77 Líkindafræði

7.5 Grunnhugtök líkindafræði

Nærmynd af hendi sem heldur á tveimur teningum. — **Mynd 7.26.** Þegar tveimur teningum er kastað eru sumar útkomur, svo sem summan sjö, líklegri en aðrar, svo sem summan tólf. (mynd: „Dice Isn’t Just A Game; It's A Way of Life“ eftir Leah Love/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

skilgreint líkur, þar á meðal ómögulega og örugga atburði.
reiknað einfaldar fræðilegar líkur.
reiknað einfaldar reynslulíkur.
greint fræðilegar líkur, reynslulíkur og huglægar líkur hverjar frá öðrum.
reiknað líkur fylliatburðar.

Nú ræðst allt. Monopoly-leikurinn sem hófst fyrir mörgum klukkustundum er á lokasprettinum. Systir þín hefur teningana og ef hún fær summuna 4, 5 eða 7 lendir hún á einu besta svæðinu þínu og leiknum lýkur. Hve líklegt er að leiknum ljúki í næstu umferð? Er það líklegra en ekki? Hvernig má mæla líkurnar? Í þessum hluta kynnumst við aðferð til að mæla óvissu.

Inngangur að líkindum

Óvissa er í eðli sínu óljóst hugtak. Til að afmarka hana nægilega fyrir stærðfræðilega rannsókn einbeitum við okkur að óvissu í tilraunum. Tilraun er ferli með óþekkta útkomu og úrtaksrúmið er safn allra mögulegra útkoma. Þegar fjalla á um líkur tiltekinna útkoma eru þær stundum teknar saman. Í Monopoly-dæminu höfðum við til dæmis áhuga á köstum tveggja teninga sem gæfu summuna 4, 5 eða 7. Safn útkoma sem við höfum áhuga á kallast atburður. Atburður er með öðrum orðum hlutmengi úrtaksrúms tilraunar og inniheldur oft þær útkomur sem rannsakandinn vill skoða.

Þegar atburður sem við höfum áhuga á hefur verið skilgreindur má meta hve líklegur hann er með því að úthluta honum $E$ tölu. Fyrir atburð E kallast $P (E)$ talan líkur atburðarins og er táknuð P(E). Líkur atburðar eru tala frá 0 til 1, að báðum endapunktum meðtöldum. Ef líkurnar eru 0 er atburðurinn ómögulegur en atburður með líkur 1 er öruggur. Almennt verður atburður líklegri eftir því sem líkur hans eru hærri.

Dæmi 7.16

Öruggir og ómögulegir atburðir ákvarðaðir

Tilraun felst í að kasta venjulegum sex hliða teningi með hliðarnar merktar 1–6. Ákvarðaðu hvort eftirfarandi líkur séu 0, 1 eða þar á milli.

𝑃⁡(roll a 4) $P (fá 4)$
𝑃⁡(roll a 7) $P (fá 7)$
𝑃⁡(roll a positive number) $P (fá jákvæða tölu)$
𝑃⁡(roll a13) $P (fá \frac{1}{3})$
𝑃⁡(roll an even number) $P (fá slétta tölu)$
𝑃⁡(roll a single-digit number) $P (fá eins stafs tölu)$

Lausn

Byrjum á að finna úrtaksrúmið. Í einu kasti eru mögulegar útkomur {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Notum það til að meta líkurnar:

Talan 4 er í úrtaksrúminu og getur því komið upp, en hún kemur ekki örugglega upp. Því er 0 < P(fá 4) < 1. $0 < P (fá 4) < 1$
Talan 7 er ekki í úrtaksrúminu. Því er P(fá 7) = 0. $P (fá 7) = 0$
Allar útkomur úrtaksrúmsins eru jákvæðar tölur og atburðurinn er því öruggur. Þar af leiðandi er P(fá jákvæða tölu) = 1. $P (fá jákvæða tölu) = 1$
Þar sem $\frac{1}{3}$ 1/3 er ekki í úrtaksrúminu er P(fá 1/3) = 0. $P (fá \frac{1}{3}) = 0$
Sumar útkomur úrtaksrúmsins eru sléttar, 2, 4 og 6, en aðrar ekki. Því er 0 < P(fá slétta tölu) < 1. $0 < P (fá slétta tölu) < 1$
Allar útkomur úrtaksrúmsins eru eins stafs tölur og því er P(fá eins stafs tölu) = 1. $P (fá eins stafs tölu) = 1$

Þrjár leiðir til að úthluta líkum

Auðvelt er að úthluta líkum öruggra og ómögulegra atburða; þær eru 1 og 0. En hvað gerum við við atburði sem kunna að gerast eða ekki? Velja má milli þriggja aðferða við úthlutun líkinda. Við skoðum þær í röð eftir áreiðanleika.

Aðferð 1: Fræðilegar líkur

Fræðilega aðferðin gefur áreiðanlegastar niðurstöður en á ekki alltaf við. Ef úrtaksrúm tilraunar samanstendur af jafnlíklegum útkomum eru fræðilegar líkur atburðar hlutfall fjölda útkoma í atburðinum og fjölda útkoma í úrtaksrúminu.

Dæmi 7.17

Fræðilegar líkur reiknaðar

Venjulegur spilastokkur hefur 52 ólík spil sem hvert ber spilgildi, heiltölurnar 2–10 ásamt J, Q, K og A, og sort, $♣$ , $♢$ , $♡$ eða $♠$ . Stokknum er blandað vandlega og eitt spil dregið af handahófi, þannig að öll spil eru jafnlíkleg. Finndu fræðilegar líkur eftirfarandi atburða:

Spilið er $10 ♠$ .
Spilið er hjarta $♡$ .
Spilið er kóngur (K).

Lausn

Í stokknum eru 52 spil og því hefur úrtaksrúm hverrar þessara tilrauna 52 stök. Það verður nefnari allra líkinda hér.

Aðeins eitt 10 ♠ $10 ♠$ er í stokknum og atburðurinn inniheldur því eina útkomu. Því er P(10 ♠) = 1/52. $P (10 ♠) = \frac{1}{52}$
Í stokknum eru 13 hjörtu ♡ $♡ s$ og því er P(♡) = 13/52 = 1/4. $P (♡) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
Fjögur spil eru af hverju spilgildi og því er P(K) = 4/52 = 1/13. $P (K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

Dæmi 7.18

Töflur notaðar til að finna fræðilegar líkur

Í inngangi að grunnhugtökum líkindafræði skoðuðum við Monopoly-leik þar sem þú vinnur ef systir þín fær summuna 4, 5 eða 7 með tveimur venjulegum teningum. Hverjar eru líkur þessa atburðar? Notaðu töflur til að finna svarið.

Lausn

Líta má á tilraunina sem tvö þrep: (1) eitt teningakast og síðan (2) annað. Þótt köstin gerist yfirleitt samtímis eru þau óháð og því má meðhöndla þau sitt í hvoru lagi.

Skref 1: Úr því að þrepin eru tvö og óháð setjum við upp töflu (mynd 7.27), sem er sennilega hagkvæmasta leiðin til að finna úrtaksrúmið.

Tafla með sex röðum og sex dálkum. Dálkarnir tákna fyrri teninginn og eru merktir 1–6. Raðirnar tákna síðari teninginn og eru merktar 1–6. Gögnin eru: Röð 1: (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1). Röð 2: (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2). Röð 3: (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3). Röð 4: (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4). Röð 5: (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5). Röð 6: (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6). — **Mynd 7.27.** Mynd 7.27

Hver hinna 36 röðuðu tvennda í töflunni táknar jafnlíklega útkomu.

Skref 2: Til að auðvelda greininguna skiptum við hverri raðaðri tvennd út fyrir summuna (mynd 7.28).

Tafla með sex röðum og sex dálkum. Dálkarnir tákna fyrri teninginn og raðirnar þann síðari, bæði merkt 1–6. Gögnin eru: Röð 1: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Röð 2: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Röð 3: 4, 5, 6, 7, 8, 9. Röð 4: 5, 6, 7, 8, 9, 10. Röð 5: 6, 7, 8, 9, 10, 11. Röð 6: 7, 8, 9, 10, 11, 12. — **Mynd 7.28.** Mynd 7.28

Skref 3: Atburðurinn sem við skoðum samanstendur af summunum 4, 5 og 7. Skyggjum þær í töflunni (mynd 7.29).

Tafla með sex röðum og sex dálkum sem sýnir summur tveggja teninga. Summurnar 4, 5 og 7 eru skyggðar. Í fyrstu þremur röðunum eru öll þrjú gildin skyggð, í fjórðu röð 5 og 7 og í fimmtu og sjöttu röð 7. — **Mynd 7.29.** Mynd 7.29

Atburðurinn inniheldur 13 útkomur og líkurnar á að systir þín fái summu sem veldur því að hún tapi eru því $\frac{13}{36}$ .

Dæmi 7.19

Líkindatré notuð til að reikna fræðilegar líkur

Óhlutdrægum peningi er kastað upp þrisvar. Hverjar eru líkur hvers atburðar? Notaðu líkindatré.

Framhlið kemur nákvæmlega tvisvar upp.
Framhlið kemur einhvern tíma tvisvar í röð upp.
Öll þrjú köstin gefa sömu útkomu.

Lausn

Byggjum líkindatré til að finna úrtaksrúmið (mynd 7.30).

Líkindatré með fjórum þrepum. Hver hnútur greinist í H og T. Mögulegar útkomur eru HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH og TTT. — **Mynd 7.30.** Mynd 7.30

Úrtaksrúmið er {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} og hefur átta stök.

Nákvæmlega tvæ framhliðarköst koma fyrir í þremur útkomum, HHT, HTH og THH, og líkurnar eru því $\frac{3}{8}$ .
Tvö framhliðarköst í röð koma fyrir í þremur útkomum: HHH, HHT og THH. Líkurnar eru því $\frac{3}{8}$ .
Tvær útkomur sýna sömu niðurstöðu í öllum köstum, HHH og TTT. Líkurnar eru því $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

Fólk í stærðfræði

Gerolamo Cardano

Fyrsti þekkti textinn sem setti fram kerfisbundna aðferð við líkindareikning var skrifaður árið 1564 af Gerolamo Cardano (1501–1576). Cardano var læknir en þar sem hann var fæddur utan hjónabands stóðu honum ekki allar þær leiðir opnar sem annars hefðu staðið lækni til boða á Ítalíu á 16. öld. Hann greip því oft til fjárhættuspila til að ná endum saman. Cardano var afburðastærðfræðingur og notaði þekkingu sína til að öðlast forskot í spila- og teningaleikjum. Ritið Liber de ludo aleae, eða Bók um leiki tilviljunarinnar, tók saman þekkingu hans á líkindum. Ef mótspilarar hans hefðu fengið bókina í hendur hefði forskotið horfið. Hann leyfði því ekki að hún yrði gefin út meðan hann lifði; hún kom loks út árið 1663. Cardano lagði einnig annað til stærðfræðinnar: hann birti fyrstur lausnarformúlu fyrir jöfnur af þriðja stigi, þótt hann hefði ekki sjálfur fundið hana, og breiddi út notkun neikvæðra talna.

Aðferð 2: Reynslulíkur

Fræðilegar líkur eru nákvæmar en ekki alltaf reiknanlegar. Ef útkomur úrtaksrúmsins eru ekki jafnlíklegar dugir aðferðin ekki. Segjum að þú horfir á hafnaboltaleik og uppáhaldsleikmaðurinn þinn sé að fara að slá. Hverjar eru líkurnar á að hann nái höggi?

Hér er úrtaksrúmið {högg, ekki högg}. Það merkir ekki að líkur á höggi séu $\frac{1}{2}$ , því útkomurnar eru ekki jafnlíklegar. Fræðilega aðferðin á því ekki við. Í staðinn má skoða frammistöðu leikmannsins það sem af er tímabili: 122 högg í 531 tilraun. Þá mætti meta líkur á höggi í næstu ferð á slag sem $\frac{122}{531} \approx 0.23$ . Þegar fyrri endurtekningar tilraunar eru notaðar til að úthluta líkum næstu endurtekningar eru skilgreindar reynslulíkur. Þær eru hlutfall fjölda skipta sem atburðurinn gerðist í fyrri tilraunum af heildarfjölda þeirra.

Reynslulíkur eru ekki nákvæmar en þegar fyrri endurtekningar eru margar má búast við að þær nálgist réttar líkur. Ef fyrri tilraunir voru ekki gerðar við sömu aðstæður verða reynslulíkurnar óáreiðanlegri. Fyrir hafnaboltaleikmanninn mætti til dæmis bæta matið með því að skoða aðeins frammistöðu hans gegn örvhentum eða rétthentum kösturum, eftir því hvorhentur næsti kastari er.

Dæmi 7.20

Reynslulíkur metnar

Úthlutaðu reynslulíkum eftirfarandi atburða:

Jose æfir vítaskot á körfuboltavelli. Hann hitti úr 47 af síðustu 80 skotum. Hverjar eru líkurnar á að hann hitti úr næsta skoti?
Amy er að leggja af stað til vinnu að morgni. Í 12 af síðustu 60 ferðum kom hún til vinnu á innan við hálftíma. Hverjar eru líkurnar á að hún komist þangað á 30 mínútum eða skemur?
Felix spilar Yahtzee við systur sína. Hann vann 14 af síðustu 20 leikjum gegn henni. Hve líklegt er að hann vinni þennan leik?

Lausn

Þar sem Jose hitti úr 47 af síðustu 80 skotum metum við reynslulíkur þess að hann hitti úr sem $\frac{47}{80} \approx 59 %$ .
Amy lauk 12 af síðustu 60 ferðum á innan við 30 mínútum og því má meta líkurnar að þessu sinni sem $\frac{12}{60} = 20 %$ .
Felix hefur unnið 14 af síðustu 20 leikjum og því metum við líkur hans á sigri að þessu sinni sem $\frac{14}{20} = 70 %$ .

Aðferð 3: Huglægar líkur

Þegar hvorki er hægt að nota fræðilegar líkur né fyrri reynslu til að finna reynslulíkur er aðeins einn kostur eftir: að byggja mat á innsæi og úthluta huglægum líkum. Huglægar líkur eru líkur sem einstaklingur metur eingöngu út frá innsæi sínu.

Huglægar líkur eru notaðar þegar tilraun er aðeins gerð einu sinni eða hefur aldrei verið gerð. Þær geta verið mjög mismunandi milli einstaklinga og byggjast ekki á stærðfræðikenningu. Því gefum við ekki reikningsdæmi um þær, en mikilvægt er að þekkja þær; almennt eru þær mun ónákvæmari en reynslulíkur og fræðilegar líkur.

Dæmi 7.21

Aðgreining fræðilegra líkinda, reynslulíkinda og huglægra líkinda

Flokkaðu eftirfarandi líkur sem fræðilegar líkur, reynslulíkur eða huglægar líkur.

Sérvitur milljarðamæringur prófar glænýtt eldflaugakerfi og segir 15% líkur á bilun.
Fjórar sekúndur eru eftir af jöfnum úrslitaleik í körfubolta. Heimaliðið þarf þrjú stig til að jafna og knýja fram framlengingu. Sjónvarpslýsandi segir fyrirliðann eiga að taka síðasta þriggja stiga skotið því hann hafi 38% hittni, hærri en aðrir í liðinu.
Felix er að tapa Yahtzee-leik gegn systur sinni. Hann á eitt kast með tveimur teningum eftir og vinnur ef báðir sýna 4. Líkurnar eru um 2,8%.

Lausn

Tilraunin hefur aldrei verið gerð og uppgefnu líkurnar eru því huglægar.
Líklega hefur lýsandinn aðgang að frammistöðutölum leikmanna fyrir allt tímabilið. Uppgefnu líkurnar eru því sennilega reynslulíkur.
Kast tveggja teninga gefur úrtaksrúm jafnlíklegra útkoma og líkurnar eru því fræðilegar. Síðar í kaflanum lærum við að reikna þær.

Nýjar líkur út frá þekktum líkum: Fylliatburðir

Eitt markmið þess sem eftir er af kaflanum er að brjóta flókna líkindareikninga niður í einfaldari. Hér skoðum við fyrsta tækið til þess; hin koma síðar.

Fylliatburður E, $E$ táknaður $E$ E′, $E'$ er safn allra útkoma sem eru $E$ ekki í E. Hugtakið kemur úr mengjafræði. Þar sem sérhver útkoma úrtaksrúmsins er annaðhvort í E eða ekki í $E$ E $n (E) + n (E') = n (S)$ fæst n(E)+n(E′)=n(S). Ef $S$ útkomur S eru jafnlíklegar má reikna P(E)=n(E)/n(S) $P (E) = \frac{n (E)}{n (S)}$ $P (E') = \frac{n (E')}{n (S)}$ og P(E′)=n(E′)/n(S). Með samlagningu fæst

$\begin{matrix} P (E) + P (E') & = & \frac{n (E)}{n (S)} + \frac{n (E')}{n (S)} \\ = & \frac{n (E) + n (E')}{n (S)} \\ = & \frac{n (S)}{n (S)} \\ = & 1 \end{matrix}$

Ef P(E′) $P (E')$ er dregið frá báðum $P (E) = 1 - P (E')$ hliðum fæst P(E)=1−P(E′). Þótt afleiðingin hér geri ráð fyrir $S$ jafnlíklegum útkomum í S gildir síðasta jafnan alltaf.

Hvernig nýtist þetta? Stundum er auðveldara að reikna líkurnar á að atburður gerist ekki en að hann gerist. Ef atburður er skilgreindur með ójöfnu skilgreinist fylliatburðurinn með andstæðri ójöfnu: snúa þarf bæði stefnu ójöfnumerkisins og því hvort markgildið er meðtalið, eins og taflan sýnir.

Ef E er skilgreindur með:	þá er E ′ skilgreindur með:
	$\geq \geq$
$\leq \leq$	$> >$
$> >$	$\leq \leq$
$\geq \geq$

Dæmi 7.22

Fylliatburðaformúlan notuð til að reikna líkur

Ef venjulegum sex hliða teningi er kastað, hverjar eru líkurnar á tölu stærri en einn?
Ef tveimur venjulegum sex hliða teningum er kastað, hverjar eru líkurnar á summu 10 eða lægri?
Ef óhlutdrægum peningi er kastað upp þrisvar, hverjar eru líkurnar á að bakhlið komi að minnsta kosti einu sinni upp?

Lausn

Hér er úrtaksrúmið {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Auðvelt er að sjá að umræddar líkur eru 56 $\frac{5}{6}$ , því fimm útkomur tilheyra atburðinum „fá tölu stærri en 1“. Notum einnig nýju formúluna. Þar sem 𝐸 $E$ er skilgreint með ójöfnunni roll>1 $fá > 1$ er 𝐸′ $E'$ skilgreint með roll≤1 $fá \leq 1$ . Aðeins ein útkoma, 1, er í 𝐸′ $E'$ og því er 𝑃⁡(𝐸′)=16 $P (E') = \frac{1}{6}$ . Þar af leiðandi er 𝑃⁡(𝐸)=1−𝑃⁡(𝐸′)=56 $P (E) = 1 - P (E') = \frac{5}{6}$ .
Í dæmi 7.18 fundum við töflu jafnlíklegra útkoma fyrir kast tveggja teninga (mynd 7.31). Hér er E skilgreint með

ójöfnunni summa

≤ 10 $E$ og E′ með summa > $sum \leq 10$ 10. $E'$ Þrjár útkomur eru $sum > 10$ í E′, tvær ellefur og $E'$ ein tólf. Því er P(E)=1−P(E′)=1−3/36=11/12. $P (E) = 1 - P (E') = 1 - \frac{3}{36} = \frac{11}{12}$
Í Dæmi 7.15, fundum við að úrtaksrúmið hefur jafnlíklegu útkomurnar {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}. Atburðurinn 𝐸 $E$ er skilgreint með T≥1 $T \geq 1$ og því er 𝐸′ $E'$ er skilgreint með T<1 $T < 1$ . Eina útkoman í 𝐸′ $E'$ er sú fyrsta á listanum, þar sem bakhlið kemur aldrei upp. Því er 𝑃⁡(𝐸)=1−𝑃⁡(𝐸′)=1−18=78 $P (E) = 1 - P (E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ .

Prófaðu skilning þinn

Þú hefur tvo peninga, fimm senta pening og 25 senta pening, og kastar báðum upp. Finndu líkur eftirfarandi atburða:

Framhlið kemur upp á báðum.

Framhlið kemur upp á 25 senta peningnum.

Framhlið kemur upp á öðrum peningnum og bakhlið á hinum.

Bakhlið kemur þrisvar upp.

Ákvarðaðu hvort eftirfarandi líkur hafi líklega verið fundnar fræðilega, reynslubundið eða huglægt.

Pókerspilari á 16% líkur á að mynda lit með næsta spili.

Vinur þinn Jacob segir 20% líkur á að hann gifti sig á næstu fimm árum.

Ashley grunar að peningur sé hlutdrægur, kastar honum hundrað sinnum og fær framhlið 58 sinnum. Ashley metur því líkurnar á framhlið sem um 58%.

Ef óhlutdrægum peningi er kastað 50 sinnum eru líkurnar á 20 framhliðarköstum eða færri um 10,1%; síðar lærum við að staðfesta það.

E

Ef E er atburðurinn „fjöldi framhliðarkasta er 20 eða færri“, lýstu

E^{\prime}

E′ með ójöfnu.

Finndu P(E′).

P(E^{\prime} )

Æfingar úr hluta 7.5

Í eftirfarandi æfingum skoðum við tvo sérstaka sex hliða teninga. Hver hlið ber tölu og bókstaf. Fyrri teningurinn hefur hliðarnar 1A, 1B, 2A, 2C, 4A og 4E; sá síðari 1A, 1A, 2A, 2B, 3A og 3C. Allar hliðar eru jafnlíklegar.

Notaðu töflu til að finna úrtaksrúm þegar báðum teningum er kastað og summa sýnilegu talnanna skráð.

Hverjar eru líkurnar á summu minni en 8?

Hverjar eru líkurnar á summu stærri en 8?

Hverjar eru líkurnar á summu sem er 2 eða lægri?

Hverjar eru líkurnar á summu stærri en 2?

Hverjar eru líkurnar á sléttri summu?

Hverjar eru líkurnar á oddatölusummu?

Notaðu töflu til að finna úrtaksrúm þegar báðum teningum er kastað og bókstafirnir tveir skráðir.

Hverjar eru líkurnar á að ekkert A komi upp?

10.

Hverjar eru líkurnar á að að minnsta kosti eitt A komi upp?

11.

Hverjar eru líkurnar á að tvö A komi upp?

12.

Hverjar eru líkurnar á tveimur eins bókstöfum?

13.

Hverjar eru líkurnar á að bókstafur fyrri teningsins komi fyrr í stafrófinu en bókstafur þess síðari?

14.

Hverjar eru líkurnar á tveimur sérhljóðum?

15.

Hverjar eru líkurnar á tveimur samhljóðum?

16.

Hverjar eru líkurnar á einu samhljóði og einu sérhljóði?

Ákvarðaðu hvort líkurnar í eftirfarandi æfingum hafi líklega verið fundnar fræðilega, út frá reynslu eða huglægt.

17.

Carolyn víxlar tvær ertujurtir og sér að 8 af 25 afkvæmum hafa gular baunir. Hún ályktar því að líkurnar á gulum baunum hjá afkvæmi þessara jurta séu 32%.

18.

Í upphafi annar metur Malik 30% líkur á að fá A-einkunn í öllum námskeiðum.

19.

Abbie velur sér háskóla fyrir haustið og telur nú 80% líkur á að velja háskóla í heimafylki.

20.

Ef þremur venjulegum sex hliða teningum er kastað eru líkurnar á summunni 8 jafnar

\frac{{21}}{{216}}

21.

Samkvæmt appinu hefur Jason unnið 18 af síðustu 100 kapalleikjum. Líkurnar á að hann vinni næsta leik eru því um 18%.

22.

Jim og Anne eru í tíu manna félagi. Ef þrír eru valdir af handahófi í nefnd eru líkurnar á að bæði Jim og Anne verði valin

\frac{1}{{15}}

Notaðu eftirfarandi töflu yfir 15 leikmenn með flestar ferðir á slag (PA) í bandarísku úrvalsdeildinni í hafnabolta árið 2019 til að meta reynslulíkur atburðanna. Ferð á slag er tækifæri kylfings til að ná höggi. Aðrir dálkar sýna stig (R), högg (H), tvíhögg (2B), þríhögg (3B), heimahlaup (HR), göngur (BB) og útstrikanir (SO).

Nafn	Lið	PA	R	H	2B	3B	HR	BB	SO
Marcus Semien	OAK	747	123	187	43	7	33	87	102
Whit Merrifield	KCR	735	105	206	41	10	16	45	126
Ronald Acuna Jr.	ATL	715	127	175	22	2	41	76	188
Jonathan Villar	BAL	714	111	176	33	5	24	61	176
Mookie Betts	BOS	706	135	176	40	5	29	97	101
Rhys Hoskins	PHI	705	86	129	33	5	29	116	173
Jorge Polanco	MIN	704	107	186	40	7	22	60	116
Rafael Devers	BOS	702	129	201	54	4	32	48	119
Ozzie Albies	ATL	702	102	189	43	8	24	54	112
Eduardo Escobar	ARI	699	94	171	29	10	35	50	130
Xander Bogaerts	BOS	698	110	190	52	0	33	76	122
José Abreu	CHW	693	85	180	38	1	33	36	152
Pete Alonso	NYM	693	103	155	30	2	53	72	183
Freddie Freeman	ATL	692	113	176	34	2	38	87	127
Alex Bregman	HOU	690	122	164	37	2	41	119	83

23.

Mookie Betts slær heimahlaup í næstu ferð á slag.

24.

Xander Bogaerts er strikaður út í næstu ferð á slag.

25.

Jonathan Villar nær höggi í næstu ferð á slag.

26.

Rhys Hoskins fær göngu í næstu ferð á slag.

27.

José Abreu skorar stig í næstu ferð á slag.

28.

Eduardo Escobar slær þríhögg í næstu ferð á slag.

29.

Whit Merrifield slær tvíhögg í næstu ferð á slag.

30.

Ronald Acuna Jr. nær aukastöðvahöggi, tvíhöggi, þríhöggi eða heimahlaupi, í næstu ferð á slag.