7.8 Samlagningarregla líkindareiknings

Hingað til höfum við skoðað líkur einfaldra atburða, það er atburða sem lýst er með einu einföldu einkenni. Stundum viljum við þó rannsaka flóknari aðstæður. Ef háskólanemi er valinn af handahófi gætum við til dæmis viljað finna líkurnar á að viðkomandi sé annaðhvort í háskólaíþróttaliði eða bandarísku bræðra- eða systrafélagi. Þetta er samsettur atburður þar sem annað tveggja skilyrða getur verið uppfyllt. Einnig mætti finna líkurnar á að nemandinn sé bæði í íþróttaliði og slíku félagi. Í þessum hluta og þeim næsta skoðum við tvenns konar samsetta atburði: atburði sem byggjast á „eða“ og atburði sem byggjast á „og“. Við byrjum á þeim fyrrnefndu.

Áður en meginaðferðir þessa hluta eru kynntar þurfum við að skilgreina nokkur hugtök. Spil er dregið úr venjulegum stokki. Látum $H$ vera atburðinn „spilið er hjarta $♡$“, $T$ vera atburðinn „spilið er tía“ og $S$ vera atburðinn „spilið er spaði $♠$“. Ef gosinn $\text{J}♠$ er dreginn gerast $H$ og $T$ ekki en $S$ gerist. Ef tían $10♠$ er dregin gerist $H$ ekki en bæði $T$ og $S$ gerast.

Dæmin sýna að fleiri en einn atburður getur gerst samtímis, til dæmis $T$ og $S$. Þegar allar mögulegar útkomur eru skoðaðar sést hins vegar að $H$ og $S$ geta aldrei gerst samtímis; ekkert spil í stokknum er bæði hjarta $♡$ og spaði $♠$. Tveir atburðir sem geta ekki báðir gerst samtímis kallast ósamrýmanlegir atburðir. Skoðum dæmi til að skýra hugtakið.

Hvers vegna gildir formúlan? Gerum ráð fyrir að draga eigi Scrabble-flís úr poka með A, A, B, E, E, E, R, S, S og U. Hverjar eru líkurnar á að draga E eða S? Þrír flísar eru merktir E og tveir S, svo fimm af tíu flísum uppfylla skilyrðið. Líkurnar eru því $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Líkurnar á E eru $\frac{3}{10}$ og líkurnar á S eru $\frac{2}{10}$; samanlagt fæst $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}$. Teljararnir 3 og 2 tákna fjölda E-flísa annars vegar og S-flísa hins vegar. Samlagningarreglan gildir vegna þess að heildarfjöldi útkoma í öðrum hvorum atburðinum er summa fjölda útkoma í hvorum atburði fyrir sig.

Snúum aftur að dæminu um Scrabble-flísar. Pokinn inniheldur A, A, B, E, E, E, R, S, S og U. Látum $J$ vera atburðinn „sérhljóð er dregið“ og $K$ vera atburðinn „stafur sem kemur á eftir L í stafrófinu er dreginn“. Sérhljóðsflísarnir eru sex, svo $P(J)=\frac{6}{10}$. Fjórir flísar bera stafi sem koma á eftir L, svo $P(K)=\frac{4}{10}$. Hvert er $P(J\text{eða}K)$? Ef samlagningarreglunni er beitt án athugunar fæst $\frac{6}{10}+\frac{4}{10}=1$, sem merkti að samsetti atburðurinn $J$ eða $K$ væri öruggur. Hins vegar er hægt að draga B og þá gerist hvorki $J$ né $K$. Hvar er villan?

Atburðirnir eru ekki ósamrýmanlegir: útkoman U tilheyrir báðum og samlagningarreglan á því ekki við. Hægt er að víkka regluna svo finna megi líkurnar engu að síður; sú útvíkkun kallast samlagningar- og frádráttarregla. Ef líkurnar tvær eru aðeins lagðar saman er U talið tvisvar, bæði meðal þeirra sex útkoma sem teljari $\frac{6}{10}$ táknar og þeirra fjögurra sem teljari $\frac{4}{10}$ táknar. Þessi útkoma hefur því verið talin með tvisvar. Með því að draga frá eina talningu á U fæst rétt niðurstaða: $\frac{6}{10}+\frac{4}{10}-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$. Hugmyndina má alhæfa í formúlu fyrir alla samsetta atburði sem byggjast á „eða“.

Rétt er að taka fram að þessi formúla er útvíkkun samlagningarreglunnar. Samlagningarreglan krefst þess að $E$ og $F$ séu ósamrýmanlegir. Þá er samsetti atburðurinn $(E\text{og}F)$ ómögulegur og $P(E\text{og}F)=0$. Fyrir ósamrýmanlega atburði einfaldast samlagningar- og frádráttarreglan því í samlagningarregluna.