7.4 Líkindatré, töflur og útkomur – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
77 Líkindafræði
7.4 Líkindatré, töflur og útkomur
7.4 Líkindatré, töflur og útkomur
Mynd 7.10. Í erfðafræði ráðast eiginleikar afkvæmis af eiginleikum foreldra þess. (mynd: „Pea Plant“ eftir Maria Keays/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Eftir þennan hluta áttu að geta:
ákvarðað úrtaksrúm tilraunar með einu þrepi.
notað töflur til að skrá mögulegar útkomur fjölþrepa tilraunar.
notað líkindatré til að skrá mögulegar útkomur fjölþrepa tilraunar.
Á 19. öld setti ágústínusarmunkurinn og vísindamaðurinn Gregor Mendel fram kenningu sína um erfðir á grundvelli athugana á ertujurtum. Hann rannsakaði afkvæmi sem urðu til þegar plöntur með ólíka eiginleika voru æxlaðar saman. Í slíkum verkefnum nægir oft ekki að vita aðeins á hve marga vegu ferli getur endað; við þurfum að geta skráð alla möguleikana. Eins og við höfum séð getur fjöldi mögulegra útkoma verið mjög mikill. Því er mikilvægt að hafa kerfisbundna aðferð til að skrá þær svo engin gleymist. Í þessum hluta skoðum við tvær slíkar aðferðir.
Einþrepa tilraunir
Í talningarfræði og líkindafræði hefur orðið „tilraun“ örlítið aðra merkingu en í náttúruvísindum. Tilraunir geta verið mjög einfaldar, svo sem að kasta upp peningi, eða mjög flóknar, svo sem að telja fjölda úransatóma sem klofna í tilteknu sýni á einni klukkustund. Útkoma tilraunar er óþekkt og ræðst yfirleitt af tilviljun þannig að endurtekin tilraun getur gefið aðra útkomu. Hver sem tilraunin er hefst greining hennar þó venjulega á því að finna úrtaksrúmið.
Úrtaksrúm tilraunar er mengi allra mögulegra útkoma hennar og er því oft skrifað sem mengi. Ef tilraunin er „veldu af handahófi tölu milli 1 og 4“ er úrtaksrúmið .
Dæmi 7.12
Úrtaksrúm tilraunar fundið
Finndu úrtaksrúm hverrar eftirfarandi tilraunar.
Kastaðu upp peningi, sem hefur tvær hliðar sem hér eru táknaðar H fyrir framhlið og T fyrir bakhlið, og skráðu hvor hliðin snýr upp.
Kastaðu upp peningi tíu sinnum og teldu hve oft framhliðin kemur upp.
Kastaðu sex hliða teningi og skráðu töluna sem snýr upp.
Kastaðu tveimur sex hliða teningum og skráðu summu talnanna sem snúa upp.
Lausn
Ef H táknar framhlið og T bakhlið er úrtaksrúmið {H, T}.
Mögulegt er, þótt ólíklegt sé, að framhliðin komi aldrei upp; þá er útkoman 0. Hún getur einnig aðeins komið einu sinni upp. Allar heiltölur upp að hámarkinu eru mögulegar. Þar sem kastað er tíu sinnum fæst úrtaksrúmið {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Teningurinn ber tölurnar 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Úrtaksrúm eins kasts er því {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Þegar tveimur teningum er kastað er minnsta mögulega summan 1+1=2 og sú stærsta er 6+6=12. Allar heiltölur milli þessara tveggja eru einnig mögulegar. Úrtaksrúmið er því {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Fjölþrepa tilraunir
Sumar tilraunir hafa flóknari úrtaksrúm vegna þess að þær gerast í þrepum. Þrepin geta verið í röð, eins og þegar spil eru dregin eitt í einu, eða samtímis, eins og þegar tveimur teningum er kastað. Úrtaksrúm verða flóknari eftir því sem tilraunin verður flóknari og því þarf kerfisbundna aðferð til að finna allar mögulegar útkomur. Fyrsta aðferðin sem við skoðum er tafla.
Töflur notaðar til að finna úrtaksrúm
Töflur nýtast við að finna úrtaksrúm tilrauna sem uppfylla tvö skilyrði: (1) Tilraunin hefur aðeins tvö þrep og (2) útkomur hvors þreps hafa engin áhrif á útkomur hins. Þegar þrepin hafa ekki áhrif hvort á annað segjum við þau óháð. Annars eru þau háð og þá er ekki hægt að nota töflu; síðar skoðum við aðferð til að greina háð þrep.
Dæmi 7.13
Óhæði ákvarðað
Ákvarðaðu hvort þrep eftirfarandi tilrauna séu óháð eða háð.
Kastaðu upp peningi og skráðu útkomuna; kastaðu honum síðan aftur og skráðu útkomuna.
Dragðu tvö spil, eitt í einu, úr venjulegum 52 spila stokki.
Lausn
Hver sem útkoma fyrsta kastsins er hefur annað kastið sama úrtaksrúm, {H, T}; stundum er sagt að peningurinn hafi ekkert minni. Þrepin eru því óháð.
Segjum að fyrsta spilið sé A . Úrtaksrúm síðari dráttarins inniheldur öll spil nema A , því spilið er ekki lengur í stokknum og verður ekki dregið aftur. Ef fyrsta spilið væri í staðinn 2 væri úrtaksrúmið annað: öll spil nema 2 . Þar sem úrtaksrúm síðara spilsins breytist eftir útkomu fyrsta dráttarins eru þrepin háð.
Ef tveggja þrepa tilraun hefur óháð þrep er tafla einfaldasta leiðin til að finna úrtaksrúmið. Útkomur annars þrepsins eru skráðar efst í töflunni og útkomur hins við hlið hennar. Reitirnir inni í töflunni eru síðan fylltir með útkomunum sem samsvara röð og dálki hvers reits. Skoðum dæmi.
Dæmi 7.14
Töflur notaðar til að finna úrtaksrúm
Finndu úrtaksrúm eftirfarandi tilrauna með töflum.
Kastaðu tveimur teningum, öðrum fjögurra hliða og hinum sex hliða.
Þú ert í ísbúð og ætlar að fá eina ískúlu með áleggi. Bragðtegundirnar sem koma til greina eru vanilluís, súkkulaðiís og hraunís; áleggið er súkkulaðisósa, þeyttur rjómi eða kökuskraut.
Ertujurtirnar sem þú ræktar geta haft græna eða gula belgi. Liturinn ræðst af tilteknu geni sem hefur tvær samsætur: „G“ fyrir grænt og „g“ fyrir gult. Í erfðafræði tákna hástafir yfirleitt ríkjandi samsætur en lágstafir víkjandi samsætur. Hver planta hefur tvær samsætur þessa gens. Ef Gg-jurt er æxluð við gg-jurt fær afkvæmið eina samsætu frá hvoru foreldri. Hverjar eru mögulegar útkomur?
Lausn
Skref 1: Teiknaðu upp töflu með útkomum kasts fjögurra hliða teningsins á öðrum jaðrinum og útkomum sex hliða teningsins á hinum. Í reynd skiptir ekki máli hvor fer hvar; hér setjum við útkomur fjögurra hliða teningsins efst sem dálkamerki og útkomur sex hliða teningsins til hliðar sem raðamerki, eins og taflan sýnir:
Kast fjögurra hliða tenings
1
2
3
4
Kast sex hliða tenings
1
2
3
4
5
6
Skref 2: Fylltu útkomurnar í hvern reit töflunnar hér fyrir neðan. Notaðu raðað tvennd og skráðu raðamerkið fyrst.
Kast fjögurra hliða tenings
1
2
3
4
Kast sex hliða tenings
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
Til dæmis táknar (3, 2) að sex hliða teningurinn sýni 3 og fjögurra hliða teningurinn 2. Úrtaksrúmið er {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)}.
Skref 1: Setjum bragðtegundirnar í raðir og áleggið í dálka eftirfarandi töflu:
Álegg
súkkulaðisósa
þeyttur rjómi
kökuskraut
Bragðtegundir
vanilluís
súkkulaðiís
hraunís
Skref 2: Nú fyllum við reiti töflunnar hér fyrir neðan með samantektunum sem fást.
Álegg
súkkulaðisósa
þeyttur rjómi
kökuskraut
Bragðtegundir
vanilluís
vanilluís með súkkulaðisósu
vanilluís með þeyttum rjóma
vanilluís með kökuskrauti
súkkulaðiís
súkkulaðiís með súkkulaðisósu
súkkulaðiís með þeyttum rjóma
súkkulaðiís með kökuskrauti
hraunís
hraunís með súkkulaðisósu
hraunís með þeyttum rjóma
hraunís með kökuskrauti
Úrtaksrúmið er {vanilluís með súkkulaðisósu, vanilluís með þeyttum rjóma, vanilluís með kökuskrauti, súkkulaðiís með súkkulaðisósu, súkkulaðiís með þeyttum rjóma, súkkulaðiís með kökuskrauti, hraunís með súkkulaðisósu, hraunís með þeyttum rjóma, hraunís með kökuskrauti}.
Skref 1: Setjum samsætur foreldranna (P1 og P2) sem raða- og dálkamerki í eftirfarandi töflu:
P2
g
g
P1
G
g
Skref 2: Fyllum töfluna hér fyrir neðan með arfgerð afkvæmisins og skráum samsætu foreldris 1 fyrst.
P2
g
g
P1
G
Gg
Gg
g
gg
gg
Úrtaksrúmið er því {Gg, Gg, gg, gg}. Slík skýringarmynd, sem sýnir mögulegar arfgerðir afkvæma, nefnist Punnett-reitur eftir Reginald Punnett (1875–1967), sem fyrstur notaði hana í erfðafræði.
Líkindatré notuð til að finna úrtaksrúm
Í tilraunum með fleiri en tvö þrep eða háð þrep er líkindatré gagnlegt til að finna úrtaksrúmið kerfisbundið. Fyrst er teiknaður einn punktur, eða hnútur. Frá honum er teiknuð ein grein fyrir hverja útkomu fyrsta þrepsins. Hver grein endar í eigin hnút, sem yfirleitt er merktur samsvarandi útkomu. Frá hverjum þeirra er síðan teiknuð ein grein fyrir hverja útkomu annars þrepsins, miðað við útkomu fyrsta þrepsins á viðkomandi grein. Ef þrepin eru fleiri er greinum og hnútum bætt við á sama hátt. Þetta hljómar flókið en skýrist best með dæmi.
Dæmi 7.15
Líkindatré notað til að finna úrtaksrúm
Notaðu líkindatré til að finna úrtaksrúm hverrar eftirfarandi tilraunar:
Kastaðu upp peningi þrisvar og skráðu útkomu hvers kasts í röð.
Kastaðu upp peningi. Ef H, það er framhlið, kemur upp kastarðu fjögurra hliða teningi; ef T, það er bakhlið, kemur upp kastarðu sex hliða teningi.
Þú hyggst fara í gönguferð með vinum. Þrjár leiðir koma til greina: Abel-leið, Borel-leið og Condorcet-leið. Vinkona þín Jess notar hjólastól; ef hún kemur með ræður hópurinn ekki við grýtta Condorcet-leiðina.
Lausn
Skref 1: Byrjum á að setja fyrsta hnútinn (Mynd 7.11.
Mynd 7.11
Skref 2: Bætum við tveimur greinum, einni fyrir hvora útkomu fyrsta peningakastsins, og merkjum þær (Mynd 7.12.
Mynd 7.12
Skref 3: Nú tekur annað þrep tilraunarinnar við, annað peningakast. Við hvern hnút bætum við greinum sem tákna útkomurnar (Mynd 7.13.
Mynd 7.13
Að lokum bætum við við greinum fyrir útkomur þriðja þrepsins (Mynd 7.14.
Mynd 7.14
(Þessir endahnútar kallast lauf.)
Skref 4: Skrá má útkomurnar í úrtaksrúminu með því að rekja leiðina að hverju laufi og skrá útkomuna við hvern hnút. Þetta lauf er til dæmis sýnt á (Mynd 7.15):
Skref 1: Merkjum leiðirnar A, B og C til hægðarauka. Þótt leiðirnar séu taldar fyrst í verkefninu geta þær ekki verið fyrsta þrepið, því tiltækar leiðir ráðast af því hvort Jess kemur með. Fyrsta þrepið er því hvort Jess kemur með (J) eða ekki (N) (Mynd 7.24.
Mynd 7.24
Skref 2: Skráum viðeigandi leiðir á hverja grein (Mynd 7.25.
Mynd 7.25
Úrtaksrúmið er því {JA, JB, NA, NB, NC}.
Prófaðu skilning þinn
Kastaðu upp peningi sex sinnum og skráðu hve oft framhliðin kemur upp. Hvert er úrtaksrúm tilraunarinnar?
Þú pantar máltíðartilboð á veitingastað. Það inniheldur annaðhvort 8 eða 12 kjúklingabita og val um rifflaðar franskar, hrokknar franskar eða laukhringi. Búðu til töflu til að finna úrtaksrúm mögulegra máltíða.
Þú þarft eitt námskeið í viðbót á stundaskrá næstu annar. Þú vilt taka Sögu 101 (H), Ensku 220 (E) eða Félagsfræði 112 (S). Tveir kennarar kenna sögu, Anderson (A) og Burr (B); Carter (C) kennir ensku; og þrír kenna félagsfræði, Johnson (J), Kirk (K) og Lambert (L). Búðu til líkindatré sem sýnir alla möguleika.
Finndu úrtaksrúmið úr æfingu 18.
Finndu úrtaksrúmið úr æfingu 19.
Æfingar úr hluta 7.4
Í eftirfarandi æfingum kastarðu sérstökum sex hliða teningi sem hefur litaðan bókstaf og litaða tölu á hverri hlið. Hliðarnar eru merktar: rauða talan 1 og blái bókstafurinn A; rauða talan 1 og græni bókstafurinn A; appelsínugula talan 1 og græni bókstafurinn B; appelsínugula talan 2 og rauði bókstafurinn C; fjólubláa talan 3 og brúni bókstafurinn D; appelsínugula talan 4 og blái bókstafurinn E. Kastaðu teningnum einu sinni og skráðu tiltekinn eiginleika hliðarinnar sem kemur upp. Finndu úrtaksrúmið:
1.
Skráðu töluna.
2.
Skráðu bókstafinn.
3.
Skráðu lit tölunnar.
4.
Skráðu lit bókstafsins.
5.
Skráðu töluna og bókstafinn.
6.
Skráðu töluna og lit hennar.
7.
Skráðu bókstafinn og lit hans.
Í dæmi 7.13 notuðum við töflu til að finna mögulegar arfgerðir afkvæmis þegar tvær ertujurtir voru æxlaðar; afkvæmið fær aðra af tveimur samsætum frá hvoru foreldri. Notaðu töflur til að finna úrtaksrúm afkvæma eftirfarandi foreldra:
8.
GG og gg
9.
GG og Gg
10.
Gg og Gg
Þú heimsækir pastastað þar sem velja má pastategund, cavatappi, ziti eða penne, og sósu, marinara, alfredo eða pestó.
11.
Búðu til töflu sem sýnir úrtaksrúm valkostanna.
12.
Skráðu úrtaksrúm pastastaðarins.
Þú vilt ramma inn nýtt myndverk. Þrjár viðartegundir koma til greina í rammann: eik, hlynur og kirsuberjaviður. Einnig velurðu passepartout í einum fjögurra lita sem passa við verkið: plómufjólubláum, ljósfjólubláum, bláfjólubláum eða fjólubláum.
13.
Búðu til töflu sem sýnir úrtaksrúm valkostanna.
14.
Skráðu úrtaksrúm innrömmunarvalkostanna.
Þú kaupir nýja fartölvu. Framleiðandinn býður skjástærðirnar 11, 13, 14, 15 og 17 tommur og fimm minnisstærðir: 4 GB, 8 GB, 12 GB, 16 GB og 32 GB.
15.
Búðu til töflu sem sýnir úrtaksrúm valkostanna.
16.
Skráðu úrtaksrúm fartölvuvalkostanna.
Ákvarðaðu í eftirfarandi æfingum hvort þrep tveggja þrepa tilraunanna séu óháð eða háð.
17.
Siobhan og Tristan ákveða hvar þau eigi að borða. Siobhan vill fara á Antoine’s, Burger Hut eða Chowder Palace. Tristan vill frekar Burger Hut, Chowder Palace eða Duck Duck Taco. Þau kasta upp peningi til að ákveða hvort þeirra velur og sá aðili velur síðan veitingastað af sínum lista.
18.
Í sjónvarpsleiknum The Price Is Right keppa þátttakendur í leikjum um verðlaun. Í leiknum „Let ’Em Roll“ kasta þeir fimm sex hliða teningum. Þrjár hliðar hvers tenings sýna bíl en hinar þrjár peningaverðlaun, 500, 1.000 og 1.500 dollara. Þátttakandi kastar öllum fimm teningunum og getur síðan unnið sér inn aukaköst. Ef allir sýna bíl vinnur hann nýjan bíl. Annars má endurkasta teningum sem sýna peninga til að reyna að vinna bílinn eða taka samanlagða peningaupphæð og hætta. Josh á alls tvö köst; þau eru þrep tilraunarinnar og skráð útkoma hvors þreps er fjöldi bíla sem sést.
19.
Í leiknum steinn, skæri, blað velur hvor tveggja leikmanna í leyni eitt af þessum þremur táknum. Þeir sýna val sitt samtímis með handabendingum. Ef valið er eins verður jafntefli; annars vinnur steinn á skærum, skæri á blaði og blað á steini. Jim og Eva ætla að spila og þrep tilraunarinnar eru val þeirra hvors um sig.
20.
Paul er á kappreiðavelli og ætlar að leggja daily double-veðmál þar sem hann spáir fyrir um sigurvegara tveggja hlaupa í röð. Hlaupin tvö eru þrep tilraunarinnar.
21.
Mishka leitar að lagi í glymskratta. Fyrst þarf að velja flytjanda og síðan eitt af lögum þess flytjanda. Þrep tilraunarinnar eru val flytjanda og val lags.
John spilar leik þar sem fyrst er kastað upp peningi og síðan teningi. Ef framhlið kemur upp kastar hann fjögurra hliða teningi; ef bakhlið kemur upp kastar hann sex hliða teningi.
22.
Teiknaðu líkindatré sem sýnir mögulegar útkomur leiksins.
23.
Gefðu upp úrtaksrúm leiksins.
Í rúllettu á spilavíti er hjóli með lituðum, tölusettum hólfum snúið. Samtímis er kúlu snúið í gagnstæða átt þannig að hún fellur eftir nokkra stund í eitt hólfanna. Leikmenn reyna að giska á litinn, rauðan, svartan eða grænan, eða töluna sem kemur upp.
24.
Teiknaðu líkindatré sem sýnir mögulegar litaútkomur þriggja snúninga.
25.
Gefðu upp úrtaksrúm þriggja þrepa tilraunarinnar.
26.
Siobhan og Tristan ákveða hvar þau eigi að borða. Siobhan vill fara á Antoine’s, Burger Hut eða Chowder Palace. Tristan vill frekar Burger Hut, Chowder Palace eða Duck Duck Taco. Þau kasta upp peningi til að ákveða hvort þeirra velur og sá aðili velur síðan veitingastað af sínum lista. Notaðu viðeigandi aðferð til að finna úrtaksrúm mögulegra útkoma, þar sem bæði kemur fram hver velur og hvaða veitingastaður verður fyrir valinu.
27.
Í sjónvarpsleiknum The Price Is Right keppa þátttakendur í leikjum um verðlaun. Í „Let ’Em Roll“ kasta þeir fimm sex hliða teningum sem sýna annaðhvort bíl eða 500, 1.000 eða 1.500 dollara. Kathleen á þrjú köst til að vinna bílinn og í fyrsta kasti sýndu þrír teningar bíl. Notaðu viðeigandi aðferð til að finna úrtaksrúm fjölda bíla eftir hvort kastanna sem eftir eru. Gefðu útkomurnar sem raðaðar tvenndir: (fjöldi bíla eftir annað kast, fjöldi bíla eftir þriðja kast).
28.
Í leiknum steinn, skæri, blað velur hvor tveggja leikmanna eitt af táknunum þremur og þeir sýna val sitt samtímis með handabendingum. Jim og Eva ætla að spila. Skráðu úrtaksrúm allra mögulegra útkoma fyrstu umferðarinnar sem raðaðar tvenndir á forminu (val Jims, val Evu).
