1010 Rúmfræði

Lykilatriði

Nútímarúmfræði á rætur að rekja til Frumþátta Evklíðs frá um 300 f.Kr., þar sem hann skilgreindi grundvallaratriði lína, punkta og slétta.
Samsíða línur hafa sömu hallatölu. Hallatölur hornréttra lína eru neikvæð gagnhverfa hvor annarrar.
Sammengi mengjanna 𝐴 $A$ og 𝐵 $B$ inniheldur alla punkta sem eru í öðru hvoru menginu og er táknað 𝐴 ∪ 𝐵. $A \cup B .$
Sniðmengi mengjanna 𝐴 $A$ og 𝐵 $B$ inniheldur aðeins punkta sem eru sameiginlegir báðum mengjum og er táknað 𝐴 ∩ 𝐵. $A \cap B .$

Horn er hvasst ef það er minna en $90^{\circ},$ $90^{\circ}$ , gleitt ef það er stærra en 9 0 ∘ 90 ∘ en minna en $180^{\circ},$ 180 ∘, rétt ef það er nákvæmlega $90^{\circ},$ 90 ∘, og beint ef það er nákvæmlega 180 ∘. $180^{\circ} .$
Horn sem hafa summuna $90^{\circ}$ 90 ∘ eru fyllihorn. Horn sem hafa summuna $180^{\circ}$ 180 ∘ eru grannhorn.
Þverlína sem sker tvær samsíða línur myndar jafnstór hornapör: víxlhorn innan línanna, víxlhorn utan línanna, topphorn og einslæg horn.

Summa innri horna þríhyrnings er 1 8 0 ∘. 180 ∘. $180^{\circ} .$
Tveir þríhyrningar eru einslaga þegar samsvarandi horn þeirra eru jafnstór og samsvarandi hliðar jafnlangar.
Einslögunarsetningarnar eru þessar: SAS, tvær hliðar og millihorn annars þríhyrnings eru einslaga samsvarandi hlutum hins; ASA, tvö horn og millihlið annars eru einslaga samsvarandi hlutum hins; SSS, allar þrjár hliðar annars eru jafnlangar samsvarandi hliðum hins; AAS, tvö horn og hlið sem liggur ekki á milli þeirra eru einslaga samsvarandi hlutum hins.
Tvö form eru lík þegar hlutföll samsvarandi horna, hliða eða annarra einkenna eru jöfn, óháð stærð formanna.

Reglulegir marghyrningar eru lokaðar tvívíðar myndir með jafnlangar hliðar. Heiti þeirra ráðast af fjölda hliðanna.
Ummál marghyrnings er lengd jaðars hans. Það fæst með því að leggja saman lengdir allra hliðanna.
Summa innri horna reglulegs marghyrnings með 𝑛 $n$ hliðar fæst með formúlunni 𝑆 = ( 𝑛 − 2 ) ⁢ 1 8 0 ∘. $S = (n - 2) 180^{\circ} .$ Stærð eins innra horns reglulegs marghyrnings með 𝑛 $n$ hliðar fæst með formúlunni 𝑎 = ( 𝑛 − 2 ) ⁢ 1 8 0 ∘ 𝑛. $a = \frac{(n - 2) 180^{\circ}}{n} .$
Summa ytri horna reglulegs marghyrnings er $360^{\circ} .$ 360 ∘. Stærð eins ytra horns reglulegs marghyrnings með 𝑛 $n$ hliðar fæst með formúlunni 𝑏 = 3 6 0 ∘ 𝑛. $b = \frac{360^{\circ}}{n} .$
Ummál hrings er 𝐶 = 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟, $C = 2 π r,$ þar sem 𝑟 $r$ er geislinn, eða 𝐶 = 𝜋 ⁢ 𝑑, $C = π d,$ þar sem 𝑑 $d$ er þvermálið.

Flísun er mynstur forma, yfirleitt marghyrninga, sem endurtekur sig og þekur sléttu án bila eða skörunar.
Flísanir byggjast meðal annars á stífum færslum forma. Færslurnar eru hliðrun, snúningur, speglun og spegilrennsli. Formin eru færð þannig að þau myndi mynstur.

Flatarmál 𝐴 $A$ þríhyrnings fæst með formúlunni 𝐴 = 1 2 ⁢ 𝑏 ⁢ ℎ, $A = \frac{1}{2} b h,$ þar sem 𝑏 $b$ er grunnlínan og ℎ $h$ er hæðin.
Flatarmál samsíðungs fæst með formúlunni 𝐴 = 𝑏 ⁢ ℎ, $A = b h,$ þar sem 𝑏 $b$ er grunnlínan og ℎ $h$ er hæðin.
Flatarmál rétthyrnings fæst með formúlunni 𝐴 = 𝑙 ⁢ 𝑤, $A = l w,$ þar sem 𝑙 $l$ er lengdin og 𝑤 $w$ er breiddin.
Flatarmál trapisu fæst með formúlunni 𝐴 = 1 2 ⁢ ℎ ⁡ ( 𝑏 1 + 𝑏 2 ), $A = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2}),$ þar sem ℎ $h$ er hæðin, 𝑏 1 $b_{1}$ er lengd annarrar grunnlínunnar og 𝑏 2 $b_{2}$ er lengd hinnar.
Flatarmál tíguls fæst með formúlunni 𝐴 = 𝑑 1 ⁢ 𝑑 2 2, $A = \frac{d_{1} d_{2}}{2},$ þar sem 𝑑 1 $d_{1}$ er lengd annarrar hornalínunnar og 𝑑 2 $d_{2}$ er lengd hinnar.
Flatarmál reglulegs marghyrnings fæst með formúlunni 𝐴 = 1 2 ⁢ 𝑎 ⁢ 𝑝, $A = \frac{1}{2} a p,$ þar sem 𝑎 $a$ er inngeislinn og 𝑝 $p$ er ummálið.
Flatarmál hrings fæst með formúlunni 𝐴 = 𝜋 ⁢ 𝑟 2, $A = π r^{2},$ þar sem 𝑟 $r$ er geislinn.

Réttur strendingur er þrívíður hlutur með einslaga samsíða grunn- og toppflöt og hliðarflötum sem mynda $90^{\circ}$ 90 ∘ horn við þá. Yfirborðsflatarmál 𝑆 ⁢ 𝐴 $S A$ rétts strendings fæst með formúlunni 𝑆 ⁢ 𝐴 = 2 ⁢ 𝐵 + 𝑝 ⁢ ℎ, $S A = 2 B + p h,$ þar sem 𝐵 $B$ er flatarmál grunnflatar, 𝑝 $p$ er ummál hans og ℎ $h$ er hæðin. Rúmmál 𝑉 $V$ rétts strendings fæst með formúlunni 𝑉 = 𝐵 ⁢ ℎ, $V = B h,$ þar sem 𝐵 $B$ er flatarmál grunnflatar og ℎ $h$ er hæðin.
Réttur sívalningur er þrívíður hlutur með einslaga hringlaga grunn- og toppflöt og hliðarflöt sem myndar $90^{\circ}$ 90 ∘ horn við þá. Yfirborðsflatarmálið fæst með formúlunni 𝑆 ⁢ 𝐴 = 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 2 + 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 ⁢ ℎ, $S A = 2 π r^{2} + 2 π r h,$ þar sem 𝑟 $r$ er geislinn og ℎ $h$ er hæðin. Rúmmálið fæst með formúlunni 𝑉 = 𝜋 ⁢ 𝑟 2 ⁢ ℎ, $V = π r^{2} h,$ þar sem 𝑟 $r$ er geislinn og ℎ $h$ er hæðin.

Regla Pýþagórasar er notuð fyrir rétthyrnda þríhyrninga til að finna lengdir skammhliða og langhliðar með formúlunni 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2, $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ þar sem c er langhliðin.
Til að finna hliðarlengdir $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ 30 ∘ - 60 ∘ - 90 ∘-þríhyrnings er hlutfallið 𝑥 : 𝑥 ⁢ √ 3 : 2 ⁢ 𝑥, $x : x \sqrt{3} : 2 x,$ notað. Hver hlið samsvarar mótlægu horni og 2 𝑥 $x$ er langhliðin á móti $90^{\circ}$ 90 ∘ horninu.
Til að finna hliðarlengdir hins sérstaka þríhyrningsins, $45^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ}$ 45 ∘ - 45 ∘ - 90 ∘-þríhyrningsins, er hlutfallið 𝑥 : 𝑥 : 𝑥 ⁢ √ 2, $x : x : x \sqrt{2},$ notað. Hver hlið samsvarar mótlægu horni og 𝑥 ⁢ √ 2 $x \sqrt{2}$ er langhliðin á móti $90^{\circ}$ 90 ∘ horninu.
Grunnhornaföllin eru s i n ⁡ 𝜃 = 𝑜 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑝 ℎ ⁡ 𝑦 ⁢ 𝑝, c o s ⁡ 𝜃 = 𝑎 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑗 ℎ ⁡ 𝑦 ⁢ 𝑝, $\sin θ = \frac{o p p}{h y p},$ $\cos θ = \frac{a d j}{h y p},$ og t a n ⁡ 𝜃 = 𝑜 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑝 𝑎 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑗. $\tan θ = \frac{o p p}{a d j} .$
Nota má hornaföll til að finna hliðarlengd eða hornstærð í rétthyrndum þríhyrningi og í hagnýtum verkefnum með rétthyrndum þríhyrningum, svo sem við útreikning háhorns eða lághorns.