77 Líkindafræði

7.10 Tvíkostadreifing

Hafnaboltavöllur þar sem leikur stendur yfir. Kastari kastar boltanum að kylfingi við heimahöfn. — **Mynd 7.45.** Ef annað hafnaboltaliðið hefur 65% líkur á að vinna hitt í hverjum leik, hve líklegt er að það vinni einvígi þar sem vinna þarf fjóra af allt að sjö leikjum? (mynd: „baseball game“ eftir Britt Reints/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

þekkt tvíkostatilraunir.
notað tvíkostadreifingu til að greina tvíkostatilraunir.

Nú er komið að úrslitaröðinni World Series, þar sem meistari tímabilsins í bandarísku atvinnudeildinni í hafnabolta er krýndur. Baráttuglaða liðið Los Angeles Angels mætir stórveldinu Cincinnati Reds. Tölvulíkön meta líkurnar á að Reds vinni hvern einstakan leik gegn Angels um 65%. World Series er þó ekki einn leikur heldur einvígi þar sem vinna þarf fjóra af allt að sjö leikjum. Liðin mætast þar til annað hefur unnið fjóra leiki; það getur tekið sjö leiki ef hvort lið vinnur þrjá af fyrstu sex. Ef Reds hefur í raun 65% líkur á sigri í hverjum leik ættu líkurnar á sigri liðsins í einvíginu að vera meiri en 65%. Hve miklu meiri?

Með nægri þolinmæði mætti nota líkindatré eins og í dæmi 7.33 til að rekja allar mögulegar útkomur, finna líkurnar á þeim og leggja saman líkurnar þar sem Reds vinnur einvígið. Slíkt tré hefði $2^{7} = 128$ lokahnúta og útreikningarnir yrðu því mjög seinlegir. Sem betur fer höfum við aðferðir sem finna þessar líkur hratt. Í þessum hluta kynnumst við þeim og notkun þeirra.

Tvíkostatilraunir

Aðferðir þessa hluta eiga við fjölþrepa tilraunir sem uppfylla tiltekin skilyrði. Áður en greiningin hefst þarf að kynna skilyrðin svo unnt sé að þekkja tilraunir af þessari gerð. Tilraunir sem uppfylla þau öll kallast tvíkostatilraunir. Tvíkostatilraun hefur fyrir fram ákveðinn fjölda endurtekinna, óháðra Bernoulli-tilrauna þar sem líkurnar á jákvæðri útkomu eru þær sömu í hvert sinn.

Endurteknar Bernoulli-tilraunir

Fyrsta skilyrðið varðar gerð þrepanna. Hvert þrep tilraunarinnar á að vera endurtekning hinna þrepanna; slíka endurtekningu köllum við Bernoulli-tilraun. Dæmi er að kasta upp peningi tíu sinnum: hvert kast er ein Bernoulli-tilraun og öll fara fram við sömu skilyrði. Hver Bernoulli-tilraun verður jafnframt að hafa aðeins tvær mögulegar útkomur. Þær eru yfirleitt kallaðar „jákvæð útkoma“ og „neikvæð útkoma“, þótt ekki felist endilega jákvæð eða neikvæð merking í heitunum. Stundum eru tilraunir með fleiri en tvær útkomur endurskilgreindar svo útkomuflokkarnir verði aðeins tveir. Þá skiptum við úrtaksrúminu í tvo hluta sem merkja má „jákvæða útkomu“ og „neikvæða útkomu“. Einkunn á prófi gæti til dæmis verið A, B, C, D eða F, en við gætum talið A, B, C og D jákvæðar útkomur en F neikvæða. Bernoulli-tilraunir hafa aðeins tvær útkomur; enska orðið binomial er dregið af latneskum og grískum rótum sem merkja „tveir hlutar“.

Óháðar Bernoulli-tilraunir

Næsta skilyrði er óhæði Bernoulli-tilraunanna. Í hlutanum Trjárit, töflur og útkomur sögðum við að tvö þrep tilraunar væru óháð ef útkoma annars hefði ekki áhrif á hitt. Óhæði er nauðsynlegt í tilraununum sem við greinum í þessum hluta.

Fastur fjöldi Bernoulli-tilrauna

Næst krefjumst við þess að fjöldi Bernoulli-tilrauna sé ákveðinn áður en heildartilraunin hefst. Til dæmis mætti segja „kastaðu upp peningi tíu sinnum“; þá er fjöldinn fastur, tíu. Ef sagt er „kastaðu upp peningi þar til framhlið hefur komið fimm sinnum“ gætu köstin orðið allt frá fimm upp í fimmtíu, hundrað eða fleiri. Aðferðir þessa hluta eiga ekki við þegar fjöldi Bernoulli-tilrauna er óákveðinn.

Fastar líkur

Síðasta skilyrði tvíkostatilrauna tengist óhæði Bernoulli-tilraunanna. Tryggja þarf að líkurnar á jákvæðri útkomu séu þær sömu í hverri Bernoulli-tilraun.

Dæmi 7.34

Tvíkostatilraunir þekktar

Ákvarðaðu hvort hvert eftirfarandi dæmi sé tvíkostatilraun. Ef svo er ekki skaltu tilgreina hvaða skilyrði eru brotin.

Þú kastar venjulegum sex hliða teningi tíu sinnum og skráir töluna sem kemur upp í hvert sinn.
Þú kastar venjulegum sex hliða teningi tíu sinnum og skráir hvort 6 kemur upp eða ekki.
Þú kastar venjulegum sex hliða teningi þar til 6 kemur upp.
Þú kastar venjulegum sex hliða teningi tíu sinnum. Í fyrsta kastinu skilgreinum við jákvæða útkomu sem tölu 4 eða hærri. Eftir það er jákvæð útkoma tala sem er hærri en talan í kastinu á undan.

Lausn

Þar sem við skráum hverja af sex mögulegum útkomum hefur hver Bernoulli-tilraun ekki aðeins tvær útkomur. Þetta er því ekki tvíkostatilraun.
Mögulegu útkomurnar eru tvær, „6“ og „ekki 6“, Bernoulli-tilraunirnar eru óháðar, líkurnar á jákvæðri útkomu eru alltaf þær sömu og fjöldi Bernoulli-tilrauna er fastur. Þetta er tvíkostatilraun.
Fjöldi Bernoulli-tilrauna er ekki fastur; við vitum ekki hvort fyrsta 6 kemur upp í fyrsta kasti, því tuttugasta eða einhvers staðar þar á milli. Þetta er því ekki tvíkostatilraun.
Hér geta líkurnar á jákvæðri útkomu breyst í hverju kasti. Í fyrsta kasti eru þær $\frac{1}{2}$ ; sýni fyrra kastið 6 eru líkurnar í næsta kasti núll. Þetta er því ekki tvíkostatilraun.

Tvíkostaformúlan

Ef peningi er kastað upp hundrað sinnum mætti búast við að framhlið kæmi um fimmtíu sinnum upp, en líklega kæmi ekki á óvart að fjöldinn yrði 47 eða 52. Hverjar eru líkurnar á að framhlið komi nákvæmlega fimmtíu sinnum upp? Eða á að fjöldinn verði á bilinu 45–55? Fleiri en sjötíu framhliðarútkomur virðast ólíklegar. Nákvæmlega hve ólíklegar?

Allar spurningarnar varða fjölda jákvæðra útkoma í tvíkostatilraun, þar sem peningi er kastað upp hundrað sinnum og framhlið er jákvæð útkoma. Fræðilega mætti nota fyrri aðferðir til að svara spurningunum, en útreikningarnir yrðu stjarnfræðilega margir. Eitt líkindatréð hefði 2^100≈1,3×10^30 lokahnúta og ekki $2^{100} \approx 1.3 \times 10^{30}$ væri hægt að ljúka því á mannsævi. Til samanburðar: Ef við teiknuðum þúsund punkta á sekúndu frá Miklahvelli værum við nú komin um 0,00000003% af leiðinni. Sem betur fer veitir tvíkostaformúlan styttri leið.

Notum formúluna til að svara einni spurningunni um hundrað peningaköst. Hverjar eru líkurnar á að framhlið komi nákvæmlega fimmtíu sinnum upp? Hér eru $n = 100$ , $p = \frac{1}{2}$ og $a = 50$ , svo $P (framhlið kemur 50 sinnum upp) = {}_{100}C_{50} \times {(\frac{1}{2})}^{50} \times {(1 - \frac{1}{2})}^{100 - 50}$ . Margar reiknivélar ráða illa við þennan útreikning: fyrsti þátturinn, $_{100} C_{50}$ , er gríðarstór en hinir tveir mjög nálægt núlli. Jafnvel þótt reiknivélin ráði við svo stórar eða litlar tölur getur reikningurinn valdið verulegum námundunarvillum.

Dæmi 7.35

Tvíkostaformúlunni beitt

Finndu án tæknibúnaðar líkurnar á að kasta venjulegum sex hliða teningi fjórum sinnum og fá nákvæmlega eina sexu.
Finndu með tæknibúnaði líkurnar á að kasta venjulegum sex hliða teningi sextíu sinnum og fá nákvæmlega tíu sexur.
Finndu með tæknibúnaði líkurnar á að kasta venjulegum sex hliða teningi sextíu sinnum og fá nákvæmlega átta sexur.

Lausn

Beitum tvíkostaformúlunni þar sem $n = 4$ , $a = 1$ og $p = \frac{1}{6}$ :
$\begin{matrix} P (ein sexa) & = & {}_{4}{C_{1}} \times {(\frac{1}{6})}^{1} \times {(\frac{5}{6})}^{4 - 1} \\ = & \frac{4!}{1! (4 - 1)!} \times \frac{1}{6} \times {(\frac{5}{6})}^{3} \\ = & 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{5^{3}}{6^{3}} \\ = & \frac{4 \times 5^{3}}{6^{4}} \\ = & \frac{500}{1,296} . \end{matrix}$
Hér eru $n = 60$ , $a = 10$ og $p = \frac{1}{6}$ . Í Google Sheets sláum við inn „=BINOMDIST(10, 60, 1/6, FALSE)“ og fáum 0,137.
Þessi tilraun er eins og í öðrum lið dæmisins, nema fjölda jákvæðra útkoma er breytt úr 10 í 8. Með þeirri breytingu í Google Sheets-formúlunni fást líkurnar 0,116.

Tvíkostadreifingin

Þegar áhugi beinist að líkum fleiri en einnar útkomu í tvíkostatilraun er gagnlegt að líta á tvíkostaformúluna sem fall. Inntak þess er fjöldi jákvæðra útkoma en úttakið eru líkurnar á þeim fjölda. Þegar Bernoulli-tilraunir eru fáar setjum við fallið yfirleitt fram sem töflu með öllum mögulegum útkomum í öðrum dálkinum og líkum þeirra í hinum.

Segjum til dæmis að Kristen æfi vítaskot í körfubolta og gerum ráð fyrir að hún hitti úr hverju skoti með 82% líkum. Ef hún tekur fimm vítaskot gefur tvíkostaformúlan eftirfarandi líkur:

Fjöldi heppnaðra skota	Líkur
0	0.000189
1	0.004304
2	0.0392144
3	0.1786432
4	0.4069096
5	0.3707398

Tafla sem sýnir allar mögulegar útkomur tilraunar og líkur þeirra er dæmi um líkindafall, skammstafað PDF í frumtextanum. Líkindafall getur einnig verið formúla sem gefur líkur hverrar útkomu tilraunar.

Ef finna á líkur á tilteknu bili útkoma má leggja saman viðeigandi líkur. Í dæminu um vítaskot Kristen finnum við líkurnar á að hún hitti úr þremur eða færri af fimm skotum með því að leggja saman líkurnar á útkomunum 0, 1, 2 og 3:

\begin{matrix} P (heppnuð skot eru þrjú eða færri) & = & P (a = 0) + P (a = 1) + P (a = 2) + P (a = 3) \\ = & 0.000189 + 0.004304 + 0.0392144 + 0.1786432 \\ = & 0.2223506 \end{matrix}

Líkurnar á að útkoma tilraunar sé minni en eða jöfn tiltekinni tölu kallast safnlíkur. Tafla yfir safnlíkur allra mögulegra útkoma tilraunar er dæmi um dreififall, skammstafað CDF. Dreififall getur einnig verið formúla sem gefur safnlíkurnar.

Hér eru líkindafallið og dreififallið fyrir vítaskot Kristen:

Fjöldi heppnaðra skota	Líkur	Safnlíkur
0	0.000189	0.000189
1	0.004304	0.004493
2	0.0392144	0.0437073
3	0.1786432	0.2223506
4	0.4069096	0.6292602
5	0.3707398	1

Dæmi 7.36

Dreififalli tvíkostadreifingar beitt

Segjum að kasta eigi upp óhlutdrægum peningi fimmtíu sinnum. Látum $H$ tákna hve oft framhlið kemur upp. Notaðu tæknibúnað til að finna eftirfarandi:

𝑃⁡(𝐻≤22) $P (H \leq 22)$
𝑃⁡(𝐻<26) $P (H < 26)$
𝑃⁡(𝐻>28) $P (H > 28)$
𝑃⁡(𝐻≥20) $P (H \geq 20)$
𝑃⁡(20<𝐻<25) $P (20 < H < 25)$

Lausn

Atburðurinn er skilgreindur með $H \leq 22$ , sem er sú gerð ójöfnu sem dreififallið krefst. Í Google Sheets sláum við inn „=BINOMDIST(22, 50, 0.5, TRUE)“ og fáum svarið 0,2399.
Þessi atburður notar rangt ójöfnumerki og því þarf að vinna nokkra undirbúningsvinnu. Ef 𝐻<26 $H < 26$ , þá er 𝐻≤25 $H \leq 25$ (því 𝐻 $H$ verður að vera heiltala). Við sláum því inn „=BINOMDIST(25, 50, 0.5, TRUE)“ til að finna 𝑃⁡(𝐻<26)=𝑃⁡(𝐻≤25)=0.5561 $P (H < 26) = P (H \leq 25) = 0.5561$ .
Ójöfnumerkið sem lýsir þessum atburði vísar í ranga átt. Ef 𝐸 $E$ táknar atburðinn 𝐻>28 $H > 28$ , þá inniheldur 𝐸 $E$ útkomurnar {29, 30, 31, 32, 33, …}. Þá hlýtur 𝐸′ $E'$ að innihalda útkomurnar {…, 25, 26, 27, 28}. Með öðrum orðum er 𝐸′ $E'$ skilgreindur með 𝐻≤28 $H \leq 28$ . Þar sem notað er ≤ $\leq$ getum við fundið 𝑃⁡(𝐸′) $P (E')$ með „=BINOMDIST(28, 50, 0.5, TRUE)“: 0,8389. Þá gefur reglan um líkur á fylliatburði:
𝑃⁡(𝐸)=1−𝑃⁡(𝐸′)=1−0.8389=0.1611. $\begin{matrix} P (E) = 1 - P (E') \\ = 1 - 0.8389 \\ = 0.1611. \end{matrix}$
Eins og í lið 3 vísar ójöfnumerkið í ranga átt. Ef 𝐹 $F$ táknar atburðinn 𝐻≥20 $H \geq 20$ , þá inniheldur 𝐹 $F$ útkomurnar {20, 21, 22, 23, …}. Það þýðir að 𝐹′ $F'$ inniheldur útkomurnar {…, 16, 17, 18, 19} og því er 𝐹′ $F'$ skilgreindur með 𝐻≤19 $H \leq 19$ . Við getum því fundið 𝑃⁡(𝐹′) $P (F')$ með „=BINOMDIST(19, 50, 0.5, TRUE)“: 0,0595. Að lokum gefur reglan um líkur á fylliatburði:
𝑃⁡(𝐹)=1−𝑃⁡(𝐹′)=1−0.0595=0.9405. $\begin{array}{l} P (F) = 1 - P (F') \\ = 1 - 0.0595 \\ = 0.9405. \end{array}$
Ef 20<𝐻<25 $20 < H < 25$ , þá höfum við áhuga á útkomunum {21, 22, 23, 24}. Þetta líkist ekki fyrri tilvikum en finna má líkurnar með dreififalli tvíkostadreifingar. Við þurfum að orða allt með „minni en eða jafnt“. Fyrst tökum við eftir að allar útkomurnar eru minni en eða jafnar 24, en við viljum ekki hafa með gildi sem eru minni en eða jöfn 20. Við skilgreinum því þrjá atburði: látum 𝐼 $I$ vera atburðinn sem skilgreindur er með 20<𝐻<25 $20 < H < 25$ (athugaðu að við viljum finna 𝑃⁡(𝐼) $P (I)$ ). Látum 𝐽 $J$ vera skilgreindan með 𝐻≤24 $H \leq 24$ , og látum 𝐾 $K$ vera skilgreindan með 𝐻≤20 $H \leq 20$ . Af þessum þremur atburðum inniheldur 𝐽 $J$ flestar útkomur. Ef 𝐽 $J$ gerist verður annaðhvort 𝐾 $K$ eða 𝐼 $I$ að hafa gerst. Auk þess eru 𝐾 $K$ og 𝐼 $I$ ósamrýmanlegir. Því er 𝑃⁡(𝐽)=𝑃⁡(𝐾)+𝑃⁡(𝐼) $P (J) = P (K) + P (I)$ , samkvæmt samlagningarreglunni. Þegar leyst er fyrir líkurnar sem leitað er að fæst
𝑃⁡(𝐼)=𝑃⁡(𝐽)−𝑃⁡(𝐾)=𝑃⁡(𝐻≤24)−𝑃⁡(𝐻≤20)=0.44386−0.10132=0.34254. $\begin{array}{l} P (I) = P (J) - P (K) \\ = P (H \leq 24) - P (H \leq 20) \\ = 0.44386 - 0.10132 \\ = 0.34254. \end{array}$

Að lokum getum við svarað spurningunni í upphafi hlutans. Reds mætir Angels í World Series, þar sem liðið sem fyrst vinnur fjóra leiki sigrar einvígið. Reds hefur 65% líkur á að vinna hvern leik gegn Angels. Hverjar eru þá líkurnar á að Reds vinni einvígið? Við fyrstu sýn er þetta ekki tvíkostatilraun, því fjöldi leikja er ekki fastur; einvíginu lýkur þegar annað liðið hefur unnið fjóra leiki. Við getum þó framlengt aðstæðurnar í tvíkostatilraun með því að gefa okkur að alltaf séu leiknir sjö leikir og það lið vinni sem sigrar í fleiri leikjum. Að vissu leyti gerist þetta í raun: fyrsta liðið sem tapar fjórum leikjum getur ekki lengur unnið fleiri leiki en hitt og gefur þannig eftir leikina sem eftir eru. Líta má á World Series sem tvíkostatilraun með sjö Bernoulli-tilraunum. Ef $W$ er fjöldi leikja sem Reds vinnur eru líkurnar á sigri Reds $P (W \geq 4)$ . Með aðferðum síðasta dæmis fæst $P (Reds vinnur einvígið) = 0.8002$ .

Stærðfræðingar

Abraham de Moivre

Abraham de Moivre fæddist árið 1667 í Frakklandi í fjölskyldu mótmælenda. Þótt hann gengi í kaþólska skóla hélt hann fast við trú sína. Árið 1687 flúði hann ásamt bróður sínum til Lundúna undan ofsóknum á valdatíma Loðvíks XIV. Í Englandi framfleytti hann sér sem sjálfstætt starfandi stærðfræðikennari samhliða eigin rannsóknum. Líkindafræði var eitt áhugasviða hans og árið 1711 gaf hann út fyrstu útgáfu The Doctrine of Chances: A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play. Hún var önnur kennslubókin um líkur, á eftir Liber de ludo aleae eftir Cardano. De Moivre uppgötvaði mikilvægt samband tvíkostadreifingar og normaldreifingar, sem er mikilvægt hugtak í tölfræði og fjallað verður um í 8. kafla. Hann fann einnig eiginleika nýrar líkindadreifingar sem síðar hlaut heitið Poisson-dreifing.

Prófaðu skilning þinn

Þú kastar sex hliða teningi með þremur appelsínugulum hliðum, tveimur grænum og einni blárri.

Ef teningnum er kastað fimm sinnum og liturinn í hverju kasti skráður, er það tvíkostatilraun?

Ef teningnum er kastað fimm sinnum og talið hve oft græn hlið kemur upp, er það tvíkostatilraun?

Ef talið er hve oft þarf að kasta teningnum þar til blá hlið kemur upp, er það tvíkostatilraun?

Segjum að sama litaða sex hliða teningnum sé kastað tíu sinnum. Látum

𝑂

𝐺

𝐵

tákna hve oft appelsínugul, græn og blá hlið koma upp, í sömu röð. Finndu eftirfarandi líkur, námundaðar að fjórum aukastöfum:

𝑃⁡(𝑂 ≤7)

P(O \leq 7)

𝑃⁡(𝐺 =5)

P(G = 5)

𝑃⁡(1 ≤𝐵 ≤4)

P(1 \leq B \leq 4)

Æfingar úr hluta 7.10

Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða hvort lýstu tilraunirnar séu tvíkostatilraunir. Ef svo er ekki skaltu útskýra hvers vegna.

Golfari æfir pútt af 1, 2, 3, 4 og 5 feta færi; jákvæð útkoma er að púttið heppnist.

Leikjahönnuður kastar tveimur teningum hundrað sinnum og telur hve oft summan er að minnsta kosti 10.

Nemandi sem hefur alls ekki undirbúið sig fyrir óvænt fjölvalspróf giskar á allar tíu spurningarnar. Fyrstu fimm hafa fjóra svarmöguleika hver en síðustu fimm hafa fimm. Jákvæð útkoma er rétt svar.

Hafnaboltamaður æfir köst og heldur áfram þar til hann hefur hitt fimmtíu sinnum á skotsvæðið.

Tölfræðingur stöðvar af handahófi tuttugu háskólanema fyrir utan matsal og skráir námsár þeirra.

Starfsmaður keiluhallar fylgist með fyrsta kasti hvers gests á vaktinni og telur hve margir fella allar keilurnar.

Í eftirfarandi æfingum hefurðu átta hliða tening með 4 appelsínugulum hliðum, 3 rauðum og 1 gulri. Þú kastar honum hundrað sinnum. Látum

𝑌

vera fjölda skipta sem gula hliðin kemur upp,

𝑅

vera fjölda skipta sem rauð hlið kemur upp og

𝑂

vera fjölda skipta sem appelsínugul hlið kemur upp. Finndu tilgreindar líkur, námundaðar að fjórum aukastöfum:

𝑃⁡(𝑂 =52)

P(O = 52)

𝑃⁡(𝑅 <40)

P(R < 40)

𝑃⁡(𝑌 ≥10)

P(Y \geq 10)

10.

𝑃⁡(𝑂 >55)

P(O > 55)

11.

𝑃⁡(𝑅 =35)

P(R = 35)

12.

𝑃⁡(𝑌 <5)

P(Y< 5)

13.

𝑃⁡(45 <𝑂 <55)

P(45 < O < 55)

14.

𝑃⁡(𝑅 ≤30)

P(R \leq 30)

15.

𝑃⁡(𝑌 ≥20)

P(Y \geq20)

16.

𝑃⁡(𝑂 <40)

P(O < 40)

Eftirfarandi æfingar fjalla um leikjaeinvígi þar sem lið A mætir liði B og vinna þarf tiltekinn meirihluta leikja, eins og í World Series. Finndu líkurnar á að lið A vinni einvígið í hverju tilviki:

17.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 51\%

— vinna þarf þrjá af allt að fimm leikjum

18.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 51\%

— vinna þarf fjóra af allt að sjö leikjum

19.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 51\%

— vinna þarf átta af allt að fimmtán leikjum

20.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 51\%

— vinna þarf sextán af allt að 31 leik

21.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 51\%

— vinna þarf 51 af allt að 101 leik

22.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 60\%

— vinna þarf þrjá af allt að fimm leikjum

23.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 60\%

— vinna þarf fjóra af allt að sjö leikjum

24.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 60\%

— vinna þarf átta af allt að fimmtán leikjum

25.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 60\%

— vinna þarf sextán af allt að 31 leik

26.

P({\text{Team A wins a single game against Team B}}) = 60\%

— vinna þarf 51 af allt að 101 leik

27.

Settu upp töflu fyrir líkindafall fjölda skjaldarmerkja þegar óhlutdrægum peningi er kastað fimm sinnum. Reiknaðu án tæknibúnaðar.

28.

Settu upp töflu fyrir dreififall fjölda skjaldarmerkja þegar óhlutdrægum peningi er kastað fimm sinnum. Reiknaðu án tæknibúnaðar.

Eftirfarandi æfingar fjalla um rúllettu. Gjafarinn snýr kúlu um hjól með 38 hólfum. Hvert hólf hefur tölu, heiltölurnar 0–36 auk tvöfalds núlls, og lit. 0 og 00 eru græn en hin 36 skiptast jafnt í svart og rautt. Leikmenn veðja á tölu eða talnahóp. Myndin sýnir skipan talna og lita og nokkur möguleg veðmál.

Rúllettuborð með tólf röðum og þremur dálkum. Fyrstu fjórar raðirnar tilheyra fyrstu tylft, næstu fjórar annarri tylft og síðustu fjórar þriðju tylft. Dálkarnir þrír eru hver um sig merktir 2 á móti 1. Grænu hólfin 0 og 00 eru efst til hægri. Sex veðreitir vinstra megin tákna 1–18, sléttar tölur, rautt, svart, oddatölur og 19–36. Gögnin í röðunum eru þessi: 1 (rautt), 2 (svart), 3 (rautt); 4 (svart), 5 (rautt), 6 (svart); 7 (rautt), 8 (svart), 9 (rautt); 10 (svart), 11 (svart), 12 (rautt); 13 (svart), 14 (rautt), 15 (svart); 16 (rautt), 17 (svart), 18 (rautt); 19 (rautt), 20 (svart), 21 (rautt); 22 (svart), 23 (rautt), 24 (svart); 25 (rautt), 26 (svart), 27 (rautt); 28 (svart), 29 (svart), 30 (rautt); 31 (svart), 32 (rautt), 33 (svart); 34 (rautt), 35 (svart), 36 (rautt). — Rúllettuborð (mynd: „American Roulette Table Layout“ eftir Film8ker/Wikimedia Commons, almenningseign)

29.

Ef leikmaður veðjar einum dollara á rautt og vinnur fær hann tvo dollara til baka, upphaflega dollarann og einn í vinning. Hverjar eru líkurnar á að hann vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í fimm snúningum í röð?

30.

Hverjar eru líkurnar á að leikmaðurinn vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í fimmtán snúningum í röð?

31.

Hverjar eru líkurnar á að leikmaðurinn vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í þrjátíu snúningum í röð?

32.

Hverjar eru líkurnar á að leikmaðurinn vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í hundrað snúningum í röð?

33.

Hverjar eru líkurnar á að leikmaðurinn vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í tvö hundruð snúningum í röð?

34.

Hverjar eru líkurnar á að leikmaðurinn vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í þúsund snúningum í röð?

35.

Hverjar eru líkurnar á að leikmaðurinn vinni meira en hann tapar ef hann veðjar á rautt í fimm þúsund snúningum í röð?