hringir.

Jafnan sem lýsir aðstæðunum er $3 x = 12 .$ Við getum deilt báðum hliðum jöfnunnar með $3 .$

Myndin sýnir jöfnuna 3x deilt með 3 er jafnt og 12 deilt með 3. Fyrir neðan hana er jafnan x er jafnt og 4.

Stenst þetta? Já, því að $3 \cdot 4 = 12 .$

Dæmi 3.63

Skrifið jöfnuna sem umslögin og talningarskífurnar sýna og leysið hana síðan.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki eru fjögur umslög. Í öðrum dálki eru átta bláir hringir.

Lausn

Vinstra megin eru $4 umslög,$ eða $4$ óþekkt gildi sem samsvara $8 talningarskífur$ hægra megin. Köllum óþekktu stærðina í umslögunum $x .$

Skrifið jöfnuna.
Deilið báðum hliðum með 4.
Einfaldið.

Í hverju umslagi eru $2 talningarskífur$ .

Jöfnur leystar með deilingarreglu jafnaðar

Fyrri dæmin leiða til deilingarreglu jafnaðar. Þegar báðum hliðum jöfnu er deilt með sömu tölu sem er ekki núll helst jafnaðurinn óbreyttur.

Dæmi 3.64

Leysið:7⁢𝑥=−49. $Leysið: 7 x = −49 .$

Lausn

Til að einangra $x,$ þurfum við að upphefja margföldunina.


Deilið báðum hliðum með 7.
Einfaldið.

Sannreynið lausnina.

	7 ⁢ 𝑥 = − 4 9 7 ⁢ x = −49
Setjið −7 í stað x.	7 ⁢ ( − 7 ) ? = − 4 9 7 ⁢ ( −7 ) = ? −49
	− 4 9 = − 4 9 ⁢ ✓ −49 = −49 ⁢ ✓

Því er $−7$ lausn jöfnunnar.

Dæmi 3.65

Leysið: $−3 y = 63 .$

Lausn

Til að einangra $y,$ þurfum við að upphefja margföldunina.


Deilið báðum hliðum með −3.
Einfaldið

Sannreynið lausnina.

	− 3 ⁢ 𝑦 = 6 3 −3 ⁢ y = 63
Setjið −21 í stað y.	− 3 ⁢ ( − 2 1 ) ? = 6 3 −3 ⁢ ( −21 ) = ? 63
	6 3 = 6 3 ⁢ ✓ 63 = 63 ⁢ ✓

Þar sem þetta er sönn staðhæfing er $y = −21$ lausn jöfnunnar.

Þýða yfir á jöfnu og leysa hana

Í síðustu dæmum fengum við jöfnu sem innihélt breytu. Í næstu dæmum þurfum við fyrst að þýða orðasambönd yfir á jöfnur með breytum og leysa síðan jöfnurnar.

Dæmi 3.66

Þýðið og leysið: fimm meira en $x$ er jafnt og $−3 .$

Lausn

	fimm meira en x er jafnt og −3
Setjið verkefnið fram	𝑥 + 5 = − 3 x + 5 = −3
Dragið 5 frá báðum hliðum.	𝑥 + 5 − 5 = − 3 − 5 x + 5 − 5 = −3 − 5
Einfaldið.	𝑥 = − 8 x = −8

Sannreynið lausnina með því að setja hana inn í upphaflegu jöfnuna.

𝑥+5=−3−8+5?=−3−3=−3⁢✓ $\begin{array}{l} x + 5 = −3 \\ −8 + 5 \overset{?}{=} −3 \\ −3 = −3 ✓ \end{array}$

Dæmi 3.67

Þýðið og leysið: mismunur $n$ og $6$ er $−10 .$

Lausn

	mismunur n og 6 er −10
Þýðið.	𝑛 − 6 = − 1 0 n − 6 = −10
Leggið 6 við báðar hliðar.	𝑛 − 6 + 6 = − 1 0 + 6 n − 6 + 6 = −10 + 6
Einfaldið.	𝑛 = − 4 n = −4

Sannreynið lausnina með því að setja hana inn í upphaflegu jöfnuna.

𝑛−6=−10−4−6?=−10−10=−10⁢✓ $\begin{matrix} n - 6 = −10 \\ −4 - 6 \overset{?}{=} −10 \\ −10 = −10 ✓ \end{matrix}$

Dæmi 3.68

Þýðið og leysið: talan $108$ er margfeldi $−9$ og $y .$

Lausn

	talan 108 er margfeldi −9 og y
Þýðið.	1 0 8 = − 9 ⁢ 𝑦 108 = −9 ⁢ y
Deilið með −9 .	1 0 8 − 9 = − 9 ⁢ 𝑦 − 9 108/−9 = −9 ⁢ y/−9
Einfaldið.	− 1 2 = 𝑦 −12 = y

Sannreynið lausnina með því að setja hana inn í upphaflegu jöfnuna.

108=−9⁢𝑦108?=−9⁢(−12)₁₀₈=108⁢✓ $\begin{matrix} 108 = −9 y \\ 108 \overset{?}{=} −9 (−12) \\ 108 = 108 ✓ \end{matrix}$

Æfingar í hluta 3.5

Æfingin skapar meistarann

Ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna hvort hver tala sé lausn gefnu jöfnunnar.

285.

4⁢𝑥−2=6 $4 x - 2 = 6$

ⓐ 𝑥 =−2 $x = −2$
ⓑ 𝑥 =−1 $x = −1$
ⓒ 𝑥 =2 $x = 2$

286.

4⁢𝑦−10=−14 $4 y - 10 = −14$

ⓐ 𝑦 =−6 $y = −6$
ⓑ 𝑦 =−1 $y = −1$
ⓒ 𝑦 =1 $y = 1$

287.

9⁢𝑎+27=−63 $9 a + 27 = −63$

ⓐ 𝑎 =6 $a = 6$
ⓑ 𝑎 =−6 $a = −6$
ⓒ 𝑎 =−10 $a = −10$

288.

7⁢𝑐+42=−56 $7 c + 42 = −56$

ⓐ 𝑐 =2 $c = 2$
ⓑ 𝑐 =−2 $c = −2$
ⓒ 𝑐 =−14 $c = −14$

Jöfnur leystar með samlagningar- og frádráttarreglum jafnaðar

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna óþekktu stærðina.

289.

𝑛+12=5 $n + 12 = 5$

290.

𝑚+16=2 $m + 16 = 2$

291.

𝑝+9=−8 $p + 9 = −8$

292.

𝑞+5=−6 $q + 5 = −6$

293.

𝑢−3=−7 $u - 3 = −7$

294.

𝑣−7=−8 $v - 7 = −8$

295.

ℎ−10=−4 $h - 10 = −4$

296.

𝑘−9=−5 $k - 9 = −5$

297.

𝑥+(−2)=−18 $x + (−2) = −18$

298.

𝑦+(−3)=−10 $y + (−3) = −10$

299.

𝑟−(−5)=−9 $r - (−5) = −9$

300.

𝑠−(−2)=−11 $s - (−2) = −11$

Líkan af deilingarreglu jafnaðar

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skrifa jöfnuna sem umslögin og talningarskífurnar sýna og leysa hana síðan.

301.

Þrjú ljósblá umslög liggja lóðrétt hvert ofan á öðru vinstra megin á hvítum grunni. Hægra megin eru sex ljósgular kringlóttar skífur í tveimur dálkum með þremur skífum hvorum.

302.

Tvö ljósblá umslög eru sýnd með tíu ljósgulum hringjum sem raðað er í tvo dálka með fimm hringjum hvorum á hvítum grunni.

303.

Tvö ljósblá umslög eru sýnd með átta ljósgulum hringjum sem raðað er í tvo dálka með fjórum hringjum hvorum á hvítum grunni.

304.

Þrjú ljósblá umslög eru vinstra megin og níu hringir með gulri brún mynda 3 × 3 net hægra megin, allt á hvítum grunni.

Jöfnur leystar með deilingarreglu jafnaðar

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið leysa hverja jöfnu með deilingarreglu jafnaðar og sannreyna lausnina.

305.

5⁢𝑥=45 $5 x = 45$

306.

4⁢𝑝=64 $4 p = 64$

307.

−7⁢𝑐=56 $−7 c = 56$

308.

−9⁢𝑥=54 $−9 x = 54$

309.

−14⁢𝑝=−42 $−14 p = −42$

310.

−8⁢𝑚=−40 $−8 m = −40$

311.

−120=10⁢𝑞 $−120 = 10 q$

312.

−75=15⁢𝑦 $−75 = 15 y$

313.

24⁢𝑥=480 $24 x = 480$

314.

18⁢𝑛=540 $18 n = 540$

315.

−3⁢𝑧=0 $−3 z = 0$

316.

4⁢𝑢=0 $4 u = 0$

Þýða yfir á jöfnu og leysa hana

Setjið fram sem jöfnu og leysið í eftirfarandi æfingum.

317.

Fjórum meira en $n$ er jafnt og 1.

318.

Níu meira en $m$ er jafnt og 5.

319.

Summa átta og $p$ er $−3$ .

320.

Summa tveggja og $q$ er $−7$ .

321.

Mismunur $a$ og þriggja er $−14$ .

322.

Mismunur $b$ og $5$ er $−2$ .

323.

Talan −42 er margfeldi −7 og $x$ .

324.

Talan −54 er margfeldi −9 og $y$ .

325.

Margfeldi −15 og $f$ er 75.

326.

Margfeldi −18 og $g$ er 36.

327.

−6 plús $c$ er jafnt og 4.

328.

−2 plús $d$ er jafnt og 1.

329.

Níu minna en $m$ er −4.

330.

Þrettán minna en $n$ er $−10$ .

Blandaðar æfingar

Leysið eftirfarandi verkefni.

331.

ⓐ 𝑥 +2 =10 $x + 2 = 10$
ⓑ 2⁢𝑥 =10 $2 x = 10$

332.

ⓐ 𝑦 +6 =12 $y + 6 = 12$
ⓑ 6⁢𝑦 =12 $6 y = 12$

333.

ⓐ −3⁢𝑝 =27 $−3 p = 27$
ⓑ 𝑝 −3 =27 $p - 3 = 27$

334.

ⓐ −2⁢𝑞 =34 $−2 q = 34$
ⓑ 𝑞 −2 =34 $q - 2 = 34$

335.

𝑎−4=16 $a - 4 = 16$

336.

𝑏−1=11 $b - 1 = 11$

337.

−8⁢𝑚=−56 $−8 m = −56$

338.

−6⁢𝑛=−48 $−6 n = −48$

339.

−39=𝑢+13 $−39 = u + 13$

340.

−100=𝑣+25 $−100 = v + 25$

341.

11⁢𝑟=−99 $11 r = −99$

342.

15⁢𝑠=−300 $15 s = −300$

343.

100=20⁢𝑑 $100 = 20 d$

344.

250=25⁢𝑛 $250 = 25 n$

345.

−49=𝑥−7 $−49 = x - 7$

346.

64=𝑦−4 $64 = y - 4$

Stærðfræði daglegs lífs

347.

Pökkun á smákökum Pakki með $51 smákaka$ inniheldur $3$ jafn stórar raðir. Finnið fjölda smákaka í hverri röð, $c,$ með því að leysa jöfnuna $3 c = 51 .$

348.

Leikskóladeild Í leikskóladeild Connie eru $24 börn.$ Hún vill skipta þeim í $4$ jafn stóra hópa. Finnið fjölda barna í hverjum hópi, $g,$ með því að leysa jöfnuna $4 g = 24 .$

Ritunaræfingar

349.

Hjálpar framsetning deilingarreglu jafnaðar með umslögum og talningarskífum ykkur að skilja hvernig leysa á jöfnuna $3 x = 15 ?$ Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.

350.

Gerum ráð fyrir að þið notið umslög og talningarskífur þegar þið leysið jöfnurnar $x + 4 = 12$ og $4 x = 12 .$ Útskýrið hvernig þið mynduð leysa hvora jöfnu.

351.

Frida byrjaði að leysa jöfnuna $−3 x = 36$ með því að leggja $3$ við báðar hliðar. Útskýrið hvers vegna aðferð Fridu leysir ekki jöfnuna.

352.

Raoul byrjaði að leysa jöfnuna $4 y = 40$ með því að draga $4$ frá báðum hliðum. Útskýrið hvers vegna aðferð Raouls leysir ekki jöfnuna.