99 Rætur og rótarstæður

9.6 Leysið jöfnur með ferningsrótum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Leyst rótarjöfnur
Notað ferningsrætur í hagnýtum verkefnum

Leysið rótarjöfnur

Í þessum hluta leysum við jöfnur þar sem breytan er í rótarstofni ferningsrótar. Jöfnur af þessari gerð kallast rótarjöfnur.

Þegar þessar jöfnur eru leystar þarf, eins og venjulega, að gera sömu aðgerð við báðar hliðar jöfnunnar. Þar sem það að hefja stærð í annað veldi og taka ferningsrót eru andhverfar reikniaðgerðir hefjum við báðar hliðar í annað veldi til að fjarlægja rótarmerkið og einangra breytuna undir því.

Munið þó að þegar við $\sqrt{a}$ skrifum a eigum við við jákvæðu $\sqrt{a} \geq 0$ ferningsrótina. Því er a ≥ 0 alltaf. Þegar rótarjafna er leyst með því að hefja báðar hliðar $\sqrt{a}$ í annað veldi getur fengist algebruleg lausn sem gerir a neikvætt. Slík algebruleg lausn er ekki lausn upphaflegu rótarjöfnunnar heldur aukalausn. Við sáum einnig aukalausnir þegar við leystum ræðar jöfnur.

Dæmi 9.74

Fyrir jöfnuna $\sqrt{x + 2} = x$ :

ⓐ Er $x = 2$ lausn? ⓑ Er $x = −1$ lausn?

Lausn

ⓐ Er $x = 2$ lausn?


Látum x = 2.
Einfaldið.

	2 er lausn.

ⓑ Er $x = −1$ lausn?


Látum x = −1.
Einfaldið.

	−1 er ekki lausn.
	−1 er aukalausn jöfnunnar.

Nú skoðum við hvernig rótarjafna er leyst. Aðferðin byggist á tengslunum milli þess að taka ferningsrót og hefja í annað veldi.

Fyrir a \geq 0, {(\sqrt{a})}^{2} = a

Dæmi 9.75

Hvernig leysa á rótarjöfnur

Leysið: $\sqrt{2 x - 1} = 7$ .

Lausn

Taflan hefur þrjá dálka og fjórar raðir. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1. Einangrið rótarstæðuna öðrum megin í jöfnunni. Ferningsrótin af (2x mínus 1) er þegar einangruð vinstra megin.“ Síðan er sýnt að ferningsrótin af (2x mínus 1) jafngildir 7.

Í annarri röð stendur: „Skref 2. Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi. Munið að ferningsrót í öðru veldi er upphaflega talan.“ Síðan er sýnt að ferningsrótin af (2x mínus 1) í öðru veldi jafngildir 7 í öðru veldi.

Í þriðju röð stendur: „Skref 3. Leysið nýju jöfnuna.“ Þar kemur fram að 2x mínus 1 er jafnt og 49 eða að 2x er jafnt og 50, sem merkir að x er jafnt og 25.

Í fjórðu röð stendur: „Skref 4. Sannreynið svarið. Sannreyning:“ Þar kemur fram að ferningsrótin af (2x mínus 1) jafngildir 7. Þá er 2 sinnum 25 sett inn og stæðan einfölduð í áföngum með 1, 7, 50, 1, 7, 49, 7, 7 og 7. Að lokum stendur: „Lausnin er x = 25.“

Dæmi 9.76

Leysið: $\sqrt{5 n - 4} - 9 = 0$ .

Lausn


Til að einangra rótarstæðuna leggjum við 9 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.
Leysið nýju jöfnuna.


Sannreynið svarið.

	Lausnin er n = 17.

Dæmi 9.77

Leysið: $\sqrt{3 y + 5} + 2 = 5$ .

Lausn


Til að einangra rótarstæðuna drögum við 2 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.
Leysið nýju jöfnuna.


Sannreynið svarið.

	Lausnin er y = $\frac{4}{3}$ .

Þegar rótarmerki er notað er átt við jákvæðu ferningsrótina. Ef ferningsrót er jöfn neikvæðri tölu hefur jafnan enga lausn.

Dæmi 9.78

Leysið: $\sqrt{9 k - 2} + 1 = 0$ .

Lausn


Til að einangra rótarstæðuna drögum við 1 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Þar sem ferningsrótin er jöfn neikvæðri tölu hefur jafnan enga lausn.

Ef önnur hlið jöfnunnar er tvíliður notum við ferningsreglu tvíliða þegar hún er hafin í annað veldi.

Ekki gleyma miðliðnum!

Dæmi 9.79

Leysið: $\sqrt{p - 1} + 1 = p$ .

Lausn


Til að einangra rótarstæðuna drögum við 1 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.
Einfaldið og leysið síðan nýju jöfnuna.
Þetta er annars stigs jafna, svo fáið núll öðrum megin.
Þáttið hægri hliðina.
Notið núllmargfeldisregluna.
Leysið hvora jöfnu.
Athugið svörin.

	Lausnirnar eru p = 1 og p = 2.

Dæmi 9.80

Leysið: $\sqrt{r + 4} - r + 2 = 0$ .

Lausn

	r + 4 − r + 2 = 0
Einangrið rótarstæðuna.	r + 4 = r − 2
Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.	( r + 4 ) 2 = ( r − 2 ) 2
Leysið nýju jöfnuna.	r + 4 = r² − 4 r + 4
Þetta er annars stigs jafna, svo fáið núll öðrum megin.	0 = r² − 5 r
Þáttið hægri hliðina.	0 = r ( r − 5 )
Notið núllmargfeldisregluna.	0 = r⁰ = r − 5
Leysið jöfnuna.	r = 0 r = 5
Sannreynið svarið.
	Lausnin er r = 5.
	r = 0 er aukalausn.

Þegar stuðull er fyrir framan rótarstæðuna verðum við einnig að hefja hann í annað veldi.

Dæmi 9.81

Leysið: $3 \sqrt{3 x - 5} - 8 = 4$ .

Lausn

	3 3 x − 5 − 8 = 4
Einangrið rótarstæðuna.	3 3 x − 5 = 12
Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.	( 3 3 x − 5 ) 2 = ( 12 ) 2
Einfaldið og leysið síðan nýju jöfnuna.	9 ( 3 x − 5 ) = 144
Margfaldið inn í svigann.	27 x − 45 = 144
Leysið jöfnuna.	27 x = 189
	x = 7
Sannreynið svarið.
	Lausnin er x = 7.

Dæmi 9.82

Leysið: $\sqrt{4 z - 3} = \sqrt{3 z + 2}$ .

Lausn

	4 z − 3 = 3 z + 2
Rótarliðirnir eru einangraðir.	4 z − 3 = 3 z + 2
Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.	( 4 z − 3 ) 2 = ( 3 z + 2 ) 2
Einfaldið og leysið síðan nýju jöfnuna.	4 z − 3 = 3 z + 2 z − 3 = 2 z = 5
Sannreynið svarið.
Við látum ykkur eftir að sýna að 5 stenst athugunina!	Lausnin er z = 5 .. z = 5 .

Stundum er breyta enn undir rótarmerki eftir að báðar hliðar jöfnu hafa verið hafnar í annað veldi. Þá endurtökum við skref 1 og skref 2 í aðferðinni. Við einangrum rótarstæðuna og hefjum báðar hliðar jöfnunnar aftur í annað veldi.

Dæmi 9.83

Leysið: $\sqrt{m} + 1 = \sqrt{m + 9}$ .

Lausn

	m + 1 = m + 9
Rótarstæðan hægra megin er einangruð. Hefjið báðar hliðar í annað veldi.	( m + 1 ) 2 = ( m + 9 ) 2
Einfaldið og gætið sérstakrar nákvæmni við margföldunina!	m + 2 m + 1 = m + 9
Enn er rótarstæða í jöfnunni og því verðum við að endurtaka síðustu skref. Einangrið rótarstæðuna.	2 m = 8
Hefjið báðar hliðar í annað veldi.	( 2 m ) 2 = ( 8 ) 2
Einfaldið og leysið síðan nýju jöfnuna.	4 m = 64
	m = 16
	Sannreynið svarið.
Við látum ykkur eftir að sýna að m = 16 stenst athugunina!	Lausnin er m = 16 .. m = 16 .

Dæmi 9.84

Leysið: $\sqrt{q - 2} + 3 = \sqrt{4 q + 1}$ .

Lausn

	q − 2 + 3 = 4 q + 1
Rótarstæðan hægra megin er einangruð. Hefjið báðar hliðar í annað veldi.	( q − 2 + 3 ) 2 = ( 4 q + 1 ) 2
Einfaldið.	q − 2 + 6 q − 2 + 9 = 4 q + 1
Enn er rótarstæða í jöfnunni og því verðum við að endurtaka síðustu skref. Einangrið rótarstæðuna.	6 q − 2 = 3 q − 6
Hefjið báðar hliðar í annað veldi.	( 6 q − 2 ) 2 = ( 3 q − 6 ) 2
Einfaldið og leysið síðan nýju jöfnuna.	36 ( q − 2 ) = 9 q² − 36 q + 36
Margfaldið inn í svigann.	36 q − 72 = 9 q² − 36 q + 36
Þetta er annars stigs jafna, svo fáið núll öðrum megin.	0 = 9 q² − 72 q + 108
Þáttið hægri hliðina.	0 = 9 ( q² − 8 q + 12 )
	0 = 9 ( q − 6 ) ( q − 2 )
Notið núllmargfeldisregluna.	q − 6 = 0 q − 2 = 0 q = 6 q = 2
Við látum ykkur eftir að athuga svörin. Báðar lausnirnar ættu að ganga upp.	Lausnirnar eru q = 6 og q = 2.

Notið ferningsrætur í hagnýtum verkefnum

Eftir því sem þið haldið áfram í námi rekist þið á formúlur með ferningsrótum í mörgum greinum. Við höfum þegar notað formúlur til að leysa rúmfræðiverkefni.

Við notum verkefnalausnaraðferðina fyrir rúmfræðiverkefni, með lítils háttar breytingum, sem leiðarvísi við lausn verkefna með formúlum úr hvaða fræðigrein sem er.

Við notuðum formúluna $A = L \cdot W$ til að finna flatarmál rétthyrnings með lengdina L og breiddina W. Ferningur er rétthyrningur þar sem lengd og breidd eru jafnar. Ef s táknar hliðarlengd fernings er flatarmál hans $s^{2}$ .

Myndin sýnir ferning þar sem tvær hliðar eru merktar s. Hún sýnir einnig að A er jafnt og s í öðru veldi.

Formúlan $A = s^{2}$ gefur flatarmál fernings ef hliðarlengdin er þekkt. En hvað ef við viljum finna hliðarlengdina út frá gefnu flatarmáli? Þá þurfum við að einangra s í jöfnunni.

$\begin{matrix} A = s^{2} \\ Takið ferningsrót beggja hliða. & \sqrt{A} = \sqrt{s^{2}} \\ Einfaldið. & \sqrt{A} = s \end{matrix}$

Við getum notað formúluna $s = \sqrt{A}$ til að finna hliðarlengd fernings út frá gefnu flatarmáli.

Við sýnum þetta í næsta dæmi.

Dæmi 9.85

Mike og Lychelle vilja leggja ferningslaga verönd. Þau eiga næga steypu til að þekja 200 ferfeta svæði. Notið formúluna $s = \sqrt{A}$ til að finna lengd hverrar hliðar verandarinnar. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr feti.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
	A = 200 ferfet
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	Hliðarlengd ferningslaga verandarinnar.
Skref 3. Nefnið stærðina sem leitað er að og veljið breytu sem táknar hana.	Látum s = the hliðarlengd.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu með því að skrifa viðeigandi formúlu eða líkan. Setjið gefnar upplýsingar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Námundið að einum aukastaf.
Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.

Þetta er nægilega nálægt þar sem við námunduðum ferningsrótina. Er verönd með hliðarlengdina 14.1 fet raunhæf? Já.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.	Hver hlið verandarinnar ætti að vera 14.1 fet.

Önnur hagnýting ferningsróta tengist þyngdarafli.

Ef hlut er til dæmis sleppt úr 64 feta hæð getum við fundið tímann sem það tekur hann að ná jörðu með því að setja $h = 64$ inn í formúluna.



Takið ferningsrótina af 64.
Einfaldið brotið.

Það tæki hlut sem sleppt er úr 64 feta hæð 2 sekúndur að ná jörðu.

Dæmi 9.86

Christy missti sólgleraugun sín af brú sem er 400 fet yfir fljóti. Notið formúluna $t = \frac{\sqrt{h}}{4}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til gleraugun náðu fljótinu.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	Tíminn sem það tekur sólgleraugun að ná ánni.
Skref 3. Nefnið stærðina sem leitað er að og veljið breytu sem táknar hana.	Látum t = tími.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu með því að skrifa viðeigandi formúlu eða líkan fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.
Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
5 = 5 ✓
Virðast 5 sekúndur raunhæfur tími? Já.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.	Það tekur sólgleraugun 5 sekúndur að ná vatninu.

Lögreglumenn sem rannsaka bílslys mæla lengd hemlafara á vegyfirborðinu. Síðan nota þeir ferningsrætur til að ákvarða hraða bílsins í mílum á klukkustund áður en hemlað var.

Dæmi 9.87

Eftir bílslys mældust hemlaför eins bíls 190 fet. Notið formúluna $s = \sqrt{24 d}$ til að finna hraða bílsins áður en hemlað var. Námundið svarið að næsta tíunda hluta.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	Hraði bíls.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum s = the hraða.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu með því að skrifa viðeigandi formúlu.
Setjið gefnar upplýsingar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.

Námundið að 1 aukastaf.
Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið. 67.5 ≈ ? 24 ( 190 )₆₇.5 ≈ ? 456067.5 ≈ ? 67.5277...
Er hraðinn 67.5 mílur á klukkustund raunhæfur?	Já.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.	Hraði bílsins var um það bil 67.5 mílur á klukkustund.

Verkefni úr hluta 9.6

Æfingin skapar meistarann

Leysið rótarjöfnur

Athugið í eftirfarandi verkefnum hvort gefnu gildin séu lausnir.

389.

Fyrir jöfnuna $\sqrt{x + 12} = x$ : ⓐ Er $x = 4$ lausn? ⓑ Er $x = −3$ lausn?

390.

Fyrir jöfnuna $\sqrt{− y + 20} = y$ : ⓐ Er $y = 4$ lausn? ⓑ Er $y = −5$ lausn?

391.

Fyrir jöfnuna $\sqrt{t + 6} = t$ : ⓐ Er $t = −2$ lausn? ⓑ Er $t = 3$ lausn?

392.

Fyrir jöfnuna $\sqrt{u + 42} = u$ : ⓐ Er $u = −6$ lausn? ⓑ Er $u = 7$ lausn?

Leysið eftirfarandi verkefni.

393.

$\sqrt{5 y + 1} = 4$

394.

$\sqrt{7 z + 15} = 6$

395.

$\sqrt{5 x - 6} = 8$

396.

$\sqrt{4 x - 3} = 7$

397.

$\sqrt{2 m - 3} - 5 = 0$

398.

$\sqrt{2 n - 1} - 3 = 0$

399.

$\sqrt{6 v - 2} - 10 = 0$

400.

$\sqrt{4 u + 2} - 6 = 0$

401.

$\sqrt{5 q + 3} - 4 = 0$

402.

$\sqrt{4 m + 2} + 2 = 6$

403.

$\sqrt{6 n + 1} + 4 = 8$

404.

$\sqrt{2 u - 3} + 2 = 0$

405.

$\sqrt{5 v - 2} + 5 = 0$

406.

$\sqrt{3 z - 5} + 2 = 0$

407.

$\sqrt{2 m + 1} + 4 = 0$

408.

ⓐ $\sqrt{u - 3} + 3 = u$
ⓑ $\sqrt{x + 1} - x + 1 = 0$

409.

ⓐ $\sqrt{v - 10} + 10 = v$
ⓑ $\sqrt{y + 4} - y + 2 = 0$

410.

ⓐ $\sqrt{r - 1} - r = −1$
ⓑ $\sqrt{z + 100} - z + 10 = 0$

411.

ⓐ $\sqrt{s - 8} - s = −8$
ⓑ $\sqrt{w + 25} - w + 5 = 0$

412.

$3 \sqrt{2 x - 3} - 20 = 7$

413.

$2 \sqrt{5 x + 1} - 8 = 0$

414.

$2 \sqrt{8 r + 1} - 8 = 2$

415.

$3 \sqrt{7 y + 1} - 10 = 8$

416.

$\sqrt{3 u - 2} = \sqrt{5 u + 1}$

417.

$\sqrt{4 v + 3} = \sqrt{v - 6}$

418.

$\sqrt{8 + 2 r} = \sqrt{3 r + 10}$

419.

$\sqrt{12 c + 6} = \sqrt{10 - 4 c}$

420.

ⓐ $\sqrt{a} + 2 = \sqrt{a + 4}$
ⓑ $\sqrt{b - 2} + 1 = \sqrt{3 b + 2}$

421.

ⓐ $\sqrt{r} + 6 = \sqrt{r + 8}$
ⓑ $\sqrt{s - 3} + 2 = \sqrt{s + 4}$

422.

ⓐ $\sqrt{u} + 1 = \sqrt{u + 4}$
ⓑ $\sqrt{n - 5} + 4 = \sqrt{3 n + 7}$

423.

ⓐ $\sqrt{x} + 10 = \sqrt{x + 2}$
ⓑ $\sqrt{y - 2} + 2 = \sqrt{2 y + 4}$

424.

$\sqrt{2 y + 4} + 6 = 0$

425.

$\sqrt{8 u + 1} + 9 = 0$

426.

$\sqrt{a} + 1 = \sqrt{a + 5}$

427.

$\sqrt{d} - 2 = \sqrt{d - 20}$

428.

$\sqrt{6 s + 4} = \sqrt{8 s - 28}$

429.

$\sqrt{9 p + 9} = \sqrt{10 p - 6}$

Notið ferningsrætur í hagnýtum verkefnum

Leysið eftirfarandi verkefni. Námundið nálgunargildi að einum aukastaf.

430.

Garðrækt Reed vill hafa ferningslaga garðreit í bakgarðinum. Hann á næga moltu til að þekja 75 ferfeta svæði. Notið formúluna $s = \sqrt{A}$ til að finna lengd hverrar hliðar garðsins. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr feti.

431.

Garðrækt Vince vill leggja ferningslaga verönd í garðinum. Hann á næga steypu til að þekja 130 ferfeta svæði. Notið formúluna $s = \sqrt{A}$ til að finna lengd hverrar hliðar verandarinnar. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr feti.

432.

Þyngdarafl Renee var að setja upp hátíðarskraut og missti ljósaperu frá toppi 64 feta hás trés. Notið formúluna $t = \frac{\sqrt{h}}{4}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til peran náði jörðu.

433.

Þyngdarafl Flugvél sleppti blysi úr 1024 feta hæð yfir stöðuvatni. Notið formúluna $t = \frac{\sqrt{h}}{4}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til blysið náði vatninu.

434.

Þyngdarafl Svifdrekaflugmaður missti farsímann sinn úr 350 feta hæð. Notið formúluna $t = \frac{\sqrt{h}}{4}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til síminn náði jörðu.

435.

Þyngdarafl Byggingarverkamaður missti hamar meðan hann vann við útsýnispallinn yfir Miklagljúfur, 4000 fetum yfir Colorado-ánni. Notið formúluna $t = \frac{\sqrt{h}}{4}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til hamarinn náði ánni.

436.

Slysarannsókn Hemlaför bíls sem lenti í slysi mældust 54 fet. Notið formúluna $s = \sqrt{24 d}$ til að finna hraða bílsins áður en hemlað var. Námundið svarið að næsta tíunda hluta.

437.

Slysarannsókn Hemlaför bíls sem lenti í slysi mældust 216 fet. Notið formúluna $s = \sqrt{24 d}$ til að finna hraða bílsins áður en hemlað var. Námundið svarið að næsta tíunda hluta.

438.

Slysarannsókn Slysarannsakandi mældi hemlaför eins ökutækjanna sem lentu í slysi. Hemlaförin voru 175 fet að lengd. Notið formúluna $s = \sqrt{24 d}$ til að finna hraða ökutækisins áður en hemlað var. Námundið svarið að næsta tíunda hluta.

439.

Slysarannsókn Slysarannsakandi mældi hemlaför eins ökutækjanna sem lentu í slysi. Hemlaförin voru 117 fet að lengd. Notið formúluna $s = \sqrt{24 d}$ til að finna hraða ökutækisins áður en hemlað var. Námundið svarið að næsta tíunda hluta.

Ritunarverkefni

440.

Útskýrið hvers vegna jafna af gerðinni $\sqrt{x} + 1 = 0$ hefur enga lausn.

441.

ⓐ Leysið jöfnuna $\sqrt{r + 4} - r + 2 = 0$ .
ⓑ Útskýrið hvers vegna önnur „lausnin“ sem fékkst er í raun ekki lausn jöfnunnar.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur tvær raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin merkir dálkana „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Undir „Ég get …“ stendur „notað ferningsrætur í hagnýtum verkefnum“. Aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir yfirferð gátlistans til að öðlast örugga færni í öllum markmiðunum?