Meginatriði

Meginatriði

9.1 Einfaldið og notið ferningsrætur

• Athugið að ferningsrót neikvæðrar tölu er ekki rauntala.
• Sérhver jákvæð tala hefur tvær ferningsrætur, aðra jákvæða og hina neikvæða. Jákvæða ferningsrótin er sú ferningsrót jákvæðrar tölu sem rótarmerkið táknar.
• Við getum metið ferningsrætur með því að nota nálægar ferningstölur.
• Við getum nálgað ferningsrætur með reiknivél.
• Þegar við notum rótarmerkið til að taka ferningsrót af breytustæðu ættum við að tilgreina að $x\ge 0$ til að tryggja að við fáum jákvæðu ferningsrótina.

9.2 Einfaldið ferningsrætur

• Ferningsrót á einfölduðu formi $\sqrt{a}$ telst ver $a$ á einfölduðu formi ef a hefur enga þætti sem eru ferningstölur.
• Margfeldisregla fyrir ferningsrætur Ef a og b eru óneikvæðar rauntölur, þá er
  
  $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$
  $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$
• Einfaldið ferningsrót með margfeldisreglunni Til að einfalda ferningsrót með margfeldisreglunni: Skref 1.
  Finnið stærsta þátt rótarstofnsins sem er ferningstala. Skrifið rótarstofninn sem margfeldi með þessum ferningstölufætti. Skref 2. Notið margfeldisregluna til að skrifa rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna. Skref 3. Einfaldið ferningsrót ferningstölunnar.
  1. Skref 1. Finnið stærsta þátt rótarstofnsins sem er ferningstala. Skrifið rótarstofninn sem margfeldi með þessum ferningstölufætti.
  2. Skref 2. Notið margfeldisregluna til að endurskrifa rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.
  3. Skref 3. Einfaldið ferningsrót ferningstölunnar.
• Kvótaregla fyrir ferningsrætur Ef a og b eru óneikvæðar rauntölur og $b\ne 0$, þá er
  
  $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
  
  
  
  
  $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
• Einfaldið ferningsrót með kvótareglunni Til að einfalda ferningsrót með kvótareglunni: Skref 1. Einfaldið
  brotið í rótarstofninum ef unnt er. Skref 2. Notið kvótaregluna til að skrifa rótarstæðuna sem kvóta tveggja rótarstæðna. Skref 3. Einfaldið rótarstæðurnar í teljara og nefnara.
  1. Skref 1. Einfaldið brotið í rótarstofninum ef hægt er.
  2. Skref 2. Notið kvótaregluna til að skrifa rótarstæðuna sem kvóta tveggja rótarstæðna.
  3. Skref 3. Einfaldið rótarstæðurnar í teljara og nefnara.

9.3 Leggið ferningsrætur saman og dragið þær hverja frá annarri

• Til að leggja saman eða draga frá líkar ferningsrætur skal leggja saman eða draga frá stuðlana og halda sömu ferningsrót.
• Stundum virðast ferningsrætur sem leggja á saman eða draga frá ekki vera líkar, en eftir einföldun þeirra koma líkar rótarstæður í ljós.

9.4 Margfaldið ferningsrætur

• Margfeldisregla fyrir ferningsrætur Ef a og b eru óneikvæðar rauntölur, þá er
  
  $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\text{og}\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
  $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\text{og}\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
• Formúlur fyrir sérstök margfeldi tvíliða og samoka:
  
  $$\begin{array}{cccc}{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\hfill & & & (a-b)(a+b)=a^2-b^2\hfill \\ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\hfill & & & \end{array}$$
  $$\begin{array}{cccc}{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\hfill & & & (a-b)(a+b)=a^2-b^2\hfill \\ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\hfill & & & \end{array}$$
• Nota má FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliður sem innihalda rótarstæður.

9.5 Deilið ferningsrótum

• Kvótaregla fyrir ferningsrætur Ef a
  og b eru óneikvæðar rauntölur og $b\ne 0$, þá er
  $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\text{og}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
  • Ef a og b eru óneikvæðar rauntölur og b ≠ 0, þá er a/b = a/b og a/b = a/b
    $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\text{og}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
• Ferningsrætur á einfölduðu formi
  Ferningsrót telst vera á einfölduðu formi ef enginn
  þáttur sem er ferningstala er í rótarstofninum ekkert brot er í rótarstofninum engin ferningsrót er í nefnara brots
  • enginn þáttur sem er ferningstala er í rótarstofninum
  • engin brot eru í rótarstofninum
  • engar ferningsrætur eru í nefnara brots

9.6 Leysið jöfnur með ferningsrótum

• Til að leysa rótarjöfnu: Skref
  1. Einangrið rótarstæðuna öðrum megin í jöfnunni. Skref 2. Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi. Skref 3. Leysið nýju jöfnuna. Skref 4. Sannreynið svarið. Sumar lausnir sem fást ganga ef til vill ekki upp í upphaflegu jöfnunni.
  1. Skref 1. Einangrið rótarstæðuna öðrum megin í jöfnunni.
  2. Skref 2. Hefjið báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi.
  3. Skref 3. Leysið nýju jöfnuna.
  4. Skref 4. Sannreynið svarið. Sumar lausnir sem fást ganga ef til vill ekki upp í upphaflegu jöfnunni.
• Lausn verkefna með formúlum Skref 1.
  Lesið verkefnið og gangið úr skugga um að öll orð og hugmyndir séu skiljanleg. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar þegar það á við. Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað. Skref 3. Gefið því sem leitað er að heiti með því að velja breytu sem táknar það. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu með því að skrifa viðeigandi formúlu eða líkan fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
  1. Skref 1. Lesið verkefnið og gangið úr skugga um að öll orð og hugmyndir séu skiljanleg. Teiknið mynd þegar það á við og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
  2. Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
  3. Skref 3. Nefnið það sem leitað er að með því að velja breytu sem táknar stærðina.
  4. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu með því að skrifa viðeigandi formúlu eða líkan fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn.
  5. Skref 5. Leysið jöfnuna með góðum algebruaðferðum.
  6. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
  7. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
• Flatarmál fernings
  
  
• Fallandi $h$ lutir Á jörðinni má finna tímann í sekúndum sem hlutur er að falla til jarðar úr h feta hæð með formúlunni $t=\frac{\sqrt{h}}{4}$.
  • Á jörðinni má finna tímann í sekúndum sem h lutur er að falla til jarðar úr h feta hæð með formúlunni t = h/4.
• Hemlaför og hraði bíls
  Ef hemlaförin eru d fet á lengd má finna hraða bílsins, s, áður en hemlað var með formúlunni $s=\sqrt{24d}$.
  • Ef hemlaförin eru d fet á lengd má finna hraða bílsins, s, áður en hemlað var með formúlunni s = 24 d.

9.7 Hærri rætur

• Eiginleikar
• $\sqrt[n]{a}$ a $n$n þegar n er slétt tala og a
  $a\ge 0$≥ 0, þá $\sqrt[n]{a}$er a n rauntala a < $a<0$0, þá $\sqrt[n]{a}$er a n ekki rauntala Þegar n er oddatala $n$er a n rauntala fyrir öll $\sqrt[n]{a}$gildi a. Fyrir sérhverja heiltölu n ≥ 2, þegar n er oddatala a n n = a Fyrir sérhverja $n\ge 2$heiltölu n ≥ 2, þegar $\sqrt[n]{a^n}=a$ n er slétt tala a n $n\ge 2$n = | a | $\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|$
  • $a\ge 0$, þá er $\sqrt[n]{a}$ rauntala
  • $a<0$, þá er $\sqrt[n]{a}$ ekki rauntala
  • Þegar $n$ er oddatala er $\sqrt[n]{a}$ rauntala fyrir öll gildi a.
  • Fyrir sérhverja heiltölu $n\ge 2$, þegar n er oddatala $\sqrt[n]{a^n}=a$
  • Fyrir sérhverja heiltölu $n\ge 2$, þegar n er slétt tala $\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|$
• $\sqrt[n]{a}$ telst vera á einfölduðu formi ef a hefur enga þætti af gerðinni $m^n$.
• Margfeldisregla fyrir n-tu rætur
  
  $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}\text{og}\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$
  $$\mathrm{abn}=\mathrm{an}\mathrm{bnogan}\mathrm{bn}=\mathrm{abn}$$
• Kvótaregla fyrir n-tu rætur
  
  $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{og}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$
  $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{og}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$
• Til að sameina líkar rótarstæður skal einfaldlega leggja saman eða draga frá stuðlana en halda rótarstæðunni óbreyttri.

9.8 Ræðir veldisvísar

• Samantekt á veldisreglum
• Ef $a,b$ eru rauntölur og $m,n$ eru ræðar tölur, þá gildir
  Margfeldisregla fyrir veldi $a^m·a^n=a^{m+n}$ Reglan um veldi af veldi ${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}$ Reglan um margfeldi í veldi ${\left(ab\right)}^m=a^m{b}^m$ Kvótaregla fyrir veldi:
  
  $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0,m>n$$
  $$\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}},a\ne 0,n>m$$
  Skilgreining núllveldis $a^0=1$, $a\ne 0$ Reglan um kvóta í veldi ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m},b\ne 0$
  • Margfeldisregla fyrir veldi $a^m·a^n=a^{m+n}$
  • Reglan um veldi af veldi ${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}$
  • Reglan um margfeldi í veldi ${\left(ab\right)}^m=a^m{b}^m$
  • Kvótaregla fyrir veldi:
    
    $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0,m>n$$
    $$\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}},a\ne 0,n>m$$
    $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0,m>n$$
    $$\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n-m}},a\ne 0,n>m$$
  • Skilgreining núllveldis $a^0=1$, $a\ne 0$
  • Reglan um kvóta í veldi ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m},b\ne 0$