99 Rætur og rótarstæður

9.1 Einfaldið og notið ferningsrætur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Einfaldað stæður með ferningsrótum
Áætlað ferningsrætur
Fundið nálgunargildi ferningsróta
Einfaldað breytustæður með ferningsrótum

Einfaldið stæður með ferningsrótum

Mu $n$ ið að þegar tala n er margfölduð með sjálfri sér ritum við $n^{2}$ og lesum „n í öðru veldi“. Til dæmis er $15^{2}$ lesið „15 í öðru veldi“ og 225 kallast ferningur 15 þar sem $15^{2} = 225$ .

Stundu $m$ þurfu $m$ við að skoða samband talna og ferninga þeirra í öfuga átt. Þar sem 225 er ferningur 15 getum við einnig sagt að 15 sé ferningsrót 225. Tala sem hefur ferninginn m kallast ferningsrót m.

Takið einnig eftir ${(−15)}^{2} = 225$ , svo $−15$ er einnig ferningsrót af 225. Því eru bæði 15 og $−15$ ferningsrætur af 225.

Sérhver jákvæð tala hefur því tvær ferningsrætur, aðra jákvæða og hina neikvæða. En hvað ef við vilju $\sqrt{m}$ aðeins jákvæðu ferningsrót jákvæðrar tölu? Rótarmerkið m táknar jákvæðu ferningsrótina, það er þá ferningsrót sem rótarmerkið táknar.

Við notum rótarmerkið einnig fyrir ferningsrót núlls. Þar sem $0^{2} = 0$ er $\sqrt{0} = 0$ . Takið eftir að núll hefur aðeins eina ferningsrót.

Þar sem 15 er jákvæða ferningsrótin af 225 ritum við $\sqrt{225} = 15$ . Fyllið inn í mynd 9.2 til að útbúa töflu yfir ferningsrætur sem þið getið stuðst við í þessum kafla.

Taflan hefur fimmtán dálka og tvær raðir. Í fyrstu röðinni eru ferningsrótin af 1, ferningsrótin af 4, ferningsrótin af 9, ferningsrótin af 16, ferningsrótin af 25, ferningsrótin af 36, ferningsrótin af 49, ferningsrótin af 64, ferningsrótin af 81, ferningsrótin af 100, ferningsrótin af 121, ferningsrótin af 144, ferningsrótin af 169, ferningsrótin af 196 og ferningsrótin af 225. Önnur röðin er alveg auð nema síðasti dálkurinn. Talan 15 er í síðasta dálkinum.

Við vitum að sérhver jákvæð tala hefur tvær ferningsrætur og að rótarmerkið táknar þá jákvæðu. Við ritum $\sqrt{225} = 15$ . Ef við viljum finna neikvæðu ferningsrót tölu setjum við mínusmerki fyrir framan rótarmerkið. Til dæmis $− \sqrt{225} = −15$ .

Dæmi 9.1

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{36}$ ⓑ $\sqrt{196}$ ⓒ $− \sqrt{81}$ ⓓ $− \sqrt{289}$ .

Lausn

ⓐ

	36
Þar sem 6 2 = 36	6

ⓑ

	196
Þar sem 14 2 = 196	14

ⓒ

	− 81
Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.	−9

ⓓ

	− 289
Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.	−17

Dæmi 9.2

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{−169}$ ⓑ $− \sqrt{64}$ .

Lausn

ⓐ

	−169
Engin rauntala hefur ferninginn −169.	−169 er ekki rauntala.

ⓑ

	− 64
Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.	−8

Þegar við einföldum stæðu með ferningsrótum samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða lítum við á rótarmerkið sem flokkunartákn.

Dæmi 9.3

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{25} + \sqrt{144}$ ⓑ $\sqrt{25 + 144}$ .

Lausn

ⓐ

	25 + 144
Notið forgangsröð reikniaðgerða.	5 + 12
Einfaldið.	17

ⓑ

	25 + 144
Einfaldið undir rótarmerkinu.	169
Einfaldið.	13
Takið eftir að svörin í liðum ⓐ og ⓑ eru ólík!

Áætlið ferningsrætur

Hingað til höfum við aðeins skoðað ferningsrætur ferningstalna. Ferningsrætur annarra talna eru ekki núll eða jákvæðar heiltölur. Skoðið töflu 9.1 hér fyrir neðan.

Tala	Ferningsrót
4	4 = 2
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9 = 3

Ferningsrætur talna milli 4 og 9 hljóta að liggja milli samliggjandi talnanna 2 og 3, sem eru núll eða jákvæðar heiltölur, en ræturnar sjálfar eru það ekki. Af mynstrinu í töflunni hér að ofan má álykta að $\sqrt{5}$ hljóti að liggja milli 2 og 3. Með ójöfnumerkjum ritum við:

2 < \sqrt{5} < 3

Dæmi 9.4

Áætlið $\sqrt{60}$ milli tveggja samliggjandi talna sem eru núll eða jákvæðar heiltölur.

Lausn

Finnið ferningstölurnar sem eru næst 60. Gerið litla töflu yfir þessar ferningstölur og ferningsrætur þeirra.


Staðsetjið 60 milli tveggja samliggjandi ferningstalna.
60 liggur milli ferningsróta þeirra.

Finnið nálgunargildi ferningsróta

Til eru stærðfræðilegar aðferðir til að finna nálgunargildi ferningsróta en nú á dögum nota flestir reiknivél. Finnið $\sqrt{x}$ -hnappinn á reiknivélinni. Þið notið hann til að finna nálgunargildi ferningsróta.

Þegar þið notið reiknivél til að finna ferningsrót tölu sem er ekki ferningstala er svarið sem birtist ekki nákvæmt gildi ferningsrótarinnar. Það er nálgunargildi með jafnmörgum réttum tölustöfum og skjár reiknivélarinnar sýnir. Táknið fyrir nálgun er $\approx$ og það er lesið „um það bil jafnt og“.

Gerum ráð fyrir að reiknivélin hafi skjá sem sýnir 10 tölustafi. Þá sjáum við að

\sqrt{5} \approx 2.236067978

Ef við vildum námunda $\sqrt{5}$ að tveimur aukastöfum myndum við segja

\sqrt{5} \approx 2.24

Hvernig vitum við að þessi gildi eru nálgunargildi en ekki nákvæm gildi? Skoðum hvað gerist þegar þau eru sett í annað veldi:

\begin{matrix} {(2.236067978)}^{2} & = & 5.000000002 \\ {(2.24)}^{2} & = & 5.0176 \end{matrix}

Ferningar þeirra eru nálægt 5 en eru ekki nákvæmlega jafnir 5.

Með ferningsrótarhnappi reiknivélar og námundun að tveimur aukastöfum fáum við:

\begin{matrix} \sqrt{4} & = & 2 \\ \sqrt{5} & \approx & 2.24 \\ \sqrt{6} & \approx & 2.45 \\ \sqrt{7} & \approx & 2.65 \\ \sqrt{8} & \approx & 2.83 \\ \sqrt{9} & = & 3 \end{matrix}

Dæmi 9.5

Námundið $\sqrt{17}$ að tveimur aukastöfum.

Lausn

	17
Notið ferningsrótarhnapp reiknivélarinnar.	4.123105626...
Námundið að tveimur aukastöfum.	4.12
	17 ≈ 4.12

Einfaldið breytustæður með ferningsrótum

Hvað ef við þurfum að finna ferningsrót stæðu með breytu? Skoðum $\sqrt{9 x^{2}}$ . Getið þið fundið stæðu sem hefur ferninginn $9 x^{2}$ ?

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2}, & því \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

Þegar við notum rótarmerki til að finna ferningsrót breytustæðu þurfum við að gera ráð fyrir að $x \geq 0$ svo niðurstaðan sé jákvæða ferningsrótin.

Í þessum kafla gerum við þó ráð fyrir að allar breytur í ferningsrótarstæðum tákni óneikvæðar tölur og ritum því ekki $x \geq 0$ við hvert rótarmerki.

En hvað með ferningsrætur hærri velda breytna? Hugsum um regluna um veldi af veldi sem við notuðum í 6. kafla.

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Þegar við setjum $a^{m}$ í annað veldi verður veldisvísirinn $2 m$ .

{(a^{m})}^{2} = a^{2 m}

Hvernig hjálpar þetta okkur að finna ferningsrætur? Skoðum nokkur dæmi:

\begin{matrix} \sqrt{25 u^{8}} = 5 u^{4} & þar sem {(5 u^{4})}^{2} = 25 u^{8} \\ \sqrt{16 r^{20}} = 4 r^{10} & þar sem {(4 r^{10})}^{2} = 16 r^{20} \\ \sqrt{196 q^{36}} = 14 q^{18} & þar sem {(14 q^{18})}^{2} = 196 q^{36} \end{matrix}

Dæmi 9.6

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{x^{6}}$ ⓑ $\sqrt{y^{16}}$ .

Lausn

ⓐ

	x 6
Þar sem ( x³ ) 2 = x⁶ .	x 3

ⓑ

	y 16
Þar sem ( y⁸ ) 2 = y¹⁶ .	y 8

Dæmi 9.7

Einfaldið: $\sqrt{16 n^{2}}$ .

Lausn

	16 n 2
Þar sem ( 4 n ) 2 = 16 n² .	4 n

Dæmi 9.8

Einfaldið: $− \sqrt{81 c^{2}}$ .

Lausn

	− 81 c²
Þar sem ( 9 c ) 2 = 81 c² .	−9 c

Dæmi 9.9

Einfaldið: $\sqrt{36 x^{2} y^{2}}$ .

Lausn

	36 x 2 y 2
Þar sem ( 6 x y ) 2 = 36 x² y² .	6 x y

Dæmi 9.10

Einfaldið: $\sqrt{64 p^{64}}$ .

Lausn

	64 p 64
Þar sem ( 8 p³² ) 2 = 64 p⁶⁴ .	8 p 32

Dæmi 9.11

Einfaldið: $\sqrt{121 a^{6} b^{8}}$

Lausn

	121 a 6 b 8
Þar sem ( 11 a³ b⁴ ) 2 = 121 a⁶ b⁸ .	11 a 3 b 4

Verkefni úr hluta 9.1

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með ferningsrótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

$\sqrt{36}$

$\sqrt{4}$

$\sqrt{64}$

$\sqrt{169}$

$\sqrt{9}$

$\sqrt{16}$

$\sqrt{100}$

$\sqrt{144}$

$− \sqrt{4}$

10.

$− \sqrt{100}$

11.

$− \sqrt{1}$

12.

$− \sqrt{121}$

13.

$\sqrt{−121}$

14.

$\sqrt{−36}$

15.

$\sqrt{−9}$

16.

$\sqrt{−49}$

17.

$\sqrt{9 + 16}$

18.

$\sqrt{25 + 144}$

19.

$\sqrt{9} + \sqrt{16}$

20.

$\sqrt{25} + \sqrt{144}$

Áætlið ferningsrætur

Áætlið hverja ferningsrót milli tveggja samliggjandi talna sem eru núll eða jákvæðar heiltölur í eftirfarandi verkefnum.

21.

$\sqrt{70}$

22.

$\sqrt{55}$

23.

$\sqrt{200}$

24.

$\sqrt{172}$

Finnið nálgunargildi ferningsróta

Finnið nálgunargildi hverrar ferningsrótar og námundið að tveimur aukastöfum í eftirfarandi verkefnum.

25.

$\sqrt{19}$

26.

$\sqrt{21}$

27.

$\sqrt{53}$

28.

$\sqrt{47}$

Einfaldið breytustæður með ferningsrótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

29.

$\sqrt{y^{2}}$

30.

$\sqrt{b^{2}}$

31.

$\sqrt{a^{14}}$

32.

$\sqrt{w^{24}}$

33.

$\sqrt{49 x^{2}}$

34.

$\sqrt{100 y^{2}}$

35.

$\sqrt{121 m^{20}}$

36.

$\sqrt{25 h^{44}}$

37.

$\sqrt{81 x^{36}}$

38.

$\sqrt{144 z^{84}}$

39.

$− \sqrt{81 x^{18}}$

40.

$− \sqrt{100 m^{32}}$

41.

$− \sqrt{64 a^{2}}$

42.

$− \sqrt{25 x^{2}}$

43.

$\sqrt{144 x^{2} y^{2}}$

44.

$\sqrt{196 a^{2} b^{2}}$

45.

$\sqrt{169 w^{8} y^{10}}$

46.

$\sqrt{81 p^{24} q^{6}}$

47.

$\sqrt{9 c^{8} d^{12}}$

48.

$\sqrt{36 r^{6} s^{20}}$

Stærðfræði í daglegu lífi

49.

Flísalögn Denise vill hafa ferningslaga skrautflöt úr skrautflísum í nýju sturtunni sinni. Hún hefur efni á að kaupa 625 fersentímetra af flísunum. Hve löng getur hlið skrautflatarins verið?

50.

Flísalögn Morris vill fella ferningslaga mósaík í nýju veröndina sína. Fjárhagsáætlunin leyfir 2025 fertommur af flísum. Hve löng getur hlið mósaíksins verið?

Ritunarverkefni

51.

Hvers vegna er engin rauntala jöfn $\sqrt{−64}$ ?

52.

Hver er munurinn á $9^{2}$ og $\sqrt{9}$ ?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjóra dálka og fimm raðir. Dálkarnir heita „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Undir „Ég get …“ stendur „einfaldað stæður með ferningsrótum“, „áætlað ferningsrætur“, „fundið nálgunargildi ferningsróta“ og „4) einfaldað breytustæður með ferningsrótum“. Allir aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni kaflans í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?