99 Rætur og rótarstæður

9.7 Hærri rætur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Einfaldað stæður með hærri rótum
Notað margfeldisregluna til að einfalda stæður með hærri rótum
Notað kvótaregluna til að einfalda stæður með hærri rótum
Lagt saman og dregið frá hærri rætur

Einfaldið stæður með hærri rótum

Hingað til höfum við unnið með ferninga og ferningsrætur í þessum kafla. Nú víkkum við efnið þannig að það nái einnig til hærri velda og hærri róta.

Rifjum fyrst upp nokkur hugtök.

\begin{matrix} Við ritum: & Við segjum: \\ n^{2} & n í öðru veldi \\ n^{3} & n í þriðja veldi \\ n^{4} & n í fjórða veldi \\ n^{5} & n í fimmta veldi \end{matrix}

Hugtökin „í öðru veldi“ og „í þriðja veldi“ eiga rætur að rekja til formúlanna fyrir flatarmál fernings og rúmmál tenings.

Gagnlegt er að hafa töflu yfir veldi heiltalnanna frá $−5 til 5$ . Sjá mynd 9.4.

Myndin inniheldur tvær töflur. Fyrri taflan sýnir niðurstöður þess að hefja tölurnar 1, 2, 3, 4, 5, x og x í öðru veldi í annað, þriðja, fjórða og fimmta veldi. Seinni taflan sýnir niðurstöður þess að hefja tölurnar mínus einn til mínus fimm í annað, þriðja, fjórða og fimmta veldi. Fyrri taflan hefur fimm dálka og níu raðir en sú seinni fimm dálka og sjö raðir. Dálkarnir í báðum töflum heita „Tala“, „Annað veldi“, „Þriðja veldi“, „Fjórða veldi“ og „Fimmta veldi“. Næsta röð beggja taflna sýnir n, n í öðru veldi, n í þriðja veldi, n í fjórða veldi og n í fimmta veldi. Í fyrri töflunni eru 1 í öðru veldi, 1 í þriðja veldi, 1 í fjórða veldi og 1 í fimmta veldi öll sýnd sem 1. Í næstu röð er 2 í öðru veldi 4, 2 í þriðja veldi er 8, 2 í fjórða veldi er 16 og 2 í fimmta veldi er 32. Í næstu röð er 3 í öðru veldi 9, 3 í þriðja veldi er 27, 3 í fjórða veldi er 81 og 3 í fimmta veldi er 243. Í næstu röð er 4 í öðru veldi 16, 4 í þriðja veldi er 64, 4 í fjórða veldi er 246 og 4 í fimmta veldi er 1024. Í næstu röð er 5 í öðru veldi 25, 5 í þriðja veldi er 125, 5 í fjórða veldi er 625 og 5 í fimmta veldi er 3125. Síðan eru talin upp x í öðru, þriðja, fjórða og fimmta veldi og þar á eftir veldi af x í öðru veldi. Í seinni töflunni er mínus 1 í öðru veldi 1, mínus 1 í þriðja veldi er mínus 1, mínus 1 í fjórða veldi er 1 og mínus 1 í fimmta veldi er mínus 1. Í næstu röð eru samsvarandi gildi 2, 4, 2, 8, 2, 16, 2 og 32. Næsta röð sýnir 4, 16, 4, 64, 4, 256, 4 og 1024. Síðasta röðin sýnir 5, 25, 5, 125, 5, 625, 5 og 3125. — **Mynd 9.4.** Fyrsta til fimmta veldi heiltalna frá $−5$ til $5 .$

Takið eftir formerkjunum á mynd 9.4. Öll veldi jákvæðra talna eru að sjálfsögðu jákvæð. Fyrir neikvæðar tölur eru slétt veldi hins vegar jákvæð og oddatöluveldi neikvæð. Við afritum röðina með veldum $−2$ hér fyrir neðan til að sýna þetta betur.

Fyrr í þessum kafla skilgreindum við ferningsrót tölu.

Ef n^{2} = m, þá n er ferningsrót af m .

Við höfu $\sqrt{m}$ notað táknmálið m fyrir jákvæðu ferningsrótina. Því er $\sqrt{m} \geq 0$ alltaf.

Nú víkkum við skilgreininguna þannig að hún nái til hærri róta.

Rótarvísir er ekki skrifaður við ferningsrót. Rétt eins og við segjum „í þriðja veldi“ um $b^{3}$ notum við heitið „teningsrót“ um $\sqrt[3]{a}$ .

Við styðjumst við mynd 9.4 þegar við finnum hærri rætur.

\begin{matrix} 4^{3} & = & 64 & \sqrt[3]{64} & = & 4 \\ 3^{4} & = & 81 & \sqrt[4]{81} & = & 3 \\ {(−2)}^{5} & = & −32 & \sqrt[5]{−32} & = & −2 \end{matrix}

Getum við tekið rót með sléttum rótarvísi af neikvæðri tölu? Nei. Við vitum að ferningsrót neikvæðrar tölu er ekki rauntala. Hið sama gildir um allar rætur með sléttum rótarvísi. Slíkar rætur neikvæðra talna eru ekki rauntölur en rætur með oddatölu rótarvísi eru rauntölur.

Dæmi 9.88

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{8}$ ⓑ $\sqrt[4]{81}$ ⓒ $\sqrt[5]{32}$ .

Lausn

ⓐ

	8 3
Þar sem ( 2 ) 3 = 8 .	2

ⓑ

	81 4
Þar sem ( 3 ) 4 = 81 .	3

ⓒ

	32 5
Þar sem ( 2 ) 5 = 32 .	2

Dæmi 9.89

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{−64}$ ⓑ $\sqrt[4]{−16}$ ⓒ $\sqrt[5]{−243}$ .

Lausn

ⓐ

	−64 3
Þar sem ( −4 ) 3 = −64 .	−4

ⓑ

	−16 4
Hugsið: ( ? ) 4 = −16 . . Engin rauntala verður neikvæð þegar hún er hafin í fjórða veldi.	Ekki rauntala.

ⓒ

	−243 5
Þar sem ( −3 ) 5 = −243 .	−3

Þegar við unnum með ferningsrætur sem höfðu breytur í rótarstofni takmörkuðum við breyturnar við gildi sem voru ekki neikvæð. Nú afléttum við þessari takmörkun.

Rót tölu með oddatölu rótarvísi getur verið jákvæð eða neikvæð. Við höfum séð að $\sqrt[3]{−64} = −4$ .

Rót með sléttum rótarvísi af tölu sem er ekki neikvæð er hins vegar alltaf óneikvæð þar sem við tökum þá n-tu rót sem rótarmerkið táknar.

Gerum ráð fyrir að við byrjum með $a = −5$ .

\begin{matrix} {(−5)}^{4} = 625 & \sqrt[4]{625} = 5 \end{matrix}

Hvernig tryggjum við að fjórða rótin af mínus 5 í fjórða veldi, ${(−5)}^{4}$ , sé 5? Það kemur fram í eftirfarandi reglu.

Dæmi 9.90

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{x^{2}}$ ⓑ $\sqrt[3]{n^{3}}$ ⓒ $\sqrt[4]{p^{4}}$ ⓓ $\sqrt[5]{y^{5}}$ .

Lausn

Við notum algildi til að tryggja að jákvæða rótin fáist.

ⓐ

	x 2
Þar sem ( x ) 2 = x 2 og við viljum jákvæðu rótina.	\| x \|

ⓑ

	n 3 3
Þar sem ( n ) 3 = n³ . . Rótarvísirinn er oddatala og því þarf ekki algildismerki.	n

ⓒ

	p 4 4
Þar sem ( p ) 4 = p 4 og við viljum jákvæðu rótina.	\| p \|

ⓓ

	y 5 5
Þar sem ( y ) 5 = y⁵ . . Rótarvísirinn er oddatala og því þarf ekki algildismerki.	y

Dæmi 9.91

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{y^{18}}$ ⓑ $\sqrt[4]{z^{8}}$ .

Lausn

ⓐ

	y 18 3
Þar sem ( y⁶ ) 3 = y¹⁸ .	( y⁶ ) 3 3
	y 6

ⓑ

	z 8 4
Þar sem ( z² ) 4 = z⁸ .	( z² ) 4 4
Þar sem z 2 er jákvætt þurfum við ekki algildismerki.	z 2

Dæmi 9.92

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{64 p^{6}}$ ⓑ $\sqrt[4]{16 q^{12}}$ .

Lausn

ⓐ

	64 p 6 3
Endurskrifið 64 p 6 sem ( 4 p² ) 3 .. 64 p 6 sem ( 4 p² ) 3 .	( 4 p² ) 3 3
Takið teningsrótina.	4 p 2

ⓑ

	16 q 12 4
Endurskrifið rótarstofninn sem fjórða veldi.	( 2 q³ ) 4 4
Takið fjórðu rótina.	2 \| q 3 \|

Notið margfeldisregluna til að einfalda stæður með hærri rótum

Við einföldum stæður með hærri rótum á svipaðan hátt og stæður með ferningsrótum. n-ta rót telst að fullu einfölduð ef hún hefur enga þætti af gerðinni $m^{n}$ .

Við alhæfum margfeldisreglu fyrir ferningsrætur svo hún nái til sérhverrar heiltölurótar $n \geq 2$ .

Dæmi 9.93

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{x^{4}}$ ⓑ $\sqrt[4]{x^{7}}$ .

Lausn

ⓐ

	x 4 3
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með stærsta þættinum sem er fullkominn teningur.	x³ · x³
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	x 3 3 · x³
Einfaldið.	x x 3

ⓑ

	x 7 4
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með stærsta þættinum sem er fjórða veldi.	x⁴ · x 3 4
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	x 4 4 · x 3 4
Einfaldið.	\| x \| x 3 4

Dæmi 9.94

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{16}$ ⓑ $\sqrt[4]{243}$ .

Lausn

ⓐ

	16 3
	2 4 3
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með stærsta þættinum sem er fullkominn teningur.	2 3 · 2 3
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	2 3 3 · 2 3
Einfaldið.	2 2 3

ⓑ

	243 4
	3 5 4
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með stærsta þættinum sem er fjórða veldi.	3 4 · 3 4
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	3 4 4 · 3 4
Einfaldið.	3 3 4

Ekki gleyma algildismerkjum þegar rót með sléttum rótarvísi er tekin af stæðu með breytu undir rótarmerkinu.

Dæmi 9.95

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{24 x^{7}}$ ⓑ $\sqrt[4]{80 y^{14}}$ .

Lausn

ⓐ

	24 x 7 3
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með þáttum sem eru fullkomnir teningar.	2 3 x⁶ · 3 x³
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	2 3 x 6 3 · 3 x³
Endurskrifið fyrri rótarstofninn sem ( 2 x² ) 3 .. ( 2 x² ) 3 .	( 2 x² ) 3 3 · 3 x³
Einfaldið.	2 x 2 3 x 3

ⓑ

	80 y 14 4
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með þáttum sem eru fjórðu veldi.	2 4 y¹² · 5 y 2 4
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	2 4 y 12 4 · 5 y 2 4
Endurskrifið fyrri rótarstofninn sem ( 2 y³ ) 4 .. ( 2 y³ ) 4 .	( 2 y³ ) 4 4 · 5 y 2 4
Einfaldið.	2 \| y 3 \| 5 y 2 4

Dæmi 9.96

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{−27}$ ⓑ $\sqrt[4]{−16}$ .

Lausn

ⓐ

	−27 3
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með þáttum sem eru fullkomnir teningar.	( −3 ) 3 3
Takið teningsrótina.	−3

ⓑ

	−16 4
Engin rauntala n uppfyllir n⁴ = n−16 .. n⁴ = −16 .	Ekki rauntala.

Notið kvótaregluna til að einfalda stæður með hærri rótum

Við getum einfaldað kvóta með hærri rótum á sama hátt og ferningsrætur. Fyrst einföldum við öll brot undir rótarmerkinu.

Dæmi 9.97

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{\frac{a^{8}}{a^{5}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^{2}}}$ .

Lausn

ⓐ

	a 8/a 5 3
Einfaldið fyrst brotið undir rótarmerkinu.	a 3 3
Einfaldið.	a

ⓑ

	a 10/a 2 4
Einfaldið fyrst brotið undir rótarmerkinu.	a 8 4
Endurskrifið rótarstofninn með þáttum sem eru fjórðu veldi.	( a² ) 4 4
Einfaldið.	a 2

Fyrr notuðum við kvótaregluna „aftur á bak“ til að einfalda ferningsrætur. Nú alhæfum við regluna svo hún nái til hærri róta.

Dæmi 9.98

Einfaldið: ⓐ $\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$ .

Lausn

ⓐ

	−108 $\frac{3}{2}$ 3
Hvorugur rótarstofninn er fullkominn teningur og því notum við kvótaregluna til að skrifa stæðuna undir einu rótarmerki.	− $\frac{108}{2}$ 3
Einfaldið brotið undir rótarmerkinu.	−54 3
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með þáttum sem eru fullkomnir teningar.	( −3 ) 3 · 2 3
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	( −3 ) 3 3 · 2 3
Einfaldið.	−3 2 3

ⓑ

	96 x 7 $\frac{4}{3}$ x 2 4
Hvorugur rótarstofninn er fullkomið fjórða veldi og því notum við kvótaregluna til að skrifa stæðuna undir einu rótarmerki.	96 x $\frac{7}{3}$ x 2 4
Einfaldið brotið undir rótarmerkinu.	32 x 5 4
Endurskrifið rótarstofninn sem margfeldi með þáttum sem eru fjórðu veldi.	2 4 x⁴ · 2 x⁴
Endurskrifið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	( 2 x ) 4 4 · 2 x⁴
Einfaldið.	2 \| x \| 2 x 4

Ef ekki er hægt að einfalda brotið undir rótarmerkinu notum við fyrra form kvótareglunnar til að endurskrifa stæðuna sem kvóta tveggja rótarstæðna.

Dæmi 9.99

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{\frac{24 x^{7}}{y^{3}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{48 x^{10}}{y^{8}}}$ .

Lausn

ⓐ

	24 x 7/y 3 3
Ekki er hægt að einfalda brotið í rótarstofninum. Notið kvótaregluna til að skrifa það sem tvær rótarstæður.	24 x⁷ 3/y 3 3
Endurskrifið hvorn rótarstofn sem margfeldi með þáttum sem eru fullkomnir teningar.	8 x⁶ · 3 x 3/y 3 3
Endurskrifið teljarann sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	( 2 x² ) 3 3 3 x 3/y 3 3
Einfaldið.	2 x 2 3 x 3/y

ⓑ

	48 x 10/y 8 4
Ekki er hægt að einfalda brotið í rótarstofninum. Notið kvótaregluna til að skrifa það sem tvær rótarstæður.	48 x¹⁰ 4/y 8 4
Endurskrifið hvorn rótarstofn sem margfeldi með þáttum sem eru fjórðu veldi.	16 x⁸ · 3 x² 4/y 8 4
Endurskrifið teljarann sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	( 2 x² ) 4 4 3 x 2 4/( y² ) 4 4
Einfaldið.	2 x 2 3 x² 4/y²

Leggið saman og dragið frá hærri rætur

Við getum lagt saman og dregið frá hærri rætur á sama hátt og ferningsrætur. Fyrst gefum við formlega skilgreiningu á líkum rótarstæðum.

Líkar rótarstæður hafa sama rótarvísi og sama rótarstofn.

$9 \sqrt[4]{42 x}$ og $−2 \sqrt[4]{42 x}$ eru líkar rótarstæður.
$5 \sqrt[3]{125 x}$ og $6 \sqrt[3]{125 y}$ eru ekki líkar rótarstæður. Rótarstofnarnir eru ólíkir.
$2 \sqrt[5]{1000 q}$ og $−4 \sqrt[4]{1000 q}$ eru ekki líkar rótarstæður. Rótarvísarnir eru ólíkir.

Við leggjum líkar rótarstæður saman og drögum þær hverja frá annarri á sama hátt og samkynja liði. Við getum lagt saman $9 \sqrt[4]{42 x} + (−2 \sqrt[4]{42 x})$ og niðurstaðan er $7 \sqrt[4]{42 x}$ .

Dæmi 9.100

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{4 x} + \sqrt[3]{4 x}$ ⓑ $4 \sqrt[4]{8} - 2 \sqrt[4]{8}$ .

Lausn

ⓐ

	4 x³ + 4 x³
Rótarstæðurnar eru líkar og því leggjum við stuðlana saman.	2 4 x 3

ⓑ

	4 8 4 − 2 8 4
Rótarstæðurnar eru líkar og því drögum við stuðlana frá.	2 8 4

Þegar stæða virðist ekki innihalda líkar rótarstæður einföldum við fyrst hverja rótarstæðu. Stundum fást þá líkar rótarstæður.

Dæmi 9.101

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16}$ ⓑ $\sqrt[4]{48} + \sqrt[4]{243}$ .

Lausn

ⓐ

	54 3 − 16 3
Endurskrifið hvorn rótarstofn með þáttum sem eru fullkomnir teningar.	27 3 · 2 3 − 8 3 · 2 3
Endurskrifið fullkomnu teningana.	( 3 ) 3 3 2 3 − ( 2 ) 3 3 2 3
Einfaldið rótarstæðurnar þegar þess er kostur.	3 2 3 − 2 2 3
Sameinið líku rótarstæðurnar.	2 3

ⓑ

	48 4 + 243 4
Endurskrifið með þáttum sem eru fjórðu veldi.	16 4 · 3 4 + 81 4 · 3 4
Endurskrifið fullkomnu fjórðu veldin.	( 2 ) 4 4 3 4 + ( 3 ) 4 4 3 4
Einfaldið rótarstæðurnar þegar þess er kostur.	2 3 4 + 3 3 4
Sameinið líku rótarstæðurnar.	5 3 4

Dæmi 9.102

Einfaldið: ⓐ $\sqrt[3]{24 x^{4}} - \sqrt[3]{−81 x^{7}}$ ⓑ $\sqrt[4]{162 y^{9}} + \sqrt[4]{512 y^{5}}$ .

Lausn

ⓐ

	24 x 4 3 − −81 x 7 3
Endurskrifið hvorn rótarstofn með þáttum sem eru fullkomnir teningar.	8 x 3 3 · 3 x³ − −27 x 6 3 · 3 x³
Endurskrifið fullkomnu teningana.	( 2 x ) 3 3 3 x³ − ( −3 x² ) 3 3 3 x³
Einfaldið rótarstæðurnar þegar þess er kostur.	2 x³ x³ − ( −3 x 2 3 x³ )

ⓑ

	162 y 9 4 + 512 y 5 4
Endurskrifið hvorn rótarstofn með þáttum sem eru fjórðu veldi.	81 y 8 4 · 2 y⁴ + 256 y 4 4 · 2 y⁴
Endurskrifið fullkomnu fjórðu veldin.	( 3 y² ) 4 4 · 2 y⁴ + ( 4 y ) 4 4 · 2 y⁴
Einfaldið rótarstæðurnar þegar þess er kostur.	3 y 2 2 y⁴ + 4 \| y \| 2 y⁴

Verkefni úr hluta 9.7

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með hærri rótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

442.

ⓐ $\sqrt[3]{216}$ ⓑ $\sqrt[4]{256}$ ⓒ $\sqrt[5]{32}$

443.

ⓐ $\sqrt[3]{27}$ ⓑ $\sqrt[4]{16}$ ⓒ $\sqrt[5]{243}$

444.

ⓐ $\sqrt[3]{512}$ ⓑ $\sqrt[4]{81}$ ⓒ $\sqrt[5]{1}$

445.

ⓐ $\sqrt[3]{125}$ ⓑ $\sqrt[4]{1296}$ ⓒ $\sqrt[5]{1024}$

446.

ⓐ $\sqrt[3]{−8}$ ⓑ $\sqrt[4]{−81}$ ⓒ $\sqrt[5]{−32}$

447.

ⓐ $\sqrt[3]{−64}$ ⓑ $\sqrt[4]{−16}$ ⓒ $\sqrt[5]{−243}$

448.

ⓐ $\sqrt[3]{−125}$ ⓑ $\sqrt[4]{−1296}$ ⓒ $\sqrt[5]{−1024}$

449.

ⓐ $\sqrt[3]{−512}$ ⓑ $\sqrt[4]{−81}$ ⓒ $\sqrt[5]{−1}$

450.

ⓐ $\sqrt[5]{u^{5}}$ ⓑ $\sqrt[8]{v^{8}}$

451.

ⓐ $\sqrt[3]{a^{3}}$
ⓑ

452.

ⓐ $\sqrt[4]{y^{4}}$ ⓑ $\sqrt[7]{m^{7}}$

453.

ⓐ $\sqrt[8]{k^{8}}$ ⓑ $\sqrt[6]{p^{6}}$

454.

ⓐ $\sqrt[3]{x^{9}}$ ⓑ $\sqrt[4]{y^{12}}$

455.

ⓐ $\sqrt[5]{a^{10}}$ ⓑ $\sqrt[3]{b^{27}}$

456.

ⓐ $\sqrt[4]{m^{8}}$ ⓑ $\sqrt[5]{n^{20}}$

457.

ⓐ $\sqrt[6]{r^{12}}$ ⓑ $\sqrt[3]{s^{30}}$

458.

ⓐ $\sqrt[4]{16 x^{8}}$ ⓑ $\sqrt[6]{64 y^{12}}$

459.

ⓐ $\sqrt[3]{−8 c^{9}}$ ⓑ $\sqrt[3]{125 d^{15}}$

460.

ⓐ $\sqrt[3]{216 a^{6}}$ ⓑ $\sqrt[5]{32 b^{20}}$

461.

ⓐ $\sqrt[7]{128 r^{14}}$ ⓑ $\sqrt[4]{81 s^{24}}$

Notið margfeldisregluna til að einfalda stæður með hærri rótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

462.

ⓐ $\sqrt[3]{r^{5}}$ ⓑ $\sqrt[4]{s^{10}}$

463.

ⓐ $\sqrt[5]{u^{7}}$ ⓑ $\sqrt[6]{v^{11}}$

464.

ⓐ $\sqrt[4]{m^{5}}$ ⓑ $\sqrt[8]{n^{10}}$

465.

ⓐ $\sqrt[5]{p^{8}}$ ⓑ $\sqrt[3]{q^{8}}$

466.

ⓐ $\sqrt[4]{32}$ ⓑ $\sqrt[7]{64}$

467.

ⓐ $\sqrt[3]{625}$ ⓑ $\sqrt[6]{128}$

468.

ⓐ $\sqrt[5]{64}$ ⓑ $\sqrt[3]{256}$

469.

ⓐ $\sqrt[4]{3125}$ ⓑ $\sqrt[3]{81}$

470.

ⓐ $\sqrt[3]{108 x^{5}}$ ⓑ $\sqrt[4]{48 y^{6}}$

471.

ⓐ $\sqrt[5]{96 a^{7}}$ ⓑ $\sqrt[3]{375 b^{4}}$

472.

ⓐ $\sqrt[4]{405 m^{10}}$ ⓑ $\sqrt[5]{160 n^{8}}$

473.

ⓐ $\sqrt[3]{512 p^{5}}$ ⓑ $\sqrt[4]{324 q^{7}}$

474.

ⓐ $\sqrt[3]{−864}$ ⓑ $\sqrt[4]{−256}$

475.

ⓐ $\sqrt[5]{−486}$ ⓑ $\sqrt[6]{−64}$

476.

ⓐ $\sqrt[5]{−32}$ ⓑ $\sqrt[8]{−1}$

477.

ⓐ $\sqrt[3]{−8}$ ⓑ $\sqrt[4]{−16}$

Notið kvótaregluna til að einfalda stæður með hærri rótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

478.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{p^{11}}{p^{2}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{q^{17}}{q^{13}}}$

479.

ⓐ $\sqrt[5]{\frac{d^{12}}{d^{7}}}$ ⓑ $\sqrt[8]{\frac{m^{12}}{m^{4}}}$

480.

ⓐ $\sqrt[5]{\frac{u^{21}}{u^{11}}}$ ⓑ $\sqrt[6]{\frac{v^{30}}{v^{12}}}$

481.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{r^{14}}{r^{5}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{c^{21}}{c^{9}}}$

482.

ⓐ $\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{2}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[5]{128 x^{8}}}{\sqrt[5]{2 x^{2}}}$

483.

ⓐ $\frac{\sqrt[3]{−625}}{\sqrt[3]{5}}$ ⓑ $\frac{\sqrt[4]{80 m^{7}}}{\sqrt[4]{5 m}}$

484.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{1250}{2}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{486 y^{9}}{2 y^{3}}}$

485.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{162}{6}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{160 r^{10}}{5 r^{3}}}$

486.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{54 a^{8}}{b^{3}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{64 c^{5}}{d^{2}}}$

487.

ⓐ $\sqrt[5]{\frac{96 r^{11}}{s^{3}}}$ ⓑ $\sqrt[6]{\frac{128 u^{7}}{v^{3}}}$

488.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{81 s^{8}}{t^{3}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{64 p^{15}}{q^{12}}}$

489.

ⓐ $\sqrt[3]{\frac{625 u^{10}}{v^{3}}}$ ⓑ $\sqrt[4]{\frac{729 c^{21}}{d^{8}}}$

Leggið saman og dragið frá hærri rætur

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

490.

ⓐ $\sqrt[7]{8 p} + \sqrt[7]{8 p}$ ⓑ $3 \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{25}$

491.

ⓐ $\sqrt[3]{15 q} + \sqrt[3]{15 q}$ ⓑ $2 \sqrt[4]{27} - 6 \sqrt[4]{27}$

492.

ⓐ $3 \sqrt[5]{9 x} + 7 \sqrt[5]{9 x}$ ⓑ $8 \sqrt[7]{3 q} - 2 \sqrt[7]{3 q}$

493.

ⓐ

ⓑ

494.

ⓐ $\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{192}$ ⓑ $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{32}$

495.

ⓐ $\sqrt[3]{250} - \sqrt[3]{54}$ ⓑ $\sqrt[4]{243} - \sqrt[4]{1875}$

496.

ⓐ $\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{250}$ ⓑ $\sqrt[5]{729} + \sqrt[5]{96}$

497.

ⓐ $\sqrt[4]{243} + \sqrt[4]{1250}$ ⓑ $\sqrt[3]{2000} + \sqrt[3]{54}$

498.

ⓐ $\sqrt[3]{64 a^{10}} - \sqrt[3]{−216 a^{12}}$ ⓑ $\sqrt[4]{486 u^{7}} + \sqrt[4]{768 u^{3}}$

499.

ⓐ $\sqrt[3]{80 b^{5}} - \sqrt[3]{−270 b^{3}}$ ⓑ $\sqrt[4]{160 v^{10}} - \sqrt[4]{1280 v^{3}}$

Blönduð verkefni

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

500.

$\sqrt[4]{16}$

501.

$\sqrt[6]{64}$

502.

$\sqrt[3]{a^{3}}$

503.

504.

$\sqrt[3]{−8 c^{9}}$

505.

$\sqrt[3]{125 d^{15}}$

506.

$\sqrt[3]{r^{5}}$

507.

$\sqrt[4]{s^{10}}$

508.

$\sqrt[3]{108 x^{5}}$

509.

$\sqrt[4]{48 y^{6}}$

510.

$\sqrt[5]{−486}$

511.

$\sqrt[6]{−64}$

512.

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{2}}$

513.

$\frac{\sqrt[5]{128 x^{8}}}{\sqrt[5]{2 x^{2}}}$

514.

$\sqrt[5]{\frac{96 r^{11}}{s^{3}}}$

515.

$\sqrt[6]{\frac{128 u^{7}}{v^{3}}}$

516.

$\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{192}$

517.

$\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{32}$

518.

$\sqrt[3]{64 a^{10}} - \sqrt[3]{−216 a^{12}}$

519.

$\sqrt[4]{486 u^{7}} + \sqrt[4]{768 u^{3}}$

Stærðfræði í daglegu lífi

520.

Fjölgun í stofni Stæðan $10 \cdot x^{n}$ lýsir fjölgu $n$ myglugróa eftir n kynslóðir. Í upphafi voru 10 gró og hvert þeirra myndaði $x$ afkvæmi. Því er $10 \cdot x^{5}$ fjöldi afkvæma í fimmtu kynslóð. Í fimmtu kynslóð voru 10,240 afkvæmi. Einfaldið stæðuna $\sqrt[5]{\frac{10,240}{10}}$ til að ákvarða fjölda afkvæma hvers grós.

521.

Útbreiðsla veiru Stæðan $3 \cdot x^{n}$ lýsir útbreiðslu veiru eftir $n$ umferðir. Upphaflega voru þrír smitaðir og hver þeirra smitaði $x$ einstaklinga. Því er $3 \cdot x^{4}$ fjöldi smitaðra í fjórðu umferð. Í fjórðu umferð voru 1875 smitaðir. Einfaldið stæðuna $\sqrt[4]{\frac{1875}{3}}$ til að ákvarða hve marga hver einstaklingur smitaði.

Ritunarverkefni

522.

Útskýrið hvernig þið vitið að $\sqrt[5]{x^{10}} = x^{2}$ .

523.

Útskýrið hvers vegna $\sqrt[4]{−64}$ er ekki rauntala en $\sqrt[3]{−64}$ er rauntala.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjóra dálka og fimm raðir. Fyrsta röðin merkir dálkana „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Undir „Ég get …“ stendur „einfaldað stæður með hærri rótum“, „notað margfeldisregluna til að einfalda stæður með hærri rótum“, „notað kvótaregluna til að einfalda stæður með hærri rótum“ og „lagt saman og dregið frá hærri rætur“. Aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um færni ykkar í þessum hluta? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?