33 Heiltölur

3.4 Margföldun og deiling heiltalna

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Margfaldað heiltölur
Deilt heiltölum
Einfaldað stæður með heiltölum
Fundið gildi breytustæða með heiltölum
Þýtt orðasambönd yfir á algebrustæður

Margföldun heiltalna

Margföldun er stytting fyrir endurtekna samlagningu og því má auðveldlega nota líkanið með talningarskífum til að sýna margföldun heiltalna. Skoðum þetta áþreifanlega líkan til að sjá hvaða mynstur koma í ljós. Við notum sömu dæmi og við samlagningu og frádrátt.

Við munum að $a \cdot b$ merkir að leggja $a, b$ sinnum saman. Hér notum við líkanið á mynd 3.19 aðeins til að hjálpa okkur að uppgötva mynstrið.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki stendur 5 sinnum 3. Þar fyrir neðan stendur að leggja 5 saman 3 sinnum. Undir því eru þrjár raðir með fimm bláum hringjum, merktar 15 jákvæðar, og jafnan 5 sinnum 3 er 15. Í öðrum dálki stendur neikvætt 5 sinnum 3. Þar fyrir neðan stendur að leggja neikvætt 5 saman 3 sinnum. Undir því eru þrjár raðir með fimm rauðum hringjum, merktar 15 neikvæðar, og jafnan neikvætt 5 sinnum 3 er neikvætt 15.

Skoðum nú hvað felst í því að margfalda $5$ með $−3 .$ . Það merkir að draga $5, 3$ sinnum frá. Ef frádráttur er túlkaður sem að taka burt, merkir það að taka $5, 3$ sinnum burt. En þar sem ekkert er til að taka burt byrjum við á því að bæta við núllpörum eins og sýnt er á mynd 3.20.

Myndin hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki stendur 5 sinnum neikvætt 3. Þar fyrir neðan stendur að taka 5 burt 3 sinnum. Undir því eru þrjár raðir með fimm rauðum hringjum. Ör vísar niður að sex röðum af hringjum sem skiptast á að vera rauðir og bláir, fimm í hverri röð. Fyrsta röðin hefur fimm rauða hringi, síðan koma fimm bláir, fimm rauðir, fimm bláir, fimm rauðir og fimm bláir. Hringur er dreginn utan um allar raðir blárra hringja. Raðirnar sem ekki eru umkringdar eru merktar 15 neikvæðar. Undir merkingunni stendur 5 sinnum neikvætt 3 er neikvætt 15. Í öðrum dálki stendur neikvætt 5 sinnum neikvætt 3. Þar fyrir neðan stendur að taka neikvætt 5 burt 3 sinnum. Síðan koma sex raðir með fimm hringjum sem skiptast á að vera bláir og rauðir. Fyrsta röðin hefur fimm bláa hringi og þar á eftir koma fimm rauðir. Hringur er dreginn utan um allar raðir rauðra hringja. Raðirnar sem ekki eru umkringdar eru merktar 15 jákvæðar. Undir merkingunni stendur neikvætt 5 sinnum neikvætt 3 er 15.

Í báðum tilvikum byrjuðum við með $15$ núllpör. Vinstra megin tókum við $5, 3$ sinnum burt og niðurstaðan varð $- 15 .$ Til að margfalda $(−5) (−3),$ tókum við $- 5, 3$ sinnum burt og niðurstaðan varð $15 .$ Við komumst því að eftirfarandi:

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 & −5 (3) = −15 \\ 5 (−3) = −15 & (−5) (−3) = 15 \end{matrix}

Takið eftir að þegar tvær tölur með formerki eru margfaldaðar er margfeldið jákvætt ef formerkin eru eins en neikvætt ef formerkin eru ólík.

Margföldun talna með formerki

Formerki margfeldis tveggja talna ræðst af formerkjum þeirra.

Sömu formerki	Margfeldi
•Tvær jákvæðar•Tvær neikvæðar	JákvættJákvætt

Ólík formerki	Margfeldi
•Jákvæð · neikvæð•Neikvæð · jákvæð	NeikvættNeikvætt

Dæmi 3.47

Margfaldið eftirfarandi:

ⓐ −9 ·3 $−9 \cdot 3$
ⓑ −2⁢(−5) $−2 (−5)$
ⓒ 4⁢(−8) $4 (−8)$
ⓓ 7 ·6 $7 \cdot 6$

Lausn

ⓐ
	– 9 ⋅ 3 –9 ⋅ 3
Margfaldið og takið eftir að formerkin eru ólík, svo margfeldið er neikvætt.	– 2 7 –27

ⓑ
	– 2 ⁢ ( – 5 ) –2 ⁢ ( –5 )
Margfaldið og takið eftir að formerkin eru eins, svo margfeldið er jákvætt.	1 0 10

ⓒ
	4 ⁢ ( – 8 ) 4 ⁢ ( –8 )
Margfaldið og takið eftir að formerkin eru ólík, svo margfeldið er neikvætt.	– 3 2 –32

ⓓ
	7 ⋅ 6
Formerkin eru eins og því er margfeldið jákvætt.	4 2 42

Þegar við margföldum tölu með $1,$ fæst sama tala. Hvað gerist þegar við margföldum tölu með $−1 ?$ Margföldum fyrst jákvæða tölu og síðan neikvæða tölu með $−1$ til að sjá hvað fæst.

\begin{matrix} −1 \cdot 4 & −1 (−3) \\ −4 & 3 \\ −4 er samlagningarandhverfa 4 & 3 er samlagningarandhverfa −3 \end{matrix}

Í hvert sinn sem við margföldum tölu með $−1,$ fáum við samlagningarandhverfu hennar.

Dæmi 3.48

Margfaldið eftirfarandi:

ⓐ −1 ·7 $−1 \cdot 7$
ⓑ −1⁢(−11) $−1 (−11)$

Lausn

ⓐ
Formerkin eru ólík og því verður margfeldið neikvætt.	− 1 ⋅ 7 −1 ⋅ 7
Takið eftir að −7 er samlagningarandhverfa 7.	− 7 −7

ⓑ
Formerkin eru eins og því verður margfeldið jákvætt.	− 1 ⁢ ( − 1 1 ) −1 ⁢ ( −11 )
Takið eftir að 11 er samlagningarandhverfa −11.	1 1 11

Deiling heiltalna

Deiling er andhverf aðgerð við margföldun. Því er $15 \div 3 = 5$ vegna þess að $5 \cdot 3 = 15$ Með orðum segir stæðan að skipta megi $15$ í $3$ hópa með $5$ í hverjum hópi, því að þegar fimm er lagt saman þrisvar fæst $15 .$ Með því að skoða nokkur dæmi um margföldun heiltalna getum við fundið reglurnar um deilingu heiltalna.

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 því er 15 \div 3 = 5 & −5 (3) = −15 því er −15 \div 3 = −5 \\ (−5) (−3) = 15 því er 15 \div (−3) = −5 & 5 (−3) = −15 því er −15 \div −3 = 5 \end{matrix}

Um deilingu talna með formerki gilda sömu reglur og um margföldun. Ef formerkin eru eins er kvótinn jákvæður en ef formerkin eru ólík er kvótinn neikvæður.

Deiling talna með formerki

Formerki kvóta tveggja talna ræðst af formerkjum þeirra.

Sömu formerki	Kvóti
•Tvær jákvæðar•Tvær neikvæðar	JákvættJákvætt

Ólík formerki	Kvóti
•Jákvæð og neikvæð•Neikvæð og jákvæð	NeikvættNeikvætt

Munið að alltaf má sannreyna svar við deilingardæmi með margföldun.

Dæmi 3.49

Deilið í eftirfarandi dæmum:

ⓐ −27 ÷3 $−27 \div 3$
ⓑ −100 ÷(−4) $−100 \div (−4)$

Lausn

ⓐ
	– 2 7 ÷ 3 –27 ÷ 3
Deilið og takið eftir að formerkin eru ólík, svo kvótinn er neikvæður.	– 9 –9

ⓑ
	– 1 0 0 ÷ ( – 4 ) –100 ÷ ( –4 )
Deilið og takið eftir að formerkin eru eins, svo kvótinn er jákvæður.	2 5 25

Eins og við sáum þegar við fjölluðum um margföldun: Þegar tölu er deilt með $1,$ fæst sama tala. Hvað gerist þegar tölu er deilt með $−1 ?$ Deilum fyrst jákvæðri tölu og síðan neikvæðri tölu með $−1$ til að sjá hvað fæst.

\begin{matrix} 8 \div (−1) & −9 \div (−1) \\ −8 & 9 \\ −8 er samlagningarandhverfa 8 & 9 er samlagningarandhverfa −9 \end{matrix}

Þegar við deilum tölu með $−1$ fæst samlagningarandhverfa hennar.

Dæmi 3.50

Deilið í eftirfarandi dæmum:

ⓐ 16 ÷(−1) $16 \div (−1)$
ⓑ −20 ÷(−1) $−20 \div (−1)$

Lausn

ⓐ
	1 6 ÷ ( – 1 ) 16 ÷ ( –1 )
Deilistofninum 16 er deilt með −1.	– 1 6 –16
Þegar tölu er deilt með −1 fæst samlagningarandhverfa hennar.
Takið eftir að formerkin voru ólík og því varð niðurstaðan neikvæð.

ⓑ
	– 2 0 ÷ ( – 1 ) –20 ÷ ( –1 )
Deilistofninum −20 er deilt með −1.	2 0 20
Þegar tölu er deilt með −1 fæst samlagningarandhverfa hennar.

Takið eftir að formerkin voru eins og því varð kvótinn jákvæður.

Einföldun stæðna með heiltölum

Nú einföldum við stæður sem nota allar fjórar reikniaðgerðirnar með heiltölum: samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu. Munið að fylgja forgangsröð reikniaðgerða.

Dæmi 3.51

Einfaldið:7⁢(−2)+4⁢(−7)−6. $Einfaldið: 7 (−2) + 4 (−7) - 6 .$

Lausn

Við fylgjum forgangsröð reikniaðgerða. Margfaldið fyrst. Leggið síðan saman og dragið frá í röð frá vinstri til hægri.

	7 ⁢ ( − 2 ) + 4 ⁢ ( − 7 ) ⁢ − 6 7 ⁢ ( −2 ) + 4 ⁢ ( −7 ) ⁢ −6
Margfaldið fyrst.	− 1 4 + ( − 2 8 ) ⁢ − 6 −14 + ( −28 ) ⁢ −6
Leggið saman.	− 4 2 − 6 −42 − 6
Dragið frá.	− 4 8 −48

Dæmi 3.52

Einfaldið:

ⓐ (−2)₄ ${(−2)}^{4}$
ⓑ −24 ${−2}^{4}$

Lausn

Veldisvísirinn segir til um hve oft veldisstofninn kemur fyrir sem þáttur.

ⓐ Veldisvísirinn er $4$ og veldisstofninn er $−2 .$ Við hefjum $−2$ upp í fjórða veldi.

	( − 2 ) 4 ( −2 ) 4
Skrifið sem margfeldi jafnra þátta.	( − 2 ) ⁢ ( − 2 ) ⁢ ( − 2 ) ⁢ ( − 2 ) ( −2 ) ⁢ ( −2 ) ⁢ ( −2 )
Margfaldið.	4 ⁢ ( − 2 ) ⁢ ( − 2 ) 4 ⁢ ( −2 )
Margfaldið.	− 8 ⁢ ( − 2 ) − 8 ⁢ ( −2 )
Margfaldið.	1 6 16

ⓑ Veldisvísirinn er $4$ og veldisstofninn er $2 .$ Við hefjum $2$ upp í fjórða veldi og finnum síðan samlagningarandhverfuna.

	− 2 4
Skrifið sem margfeldi jafnra þátta.	− ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )
Margfaldið.	− ( 4 ⋅ 2 ⋅ 2 )
Margfaldið.	− ( 8 ⋅ 2 )
Margfaldið.	− 1 6 − 16

Dæmi 3.53

Einfaldið:12−3⁢(9−12). $Einfaldið: 12 - 3 (9 - 12) .$

Lausn

Samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða einföldum við fyrst innan sviga. Síðan margföldum við og að lokum drögum við frá.

	1 2 − 3 ⁢ ( 9 − 1 2 ) 12 − 3 ⁢ ( 9 − 12 )
Dragið fyrst frá innan sviga.	1 2 − 3 ⁢ ( − 3 ) 12 − 3 ⁢ ( −3 )
Margfaldið.	1 2 − ( − 9 ) 12 − ( −9 )
Dragið frá.	2 1 21

Dæmi 3.54

Einfaldið: 8⁢(−9)÷(−2)₃. $8 (−9) \div {(−2)}^{3} .$

Lausn

Við reiknum veldið fyrst og margföldum og deilum síðan.

	8 ⁢ ( − 9 ) ÷ ( − 2 ) 3 8 ⁢ ( −9 ) ÷ ( −2 ) 3
Einfaldið veldisvísinn.	8 ⁢ ( − 9 ) ÷ ( − 8 ) 8 ⁢ ( −9 ) ÷ ( −8 )
Margfaldið.	− 7 2 ÷ ( − 8 ) −72 ÷ ( −8 )
Deilið.	9 9

Dæmi 3.55

Einfaldið:−30÷2+(−3)⁢(−7). $Einfaldið: −30 \div 2 + (−3) (−7) .$

Lausn

Fyrst margföldum við og deilum frá vinstri til hægri. Síðan leggjum við saman.

	− 3 0 ÷ 2 + ( − 3 ) ⁢ ( − 7 ) −30 ÷ 2 + ( −3 ) ⁢ ( −7 )
Deilið.	− 1 5 + ( − 3 ) ⁢ ( − 7 ) −15 + ( −3 ) ⁢ ( −7 )
Margfaldið.	− 1 5 + 2 1 −15 + 21
Leggið saman.	6 6

Gildi breytustæða með heiltölum

Nú getum við fundið gildi stæða sem fela í sér margföldun og deilingu heiltalna. Munið að til að finna gildi stæðu setjið þið tölur í stað breytanna og einfaldar síðan stæðuna.

Dæmi 3.56

Finnið gildi2⁢𝑥2−3⁢𝑥+8þegar𝑥=−4. $Finnið gildi 2 x^{2} - 3 x + 8 þegar x = −4 .$

Lausn



Reiknið veldin.
Margfaldið.
Dragið frá.
Leggið saman.

Hafið í huga að þegar við setjum $−4$ í stað $x,$ notum við sviga til að sýna margföldunina. Án sviga liti stæðan út eins og $2 \cdot {−4}^{2} - 3 \cdot −4 + 8 .$

Dæmi 3.57

Finnið gildi3⁢𝑥+4⁢𝑦−6þegar𝑥=−1og 𝑦=2. $Finnið gildi 3 x + 4 y - 6 þegar x = −1 og y = 2 .$

Lausn


Setjið x = −1 og y = 2 inn í stæðuna.
Margfaldið.
Einfaldið.

Þýðing orðasambanda yfir á algebrustæður

Aðferðirnar sem við höfum notað til að þýða orðalag yfir á algebrustæður gilda einnig um orðasambönd sem fela í sér bæði margföldun og deilingu heiltalna. Munið að lykilorð margföldunar er margfeldi og lykilorð deilingar er kvóti.

Dæmi 3.58

Þýðið yfir á algebrustæðu og einfaldið ef hægt er: margfeldi $−2$ og $14 .$

Lausn

Orðið margfeldi segir okkur að margfalda.

	margfeldi −2 og 14
Þýðið.	( − 2 ) ⁢ ( 1 4 ) ( −2 ) ⁢ ( 14 )
Einfaldið.	− 2 8 −28

Dæmi 3.59

Þýðið yfir á algebrustæðu og einfaldið ef hægt er: kvóti $−56$ og $−7 .$

Lausn

Orðið kvóti segir okkur að deila.

	kvóti −56 og −7
Þýðið.	− 5 6 ÷ ( − 7 ) −56 ÷ ( −7 )
Einfaldið.	8 8

Æfingar í hluta 3.4

Æfingin skapar meistarann

Margföldun heiltalna

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda hvert par heiltalna.

211.

−4·8 $−4 \cdot 8$

212.

−3·9 $−3 \cdot 9$

213.

−5⁢(7) $−5 (7)$

214.

−8⁢(6) $−8 (6)$

215.

−18⁢(−2) $−18 (−2)$

216.

−10⁢(−6) $−10 (−6)$

217.

9⁢(−7) $9 (−7)$

218.

13⁢(−5) $13 (−5)$

219.

−1·6 $−1 \cdot 6$

220.

−1·3 $−1 \cdot 3$

221.

−1⁢(−14) $−1 (−14)$

222.

−1⁢(−19) $−1 (−19)$

Deiling heiltalna

Deilið í eftirfarandi æfingum.

223.

−24÷6 $−24 \div 6$

224.

−28÷7 $−28 \div 7$

225.

56÷(−7) $56 \div (−7)$

226.

35÷(−7) $35 \div (−7)$

227.

−52÷(−4) $−52 \div (−4)$

228.

−84÷(−6) $−84 \div (−6)$

229.

−180÷15 $−180 \div 15$

230.

−192÷12 $−192 \div 12$

231.

49÷(−1) $49 \div (−1)$

232.

62÷(−1) $62 \div (−1)$

Einföldun stæðna með heiltölum

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

233.

5⁢(−6)+7⁢(−2)⁢−3 $5 (−6) + 7 (−2) −3$

234.

8⁢(−4)+5⁢(−4)⁢−6 $8 (−4) + 5 (−4) −6$

235.

−8⁢(−2)⁢−3⁢(−9) $−8 (−2) −3 (−9)$

236.

−7⁢(−4)⁢−5⁢(−3) $−7 (−4) −5 (−3)$

237.

(−5)₃ ${(−5)}^{3}$

238.

(−4)₃ ${(−4)}^{3}$

239.

(−2)₆ ${(−2)}^{6}$

240.

(−3)₅ ${(−3)}^{5}$

241.

−42 $- 4^{2}$

242.

−62 $- 6^{2}$

243.

−3⁢(−5)⁢(6) $−3 (−5) (6)$

244.

−4⁢(−6)⁢(3) $−4 (−6) (3)$

245.

−4·2·11 $−4 \cdot 2 \cdot 11$

246.

−5·3·10 $−5 \cdot 3 \cdot 10$

247.

(8−11)⁢(9−12) $(8 - 11) (9 - 12)$

248.

(6−11)⁢(8−13) $(6 - 11) (8 - 13)$

249.

26−3⁢(2−7) $26 - 3 (2 - 7)$

250.

23−2⁢(4−6) $23 - 2 (4 - 6)$

251.

−10⁢(−4)÷(−8) $−10 (−4) \div (−8)$

252.

−8⁢(−6)÷(−4) $−8 (−6) \div (−4)$

253.

65÷(−5)+(−28)÷(−7) $65 \div (−5) + (−28) \div (−7)$

254.

52÷(−4)+(−32)÷(−8) $52 \div (−4) + (−32) \div (−8)$

255.

9−2⁢[3−8⁢(−2)] $9 - 2 [3 - 8 (−2)]$

256.

11−3⁢[7−4⁢(−2)] $11 - 3 [7 - 4 (−2)]$

257.

(−3)₂⁢−24÷(8−2) ${(−3)}^{2} −24 \div (8 - 2)$

258.

(−4)₂−32÷(12−4) ${(−4)}^{2} - 32 \div (12 - 4)$

Gildi breytustæða með heiltölum

Finnið gildi hverrar stæðu í eftirfarandi verkefnum.

259.

−2⁢𝑥 +17 þegar $−2 x + 17 þegar$

ⓐ 𝑥 =8 $x = 8$
ⓑ 𝑥 =−8 $x = −8$

260.

−5⁢𝑦 +14 þegar $−5 y + 14 þegar$

ⓐ 𝑦 =9 $y = 9$
ⓑ 𝑦 =−9 $y = −9$

261.

10 −3⁢𝑚 þegar $10 - 3 m þegar$

ⓐ 𝑚 =5 $m = 5$
ⓑ 𝑚 =−5 $m = −5$

262.

18 −4⁢𝑛 þegar $18 - 4 n þegar$

ⓐ 𝑛 =3 $n = 3$
ⓑ 𝑛 =−3 $n = −3$

263.

𝑝2−5⁢𝑝+5þegar𝑝=−1 $p^{2} - 5 p + 5 þegar p = −1$

264.

$q^{2} - 2 q + 9$ þegar $q = −2$

265.

$2 w^{2} - 3 w + 7$ þegar $w = −2$

266.

$3 u^{2} - 4 u + 5$ þegar $u = −3$

267.

$6 x - 5 y + 15$ þegar $x = 3$ og $y = −1$

268.

$3 p - 2 q + 9$ þegar $p = 8$ og $q = −2$

269.

$9 a - 2 b - 8$ þegar $a = −6$ og $b = −3$

270.

$7 m - 4 n - 2$ þegar $m = −4$ og $n = −9$

Þýðing orðasambanda yfir á algebrustæður

Þýðið yfir í algebrustæðu í eftirfarandi verkefnum og einföldið ef hægt er.

271.

Margfeldi $−3$ og 15

272.

Margfeldi $−4$ og $16$

273.

Kvóti $−60$ og $−20$

274.

Kvóti $−40$ og $−20$

275.

Kvóti $−6$ og summunnar af $a$ og $b$

276.

Kvóti $−7$ og summunnar af $m$ og $n$

277.

Margfeldi $−10$ og mismunar $p og q$

278.

Margfeldi $−13$ og mismunar $c og d$

Stærðfræði daglegs lífs

279.

Hlutabréfamarkaður Javier á $300$ hluti í einu fyrirtæki. Á þriðjudegi lækkaði verð hlutabréfanna um $$12$ á hlut. Hver voru heildaráhrifin á verðbréfasafn hans?

280.

Þyngdartap Fyrstu vikuna í megrun misstu átta konur að meðaltali $3 pund$ hver. Hver var heildarbreytingin á þyngd kvennanna átta?

Ritunarverkefni

281.

Lýsið reglunum um margföldun tveggja heiltalna með eigin orðum.

282.

Lýsið reglunum um deilingu tveggja heiltalna með eigin orðum.

283.

Hvers vegna er ${−2}^{4} \neq {(−2)}^{4} ?$

284.

Hvers vegna er ${−4}^{2} \neq {(−4)}^{2} ?$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni kaflans í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?