7.11 Væntigildi

Að þessum hluta loknum átt þú að geta:

Í mörgum tilraunum er tölugildi tengt hverri útkomu. Stundum er auðvelt að ákveða gildið; ef tveimur teningum er kastað er summa talnanna sem koma upp eðlilegt dæmi. Í sumum spilum hafa spilin mismunandi stigagildi. Í sumum gerðum rommís er ás til dæmis 15 stiga virði, tíur, gosar, drottningar og kóngar 10 stiga en öll önnur spil 5 stiga. Útkomum spilavítis- og happdrættisleikja fylgir fjárhæð sem vinnst eða tapast. Þessi útkomugildi eru notuð til að finna væntigildi tilraunar: meðaltal þeirra gilda sem kæmu fram ef tilraunin væri endurtekin mjög oft. Nánar er fjallað um meðaltöl í hlutanum Skilyrtar líkur og margföldunarregla líkindareiknings.

Skilgreiningin er þó nokkuð óljós: Hve margar endurtekningar teljast „mjög margar“? Það ræðst af tilrauninni. Fjöldinn þarf að vera svo mikill að búast megi við að hver útkoma komi fram að minnsta kosti nokkrum sinnum. Ef venjulegum sex hliða teningi er kastað og talan sem kemur upp skráð ættu nokkrir tugir kasta að duga til að meðaltalið verði lýsandi. Þar sem líkur $\frac{1}{6}$hverrar útkomu eru 1/6 mætti búast við að hver þeirra kæmi um átta sinnum upp í 48 köstum. Í Powerball-happdrættinu eru líkurnar á aðalvinningi hins vegar um 1/292.000.000. Þar $\frac{1}{292,000,000}$þyrfti nokkra milljarða endurtekninga til að jafnvel sjaldgæfustu útkomurnar kæmu nokkrum sinnum fram. Sem betur fer má finna fræðilegt væntigildi áður en tilraunin er framkvæmd í fyrsta sinn.

Skoðum nokkur atriði sem læra má af dæmi 7.37. Í fyrsta lagi sýna liðir 1 og 3 að væntigildi tilraunar þarf ekki að vera gildi sem getur komið fram í tilrauninni. Væntigildi er túlkað sem meðaltal og meðaltal talnasafns þarf ekki að vera ein talnanna í safninu.

Í öðru lagi var væntigildið í fyrsta lið, 3,5, einfaldlega meðaltal talnanna á hliðum teningsins: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5. $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$Það er engin tilviljun. Ef brotið er sundur samkvæmt samlagningunni í teljaranum fæst $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}$1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6, sem má rita $1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}$1$\times \text{⁠}$1/6+2$\times \text{⁠}$1/6+3$\times \text{⁠}$1/6+4$\times \text{⁠}$1/6+5$\times \text{⁠}$1/6+6$\times \text{⁠}$1/6. Þetta er nákvæmlega útreikningurinn sem við notuðum til að finna væntigildið. Væntigildi má alltaf líta á sem sérstaka gerð meðaltals, vegið meðaltal, þar sem vogirnar eru líkurnar sem fylgja hverju gildi. Þegar allar líkurnar eru jafnar er vegið meðaltal sama og venjulegt meðaltal.

Eins og fram kom er væntigildi tilraunar meðaltal gildanna sem við myndum sjá ef tilraunin væri endurtekin mjög oft. Þessi túlkun leiðir af mikilvægu lögmáli líkindafræðinnar sem kallast lögmál stórra talna. Notum hana til að túlka niðurstöður dæmisins hér á undan.

Nú þegar við kunnum að finna og túlka væntigildi getum við beitt þeim. Segjum að einhver bjóði þér leik: Ef 6 kemur upp á teningi færðu 10 dollara en ef 5 eða lægri tala kemur upp taparðu einum dollara. Myndirðu vilja taka þátt? Líkurnar á vinningi eru 1/6 $\frac{1}{6}$og líkurnar á tapi 5/6, $\frac{5}{6}$svo væntigildið er 10$$\times \text{⁠}$1/6+(−1$)$\times \text{⁠}$5/6=5/6≈0,83$. $\$10\times \frac{1}{6}+(-\$1)\times \frac{5}{6}=\frac{5}{6}\approx \$0.83$Að meðaltali kemurðu því um 83 sentum betur út í hverjum leik; þetta eru góð kjör. Ef vinningurinn fyrir 6 lækkar hins vegar í 3 dollara verður væntigildið 3$$\times \text{⁠}$1/6+(−1$)$\times \text{⁠}$5/6=−1/3≈−0,33$. $\$3\times \frac{1}{6}+(-\$1)\times \frac{5}{6}=-\frac{1}{3}\approx -\$0.33$Þá má búast við að tapa um 33 sentum að meðaltali í hverjum leik og því er óhagstætt að taka þátt. Spilavíti og happdrættisfyrirtæki hagnast almennt með þessum hætti: hver leikur hefur neikvætt væntigildi fyrir leikmanninn.