Mynd 7.33. Skafmiðar og margir aðrir leikir sýna vinningslíkur sem líkindahlutfall. (mynd: „My Scratch-off Winnings“ eftir Shoshanah/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
reiknað líkindahlutfall.
fundið líkindahlutfall út frá líkum.
fundið líkur út frá líkindahlutfalli.
Í tilteknu skafmiðahappdrætti eru tvær milljónir miða og 500.000 þeirra veita vinning. Tapmiðarnir eru því 1.500.000. Þegar áhætta af slíkum leik er metin getur verið gagnlegt að bera fjölda mögulegra vinninga saman við fjölda mögulegra tapa. Hér eru 500.000 vinningsmiðar bornir saman við 1.500.000 tapmiða. Með öðrum orðum eru þrír tapmiðar fyrir hvern vinningsmiða. Slíkur samanburður er viðfangsefni þessa hluta.
Líkindahlutföll reiknuð
Hlutfall fjölda jafnlíklegra útkoma í atburði og fjölda jafnlíklegra útkoma utan atburðarins, það er í , kallast líkindahlutfall með atburðinum. Andstæða hlutfallið, fjöldi útkoma í á móti fjölda útkoma í , kallast líkindahlutfall gegn atburðinum.
Dæmi 7.25
Líkindahlutföll reiknuð
Óhlutdrægum sex hliða teningi er kastað. Hvert er líkindahlutfallið með því að fá 5 eða hærri tölu?
Tveimur óhlutdrægum sex hliða teningum er kastað. Hvert er líkindahlutfallið gegn því að summan verði 7?
Spil er dregið af handahófi úr venjulegum stokki. Hvert er líkindahlutfallið með því að draga hjarta ?
Tvö spil eru dregin af handahófi úr venjulegum stokki. Hvert er líkindahlutfallið gegn því að bæði spilin séu spaðar ?
Lausn
Úrtaksrúm tilraunarinnar er {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tvær útkomur tilheyra atburðinum „fá 5 eða hærri tölu“ en fjórar tilheyra honum ekki. Líkindahlutfallið með því að fá 5 eða hærri tölu er því 2:4=1:2.
Í dæmi 7.18 fundum við úrtaksrúm tilraunarinnar með töflunni á
mynd 7.34
. Sex útkomur tilheyra atburðinum „summan verður 7“ og 30 útkomur tilheyra honum ekki. Líkindahlutfallið gegn því að summan verði 7 er því .
Í venjulegum stokki eru 13 spil í hjartasort og önnur spil. Líkindahlutfallið með því að draga hjarta er .
Hægt er á vegu að draga tvo og á vegu að draga tvö spil sem eru ekki bæði . Líkindahlutfallið gegn því að draga tvo er .
Líkindahlutfall sem hlutfall tveggja líkinda
Einnig má líta á líkindahlutfall sem hlutfall tveggja líkinda. Skoðum aftur skafmiðaleikinn úr upphafi hlutans, þar sem 500.000 af 2.000.000 miðum veita vinning. Ef einn miði er keyptur eru vinningslíkurnar og taplíkurnar . Hlutfall vinningslíkinda á móti taplíkum er og er því jafnt líkindahlutfallinu með vinningi.
Nota má þessar formúlur til að breyta líkum í líkindahlutföll og líkindahlutföllum í líkur.
Dæmi 7.26
Líkum breytt í líkindahlutfall
Fyrir hverjar eftirfarandi líkur atburðar skaltu finna samsvarandi líkindahlutfall með atburðinum og gegn honum.
Í síðasta skrefinu var hlutfallið einfaldað með því að margfalda báðar tölur þess með 5. Þar sem líkindahlutfallið með er er líkindahlutfallið gegn jafnt .
Notum formúluna aftur:
Í síðasta skrefinu var hlutfallið einfaldað með því að deila báðum tölum þess með 0,17. Líkindahlutfallið gegn er því um .
Breytum nú líkindahlutfalli í líkur. Gerum ráð fyrir að líkindahlutfallið með atburði E sé . Samkvæmt formúlunni hér að framan gildir . Þegar hlutföllunum er breytt í brot og jafnan leyst fyrir fæst:
Setjum þessa niðurstöðu fram sem formúlu.
Dæmi 7.27
Líkindahlutfalli breytt í líkur
Finndu ef :
Líkindahlutfallið með er
Líkindahlutfallið gegn er
Lausn
Með formúlunni sem við leiddum út fæst .
Ef líkindahlutfallið gegn E er er líkindahlutfallið með E . Með formúlunni fæst .
Prófaðu skilning þinn
Í eftirfarandi æfingum kastar þú sex hliða teningi sem hefur þrjár appelsínugular hliðar, tvær grænar og eina bláa.
Hvert er líkindahlutfallið með grænni hlið?
Hvert er líkindahlutfallið gegn blárri hlið?
Hvert er líkindahlutfallið með appelsínugulri hlið?
Hvert er líkindahlutfallið með atburði sem hefur líkurnar ?
Hvert er líkindahlutfallið gegn atburði sem hefur líkurnar ?
Hverjar eru líkur atburðar þegar líkindahlutfallið gegn honum er ?
Hverjar eru líkur atburðar þegar líkindahlutfallið með honum er ?
Æfingar úr hluta 7.7
Finndu líkur atburðanna þegar gefið er upp líkindahlutfallið með þeim.
1.
9 :4
2.
2 :3
3.
2 :3
4.
5 :4
5.
1 :50
6.
7 :5
7.
1 :7
8.
10 :9
Finndu líkur atburðanna þegar gefið er upp líkindahlutfallið gegn þeim.
9.
1 :8
10.
2 :3
11.
3 :2
12.
5 :4
13.
1 :50
14.
7 :5
15.
1 :7
16.
10 :9
Í eftirfarandi æfingum skaltu finna líkindahlutfallið með atburðum sem hafa uppgefnar líkur. Gefðu svarið sem hlutfall heiltalna. Ef hvorug talan er 1 skaltu einnig gefa svarið sem hlutfall þar sem önnur talan er 1 og hin er að minnsta kosti 1. Til dæmis má einfalda líkindahlutföllin
5
:
2
5
:
2
og
3
:
8
3
:
8
í hlutfallið
2
.
5
:
1
2.5
:
1
og
1
:
2
.
6
7
1
:
2.67
).
17.
27
18.
1217
19.
89
20.
38
21.
925
22.
67
23.
1013
24.
815
Í eftirfarandi æfingum skaltu finna líkindahlutfallið gegn atburðum sem hafa uppgefnar líkur. Gefðu svarið sem hlutfall heiltalna. Ef hvorug talan er 1 skaltu einnig gefa svarið sem hlutfall þar sem önnur talan er 1 og hin er að minnsta kosti 1. Til dæmis má einfalda líkindahlutfallið
5
:
2
5
:
2
og
3
:
8
3
:
8
í hlutfallið
2
.
5
:
1
2.5
:
1
og
1
:
2
.
6
7
1
:
2.67
).
25.
27
26.
1217
27.
89
28.
38
29.
925
30.
67
31.
1013
32.
815
Í eftirfarandi æfingum dregur þú úr stokki sem inniheldur aðeins þessi tíu spil:
A
♡
A
♡
,
A
♠
A
♠
,
A
♣
A
♣
,
A
♢
A
♢
,
K
♠
K
♠
,
K
♣
K
♣
,
Q
♡
Q
♡
,
Q
♠
Q
♠
,
J
♡
J
♡
,
J
♠
J
♠
.
33.
Látum vera atburðinn „ás er dreginn“.
Hverjar eru líkurnar P(
)? Hvert er líkindahlutfallið með
? Hvert er líkindahlutfallið gegn ?
34.
Látum vera atburðinn „hjarta
er dregið“. Hverjar eru líkurnar P(
)? Hvert er líkindahlutfallið með
? Hvert er líkindahlutfallið gegn ?
35.
Látum vera atburðinn „tveir spaðar eru dregnir án endurvals“.
