99 Rætur og rótarstæður

9.4 Margfaldið ferningsrætur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Margfaldað ferningsrætur
Notað margföldun margliða til að margfalda ferningsrætur

Margfaldið ferningsrætur

Við höfum notað margfeldisreglu fyrir ferningsrætur til að einfalda ferningsrætur með því að fjarlægja þætti sem eru ferningstölur. Margfeldisreglan fyrir ferningsrætur segir að

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Við getum notað margfeldisreglu fyrir ferningsrætur „aftur á bak“ til að margfalda ferningsrætur.

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}

Munið að við gerum ráð fyrir að allar breytur séu stærri en eða jafnar núlli.

Við skrifum margfeldisregluna fyrir ferningsrætur upp á nýtt þannig að báðar áttirnar sjáist saman.

Við getum því margfaldað $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$ á þennan hátt:

\begin{matrix} \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \\ \sqrt{3 \cdot 5} \\ \sqrt{15} \end{matrix}

Stundum er margfeldið ferningstala:

\begin{matrix} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \\ \sqrt{2 \cdot 8} \\ \sqrt{16} \\ 4 \end{matrix}

Jafnvel þegar margfeldið er ekki ferningstala verðum við að leita að þáttum sem eru ferningstölur og einfalda rótarstæðuna þegar þess er kostur.

Margföldun rótarstæðna með stuðlum er mjög svipuð margföldun breytna með stuðlum. Til að margfalda $4 x \cdot 3 y$ margföldum við stuðlana saman og síðan breyturnar. Niðurstaðan er $12 x y$ . Hafið þetta í huga þegar þið leysið dæmin.

Dæmi 9.44

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$ ⓑ $(4 \sqrt{3}) (2 \sqrt{12})$ .

Lausn

ⓐ

	2 · 6
Margfaldið með margfeldisreglunni.	12
Einfaldið rótarstæðuna.	4 · 3
Einfaldið.	2 3

ⓑ

	( 4 3 ) ( 2 12 )
Margfaldið með margfeldisreglunni.	8 36
Einfaldið rótarstæðuna.	8 · 6
Einfaldið.	48

Takið eftir að í b-lið margfölduðum við stuðlana saman og rótarstæðurnar saman. Við einfölduðum heldur ekki $\sqrt{12}$ . Við biðum þar til margfeldið var fengið og einfölduðum síðan.

Dæmi 9.45

Einfaldið: $(6 \sqrt{2}) (3 \sqrt{10})$ .

Lausn

	( 6 2 ) ( 3 10 )
Margfaldið með margfeldisreglunni.	18 20
Einfaldið rótarstæðuna.	18 4 · 5
Einfaldið.	18 · 2 · 5
	36 5

Þegar við eigum að margfalda ferningsrætur finnum við fyrst margfeldið og fjarlægjum síðan þætti sem eru ferningstölur.

Dæmi 9.46

Einfaldið: ⓐ $(\sqrt{8 x^{3}}) (\sqrt{3 x})$ ⓑ $(\sqrt{20 y^{2}}) (\sqrt{5 y^{3}})$ .

Lausn

ⓐ

	( 8 x³ ) ( 3 x )
Margfaldið með margfeldisreglunni.	24 x 4
Einfaldið rótarstæðuna.	4 x⁴ · 6
Einfaldið.	2 x 2 6

ⓑ

	( 20 y² ) ( 5 y³ )
Margfaldið með margfeldisreglunni.	100 y 5
Einfaldið rótarstæðuna.	10 y 2 y

Dæmi 9.47

Einfaldið: $(10 \sqrt{6 p^{3}}) (3 \sqrt{18 p})$ .

Lausn

	( 10 6 p³ ) ( 3 18 p )
Margfaldið.	30 108 p 4
Einfaldið rótarstæðuna.	30 36 p⁴ · 3
	30 · 6 p² · 3
	180 p 2 3

Dæmi 9.48

Einfaldið: ⓐ ${(\sqrt{2})}^{2}$ ⓑ ${(− \sqrt{11})}^{2}$ .

Lausn

ⓐ

	( 2 ) 2
Endurskrifið sem margfeldi.	( 2 ) ( 2 )
Margfaldið.	4
Einfaldið.	2

ⓑ

	( − 11 ) 2
Endurskrifið sem margfeldi.	( − 11 )
Margfaldið.	121
Einfaldið.	11

Niðurstöður síðasta dæmis leiða til eftirfarandi reglu.

Þar sem við vitum að það að hefja í annað veldi og taka ferningsrót eru andhverfar reikniaðgerðir getum við einfaldað ${(\sqrt{2})}^{2}$ og fengið 2 strax. Þegar við margföldum saman tvær líkar ferningsrætur í a-lið næsta dæmis jafngildir það því að hefja í annað veldi.

Dæmi 9.49

Einfaldið: ⓐ $(2 \sqrt{3}) (8 \sqrt{3})$ ⓑ ${(3 \sqrt{6})}^{2}$ .

Lausn

ⓐ

	( 2 3 ) ( 8 3 )
Margfaldið. Munið að ( 3 ) 2 = 3 .	16 · 3
Einfaldið.	48

ⓑ

	( 3 6 ) 2
Margfaldið.	9 · 6
Einfaldið.	54

Notið margföldun margliða til að margfalda ferningsrætur

Í næstu dæmum notum við dreifiregluna til að margfalda stæður með ferningsrótum.

Við dreifum fyrst og einföldum síðan ferningsræturnar þegar þess er kostur.

Dæmi 9.50

Einfaldið: ⓐ $3 (5 - \sqrt{2})$ ⓑ $\sqrt{2} (4 - \sqrt{10})$ .

Lausn

ⓐ

	3 ( 5 − 2 )
Margfaldið inn í svigann.	15 − 3 2

ⓑ

	2 ( 4 − 10 )
Margfaldið inn í svigann.	4 2 − 20
	4 2 − 2 5

Dæmi 9.51

Einfaldið: ⓐ $\sqrt{5} (7 + 2 \sqrt{5})$ ⓑ $\sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{18})$ .

Lausn

ⓐ

	5 ( 7 + 2 5 )
Margfaldið.	7 5 + 2 · 5
Einfaldið.	7 5 + 10
	10 + 7 5

ⓑ

	6 ( 2 + 18 )
Margfaldið.	12 + 108
Einfaldið.	4 · 3 + 36 · 3
	2 3 + 6 3
Sameinið líku rótarstæðurnar.	8 3

Þegar við unnum með margliður margfölduðum við tvíliði með tvíliðum. Munið að það gaf okkur fjögur margfeldi áður en við sameinuðum samkynja liði. Til að tryggja að öll fjögur margfeldin fengjust skipulögðum við vinnuna, yfirleitt með FOIL-aðferðinni, þar sem fremstu, ytri, innri og öftustu liðir eru margfaldaðir.

Dæmi 9.52

Einfaldið: $(2 + \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ .

Lausn

	( 2 + 3 ) ( 4 − 3 )
Margfaldið.	8 − 2 3 + 4 3 − 3
Leggið saman samkynja liði.	5 + 2 3

Dæmi 9.53

Einfaldið: $(3 - 2 \sqrt{7}) (4 - 2 \sqrt{7})$ .

Lausn

	( 3 − 2 7 ) ( 4 − 2 7 )
Margfaldið.	12 − 6 7 − 8 7 + 4 · 7
Einfaldið.	12 − 6 7 − 8 7 + 28
Leggið saman samkynja liði.	40 − 14 7

Dæmi 9.54

Einfaldið: $(3 \sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 4 \sqrt{5})$ .

Lausn

	( 3 2 − 5 ) ( 2 + 4 5 )
Margfaldið.	3 · 2 + 12 10 − 10 − 4 · 5
Einfaldið.	6 + 12 10 − 10 − 20
Leggið saman samkynja liði.	−14 + 11 10

Dæmi 9.55

Einfaldið: $(4 - 2 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$ .

Lausn

	( 4 − 2 x ) ( 1 + 3 x )
Margfaldið.	4 + 12 x − 2 x − 6 x
Leggið saman samkynja liði.	4 + 10 x − 6 x

Takið eftir að formúlur fyrir sérstök margfeldi auðvelduðu okkur vinnuna þegar við margfölduðum tvíliði fyrr í bókinni. Þetta á einnig við þegar við margföldum ferningsrætur. Formúlurnar sem við notuðum eru sýndar hér á eftir.

Við notum formúlurnar fyrir sérstök margfeldi í næstu dæmum. Við byrjum á ferningsreglu tvíliða.

Dæmi 9.56

Einfaldið: ⓐ ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ ⓑ ${(4 - 2 \sqrt{5})}^{2}$ .

Lausn

Gætið þess að hafa $2 a b$ -liðinn með þegar tvíliður er hafinn í annað veldi.

ⓐ Margfaldið með ferningsreglu tvíliða. Einfaldið.

Sameinið

samkynja liði.
ⓑ Margfaldið með ferningsreglu tvíliða. Einfaldið.

Sameinið

samkynja liði.

Dæmi 9.57

Einfaldið: ${(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$ .

Lausn


Margfaldið með ferningsreglu tvíliða.
Einfaldið.

Í næstu tveimur dæmum finnum við margfeldi samoka.

Dæmi 9.58

Einfaldið: $(4 - \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})$ .

Lausn


Margfaldið með ferningsreglu tvíliða.
Einfaldið.

Dæmi 9.59

Einfaldið: $(5 - 2 \sqrt{3}) (5 + 2 \sqrt{3})$ .

Lausn


Margfaldið með ferningsreglu tvíliða.
Einfaldið.

Verkefni úr hluta 9.4

Æfingin skapar meistarann

Margfaldið ferningsrætur

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

233.

ⓐ $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ ⓑ $(3 \sqrt{3}) (2 \sqrt{18})$

234.

ⓐ $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$ ⓑ $(3 \sqrt{2}) (2 \sqrt{32})$

235.

ⓐ $\sqrt{7} \cdot \sqrt{14}$ ⓑ $(4 \sqrt{8}) (5 \sqrt{8})$

236.

ⓐ $\sqrt{6} \cdot \sqrt{12}$ ⓑ $(2 \sqrt{5}) (2 \sqrt{10})$

237.

$(5 \sqrt{2}) (3 \sqrt{6})$

238.

$(2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{6})$

239.

$(−2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{18})$

240.

$(−4 \sqrt{5}) (5 \sqrt{10})$

241.

$(5 \sqrt{6}) (− \sqrt{12})$

242.

$(6 \sqrt{2}) (− \sqrt{10})$

243.

$(−2 \sqrt{7}) (−2 \sqrt{14})$

244.

$(−2 \sqrt{11}) (−4 \sqrt{22})$

245.

ⓐ $(\sqrt{15 y}) (\sqrt{5 y^{3}})$ ⓑ $(\sqrt{2 n^{2}}) (\sqrt{18 n^{3}})$

246.

ⓐ $(\sqrt{14 x^{3}}) (\sqrt{7 x^{3}})$ ⓑ $(\sqrt{3 q^{2}}) (\sqrt{48 q^{3}})$

247.

ⓐ $(\sqrt{16 y^{2}}) (\sqrt{8 y^{4}})$ ⓑ $(\sqrt{11 s^{6}}) (\sqrt{11 s})$

248.

ⓐ $(\sqrt{8 x^{3}}) (\sqrt{3 x})$ ⓑ $(\sqrt{7 r}) (\sqrt{7 r^{8}})$

249.

$(2 \sqrt{5 b^{3}}) (4 \sqrt{15 b})$

250.

$(3 \sqrt{8 c^{5}}) (2 \sqrt{6 c^{3}})$

251.

$(5 \sqrt{2 d^{7}}) (3 \sqrt{50 d^{3}})$

252.

$(4 \sqrt{6 t^{2}}) (3 \sqrt{3 t^{2}})$

253.

$(3 \sqrt{4 y^{4}}) (3 \sqrt{9 y^{5}})$

254.

$(−2 \sqrt{7 z^{3}}) (3 \sqrt{14 z^{8}})$

255.

$(4 \sqrt{2 k^{5}}) (−3 \sqrt{32 k^{6}})$

256.

ⓐ ${(\sqrt{7})}^{2}$ ⓑ ${(− \sqrt{15})}^{2}$

257.

ⓐ ${(\sqrt{11})}^{2}$ ⓑ ${(− \sqrt{21})}^{2}$

258.

ⓐ ${(\sqrt{19})}^{2}$ ⓑ ${(− \sqrt{5})}^{2}$

259.

ⓐ ${(\sqrt{23})}^{2}$
ⓑ ${(− \sqrt{3})}^{2}$

260.

ⓐ $(4 \sqrt{11}) (−3 \sqrt{11})$ ⓑ ${(5 \sqrt{3})}^{2}$

261.

ⓐ $(2 \sqrt{13}) (−9 \sqrt{13})$ ⓑ ${(6 \sqrt{5})}^{2}$

262.

ⓐ $(−3 \sqrt{12}) (−2 \sqrt{6})$ ⓑ ${(−4 \sqrt{10})}^{2}$

263.

ⓐ $(−7 \sqrt{5}) (−3 \sqrt{10})$ ⓑ ${(−2 \sqrt{14})}^{2}$

Notið margföldun margliða til að margfalda ferningsrætur

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

264.

ⓐ $3 (4 - \sqrt{3})$ ⓑ $\sqrt{2} (4 - \sqrt{6})$

265.

ⓐ $4 (6 - \sqrt{11})$ ⓑ $\sqrt{2} (5 - \sqrt{12})$

266.

ⓐ $5 (3 - \sqrt{7})$ ⓑ $\sqrt{3} (4 - \sqrt{15})$

267.

ⓐ $7 (−2 - \sqrt{11})$ ⓑ $\sqrt{7} (6 - \sqrt{14})$

268.

ⓐ $\sqrt{7} (5 + 2 \sqrt{7})$ ⓑ $\sqrt{5} (\sqrt{10} + \sqrt{18})$

269.

ⓐ $\sqrt{11} (8 + 4 \sqrt{11})$ ⓑ $\sqrt{3} (\sqrt{12} + \sqrt{27})$

270.

ⓐ $\sqrt{11} (−3 + 4 \sqrt{11})$ ⓑ $\sqrt{3} (\sqrt{15} - \sqrt{18})$

271.

ⓐ $\sqrt{2} (−5 + 9 \sqrt{2})$ ⓑ $\sqrt{7} (\sqrt{3} - \sqrt{21})$

272.

$(8 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$

273.

$(7 + \sqrt{3}) (9 - \sqrt{3})$

274.

$(8 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$

275.

$(9 - \sqrt{2}) (6 + \sqrt{2})$

276.

$(3 - \sqrt{7}) (5 - \sqrt{7})$

277.

$(5 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$

278.

$(1 + 3 \sqrt{10}) (5 - 2 \sqrt{10})$

279.

$(7 - 2 \sqrt{5}) (4 + 9 \sqrt{5})$

280.

$(\sqrt{3} + \sqrt{10}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{10})$

281.

$(\sqrt{11} + \sqrt{5}) (\sqrt{11} + 6 \sqrt{5})$

282.

$(2 \sqrt{7} - 5 \sqrt{11}) (4 \sqrt{7} + 9 \sqrt{11})$

283.

$(4 \sqrt{6} + 7 \sqrt{13}) (8 \sqrt{6} - 3 \sqrt{13})$

284.

$(5 - \sqrt{u}) (3 + \sqrt{u})$

285.

$(9 - \sqrt{w}) (2 + \sqrt{w})$

286.

$(7 + 2 \sqrt{m}) (4 + 9 \sqrt{m})$

287.

$(6 + 5 \sqrt{n}) (11 + 3 \sqrt{n})$

288.

ⓐ ${(3 + \sqrt{5})}^{2}$
ⓑ ${(2 - 5 \sqrt{3})}^{2}$

289.

ⓐ ${(4 + \sqrt{11})}^{2}$ ⓑ ${(3 - 2 \sqrt{5})}^{2}$

290.

ⓐ ${(9 - \sqrt{6})}^{2}$ ⓑ ${(10 + 3 \sqrt{7})}^{2}$

291.

ⓐ ${(5 - \sqrt{10})}^{2}$ ⓑ ${(8 + 3 \sqrt{2})}^{2}$

292.

$(3 - \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})$

293.

$(10 - \sqrt{3}) (10 + \sqrt{3})$

294.

$(4 + \sqrt{2}) (4 - \sqrt{2})$

295.

$(7 + \sqrt{10}) (7 - \sqrt{10})$

296.

$(4 + 9 \sqrt{3}) (4 - 9 \sqrt{3})$

297.

$(1 + 8 \sqrt{2}) (1 - 8 \sqrt{2})$

298.

$(12 - 5 \sqrt{5}) (12 + 5 \sqrt{5})$

299.

$(9 - 4 \sqrt{3}) (9 + 4 \sqrt{3})$

Blönduð verkefni

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

300.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$

301.

$(4 \sqrt{6}) (− \sqrt{18})$

302.

$(−5 + \sqrt{7}) (6 + \sqrt{21})$

303.

$(−5 \sqrt{7}) (6 \sqrt{21})$

304.

$(−4 \sqrt{2}) (2 \sqrt{18})$

305.

$(\sqrt{35 y^{3}}) (\sqrt{7 y^{3}})$

306.

$(4 \sqrt{12 x^{5}}) (2 \sqrt{6 x^{3}})$

307.

${(\sqrt{29})}^{2}$

308.

$(−4 \sqrt{17}) (−3 \sqrt{17})$

309.

$(−4 + \sqrt{17}) (−3 + \sqrt{17})$

Stærðfræði í daglegu lífi

310.

Garðyrkjumaður vill útbúa ferningslaga skrauttjörn við hlið þríhyrnds verandarpalls eins og sýnt er hér fyrir neðan. Pallurinn er rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar sem eru 9 fet og 11 fet að lengd og tjörnin verður upp við langhliðina.

ⓐ Notið setningu Pýþagórasar til að finna hliðarlengd laugarinnar. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr feti.
ⓑ Finnið nákvæmt flatarmál laugarinnar.

Myndin sýnir ferningslaga laug og pall í lögun rétthyrnds þríhyrnings. Hliðar laugarinnar eru x tommur á lengd, langhlið pallsins er x tommur og skammhliðar hans eru níu og ellefu tommur.

311.

Listamaður vill gera lítið minnismerki með ferningslaga undirstöðu og rétthyrndan þríhyrning ofan á eins og sýnt er hér fyrir neðan. Ferningslaga undirstaðan liggur upp að annarri skammhlið þríhyrningsins. Hin skammhlið hans verður 2 fet og langhliðin 5 fet.

ⓐ Notið setningu Pýþagórasar til að finna hliðarlengd ferningslaga undirstöðunnar. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr feti.
ⓑ Finnið nákvæmt flatarmál framhliðar ferningslaga undirstöðunnar.

312.

Ferningslaga garður verður afmarkaður með steinkanti á einni hlið. Ef aðeins $3 + \sqrt{10}$ fet af steini eru tiltæk skuluð þið einfalda ${(3 + \sqrt{10})}^{2}$ til að ákvarða flatarmál stærsta mögulega garðsins. Námundið svarið að næsta tíunda hluta úr feti.

313.

Garður verður gerður úr tveimur ferningslaga reitum, öðrum með hliðarlengdina $\sqrt{5} + \sqrt{6}$ stikur og hinum með hliðarlengdina $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ stikur. Einfaldið ${(\sqrt{5} + \sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}$ til að ákvarða heildarflatarmál garðsins. Námundið svarið að næsta tíunda hluta.

314.

Gerið ráð fyrir að þriðja reitnum verði bætt við garðinn í síðasta dæmi. Þriðji reiturinn á að vera $\sqrt{432}$ stikur á breidd. Skrifið stæðu sem gefur heildarflatarmál garðsins.

Ritunarverkefni

315.

ⓐ Útskýrið hvers vegna ${(− \sqrt{n})}^{2}$ er alltaf jákvætt þegar $n \geq 0$ .
ⓑ Útskýrið hvers vegna $- {(\sqrt{n})}^{2}$ er alltaf neikvætt þegar $n \geq 0$ .

316.

Notið ferningsreglu tvíliða til að einfalda ${(3 + \sqrt{2})}^{2}$ . Útskýrið öll skrefin.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjóra dálka og þrjár raðir. Dálkarnir heita „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Undir „Ég get …“ stendur „margfaldað ferningsrætur“ og „notað margföldun margliða til að margfalda ferningsrætur“. Aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni hlutans í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?


ⓐ Margfaldið með ferningsreglu tvíliða. Einfaldið.
Sameinið
samkynja liði.