99 Rætur og rótarstæður

9.8 Ræðir veldisvísar

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Einfaldað stæður með a 1/n
Einfaldað stæður með a m/n
Notað veldareglurnar til að einfalda stæður með ræðum veldisvísum

Einfaldið stæður með a 1/n

Ræðir veldisvísar eru önnur leið til að skrifa stæður með rótarmerkjum. Þegar við notum ræða veldisvísa getum við beitt veldareglunum til að einfalda stæður.

Reglan um veldi af veldi segir að ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ þegar m og n eru heilar tölur. Gerum nú ráð fyrir að við séum ekki bundin við heilar tölur.

Gerum ráð fyrir að við viljum finna tölu p þannig að ${(8^{p})}^{3} = 8$ . Við notum regluna um veldi af veldi til að finna gildi p.

	( 8 p ) 3 = 8
Margfaldið veldisvísana vinstra megin.	8 3 p = 8
Skrifið veldisvísinn 1 hægra megin.	8 3 p = 8 1
Veldisvísarnir þurfa að vera jafnir.	3 p = 1
Einangrið p .. p .	p = 1/3
	Því ( 8 1/3 ) 3 = 8 .
Við vitum einnig að ( 8 3 ) 3 = 8. Því hlýtur 8 1/3 = 8 3.

Við vitum einnig að ${(\sqrt[3]{8})}^{3} = 8$ . Því hlýtur $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$ .

Sömu rök má nota fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n til að sýna að $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ .

Stundum er auðveldara að vinna með stæður með ræðum veldisvísum og stundum með rótarmerkjum. Í fyrstu dæmunum æfið þið að færa stæður milli þessara tveggja rithátta.

Dæmi 9.103

Skrifið sem rótarstæðu: ⓐ $x^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $y^{\frac{1}{3}}$ ⓒ $z^{\frac{1}{4}}$ .

Lausn

Við viljum skrifa hverja stæðu á forminu $\sqrt[n]{a}$ .

ⓐ

	x $\frac{1}{2}$
Nefnari veldisvísisins er 2 og því er rótarvísirinn 2. Rótarvísirinn er ekki sýndur þegar hann er 2.	x

ⓑ

	y $\frac{1}{3}$
Nefnari veldisvísisins er 3 og því er rótarvísirinn 3.	y 3

ⓒ

	z $\frac{1}{4}$
Nefnari veldisvísisins er 4 og því er rótarvísirinn 4.	z 4

Dæmi 9.104

Skrifið með ræðum veldisvísi: ⓐ $\sqrt{x}$ ⓑ $\sqrt[3]{y}$ ⓒ $\sqrt[4]{z}$ .

Lausn

Við viljum skrifa hverja rótarstæðu á forminu $a^{\frac{1}{n}}$ .

ⓐ

	x
Enginn rótarvísir er sýndur og því er hann 2. Nefnari veldisvísisins verður 2.	x $\frac{1}{2}$

ⓑ

	y 3
Rótarvísirinn er 3 og því er nefnari veldisvísisins 3.	y $\frac{1}{3}$

ⓒ

	z 4
Rótarvísirinn er 4 og því er nefnari veldisvísisins 4.	z $\frac{1}{4}$

Dæmi 9.105

Skrifið með ræðum veldisvísi: ⓐ $\sqrt{5 y}$ ⓑ $\sqrt[3]{4 x}$ ⓒ $3 \sqrt[4]{5 z}$ .

Lausn

Við viljum skrifa hverja rótarstæðu á forminu $a^{\frac{1}{n}}$ .

ⓐ

	5 y
Enginn rótarvísir er sýndur og því er hann 2. Nefnari veldisvísisins verður 2.	( 5 y ) $\frac{1}{2}$

ⓑ

	4 x 3
Rótarvísirinn er 3 og því er nefnari veldisvísisins 3.	( 4 x ) $\frac{1}{3}$

ⓒ

	3 5 z 4
Rótarvísirinn er 4 og því er nefnari veldisvísisins 4.	3 ( 5 z ) $\frac{1}{4}$

Í næsta dæmi gæti verið auðveldara að einfalda stæðurnar ef þær eru fyrst endurskrifaðar sem rótarstæður.

Dæmi 9.106

Einfaldið: ⓐ $25^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $64^{\frac{1}{3}}$ ⓒ $256^{\frac{1}{4}}$ .

Lausn

ⓐ

	25 $\frac{1}{2}$
Endurskrifið sem ferningsrót.	25
Einfaldið.	5

ⓑ

	64 $\frac{1}{3}$
Endurskrifið sem teningsrót.	64 3
Takið eftir að 64 er fullkominn teningur.	4 3 3
Einfaldið.	4

ⓒ

	256 $\frac{1}{4}$
Endurskrifið sem fjórðu rót.	256 4
Takið eftir að 256 er fullkomið fjórða veldi.	4 4 4
Einfaldið.	4

Gætið að staðsetningu mínusmerkjanna í næsta dæmi. Í einum lið notum við regluna $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Dæmi 9.107

Einfaldið: ⓐ ${(−64)}^{\frac{1}{3}}$ ⓑ $− 64^{\frac{1}{3}}$ ⓒ ${(64)}^{- \frac{1}{3}}$ .

Lausn

ⓐ

	( −64 ) $\frac{1}{3}$
Endurskrifið sem teningsrót.	−64 3
Endurskrifið −64 sem fullkominn tening.	( −4 ) 3 3
Einfaldið.	−4

ⓑ

	− 64 $\frac{1}{3}$
Veldisvísirinn á aðeins við um 64.	− ( 64 $\frac{1}{3}$ )
Endurskrifið sem teningsrót.	− 64 3
Endurskrifið 64 sem 4 3 .. 4 3 .	− 4 3 3
Einfaldið.	−4

ⓒ

	( 64 ) − $\frac{1}{3}$
Endurskrifið sem brot með jákvæðum veldisvísi með reglunni a − n = 1/a n .. a − n = 1/a n .	$\frac{1}{64}$ 3
Skrifið sem teningsrót.
Endurskrifið 64 sem 4 3 .. 4 3 .	$\frac{1}{4}$ 3 3
Einfaldið.	$\frac{1}{4}$

Dæmi 9.108

Einfaldið: ⓐ ${(−16)}^{\frac{1}{4}}$ ⓑ $− 16^{\frac{1}{4}}$ ⓒ ${(16)}^{- \frac{1}{4}}$ .

Lausn

ⓐ

	( −16 ) $\frac{1}{4}$
Endurskrifið sem fjórðu rót.	−16 4
Engin rauntala hefur fjórða veldið −16 .. −16 .

ⓑ

	− 16 $\frac{1}{4}$
Veldisvísirinn á aðeins við um 16. Endurskrifið sem fjórðu rót.	− 16 4
Endurskrifið 16 sem 2 4 16.. 2 4 .	− 2 4 4
Einfaldið.	−2

ⓒ

	( 16 ) − $\frac{1}{4}$
Endurskrifið með reglunni a − n = 1/a n .. a − n = 1/a n .	1/( 16 ) $\frac{1}{4}$
Endurskrifið sem fjórðu rót.	$\frac{1}{16}$ 4
Endurskrifið 16 sem 2 4 16.. 2 4 .	$\frac{1}{2}$ 4 4
Einfaldið.	$\frac{1}{2}$

Einfaldið stæður með a m/n

Vinnum meira með regluna um veldi af veldi.

Gerum ráð fyrir að við hefjum $a^{\frac{1}{n}}$ í veldið m.

	( a 1/n ) m
Margfaldið veldisvísana.	a 1/n · m
Einfaldið.	a m/n
$\frac{Því er a m}{n} = \frac{( a n ) m .. a m}{n = ( a n ) m .}$

Gerum nú ráð fyrir að við hefjum $a^{m}$ í veldið $\frac{1}{n}$ .

	( a m ) 1/n
Margfaldið veldisvísana.	a m · 1/n
Einfaldið.	a m/n
Því er a m/n = a m n einnig.

Hvort formið notum við til að einfalda stæðu? Yfirleitt tökum við rótina fyrst svo tölurnar í rótarstofninum haldist minni.

Dæmi 9.109

Skrifið með ræðum veldisvísi: ⓐ $\sqrt{y^{3}}$ ⓑ $\sqrt[3]{x^{2}}$ ⓒ $\sqrt[4]{z^{3}}$ .

Lausn

Við viljum nota $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ til að skrifa hverja rótarstæðu á forminu $a^{\frac{m}{n}}$ .

Dæmi 9.110

Einfaldið: ⓐ $9^{\frac{3}{2}}$ ⓑ $125^{\frac{2}{3}}$ ⓒ $81^{\frac{3}{4}}$ .

Lausn

Við endurskrifum fyrst hverja stæðu sem rótarstæðu með reglunni $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ . Þetta form gerir okkur kleift að taka rótina fyrst svo tölurnar í rótarstofninum haldist minni en með hinu forminu.

ⓐ

	9 $\frac{3}{2}$
Veldi rótarstæðunnar er teljari veldisvísisins, 3. Þar sem nefnari veldisvísisins er 2 er þetta ferningsrót.	( 9 ) 3
Einfaldið.	( 3 ) 3
	27

ⓑ

	125 $\frac{2}{3}$
Veldi rótarstæðunnar er teljari veldisvísisins, 2. Rótarvísirinn er nefnari veldisvísisins, 3.	( 125 3 ) 2
Einfaldið.	( 5 ) 2
	25

ⓒ

	81 $\frac{3}{4}$
Veldi rótarstæðunnar er teljari veldisvísisins, 3. Rótarvísirinn er nefnari veldisvísisins, 4.	( 81 4 ) 3
Einfaldið.	( 3 ) 3
	27

Munið að $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}$ . Mínusmerkið í veldisvísinum breytir ekki formerki stæðunnar.

Dæmi 9.111

Einfaldið: ⓐ $16^{- \frac{3}{2}}$ ⓑ $32^{- \frac{2}{5}}$ ⓒ $4^{- \frac{5}{2}}$ .

Lausn

Við endurskrifum hverja stæðu fyrst með $b^{− p} = \frac{1}{b^{p}}$ og færum hana síðan á rótarform.

ⓐ

	16 − $\frac{3}{2}$
Endurskrifið með b − p = 1/b p .. b − p = 1/b p .	$\frac{1}{16}$ $\frac{3}{2}$
Færið á rótarform. Veldi rótarstæðunnar er teljari veldisvísisins, 3. Rótarvísirinn er nefnari veldisvísisins, 2.	1/( 16 ) 3
Einfaldið.	$\frac{1}{4}$ 3
	$\frac{1}{64}$

ⓑ

	32 − $\frac{2}{5}$
Endurskrifið með b − p = 1/b p .. b − p = 1/b p .	$\frac{1}{32}$ $\frac{2}{5}$
Færið á rótarform.	1/( 32 5 ) 2
Endurskrifið rótarstofninn sem veldi.	1/( 2 5 5 ) 2
Einfaldið.	$\frac{1}{2}$ 2
	$\frac{1}{4}$

ⓒ

	4 − $\frac{5}{2}$
Endurskrifið með b − p = 1/b p .. b − p = 1/b p .	$\frac{1}{4}$ $\frac{5}{2}$
Færið á rótarform.	1/( 4 ) 5
Einfaldið.	$\frac{1}{2}$ 5
	$\frac{1}{32}$

Dæmi 9.112

Einfaldið: ⓐ $− 25^{\frac{3}{2}}$ ⓑ $− 25^{- \frac{3}{2}}$ ⓒ ${(−25)}^{\frac{3}{2}}$ .

Lausn

ⓐ

	− 25 $\frac{3}{2}$
Endurskrifið á rótarformi.	− ( 25 ) 3
Einfaldið rótarstæðuna.	− ( 5 ) 3
Einfaldið.	−125

ⓑ

	− 25 − $\frac{3}{2}$
Endurskrifið með b − p = 1/b p .. b − p = 1/b p .	− ( $\frac{1}{25}$ $\frac{3}{2}$ )
Endurskrifið á rótarformi.	− ( 1/( 25 ) 3 )
Einfaldið rótarstæðuna.	− ( 1/( 5 ) 3 )
Einfaldið.	− $\frac{1}{125}$

ⓒ

	( −25 ) $\frac{3}{2}$
Endurskrifið á rótarformi.	( −25 ) 3
Engin rauntala hefur ferningsrót sem er −25 .. −25 .	Ekki rauntala.

Notið veldareglurnar til að einfalda stæður með ræðum veldisvísum

Sömu veldareglur og við höfum þegar notað gilda einnig um ræða veldisvísa. Hér teljum við veldareglurnar upp til hliðsjónar við einföldun stæðna.

Þegar veldi með sömu grunntölu eru margfölduð leggjum við veldisvísana saman.

Dæmi 9.113

Einfaldið: ⓐ $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ ⓑ $x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$ ⓒ $z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{4}}$ .

Lausn

ⓐ

	2 $\frac{1}{2}$ · 2 $\frac{5}{2}$
Grunntölurnar eru þær sömu og því leggjum við veldisvísana saman.	2 $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$
Leggið brotin saman.	2 $\frac{6}{2}$
Einfaldið veldisvísinn.	2 3
Einfaldið.	8

ⓑ

	x $\frac{2}{3}$ · x $\frac{4}{3}$
Grunntölurnar eru þær sömu og því leggjum við veldisvísana saman.	x $\frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$
Leggið brotin saman.	x $\frac{6}{3}$
Einfaldið.	x 2

ⓒ

	z $\frac{3}{4}$ · z $\frac{5}{4}$
Grunntölurnar eru þær sömu og því leggjum við veldisvísana saman.	z $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$
Leggið brotin saman.	z $\frac{8}{4}$
Einfaldið.	z 2

Við notum regluna um veldi af veldi í næsta dæmi.

Dæmi 9.114

Einfaldið: ⓐ ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ ${(y^{6})}^{\frac{1}{3}}$ ⓒ ${(z^{9})}^{\frac{2}{3}}$ .

Lausn

ⓐ

	( x⁴ ) 1/2
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	x⁴ · 1/2
Einfaldið.	x 2

ⓑ

	( y⁶ ) 1/3
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	y⁶ · 1/3
Einfaldið.	y 2

ⓒ

	( z⁹ ) 2/3
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	z⁹ · 2/3
Einfaldið.	z 6

Kvótareglan segir að þegar einu veldi er deilt með öðru og grunntalan er sú sama drögum við veldisvísana frá.

Dæmi 9.115

Einfaldið: ⓐ $\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ ⓑ $\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}$ ⓒ $\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}$ .

Lausn

ⓐ

	x $\frac{4}{3}$ /x $\frac{1}{3}$
Þegar einu veldi er deilt með öðru og grunntalan er sú sama drögum við veldisvísana frá.	x $\frac{4}{3}$ − $\frac{1}{3}$
Einfaldið.	x

ⓑ

	y $\frac{3}{4}$ /y $\frac{1}{4}$
Þegar einu veldi er deilt með öðru og grunntalan er sú sama drögum við veldisvísana frá.	y $\frac{3}{4}$ − $\frac{1}{4}$
Einfaldið.	y $\frac{1}{2}$

ⓒ

	z $\frac{2}{3}$ /z $\frac{5}{3}$
Þegar einu veldi er deilt með öðru og grunntalan er sú sama drögum við veldisvísana frá.	z $\frac{2}{3}$ − $\frac{5}{3}$
Endurskrifið án neikvæðs veldisvísis.	1/z

Stundum þurfum við að nota fleiri en eina reglu. Í næstu tveimur dæmum notum við fyrst regluna um margfeldi í veldi og síðan regluna um veldi af veldi.

Dæmi 9.116

Einfaldið: ⓐ ${(27 u^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ ⓑ ${(8 v^{\frac{1}{4}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Lausn

ⓐ

	( 27 u $\frac{1}{2}$ ) $\frac{2}{3}$
Fyrst notum við regluna um margfeldi í veldi.	( 27 ) $\frac{2}{3}$ ( u $\frac{1}{2}$ ) $\frac{2}{3}$
Endurskrifið 27 sem veldi af 3.	( 3 3 ) $\frac{2}{3}$ ( u $\frac{1}{2}$ ) $\frac{2}{3}$
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	( 3 2 ) ( u $\frac{1}{3}$ )
Einfaldið.	9 u $\frac{1}{3}$

ⓑ

	( 8 v $\frac{1}{4}$ ) $\frac{2}{3}$
Fyrst notum við regluna um margfeldi í veldi.	( 8 ) $\frac{2}{3}$ ( v $\frac{1}{4}$ ) $\frac{2}{3}$
Endurskrifið 8 sem veldi af 2.	( 2 3 ) $\frac{2}{3}$ ( v $\frac{1}{4}$ ) $\frac{2}{3}$
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	( 2 2 ) ( v $\frac{1}{6}$ )
Einfaldið.	4 v $\frac{1}{6}$

Dæmi 9.117

Einfaldið: ⓐ ${(m^{3} n^{9})}^{\frac{1}{3}}$ ⓑ ${(p^{4} q^{8})}^{\frac{1}{4}}$ .

Lausn

ⓐ

	( m³ n⁹ ) 1/3
Fyrst notum við regluna um margfeldi í veldi.	( m³ ) 1/3 ( n⁹ ) 1/3
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	m n 3

ⓑ

	( p⁴ q⁸ ) 1/4
Fyrst notum við regluna um margfeldi í veldi.	( p⁴ ) 1/4 ( q⁸ ) 1/4
Þegar veldi er hafið í veldi margföldum við veldisvísana.	p q 2

Við notum bæði margfeldis- og kvótaregluna í næsta dæmi.

Dæmi 9.118

Einfaldið: ⓐ $\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{x^{- \frac{6}{4}}}$ ⓑ $\frac{y^{\frac{4}{3}} \cdot y}{y^{- \frac{2}{3}}}$ .

Lausn

ⓐ

	x $\frac{3}{4}$ · x − $\frac{1}{4}$ /x − $\frac{6}{4}$
Notið margfeldisregluna í teljaranum og leggið veldisvísana saman.	x $\frac{2}{4}$ /x − $\frac{6}{4}$
Notið kvótaregluna og dragið veldisvísana frá.	x $\frac{8}{4}$
Einfaldið.	x 2

ⓑ

	y $\frac{4}{3}$ · y/y − $\frac{2}{3}$
Notið margfeldisregluna í teljaranum og leggið veldisvísana saman.	y $\frac{7}{3}$ /y − $\frac{2}{3}$
Notið kvótaregluna og dragið veldisvísana frá.	y $\frac{9}{3}$
Einfaldið.	y 3

Verkefni úr hluta 9.8

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með $a^{\frac{1}{n}}$

Skrifið sem rótarstæðu í eftirfarandi verkefnum.

524.

ⓐ $x^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $y^{\frac{1}{3}}$ ⓒ $z^{\frac{1}{4}}$

525.

ⓐ $r^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $s^{\frac{1}{3}}$ ⓒ $t^{\frac{1}{4}}$

526.

ⓐ $u^{\frac{1}{5}}$ ⓑ $v^{\frac{1}{9}}$ ⓒ $w^{\frac{1}{20}}$

527.

ⓐ $g^{\frac{1}{7}}$ ⓑ $h^{\frac{1}{5}}$ ⓒ $j^{\frac{1}{25}}$

Skrifið með ræðum veldisvísi í eftirfarandi verkefnum.

528.

ⓐ $- \sqrt[7]{x}$ ⓑ $\sqrt[9]{y}$ ⓒ $\sqrt[5]{f}$

529.

ⓐ $\sqrt[8]{r}$ ⓑ

530.

ⓐ $\sqrt[3]{a}$ ⓑ

531.

ⓐ $\sqrt[5]{u}$ ⓑ $\sqrt{v}$ ⓒ

532.

ⓐ $\sqrt[3]{7 c}$ ⓑ $\sqrt[7]{12 d}$ ⓒ $3 \sqrt[4]{5 f}$

533.

ⓐ $\sqrt[4]{5 x}$ ⓑ $\sqrt[8]{9 y}$ ⓒ $7 \sqrt[5]{3 z}$

534.

ⓐ $\sqrt{21 p}$ ⓑ $\sqrt[4]{8 q}$ ⓒ $4 \sqrt[6]{36 r}$

535.

ⓐ $\sqrt[3]{25 a}$ ⓑ $\sqrt{3 b}$ ⓒ

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

536.

ⓐ $81^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $125^{\frac{1}{3}}$ ⓒ $64^{\frac{1}{2}}$

537.

ⓐ $625^{\frac{1}{4}}$ ⓑ $243^{\frac{1}{5}}$ ⓒ $32^{\frac{1}{5}}$

538.

ⓐ $16^{\frac{1}{4}}$ ⓑ $16^{\frac{1}{2}}$ ⓒ $3125^{\frac{1}{5}}$

539.

ⓐ $216^{\frac{1}{3}}$ ⓑ $32^{\frac{1}{5}}$ ⓒ $81^{\frac{1}{4}}$

540.

ⓐ ${(−216)}^{\frac{1}{3}}$ ⓑ $− 216^{\frac{1}{3}}$ ⓒ ${(216)}^{- \frac{1}{3}}$

541.

ⓐ ${(−243)}^{\frac{1}{5}}$ ⓑ $− 243^{\frac{1}{5}}$ ⓒ ${(243)}^{- \frac{1}{5}}$

542.

ⓐ ${(−1)}^{\frac{1}{3}}$ ⓑ ${−1}^{\frac{1}{3}}$ ⓒ ${(1)}^{- \frac{1}{3}}$

543.

ⓐ ${(−1000)}^{\frac{1}{3}}$ ⓑ $− 1000^{\frac{1}{3}}$ ⓒ ${(1000)}^{- \frac{1}{3}}$

544.

ⓐ ${(−81)}^{\frac{1}{4}}$ ⓑ $− 81^{\frac{1}{4}}$ ⓒ ${(81)}^{- \frac{1}{4}}$

545.

ⓐ ${(−49)}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $− 49^{\frac{1}{2}}$ ⓒ ${(49)}^{- \frac{1}{2}}$

546.

ⓐ ${(−36)}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $- 36^{\frac{1}{2}}$ ⓒ ${(36)}^{- \frac{1}{2}}$

547.

ⓐ ${(−1)}^{\frac{1}{4}}$ ⓑ ${(1)}^{- \frac{1}{4}}$ ⓒ $− 1^{\frac{1}{4}}$

548.

ⓐ ${(−100)}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $− 100^{\frac{1}{2}}$ ⓒ ${(100)}^{- \frac{1}{2}}$

549.

ⓐ ${(−32)}^{\frac{1}{5}}$ ⓑ ${(243)}^{- \frac{1}{5}}$ ⓒ $− 125^{\frac{1}{3}}$

Einfaldið stæður með $a^{\frac{m}{n}}$

Skrifið með ræðum veldisvísi í eftirfarandi verkefnum.

550.

ⓐ $\sqrt{m^{5}}$ ⓑ $\sqrt[3]{n^{2}}$ ⓒ $\sqrt[4]{p^{3}}$

551.

ⓐ $\sqrt[4]{r^{7}}$ ⓑ $\sqrt[5]{s^{3}}$ ⓒ $\sqrt[3]{t^{7}}$

552.

ⓐ $\sqrt[5]{u^{2}}$ ⓑ $\sqrt[5]{v^{8}}$ ⓒ $\sqrt[9]{w^{4}}$

553.

ⓐ $\sqrt[3]{a}$ ⓑ $\sqrt{b^{5}}$ ⓒ $\sqrt[3]{c^{5}}$

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

554.

ⓐ $16^{\frac{3}{2}}$ ⓑ $8^{\frac{2}{3}}$ ⓒ ${10,000}^{\frac{3}{4}}$

555.

556.

557.

558.

559.

560.

561.

562.

563.

564.

565.

Notið veldareglurnar til að einfalda stæður með ræðum veldisvísum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

566.

ⓐ $4^{\frac{5}{8}} \cdot 4^{\frac{11}{8}}$ ⓑ $m^{\frac{7}{12}} \cdot m^{\frac{17}{12}}$ ⓒ $p^{\frac{3}{7}} \cdot p^{\frac{18}{7}}$

567.

ⓐ $6^{\frac{5}{2}} \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ ⓑ $n^{\frac{2}{10}} \cdot n^{\frac{8}{10}}$ ⓒ $q^{\frac{2}{5}} \cdot q^{\frac{13}{5}}$

568.

ⓐ $5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{7}{2}}$ ⓑ $c^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{9}{4}}$ ⓒ $d^{\frac{3}{5}} \cdot d^{\frac{2}{5}}$

569.

ⓐ $10^{\frac{1}{3}} \cdot 10^{\frac{5}{3}}$ ⓑ $x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{7}{6}}$ ⓒ $y^{\frac{11}{8}} \cdot y^{\frac{21}{8}}$

570.

571.

572.

573.

574.

ⓐ $\frac{x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}$ ⓑ $\frac{y^{\frac{5}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ ⓒ $\frac{r^{\frac{4}{5}}}{r^{\frac{9}{5}}}$

575.

ⓐ $\frac{s^{\frac{11}{5}}}{s^{\frac{6}{5}}}$ ⓑ $\frac{z^{\frac{7}{3}}}{z^{\frac{1}{3}}}$ ⓒ $\frac{w^{\frac{2}{7}}}{w^{\frac{9}{7}}}$

576.

ⓐ $\frac{t^{\frac{12}{5}}}{t^{\frac{7}{5}}}$ ⓑ $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ ⓒ $\frac{m^{\frac{13}{8}}}{m^{\frac{5}{8}}}$

577.

ⓐ $\frac{u^{\frac{13}{9}}}{u^{\frac{4}{9}}}$ ⓑ $\frac{r^{\frac{15}{7}}}{r^{\frac{8}{7}}}$ ⓒ $\frac{n^{\frac{3}{5}}}{n^{\frac{8}{5}}}$

578.

ⓐ ${(9 p^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ ⓑ ${(27 q^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$

579.

ⓐ ${(81 r^{\frac{4}{5}})}^{\frac{1}{4}}$ ⓑ ${(64 s^{\frac{3}{7}})}^{\frac{1}{6}}$

580.

ⓐ ${(16 u^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ ⓑ ${(100 v^{\frac{2}{5}})}^{\frac{3}{2}}$

581.

ⓐ ${(27 m^{\frac{3}{4}})}^{\frac{2}{3}}$ ⓑ ${(625 n^{\frac{8}{3}})}^{\frac{3}{4}}$

582.

ⓐ ${(x^{8} y^{10})}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ ${(a^{9} b^{12})}^{\frac{1}{3}}$

583.

ⓐ ${(r^{8} s^{4})}^{\frac{1}{4}}$ ⓑ ${(u^{15} v^{20})}^{\frac{1}{5}}$

584.

ⓐ ${(a^{6} b^{16})}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ ${(j^{9} k^{6})}^{\frac{2}{3}}$

585.

ⓐ ${(r^{16} s^{10})}^{\frac{1}{2}}$ ⓑ ${(u^{10} v^{5})}^{\frac{4}{5}}$

586.

ⓐ $\frac{r^{\frac{5}{2}} \cdot r^{- \frac{1}{2}}}{r^{- \frac{3}{2}}}$ ⓑ $\frac{s^{\frac{1}{5}} \cdot s}{s^{- \frac{9}{5}}}$

587.

ⓐ $\frac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{- \frac{1}{4}}}{a^{- \frac{10}{4}}}$ ⓑ $\frac{b^{\frac{2}{3}} \cdot b}{b^{- \frac{7}{3}}}$

588.

ⓐ $\frac{c^{\frac{5}{3}} \cdot c^{- \frac{1}{3}}}{c^{- \frac{2}{3}}}$ ⓑ $\frac{d^{\frac{3}{5}} \cdot d}{d^{- \frac{2}{5}}}$

589.

ⓐ $\frac{m^{\frac{7}{4}} \cdot m^{- \frac{5}{4}}}{m^{- \frac{2}{4}}}$ ⓑ $\frac{n^{\frac{3}{7}} \cdot n}{n^{- \frac{4}{7}}}$

590.

$4^{\frac{5}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

591.

$n^{\frac{2}{6}} \cdot n^{\frac{4}{6}}$

592.

${(a^{24})}^{\frac{1}{6}}$

593.

${(b^{10})}^{\frac{3}{5}}$

594.

$\frac{w^{\frac{2}{5}}}{w^{\frac{7}{5}}}$

595.

$\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{8}{3}}}$

596.

${(27 r^{\frac{3}{5}})}^{\frac{1}{3}}$

597.

${(64 s^{\frac{3}{5}})}^{\frac{1}{6}}$

598.

${(r^{9} s^{12})}^{\frac{1}{3}}$

599.

${(u^{12} v^{18})}^{\frac{1}{6}}$

Stærðfræði í daglegu lífi

600.

Garðrækt Joe vill hafa ferningslaga garðreit í bakgarðinum. Hann á næga moltu til að þekja 144 ferfeta svæði. Einfaldið $144^{\frac{1}{2}}$ til að finna lengd hverrar hliðar garðsins.

601.

Garðrækt Elliott vill leggja ferningslaga verönd í garðinum. Hann á næga steypu til að þekja 242 ferfeta svæði. Einfaldið $242^{\frac{1}{2}}$ til að finna lengd hverrar hliðar verandarinnar. Námundið að næsta tíunda hluta úr feti.

602.

Þyngdarafl Bob var að setja upp hátíðarskraut og missti skrautmun frá toppi trés sem er 12 fet á hæð. Einfaldið $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til skrautmunurinn náði jörðu. Námundið að næsta tíunda hluta úr sekúndu.

603.

Þyngdarafl Flugvél sleppti blysi úr 1024 feta hæð yfir stöðuvatni. Einfaldið $\frac{1024^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}$ til að finna hve margar sekúndur liðu þar til blysið náði vatninu.

Ritunarverkefni

604.

Sýnið tvær ólíkar algebruaðferðir til að einfalda $4^{\frac{3}{2}} .$ . Útskýrið öll skrefin.

605.

Útskýrið hvers vegna ekki er hægt að reikna gildi stæðunnar ${(−16)}^{\frac{3}{2}}$ .